2025年春新湘教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊課件 1.2.1 平方差公式

平方差公式①復(fù)習(xí)導(dǎo)入

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.符號(hào)表示：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.兩項(xiàng)式乘以兩項(xiàng)式，結(jié)果可能是兩項(xiàng)嗎？請(qǐng)你舉例說明.探究新知計(jì)算下列各式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律：(x+2)(

x–2)=x2-2x+2x

-22=

，(x+1)(

x

-1)=x2-

x+x

-12=

，(x+3)(

x

-3)=x2-3x+3x-32=

，(x+4)(

x

-4)=x2–4x+4x

-42=

.x2-12x2-22x2-32x2-42(x+y

)(

x

-

y

)=x2-

xy+xy

-y2=

.x2-y2(x+y)(

x

-

y

)=x2-

xy+xy

-y2=

.x2-y2(x+y

)(

x

-

y)=x2-y2

即多項(xiàng)式x+y與x-y的乘積，等于多項(xiàng)式x2-y2由此我們可以得到平方差公式(a+b

)(

a

-

b)=a2-b2

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.設(shè)a,b都是正數(shù)，且a>b，將平方差公式中的x用a代入，y用b代入可得平方差公式適用條件：括號(hào)前后有兩項(xiàng)相同括號(hào)前后有兩項(xiàng)相反(a+b

)(

a

-

b)=a2-b2前提：兩多項(xiàng)式相乘結(jié)果：(同)2-(反)2使用條件：①兩多項(xiàng)式相乘。②前后出現(xiàn)兩項(xiàng)相同，兩項(xiàng)相反。(a+b)(a-b)=a2-b2應(yīng)用平方差公式時(shí)應(yīng)注意些什么呢？(1)注意平方差公式的適用范圍;(2)字母

a、b可以是數(shù)，也可以是整式;(3)注意計(jì)算過程中的符號(hào)和括號(hào).如圖(1)，將邊長為a

的大正方形剪去一個(gè)邊長為b

的小正方形，則剩余部分面積為多少？將剩余部分沿虛線剪開，得到兩個(gè)長方形，再將這兩個(gè)長方形拼成如圖(2).此時(shí)新圖形的面積為多少？(1)的剩余面積：a2-b2(2)的面積：(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2幾何背景分析(1)(2)（1）(2x+1)(2x-1)；

（2）(x+2y)(x-2y).計(jì)算：分析:(1)(2)中兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法都滿足平方差公式的特征，因而可以利用該公式進(jìn)行計(jì)算。解（1）(2x+1)(2x-1)=(2x)2-12=4x2-1（2）(x+2y)(x-2y)=x2-(2y)2=x2-4y2與不用平方差公式計(jì)算相比，哪種方法更簡便？(a+b

)(

a

-

b)=a2-b2運(yùn)用平方差公式計(jì)算：例3運(yùn)用平方差公式計(jì)算：(4a+b)(-b+4a)解：由平方差公式得(4a+b)(-b+4a)=(4a+b)(4a-b)=(4a)2-b2=16a2-b2將括號(hào)內(nèi)的式子轉(zhuǎn)化為平方差的形式。計(jì)算：1002×998.解：由平方差公式得

1002×998=(1000+2)(1000-2)=10002-22=1000000-4=999996.例4因此：1002×998=999996.運(yùn)用平方差公式可以簡化一些運(yùn)算。1.運(yùn)用平方差公式計(jì)算：（1）(3x+y)(3x-y)；（2）解：(3x+y)(3x-y)=(3x)2-y2=9x2-y2[教材P127練習(xí)第1題]（3）(-1+5x)(-1-5x)；（4）(-4a-b)(4a-b).解：(-1+5x)(-1-5x)=(-1)2-(5x)2

=1-25x2

(-4a-b)(4a-b).=(-b-4a)(-b+4a)

=(-b)2–(4a)2=b2–16a2（1）202×198；（2）49.8×50.2.2.計(jì)算：解:

202×198=(200+2)(200-2)=40000–4=39996

49.8×50.2=(50-0.2)(50+0.2)=2500-0.04=2499.96[教材P17練習(xí)第2題]3.下面各式的計(jì)算對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，應(yīng)怎樣改正？（1）(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－2；（2）(－2x－1)(2x－1)＝4x2－1．解：（1）不對(duì)，(

x－2

)(

x＋2

)＝x2－4；（2）不對(duì)，(－2x－1)(2x－1)＝(-1-2x)(-1+2x)＝1-4x2

.隨堂練習(xí)(x+6)(x-6)=_________.1.填空題：(-x+)(-x-)=_________.(-2a2-5b)()=4a4-25b2.x2-36-2a2+5b2.下列式中能用平方差公式計(jì)算的有（）

①

②

(3a-bc)(-bc-3a)

③

(3-x+y)(3+x+y)

④

(100+1)(100-1)A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)(x-y)(x+y)D3.計(jì)算：(1)(2a-3b)(2a+3b)；(2)(-p2+q)(-p2-q)；解：原式=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2原式=(-p2)2-(q)2=p4-q24.計(jì)算

(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1).解：原式

=(a2-1)(a2+1)(a4+1)(a8+1)=(a4-1)(a4+1)(a8+1)=(a8-1)(a