2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營(yíng)-第2節(jié)-空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第2節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系A(chǔ)級(jí)(基礎(chǔ)應(yīng)用練)1．(2022·哈爾濱市高三模擬)四條線段首尾順次相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案：D解析：首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面，所以最多可以確定四個(gè)平面．故選D.2．(2022·西安市高三模擬)已知直線a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：A解析：若直線a和直線b相交，則平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交．故選A.3．(2022·張掖市高三模擬)在空間四邊形ABCD的各邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH相交于點(diǎn)P，那么()A．點(diǎn)P必在直線AC上B．點(diǎn)P必在直線BD上C．點(diǎn)P必在平面DBC內(nèi)D．點(diǎn)P必在平面ABC外答案：A解析：如圖，因?yàn)镋F?平面ABC，而GH?平面ADC，且EF和GH相交于點(diǎn)P，所以點(diǎn)P在兩平面的交線上，因?yàn)锳C是兩平面的交線，所以點(diǎn)P必在直線AC上，故選A.4．(2021·西安質(zhì)檢)將正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，則異面直線AB與CD所成的角為()A．90° B．60°C．45° D．30°答案：B解析：如圖，取AC，BD，AD的中點(diǎn)，分別為O，M，N，連接ON，OM，MN，則ON∥CD，MN∥AB，且ON＝eq\f(1,2)CD，MN＝eq\f(1,2)AB，所以∠ONM或其補(bǔ)角即為所求的角．因?yàn)槠矫鍭BC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，AC?平面ACD，所以BO⊥平面ACD，所以BO⊥OD.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則OB＝OD＝eq\r(2)，所以BD＝2，則OM＝eq\f(1,2)BD＝1，所以O(shè)N＝MN＝OM＝1，所以△OMN是等邊三角形，∠ONM＝60°.所以異面直線AB與CD所成的角為60°.故選B.5．(2022·廣西來(lái)賓市高三聯(lián)考)設(shè)α，β表示平面，l表示直線，A，B，C表示三個(gè)不同的點(diǎn)，給出下列命題：①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，則l?α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則α∩β＝AB；③若l?α，A∈l，則A?α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，則α與β重合．其中正確命題的個(gè)數(shù)有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)答案：B解析：若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，l?α，①正確；若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，則直線AB既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，所以α∩β＝AB，②正確；若l?α，則直線l可能與平面α相交于點(diǎn)A，所以A∈l時(shí)，A∈α，③不正確；若A，B，C∈α，A，B，C∈β，當(dāng)A，B，C共線時(shí)，α與β可能相交，④不正確；故選B.6．如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形是________．(填序號(hào))答案：②④解析：①中GH∥MN；②中G，H，N三點(diǎn)共面，但M?平面GHN，因此GH，MN是異面直線；③中連接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直線GH與MN必相交；④中G，M，N三點(diǎn)共面，但H?平面GMN，因此GH，MN是異面直線．7.(2022·湖南省六校高三聯(lián)考)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，∠BAD＝60°，AA1＝2a，則直線A1C1與B1C成角的余弦值為_(kāi)_______．答案：eq\f(\r(15),10)解析：連接AC，AB1，如圖所示：因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠ACB1或其補(bǔ)角為直線A1C1與B1C所成的角．因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為a的菱形，∠BAD＝60°，AA1＝2a，所以AB1＝CB1＝eq\r(（2a）2＋a2)＝eq\r(5)a，AC＝eq\r(a2＋a2－2×a×a×（－\f(1,2)）)＝eq\r(3)a.cos∠ACB1＝eq\f(（\r(3)a）2＋（\r(5)a）2－（\r(5)a）2,2×\r(3)a×\r(5)a)＝eq\f(\r(15),10).所以直線A1C1與B1C成角的余弦值為eq\f(\r(15),10).8.如圖，這是正四面體的平面展開(kāi)圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．答案：②③④解析：還原成正四面體A-DEF，其中H與N重合，A，B，C三點(diǎn)重合．易知GH與EF異面，BD與MN異面．又△GMH為等邊三角形，∴GH與MN成60°角，易證DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正確的序號(hào)是②③④.B級(jí)(綜合創(chuàng)新練)9．(多選題)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中點(diǎn)，直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()A．A，M，O三點(diǎn)共線B．A，M，O，A1共面C．A，M，C，O共面D．B，B1，O，M共面答案：ABC解析：∵M(jìn)∈A1C，A1C?平面A1ACC1，∴M∈平面A1ACC1，又∵M(jìn)∈平面AB1D1，∴M在平面AB1D1與平面A1ACC1的交線AO上，即A，M，O三點(diǎn)共線，∴A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，∵平面BB1D1D∩平面AB1D1＝B1D1，∴M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故選ABC.10．(多選題)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中點(diǎn)，則()A．GH＝2EFB．GH≠2EFC．直線EF，GH是異面直線D．直線EF，GH是相交直線答案：BD解析：如圖，取棱CC1的中點(diǎn)N，A1D1的中點(diǎn)M，連接EM，MH，HN，NG，F(xiàn)G，AC，A1C1，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，∵M(jìn)H∥A1C1∥AC∥FG，∴M，H，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，同理可得E，M，G，N四點(diǎn)共面，E，F(xiàn)，H，N四點(diǎn)共面，∴E，M，H，N，G，F(xiàn)六點(diǎn)共面，均在平面EFGNHM內(nèi)，∵EF∥HN，HN∩HG＝H，HN，HG，EF?平面EFGNHM，∴EF與GH是相交直線．由正方體的結(jié)構(gòu)特征及中位線定理可得EF＝HN＝NG＝FG＝EM＝MH，∴eq\r(3)EF＝GH，即GH≠2EF.故選BD.11．如圖，若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA≠PB，PN⊥AB，N為垂足，M為AB的中點(diǎn)，則PN與MC之間的位置關(guān)系是________．答案：異面直線解析：法一：∵PA≠PB，PN⊥AB，N為垂足，M是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合．∵N∈平面ABC，P?平面ABC，CM?平面ABC，N?CM，∴由異面直線的判定方法可知，直線PN與MC為異面直線．法二(反證法)：假設(shè)PN與MC不是異面直線，則存在一個(gè)平面α，使得PN?α，MC?α，于是P∈α，C∈α，N∈α，M∈α.∵PA≠PB，PN⊥AB，N為垂足，M是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M與點(diǎn)N不重合．∵M(jìn)∈α，N∈α，∴直線MN?α，∵A∈MN，B∈MN，∴A∈α，B∈α，即A，B，C，P四點(diǎn)均在平面α內(nèi)，這與點(diǎn)P在平面ABC外相矛盾．∴假設(shè)不成立．故PN與MC為異面直線．12．平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為_(kāi)_______．答案：eq\f(\r(3),2)解析：如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，∵α∥平面CB1D1，則m1∥m，又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小．又∵B1C＝B1D1＝CD1(均為面對(duì)角線)，∴∠CD1B1＝eq\f(π,3)，得sin∠CD1B1＝eq\f(\r(3),2).13.已知空間四邊形ABCD的對(duì)角線AC＝20，BD＝19，異面直線AC與BD所成角的余弦值為eq\f(18,19)，點(diǎn)P，Q，M，N分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．則四邊形PQMN是________四邊形；四邊形PQMN的面積為_(kāi)_______．答案：平行5eq\r(37)解析：因?yàn)镻，Q分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以PQ∥AC，且PQ＝eq\f(1,2)AC，同理MN∥AC，且MN＝eq\f(1,2)AC，所以PQ∥MN，PQ＝MN，所以四邊形PQMN是平行四邊形；因?yàn)镻，N分別是AB，AD的中點(diǎn)，所以PN∥BD，PN＝eq\f(1,2