2025年新高考數(shù)學一輪復習：函數(shù)的概念及其表示（十六大題型）（講義）（學生版+解析）

第01講函數(shù)的概念及其表示

目錄

01考情透視目標導航...........................................................................2

02知識導圖思維引航...........................................................................3

03考點突破?題型探究...........................................................................4

知識點1：函數(shù)的概念...........................................................................4

知識點2：函數(shù)的三要素.........................................................................4

知識點3：函數(shù)的表示法.........................................................................5

知識點4：分段函數(shù).............................................................................5

解題方法總結...................................................................................5

題型一：函數(shù)的概念.............................................................................6

題型二：同一函數(shù)的判斷........................................................................7

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域..............................................................8

題型四：抽象函數(shù)定義域........................................................................8

題型五：函數(shù)定義域的綜合應用..................................................................9

題型六：待定系數(shù)法求解析式....................................................................9

題型七：換元法求解析式.......................................................................10

題型八：方程組消元法求解析式.................................................................11

題型九：賦值法求解析式.......................................................................11

題型十：求值域的7個基本方法..................................................................12

題型十一：數(shù)形結合求值域.....................................................................14

題型十二：值域與求參問題.....................................................................15

題型十三：判別式法求值域.....................................................................15

題型十四：三角換元法求值域...................................................................16

題型十五：分段函數(shù)求值、求參數(shù)問題...........................................................16

題型十六：分段函數(shù)與方程、不等式.............................................................17

04真題練習?命題洞見...........................................................................18

05課本典例?高考素材...........................................................................18

06易錯分析?答題模板..........................................................................20

易錯點：錯求抽象函數(shù)的定義面.................................................................20

答題模板：求抽象函數(shù)的定義域.................................................................20

考情透視.目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

(1)了解函數(shù)的含義，會求簡

單函數(shù)的定義域和值域.高考對函數(shù)的概念及其表示的考查相

2024年上海卷第2題，5分

(2)在實際情景中，會根據(jù)不對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均

2024年I卷第8題，5分

同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖變化不大.高考對本節(jié)的考查不會有大的

2023年北京卷第15題，5分

象法、列表法、解析法)表示函變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及

2022年浙江卷第14題，5分

數(shù).最值為主，綜合考查不等式與函數(shù)的性

2021年浙江卷第12題，5分

(3)了解簡單的分段函數(shù)，并質.

會簡單的應用.

復習目標：

1、掌握函數(shù)的概念，了解構成函數(shù)的要素

2、會求常見函數(shù)的定義域和值域

3、掌握求函數(shù)解析式的方法

匐2

〃二知識導圖?思維引航\\

一般地，給定非空數(shù)集4民按照某個對應法則/,使得/中任意元素H

函數(shù)的概念）都有B中唯一確定的了與之對應，那么從集合4到集合E的這個對應,

-----------/\叫做從集合4到集合E的一個函數(shù).

函數(shù)的三要素：定義域、對應關系、值域

如果兩介函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全

一致，則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù)

函數(shù)的概念及其表示

函期猴

k列表法）

蜘若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾

萬欣因敬個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)

者占突曲?題理探密

知識固本

知識點1:函數(shù)的概念

(1)■般地，給定非空數(shù)集A,B,按照某個對應法則f,使得A中任意元素山都有6中唯

確定的y與之對應，那么從集合A到集合6的這個對應，叫做從集合A到集合5的一個函數(shù).記作:

xfy=/(x),XGA.集合A叫做函數(shù)的定義域，記為D,集合｛y|y=/a),xe用叫做值域，記為C.

(2)函數(shù)的實質是從一個非空集合到另一個非空集合的映射.

【診斷自測】下列圖象中，y不是尤的函數(shù)的是()

知識點2：函數(shù)的三要素

(1)函數(shù)的三要素：定義域、對應關系、值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)為同一個函數(shù).

【診斷自測】下列四組函數(shù)：①/(x)=x,g(x)=A/?；②〃x)=x,g(x)=M)；③

f(x)=x2-2x+l,g(t)^t2-2f+l；④/(x)=l,g(x)=x°；其中表示同一函數(shù)的是()

A.②④B.②③C.①③D.③④

知識點3：函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

1—Y2/、

【診斷自測】已知函數(shù)=則〃x）=（）

1B.([?-[("])

A.-1(x^0)

(if(1)

44

c.―^T(xwO)D.；―八5一1(龍片1)

(無T)(1)

知識點4：分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分

段函數(shù).

【診斷自測】（2024.吉林.模擬預測）已知〃x）=?若則實數(shù)a的值為（）

----,x>1.

I2

A.1B.4C.1或4D.2

解題方法總結

1、基本的函數(shù)定義域限制

求解函數(shù)的定義域應注意：

（1）分式的分母不為零；

（2）偶次方根的被開方數(shù)大于或等于零：

（3）對數(shù)的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；

（4）零次累或負指數(shù)次募的底數(shù)不為零；

（5）三角函數(shù)中的正切y=tanx的定義域是eR,且xw+eZ：；

（6）已知的定義域求解八g（x）］的定義域，或己知八g（x）］的定義域求的定義域，遵循

兩點：①定義域是指自變量的取值范圍；②在同一對應法則［下，括號內(nèi)式子的范圍相同；

（7）對于實際問題中函數(shù)的定義域，還需根據(jù)實際意義再限制，從而得到實際問題函數(shù)的定義域.

2、基本初等函數(shù)的值域

（1）丫=履+力（左/0）的值域是7?.

（2）y=a尤2+6x+c（aw0）的值域是：當a>0時，值域為——}；當a<0時，值域為

…4a

.I4ac—b1、

川b).

k.

(3)y=—(左w0)的值域是{y|yw0}.

(4)y=a"(a>0且aw1)的值域是(0,+oo).

(5)y=log,犬(a>0且aw1)的值域是R.

題型一：函數(shù)的概念

【典例1-1]下列對應是從集合A到集合B的函數(shù)的是（）

A.A=N,3=N,/:x->y=（x?）2B.A=N,B=NJ:x.y=±百

C.A=N,B=Q,f:x^y=D.A=R,B={y|y>0},/:xfy=國

【典例1-2】已知〃無）是定義在有限實數(shù)集A上的函數(shù)，且IvA,若函數(shù)/（x）的圖象繞原點逆時針

旋轉30。后與原圖象重合，則/。）的值不可能是（）

A.0B.走C.BD.指

32

【方法技巧】

利用函數(shù)概念判斷：（1）A,B是非空的實數(shù)集；（2）數(shù)集A中的任何一個元素在數(shù)集B中只有一個

元素與之對應，即“多對一”，不能“一對多”，而數(shù)集B中有可能存在與數(shù)集A中元素不對應的元素.

【變式1-11（2024?高三?上海虹口?期中）若函數(shù)y=/（x）的圖像繞原點逆時針旋轉宙后與原圖像重合,

則在以下各項中，y=/（x）的定義域不可能是（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}

C.[-7t,7r]D.R

【變式1-2]將函數(shù)y=gsinx+x|e0,||的圖象繞著原點沿逆時針方向旋轉。角得到曲線1，已知

曲線「始終保持為函數(shù)圖象，貝Itan，的最大值為（）

【變式1-3]存在定義域為R的函數(shù)/(x),滿足對任意xeR,使得下列等式成立的是()

A./(小上/B.j[cosx)=x

C./(尤2+x)=WD./(|x|)=x2+l

題型二：同一函數(shù)的判斷

【典例2-1】下列各組函數(shù)相等的是()

A./(力=彳2,g(x)=(?『B.f(x)=x-l,g(x)=j

C./(x)=l,g(x)=x°D-"MW，

【典例2-2](多選題)下列各項不能表示同一個函數(shù)的是()

A./(x)=^-^--^g(x)=x+lB.=與g(x)=x-l

x—1

Uf與g(x)=\I^ED-〃x)=l與g(x)=xj

【方法技巧】

當且僅當給定兩個函數(shù)的定義域和對應法則完全相同時，才表示同一函數(shù)，否則表示不同的函數(shù).

【變式2-1](多選題)下列各組函數(shù)表示的是不同函數(shù)的是()

A./(元)=J-2=3與g(x)=X?J-2x

B./(x)=。與g(x)=G"

C./(x)=x+l與g(x)=x+x°

2

D.f(x)=4x-Jx+1與g(無)=y/x+x

【變式2-2]以下四組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是()

A.〃%)=%與8(m=病

B./(x)=Jl+x-Vl-x與g(x)=71-%2

C.y=x。與y=l

D.f(x)=Jx+1-Jx-1與g(x)=&_[

【變式2-3](多選題)(2024.高三.浙江金華.期末)已知函數(shù)g(x)=/(e)h(x)=ef^.()

A.若〃x)=0,則g(x)=/i(x)=0

B.若〃x)=N|,則g(x)=/i(x)

C.對于=若/(%)=隸,則a=l

D.對于g(x)=//(x),若/(x)=logaX(a>0,awl),則a=e

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域

【典例3-1】(2024.北京通州.二模)已知函數(shù)〃同=%+愴(》—2)的定義域為-

【典例3-2】已知等腰三角形的周長為40cm,底邊長y(ca)是腰長x(c〃z)的函數(shù)，則函數(shù)的定義域為(

A.(10,20)B.(0,10)C.(5,10)D.[5,10)

【方法技巧】

對求函數(shù)定義域問題的思路是：

(1)先列出使式子/(X)有意義的不等式或不等式組；

(2)解不等式組；

(3)將解集寫成集合或區(qū)間的形式.

【變式3-1]函數(shù)〃x)=ln(x+l)+>/l-x的定義域是.

【變式3-2](2024?北京懷柔?模擬預測)函數(shù)/(力=坨匕三的定義域是

X

【變式3-3](2024.北京平谷.模擬預測)函數(shù)/(力=++111(1-力的定義域是

題型四：抽象函數(shù)定義域

【典例4-1】已知函數(shù)〉=/，升1]的定義域是[2,4],則函數(shù)g(x)=1n；￡)2)的定義域為()

A.(2,3)B.(2,3]

C.（2,3）U（3,6]D.（2,3）U（3,4]

【典例4-2】已知/(x)的定義域為口⑶，則g(x)=/^W的定義域為()

2x-3

35

D.

293

【方法技巧】

1、抽象函數(shù)的定義域求法：(1)若/⑴的定義域為(。，。)，求〃g。)]中avg(%)〈匕的解％的范圍,

即為"g(x)］的定義域.(2)已知〃g(x)］的定義域，求/(X)的定義域，則用換元法求解.

2、若函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的，其定義域為各基本函數(shù)定義域的交集，即先

求出各個函數(shù)的定義域，再取交集.

【變式4-1］(2024.高三.河北邢臺.期末)若函數(shù)/(3x-2)的定義域為則函數(shù)/(2尤+3)的定義

域為?

【變式4-2】已知函數(shù)，(尤2)的定義域為(1,2),求/(2x+l)的定義域.

【變式4-3］(1)已知函數(shù)〃尤+2)的定義域為［1,3］,則函數(shù)“X)的定義域為—.

(2)已知函數(shù)/(x+1)的定義域為［3,8］,則函數(shù)/(/)的定義域為—.

題型五：函數(shù)定義域的綜合應用

【典例5-1】已知函數(shù)/］)=，的定義域為R,則實數(shù)。的取值范圍為()

ax-2ax+l

A.卜B.或〃＞1}

C.{《OWavl}D.{《QWO,或〃21}

2?+1+a

【典例5?2】若函數(shù)/(工)=］中一^的定義域為尺，則實數(shù)〃的取值范圍是()

In2+Q

A.(-2,+co)B.(-l,+oo)C.(-2,-1)D.(-2,-l)u(-l,+oo)

【方法技巧】

對函數(shù)定義域的應用，是逆向思維問題，常常轉化為恒成立問題求解，必要時對參數(shù)進行分類討論.

龍+1

【變式5-1］(2024?高三.上海嘉定?期中)已知函數(shù)/(尤)=^~；的定義域為R,則實數(shù)。的取值

ax"-2ax+1

范圍是,

【變式5-2］若函數(shù)〃尤)=/^+4以+3的定義域為R,則實數(shù)。的取值范圍為一.

【變式5-3】當時，函數(shù)〃x)=J?J_M.和g(?=1。82白/一(2a+3)x+2］有意義,貝實

數(shù)。的取值范圍是.

題型六：待定系數(shù)法求解析式

【典例6-1】一次函數(shù)/⑺在R上單調(diào)遞增，＞/(/(x-l))=4x+5,則上)=—.

【典例6-2】已知二次函數(shù)〃尤)滿足〃0)=0,/(x-l)=/(x)+3x-5,則不等式〃力＞0的解集

為.

【方法技巧】

當已知函數(shù)的類型時，可用待定系數(shù)法求解.

【變式6-1】已知函數(shù)人無)是一次函數(shù)，且"(x)f-3/(x)=4x2-10x+4,則/⑶的解析式為

【變式6-2］已知二次函數(shù)〃力=改2+樂+。(。W0),其圖象過點(1,-1),且滿足

/(x+2)=/(x)+4x+4,則〃x)的解析式為

題型七：換元法求解析式

【典例7-1］己知兀V+L)=N+±,則函數(shù)/(》)=.

XX

【典例7-2】已知/(4+1)=尤+2?,則〃x)=()

A./(x)=x2B./(x)=x2-l(x>l)

C./(x)=x2-l(x>0)D./(x)=x2+l(x>l)

【方法技巧】

當已知表達式為f(g(x))時，可考慮配湊法或換元法.

【變式7-1】設/(尤)是定義在R+上的函數(shù)，且VaeR,/(x)=a有唯一解或無解，且對任意尤?R+,

均有/卜⑴+f,請寫出一個符合條件的/

【變式7-2］若/⑺是定義域為(0,+向上的單調(diào)函數(shù)，且對任意實數(shù)xe(O,+s)都有

f-5=1+1,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則/(ln3)=()

4

A.4B.-

3

C.e+2D.一

3

【變式7-3］(2024.高三.江西期中)設/(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，若VxeRJ(/(x)-2，)=11,

則不等式/(x)<7的解集為.

【變式7-4】設/(尤)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，且滿足-力+〃力=-7,若對于任意非零實數(shù)

尤都有f/(尤)~17~\------x------'-2=-4,貝葉(2024)=

')/(x)+3x

題型八：方程組消元法求解析式

【典例8?1】已知/⑺為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，且滿足/(x)+g(x)=e*+x,則/⑺=()

xx

AA.-e---e--B.卓

2

Ce—eT2xDe—eT+2x

?2?2

【典例8-2】B^/(x)+2/Qj=x(x^0),那么〃X)=—.

【方法技巧】

若已知成對出現(xiàn)/a),yd)或“X),/(T)等類型的抽象函數(shù)表達式，則常用解方程組法構造另一

X

個方程，消元的方法求出/(X).

【變式8-1](2024?高三?遼寧丹東?期中)若函數(shù)/(x)滿足〃sinx)+2〃cosx)=cos2x,則

【變式8-2】已知/(尤)滿足/(x)+2/(-x)=x—5,則/(x)=_.

【變式8-3](2024.河南?模擬預測)已知函數(shù)/(x)對定義域｛媼尤二。｝內(nèi)的任意實數(shù)尤滿足

/(2x)-2/f|j=4x,則/(x)=.

題型九：賦值法求解析式

【典例9-1】已知函數(shù)/⑺的定義域為R,且〃x+y)+〃x7)=2〃x)〃y),/(0)=1,請寫出滿

足條件的一個/(%)=—(答案不唯一).

【典例9-2】已知函數(shù)y=/(x),xeR,且〃0)=2,

/(0.5)/(1)。(。5〃)

=2,”eN*,則函數(shù)y=/(x)的一個解析式為

/(0)一’〃0.5)一’…'/(0.5(〃一1))

【方法技巧】

若已知抽象函數(shù)表達式，則常用賦值法

【變式9-1】已知函數(shù)〃x)滿足〃%+2)=/(尤)+1,則的解析式可以是(寫出滿足條件的

一個解析式即可).

【變式9-2](2024.高三.江蘇揚州.開學考試)寫出滿足/(x-y)=/(x)+/(y)-2肛的函數(shù)的解析

式.

【變式9?3】對V%,y￡R,函數(shù)/(%,y)都滿足：①/(O,y)=y+l；②〃x+l,0)=/(x,l)；③

f(x+1,y+1)=/(尤,+1,y))；則/(3,2023)=

【變式％4】設偶函數(shù)八x)滿足：/(1)=2,且當時孫20時,^7^

則/(-5)=一

題型十：求值域的7個基本方法

【典例10-1］求下列函數(shù)的值域:

(l)y=3x2-x+2；

(2)y=yj-x2-6x-5;

小3x+I

⑶"x

(4)y=x+4,1-x；

(5)y=x+yjl-x2;

(6)y=l%—1|+11+4］；

2x2—x+2

⑺尸

2爐―x+1X>1

⑻

【典例10-2］求下列函數(shù)的值域.

(l)y=Vx-2；

r2-r

⑵尸KF

(3)y=x-A/1-2X；

/八—4x+3

2IQ

(5)y=±r-^(X>1).

x-1

【方法技巧】

函數(shù)值域的求法主要有以下幾種

(I)觀察法：根據(jù)最基本函數(shù)值域(如犬20,/>0及函數(shù)的圖像、性質、簡單的計算、推理，憑

觀察能直接得到些簡單的復合函數(shù)的值域.

(2)配方法：對于形如y=^2+fox+c(“w0)的值域問題可充分利用二次函數(shù)可配方的特點，結合二

次函數(shù)的定義城求出函數(shù)的值域.

(3)圖像法：根據(jù)所給數(shù)學式子的特征，構造合適的幾何模型.

(4)基本不等式法：注意使用基本不等式的條件，即一正、二定、三相等.

(5)換元法：分為三角換元法與代數(shù)換元法，對于形y=Q+8+的值城，可通過換元將原函

數(shù)轉化為二次型函數(shù).

(6)分離常數(shù)法：對某些齊次分式型的函數(shù)進行常數(shù)化處理，使函數(shù)解析式簡化內(nèi)便于分析.

(7)單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域(或它的子集)內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域.對于形如

y=yjax+b+4cx+d^y=ax+b+4cx+d的函數(shù)，當ac>0時可利用單調(diào)性法.

【變式10-1］求下列函數(shù)的值域.

(1)求函數(shù)y=x+J2x+1的值域.

(2)求函數(shù)y=x,3x+4的值域.

(3)求函數(shù)y=(、/m+&Z7+2)(M=系+1),xe［0,l］的值域.

【變式10-2］求下列函數(shù)的值域:

(l)〃x)=2x-Jx-1；

⑵〃元)=三7，%€(1,3)；

1

⑶小卜^43”

【變式10-3］求下列函數(shù)的值域

3+x

(1)y=~.—

4-x

5

(2),一2d-4x+3；

y=sjl—2x—x；

f+4x+3

(4)>%2+%—6，

(5)y=4-{3+2x-x2；

y=x+Jl-2x；

(7)y—A/X—3+y/s—x；

y=Jr2-6x-5

3x+l

(9)

/1八、2/—x+1/1、

(10)>=--------(x>-).

2x-l2

題型十一：數(shù)形結合求值域

【典例11-1］函數(shù)、=包匕1的值域為

【典例11-2］函數(shù)y=7X2-2X+5+G-4尤+13的值域為

【方法技巧】

根據(jù)所給數(shù)學式子的特征，構造合適的幾何圖形模型.

【變式11」】函數(shù)y=YlZ二的值域是.

x+2

【變式11-2］函數(shù)/（x）=2x-3-J-d+6x-8的值域是

【變式11-3］函數(shù)y=&-2x+5-J，4x+13的值域為―.

【變式U-4】函數(shù)/（力="￥8的值域為.

題型十二：值域與求參問題

【典例12-1］若函數(shù)/（x）=的值域為12,2］,則a的值為.

【典例12-2］若函數(shù)］，加+以+1的值域為［。,+8）,則。的取值范圍為（）

A.（0,4）B.（4,-H?）C.［0,4］D.［4,-H?）

【方法技巧】

值域與求參問題通常采用分類討論，數(shù)形結合，轉化化歸等方法解決.

【變式12-1］已知函數(shù)/'（x）=VI=7+用的值域為則實數(shù)。的取值范圍為（

A.（一：jB.（一1，一￡|C.［0,：）D.（-*0］

【變式12-2］定義min{a,6}=［：'：；：若函數(shù)/（x）=min{/-3x+3,-歸-3|+3},則的最大值

3

為—；若“X）在區(qū)間［租,可上的值域為“2,貝門-機的最大值為.

x2-2x+2,x>0

【變式12-3】（2024?上海青浦?一模）已知函數(shù)y=<a的值域為R,則實數(shù)。的取值范圍

XH----F3d,X<0

X

為______

題型十三：判別式法求值域

x-1

【典例13-1】函數(shù)y=%>。的值域為.

九？一6%+7

【典例13-2】函數(shù)/3=個1的值域是

【方法技巧】

判別式法：把函數(shù)解析式化為關于尤的一元二次方程，利用一元二次方程的判別式求值域，一般地，

形如y=J分2+"+c或y="：+bx+c的函數(shù)值域問題可運用判別式法（注意X的取值范圍必須

djc+ex+f

為實數(shù)集R).

【變式13-1］已知a,beR,且4+￡＞2+R＞=1,則Z?的取值范圍是.

【變式13-2］己知。＞0,函數(shù)/(xNax—Sx-x1的最大值為近，則實數(shù)。的值為—.

【變式13-3】函數(shù)/(x)=*的值域是—.

題型十四：三角換元法求值域

【典例14-1］求函數(shù)y=x+j2/-4x+6的值域.

【典例14-2］(2024?高三.河南?期中)函數(shù)/(x)=l+'3-廠的值域為()

x+2

A.12-&',2+V^]B.[―C.|^2—5/3,24-5/6^D.^—5/6,5/3J

【方法技巧】

充分利用三角函數(shù)的有界性，求出值域.因為常出現(xiàn)反解出y的表達式的過程，故又常稱此為反解有

界性法.

【變式14-1】(2024?上海徐匯?模擬預測)函數(shù)了=匚/+4x-3+3的值域為一

X+1

題型十五：分段函數(shù)求值、求參數(shù)問題

simix,x<—

2

【典例15-1］(2024?全國?模擬預測)己知函數(shù)〃尤＜尤＜2,則“2024)=()

A.-1B.0C.3D.1

【典例15-2】已知函數(shù)若〃a)=6,貝l]a=()

5x+6,x<0

A.0B.2C.-3D.2或3

【方法技巧］

根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先明確自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選擇相應的解析式代入解決.

【變式15-1](2024?全國?模擬預測)己知函數(shù)若〃。)=2,則。的值為()

A.2或一0B.2或0C.&或-0D.1或艱

【變式15-2](2024.全國.模擬預測)設若/㈣=/(根+1),則/仔]=()

Iz(x1),x-1ktnj

A.14B.16C.2D.6

2工+2;尤＜3

【變式15-3](2024?江蘇南通?二模)已知函數(shù)〃x)=/x),則〃log29)=()

/⑸,…

題型十六：分段函數(shù)與方程、不等式

[x+]x>0

【典例16-1】己知函數(shù)〃x)=][一’若則實數(shù)。的取值范圍是()

I/4人<U,

A.(2,+8)B.[-2,0)U(0,2]

C.(-?,-2]U[2,^)D.(-2,O)u(O,2)

fexr<0i

【典例16-2](2024?福建福州?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=,'一八，則不等式〃工)4彳的解集是

[In%,%>。2

)

A.(-oo,-ln2]IJ(0,A/eJB.(f-ln2)

C.(0,五]D.(f-ln2)U(。西

【方法技巧】

已知函數(shù)值或函數(shù)的范圍求自變量的值或范圍時，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但是一定要注意

檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段自變量的范圍.

/、fx+l,x＜0,、

【變式16-1](2024.湖北.一模)已知函數(shù)〃同=彳皿尤+i)刀＞0,則關于x的不等式〃力〈1的解集

為一

[x+2,-1/、

【變式16-2](2024.全國.模擬預測)已知函數(shù)/("=_2,則不等式〃力＞-3的解集

IX十/X,JC＞,L

是

㈤4

//□

1.(2024年新課標全國I卷數(shù)學真題)已知函數(shù)為〃龍)的定義域為R,7(x)>/(x-l)+/(x-2),且當

%<3時/(%)二兄，則下列結論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

2.(2024年上海夏季高考數(shù)學真題(網(wǎng)絡回憶版))已知〃力=，，；；。,則/(3)=

3.(2023年北京高考數(shù)學真題)已知函數(shù)"x)=4'+log2x,貝"!]=.

0

課本典例?高考素材\\

1.若〃x)=f+Zzx+c,且/⑴=0,/(3)=0,求/(一1)的值.

2.已知函數(shù)〃尤)=一尤+1,g(x)=(x-l)2,xeR.

圖1圖2

(1)在圖1中畫出函數(shù)/(尤)，g(x)的圖象；

(2)定義:VxeR,用機(力表示/(x),g(x)中的較小者，記為m(x)=min{〃x),g(x)},請分別用圖

象法和解析式法表示函數(shù)加(x).(注：圖象法請在圖2中表示，本題中的單位長度請自己定義且標明)

3.函數(shù)r=/(p)的圖象如圖所示，曲線/與直線m無限接近，但永不相交.

(1)函數(shù)的定義域、值域各是什么？

(2)廠取何值時，只有唯一的P值與之對應？

4.畫出定義域為｛x|-3WxW8,且xw5｝,值域為｛y1-14y42,yW0｝的一個函數(shù)的圖象.

(1)將你的圖象和其他同學的相比較，有什么差別嗎？

(2)如果平面直角坐標系中點P(x,y)的坐標滿足-34尤48,-14>42,那么其中哪些點不能在圖象上?

5.給定數(shù)集4=氏8=(9,0],方程/+2v=0,①

(1)任給對應關系了使方程①的解v與“對應，判斷丫=/(")是否為函數(shù);

(2)任給veB,對應關系g使方程①的解〃與v對應，判斷w=g3)是否為函數(shù).

〃易錯分析-答題模板\\

易錯點：錯求抽象函數(shù)的定義域

易錯分析：/(g(x))定義域不是指g(x)的范圍，而是指X的范圍.

答題模板：求抽象函數(shù)的定義域

1、模板解決思路

解決本模板問題的要點是知道函數(shù)/(g(x))中g(x)的范圍，也就是函數(shù)/(依尤))中/7(元)的范圍，解不

等式就可得到函數(shù)/S(X))的定義域.

2、模板解決步驟

第一步：由函數(shù)f(g(x))的定義域，即x的取值范圍，求出g(x)的取值范圍.

第二步：用集合或區(qū)間表示所求定義域.

【易錯題1】函數(shù)/(尤)的定義域為(0,3),則函數(shù)尸以平的定義域是_____.

x-1

【易錯題2】若函數(shù)〃x+3)的定義域為[-5,-2],則網(wǎng)x)=/(x+l)+〃x-l)的定義域為一.

第01講函數(shù)的概念及其表示

目錄

01考情透視?目標導航...........................................................................2

02知識導圖?思維引航...........................................................................3

03考點突破?題型探究...........................................................................4

知識點1：函數(shù)的概念...........................................................................4

知識點2：函數(shù)的三要素.........................................................................4

知識點3：函數(shù)的表示法.........................................................................5

知識點4：分段函數(shù).............................................................................5

解題方法總結...................................................................................5

題型一：函數(shù)的概念............................................................................6

題型二：同一函數(shù)的判斷........................................................................7

題型三：給出函數(shù)解析式求解定義域..............................................................8

題型四：抽象函數(shù)定義域........................................................................8

題型五：函數(shù)定義域的綜合應用..................................................................9

題型六：待定系數(shù)法求解析式....................................................................9

題型七：換元法求解析式.......................................................................10

題型八：方程組消元法求解析式.................................................................11

題型九：