2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：實數(shù)的概念（解析版）

考點一實數(shù)

知識點整合

1.數(shù)軸：規(guī)定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上所有的點與全體實數(shù)一一

對應(yīng).

2.相反數(shù)：只有符號不同，而絕對值相同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù)，若a、b互為相反數(shù),

則a+b=O.

3.倒數(shù)：1除以一個不等于零的實數(shù)所得的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù).若。、b互為倒數(shù)，則

ab=l.

4.絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)。的點與原點的距離，記作|嚇

5.(1)按照定義分類

'正整數(shù)

整數(shù)＜零

有理數(shù)負(fù)整數(shù)

實數(shù)‘正分?jǐn)?shù)'

分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

‘正無理數(shù)'

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

(2)按照正負(fù)分類

，正整數(shù)

正有理數(shù)

正實數(shù)正分?jǐn)?shù)

正無理數(shù)

實數(shù)零

,負(fù)整數(shù)

負(fù)有理數(shù)

負(fù)實數(shù)＜負(fù)分?jǐn)?shù)

負(fù)無理數(shù)

注意：0既不屬于正數(shù),也不屬于負(fù)數(shù).另外，在理解無理數(shù)時，要注意“無限不循環(huán)”，歸

納起來有四類:

(1)開方開不盡的數(shù),如石，次等;

71

(2)有特定意義的數(shù),如圓周率兀，或化簡后含有兀的數(shù)，如§+2等;

(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…等；

(4)某些三角函數(shù)，如sin60。等.

6.科學(xué)記數(shù)法：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為0x10。的形式，其中141al<10,"為整數(shù).當(dāng)原

數(shù)絕對值大于10時，寫成axio。的形式，其中14|a|<10,n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；

當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時，寫成axlO-"的形式，其中。等于原數(shù)左邊第一個非

零的數(shù)字前的所有零的個數(shù)(包括小數(shù)點前面的零).

7.近似數(shù)：近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度通常用精確度來表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，

四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.

8.平方根：(1)算術(shù)平方根的概念：若x2=a(x>0),則正數(shù)x叫做。的算術(shù)平方根.

(2)平方根的概念：若x2=a,則x叫做a的平方根.

(3)表示：a的平方根表示為土&,。的算術(shù)平方根表示為，?.

只有非負(fù)數(shù)才有平方根,0的平方根和算術(shù)平方根都是0

(4)意義<(6尸=a(a20)

V7=H=?(a-0)

9.立方根：(1)定義：若x3=a,則x叫做a的立方根.

(2)表示：a的立方根表示為標(biāo).

(?3、)思*義“《「=a.

(Va)3=a

10.數(shù)的乘方：求"個相同因數(shù)a的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫幕.在a"中，a叫底

數(shù)，"叫指數(shù).

11.實數(shù)的運算：

(1)有理數(shù)的運算定律在實數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運算定律有加法結(jié)合律、加法交

換律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律.

(2)運算順序：先算乘方(開方)，再算乘除，最后算加減；有括號的先算括號里面

的.

12.指數(shù)，負(fù)整數(shù)指數(shù)幕：”0,則。。=1；若g0,n為正整數(shù)，則。一"=?.

13.數(shù)的大小比較常用以下幾種方法：數(shù)軸比較法、差值比較法、絕對值比較法、乘方比較

法、中間值比較法等等.

重點考向

考向一實數(shù)的有關(guān)概念

此類問題一般以填空題、選擇題的形式出現(xiàn)，熟練掌握實數(shù)的有關(guān)概念，如相反數(shù)、倒數(shù)、

絕對值、算術(shù)平方根等是解決這類問題的關(guān)鍵.

典例引領(lǐng)

1.-5的相反數(shù)為()

11

A.-B.5C.—D.—5

55

【答案】B

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可

得.

【詳解】解：-5的相反數(shù)為5,

故選：B.

2.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()

A.f與B.卜9|與一3?C.23與3?D.-(-3)與3

【答案】B

【分析】本題考查相反數(shù)，絕對值，有理數(shù)的乘方，先計算出各組數(shù)，再根據(jù)相反數(shù)的定

義"絕對值相同，符號相反的兩個數(shù)互為相反數(shù)"逐項判斷即可.

【詳解】解：A--7與絕對值不同，符號相同，不是互為相反數(shù)；

B,|-9|=9,-32=-9,9與-9互為相反數(shù)，即卜9|與一手互為相反數(shù)；

C,23=8,3、9,聯(lián)與3?不是互為相反數(shù)；

D,-(-3)=3,-(-3)與3不是互為相反數(shù)；

故選B.

3.心的倒數(shù)是()

【答案】B

【分析】本題考查了倒數(shù)的定義，先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再根據(jù)"乘積為1的兩個數(shù)互為

倒數(shù)"，即可解答.

【詳解】解：014=4，

44

14

回的倒數(shù)是3,

45

故選：B.

4.下列說法正確的是（）

A.一。一定沒有平方根B.立方根等于它本身的數(shù)是0,1

C.25的平方根是±5D.T的算數(shù)平方根是2

【答案】C

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，平方根和立方根的定義，逐一判斷即可.

【詳解】A、當(dāng)aWO時，有平方根，故錯誤，不符合題意；

B、立方根等于它本身的數(shù)為：0,1,-1,故錯誤，不符合題意；

C、25的平方根是±5,正確，符合題意；

D、負(fù)數(shù)沒有平方根，故錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查算術(shù)平方根，平方根和立方根的知識，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根,

平方根和立方根的定義.

5.已知加、”互為相反數(shù)，p、2q互為倒數(shù)，且。為最大的負(fù)整數(shù)，則代數(shù)式

2（m+n）12n/天生

^——+~pq--------a1的vl值為____.

20213m

19

【答案】-

O

【分析】利用相反數(shù)、倒數(shù)、負(fù)整數(shù)的性質(zhì)求出〃?+”,2pq,。的值，代入原式計算即可

求出值.

此題考查了有理數(shù)的混合運算，相反數(shù)、倒數(shù)，以及負(fù)整數(shù)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回加、”互為相反數(shù),

團(tuán)加+幾=0,m--n

助、2q互為倒數(shù)，

國2Pq=1,

Sa為最大的負(fù)整數(shù),

回a=-1,

19

故答案為：

6

6.T的相反數(shù)是,-3的倒數(shù)是—，-%的絕對值是.

【答案】4--71

3

【分析】根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的性質(zhì)即可求解.

此題主要考查有理數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的定義.

【詳解】解：T的相反數(shù)是4,-3的倒數(shù)是-g,-%的絕對值是萬

故答案為：4；--；兀.

7.若。為廂的算數(shù)平方根，且I。-勿=3,則a+b=.

【答案】1或7/7或1

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義求得。=2,再跟|。-勿=|2-6|=3,即可得到b=一1或

b=5,進(jìn)一步求得答案即可.

【詳解】解：初為J語=4的算數(shù)平方根，

回。=V?=2，

S\a-b\=\2-b\=3,

貝!|2-6=3或2-匕=-3,

解得b=-1或6=5,

回a+6=2+(-1)=1或a+6=2+5=7,

故答案為：1或7

【點睛】此題考查了算術(shù)平方根、絕對值等知識，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)

鍵.

8.-8的立方是一，2的算數(shù)平方根是—,跑的平方根是.

【答案】-512也±2

【分析】根據(jù)立方、算術(shù)平方根以及平方根的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：因為(―8)3=(—8)x(-8)x(—8)=_512,

所以-8的立方是-512；

2的算數(shù)平方根是血；

因為灰？=4,

所以4的平方根是±2,

即跑的平方根是±2,

故答案為：-512,±2.

【點睛】本題主要考查了算術(shù)平方根以及平方根的定義，如果一個數(shù)的平方等于。，這個

數(shù)就叫做。的平方根.如果一個正數(shù)尤的平方等于那么這個正數(shù)x叫做。的算術(shù)平方

根.

9.如果a,6互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，x的絕對值是3,y是數(shù)軸負(fù)半軸上到原點的距

離為1的數(shù)，

⑴填空：a+b=；cd=；x+y=.

(2)求代數(shù)式-+x2-cd+y2023的值.

X

【答案】(1)0,-1,2或Y

(2)7

【分析】(1)利用相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對值的代數(shù)意義求出。+人，cd,x與y的值；

(2)將(1)中結(jié)果代入原式計算即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)解：a,b互為相反數(shù)，c,”互為倒數(shù)，x的絕對值是3,y是數(shù)軸負(fù)半軸上

到原點的距離為1的數(shù)，

/.a+b=O,cd=l,x=?3,y-1,

\x+y=3+(-1)=2,

x+y=-3+(-1)=T,

故答案為：0,-1,2或T；

(2)解：^^-+x2-cd+y2023

X

八c-i/i\2023

=0+9-l+(-1)

=0+9-1+(-1)

=7.

【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，絕對值，相反數(shù)，以及倒數(shù)，熟練掌握各自的定義是解

本題的關(guān)鍵.

10.數(shù)軸上兩點間的距離等于這兩點所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值，例：如圖，點A、8在數(shù)

軸上分別對應(yīng)的數(shù)為a、b,則A、8兩點間的距離表示為a-6|,根據(jù)以上知識解

題：

AB

⑴若數(shù)軸上兩點A、8表示的數(shù)為x、-1.

①A、8之間的距離可用含x的式子表示為；

②若該兩點之間的距離為3,那么x值為；

(2)Ix+21+1x-31的最小值為,止匕時x的取值是；

(3)已知(|x+2|+|x-3|)(|y-3|+|y+4|)=35,求2x-3y的最大值和最小值.

【答案】⑴①lx+11；②2或-4

(2)5；-2<x<3

(3)最大值18,最小值T3.

【分析】(1)①根據(jù)題意代入相應(yīng)的值運算即可；

②由題意可得：卜+1|=3,進(jìn)行運算即可；

(2)由絕對值的幾何意義可知：當(dāng)-2VxW3時，|x+2|+|x-3|有最小值，從而可求解；

(3)由題意可得：當(dāng)-2VxW3,-4<y<3時，符合題意，從而可確定卜+2|+|犬一3|,

|y-3|+|y+4|的最小值，從而可求解.

本題主要考查了列代數(shù)式、數(shù)軸上兩點的距離、絕對值，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上

知識.

【詳解】⑴①由題意得：AB^x-(-l)Hx+H,

故答案為：Ix+1L

②由題意得：|%+1|=3,

Elx+1=±3,

解得：*=2或了=-4.

故答案為：2或T.

(2)由絕對值的幾何意義可得，Ix+2|+|x-3|是數(shù)x至1」一2與3的距離之和,

團(tuán)當(dāng)—2VxV3時，|工+2|+|尤-3|有最小值,

取x=0代入可得：|0+2|+|0-3|=5,

故最小值為5.

故答案為：5；-2<x<3；

(3)0(|x+2|+|x-3|)(|y-3|+|j+4|)=35,

團(tuán)當(dāng)-2VxV3,-4W”3時，符合題意，

此時，|龍+2|+|了-3|的最小值為5,及-3|+|y+4|的最小值為7,

團(tuán)當(dāng)x=3,y=-4時，2x-3y的最大值為：2x3-3x(-4)=18,

當(dāng)元=-2,y=3時，2x-3y的最小值為：2x(—2)—3x3=—13.

故答案為：18；-13.

11.對于含絕對值的算式，在有些情況下，可以不需要計算出結(jié)果也能將絕對值符號去

掉，例如：|7-6|=7-6；|6-7|=7-6；:一;=：一:；

乙。乙。DN

觀察上述式子的特征，解答下列問題：

(1)把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式(不用寫出計算結(jié)果)：

①|(zhì)23-47|=

②--------

―35.

(2)當(dāng)a時，|。一4=

11_____1

⑶計算.++----F…+

⑸"昇232432022~2021

79

【答案】⑴①47-23；②§-二

(2)b—ci

2021

⑶

2022

【分析】本題考查有理數(shù)的加減運算，絕對值意義;

(1)結(jié)合有理數(shù)加法減法運算法則以及絕對值的意義進(jìn)行化簡；

(2)根據(jù)絕對值的意義進(jìn)行化簡；

(3)根據(jù)有理數(shù)減法運算法則結(jié)合絕對值的意義先化簡絕對值，然后根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律

進(jìn)行分析計算.

【詳解】⑴解：?|23-47|=47-23；(2)Ij-j|=j-j；

22

故答案為：47-23,———；

35

(2)解：當(dāng)時，A]=/?—〃；

故答案為：b—a；

/、.11111111

(3)角牛：1H----------1---------------------------------

2324320222021

二1---------

2022

2021

-2022,

12.已知X-2的算數(shù)平方根為2,2x+y+7的立方根是3,求f+)?的平方根與立方根.

【答案】±10,^/100

【分析】根據(jù)算式平方根和立方根的定義，求出羽〉的值，再代值計算平方根和立方根即

可.

【詳解】解：EIX-2的算數(shù)平方根為2,2x+y+7的立方根是3,

國無一2=2?=4,2x+y+7=33=27,

團(tuán)x=6,y=8,

0%2+y2=100,

團(tuán)"+/的平方根為±"而=±10,立方根為：班麗.

【點睛】本題考查求一個數(shù)的平方根和立方根.解題的關(guān)鍵掌握相關(guān)定義，正確的計算.

變式拓展

1.時表示()

A.”的倒數(shù)B.a的相反數(shù)C.a的絕對值D.。的算術(shù)平方根

【答案】C

【分析】根據(jù)絕對值的定義解答即可.

【詳解】解：時表示a的絕對值.

故選C.

【點睛】本題考查了絕對值的意義，表示一個數(shù)。的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對

值.

2.設(shè)A是T的相反數(shù)與-12的絕對值的差，8是比-6大5的數(shù)，則A-3的值為.

【答案】-7

【分析】本題考查有理數(shù)的運算.根據(jù)題意，求出A,8的值，再進(jìn)行減法運算即可.

【詳解】解：由題意，得：4=一(-4)一卜12|=-8,B=-6+5=-l,

[?]A—B=—8+1=—7；

故答案為：-7.

3.已知為，巧，X,，…，/。都是不等于。的有理數(shù)，若'+闖+國+…+國，

*^3*^20

則為。所有可能等于的值的絕對值之和等于.

【答案】220

【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，化簡絕對值，根據(jù)題意分別得出％。所有可能等于

的值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：當(dāng)2。個數(shù)的符號相同時，若都為正，

J2o=—+—+—+—=1+1+1+1+1=20

團(tuán)xxx2x3x20

%0=』+』+$+…+*=-l-l=-20

若都為負(fù)，則%“2%”20

團(tuán)巴。等于20或-20,

當(dāng)20個數(shù)的符號有一個相異時，不妨設(shè)這個數(shù)為七,

Jo=—+—+—+-?-+—=1-1-1-1-1=1-19=-18

2X

當(dāng)"1為正，貝!]玉2*3X20,

%o=』+垃+乜+…+曰=7+1+]+I+I=T+I9=18

X

若為負(fù)，貝I石*2*320

團(tuán)必。等于18或-18,

同理當(dāng)20個數(shù)的符號有兩個相異時，力等于16或-16,

當(dāng)20個數(shù)的符號有三個相異時，必。等于14或-14,

當(dāng)20個數(shù)的符號有四個相異時，％。等于12或T2,

當(dāng)20個數(shù)的符號有十個相異時，必。等于0,

…。所有可能等于的值的絕對值之和=(20+18+16+14+12+10+8+6+4+2+0)x2=220,

故答案為：220.

4.若有理數(shù)a,b互為倒數(shù)，c,d互為相反數(shù)，機(jī)的絕對值是2,則

/；\2023(1Y2

(。+")Alb)+m=一?

【答案】5

【分析】根據(jù)題意，可得劭=1,c+d=0,加=±2,再代入即可求解.本題主要考查了倒

數(shù)，絕對值的意義，相反數(shù)的性質(zhì)，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：由題意得，ab=\,c+d=。，加=±2,

(/c+d7\)2023+m2=02023+(-l)4+(±2)2=0+l+4=5,

故答案為：5.

5.實數(shù)4，b,c,d,e,/中，。與〃互為倒數(shù)，c與d互為相反數(shù)，0是_0的絕對

值，/的算術(shù)平方根是8,求：</+彳+/+"的值.

【答案】6；

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，相反數(shù)的性質(zhì)，絕對值的化簡及算術(shù)平方根的定義得到

ab=1,c+d=0,e=|-y/21=,/=82=64,代入計算即可.

【詳解】解：由題意得，ab=l,c+d=。，e=|—0|=0,/=82=64,

-ab+^-^-+e2+#7

23W

=-xl+-+(^)2+^/64

23

=-+0+2+4

2

=61.

2

【點睛】此題考查了已知式子的值求代數(shù)式的值，正確掌握倒數(shù)的定義，相反數(shù)的性質(zhì)，

絕對值的化簡及算術(shù)平方根的定義得到必=1,C+d=0,e=|-夜|=0,/=弟=64是解題

的關(guān)鍵.

6.如果。力,。,乩自/是實數(shù)，且。力互為倒數(shù)，c,d互為相反數(shù)，e的絕對值是貶，/的算

術(shù)平方根是8,求;+需+e+".

【答案】Q+3或耳-夜

【分析】根據(jù)相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對值的意義求出。十巴必及e的值，代入計算即可.

【詳解】解：由題意可知：cib=1,c+d=0,e=±，7=64,

.M=隔=4,

當(dāng)e=0時，：而+1^+6+/=；+。+夜+4=1+0,

當(dāng)6=—0時，:而+'|^+6+"=：+。一血+4=2-0.

【點睛】此題考查了實數(shù)的運算，平方根，絕對值，以及倒數(shù)，熟練掌握運算法則是解本

題的關(guān)鍵.

7.已知實數(shù)。，b,c,d,m,其中a,匕互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，加的絕對值是

I、a+b+m2+1、廠

2,求---7=一的平萬根.

7cd

【答案】±有

【分析】直接利用互為相反數(shù)以及倒數(shù)和絕對值的性質(zhì)得出代數(shù)式的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：回a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值是2,

團(tuán)a+b==0,cd=l,m=±2

0+4+11

=—^=5,

5的平方根是土石.

【點睛】此題主要考查了實數(shù)運算，正確得出已知代數(shù)式的值是解題關(guān)鍵.

8.已知。的立方根是2,8是小的整數(shù)部分，c是9的平方根，求a+b+c的算術(shù)平方

根.

【答案】J值或20/20或內(nèi)

【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，求一個數(shù)的平方根，根據(jù)立方根求這個

數(shù)，無理數(shù)的估算等等，正確根據(jù)題意求出以氏c的值是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)立方根的定義得到a=23=8,估算出3<a?<4得到b=3,根據(jù)平方根的定義得到

c=±3,據(jù)此求出a+b+c=14或a+b+c=8,再根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得答案.

【詳解】解：國。的立方根是2,

回〃=2^=8,

09<15<16,

03<V15<4,

團(tuán)6是后的整數(shù)部分，

06=3,

回c是9的平方根，

回c=±3,

回a+Z?+c=8+3+3=14或^a+Z?+c=8+3—3—8,

Sa+b+c的算術(shù)平方根為或而=272.

9.（1）已知X的平方根為±3,）的立方根為2,求x+2y的算術(shù)平方根.

（2）實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：\a-b\+^a+b>）.

——?-------------------1——?------->

a0b

【答案】（1）5；（2）-2a

【分析】（1）根據(jù)X的平方根為±3,y的立方根為2,得出x=9,y=8,代入進(jìn)行計算求

出尤+2y的值，再由算術(shù)平方根的定義計算即可；

(2)由數(shù)軸可得。＜0＜匕，同＞例，從而得出a-Z?＜0,a+b＜0,再根據(jù)絕對值的性質(zhì)

和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可.

【詳解】解：(1)x的平方根為±3,y的立方根為2,

.,.尤=3?=9,y=23=8

x+2y=9+2x8=9+16=25,

x+2y的算術(shù)平方根為居=5；

(2)由圖可得：a<0<b,\a\>\b\,

:.a-b<0,a+b<0,

—++=b—a—(a+b)=b—a—a—b=-2a-

【點睛】本題考查了平方根、立方根的定義、根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、化簡

絕對值、利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，熟練掌握以上知識點是解此題的關(guān)鍵.

10.若6互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，加的絕對值為3,求

2

/+巴W_(_cd嚴(yán)3+a

mb

【答案】11

【分析】本題主要考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的定義，掌握互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加等

于0,互為倒數(shù)的兩個數(shù)相乘等于1,解題的關(guān)鍵掌握各自的定義.根據(jù)互為相反的兩個數(shù)

相加等于0,互為倒數(shù)的兩個數(shù)相乘等于1,互為相反數(shù)的兩個數(shù)比值為-1即可求解.

【詳解】解；由題意可知。+匕=0,y=-l,cd=l,Im1=3,

b

?.>^=32+0-(-1)2023+(-1)2

=9-(-1)+1

9+1+1

=11.

考向二實數(shù)的分類

實數(shù)的分類

，正整數(shù)

整數(shù)零

有理數(shù)負(fù)整數(shù)

實數(shù)‘正分?jǐn)?shù)'

分?jǐn)?shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)

‘正無理數(shù)'

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無理數(shù)

典例引領(lǐng)

1.

A.。的倒數(shù)B.。的相反數(shù)C.a的絕對值D.。的算術(shù)平方根

【答案】C

【分析】根據(jù)絕對值的定義解答即可.

【詳解】解：時表示。的絕對值.

故選C.

【點睛】本題考查了絕對值的意義，表示一個數(shù)。的點到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對

值.

2.設(shè)A是T的相反數(shù)與-12的絕對值的差，8是比-6大5的數(shù)，則的值為.

【答案】-7

【分析】本題考查有理數(shù)的運算.根據(jù)題意，求出48的值，再進(jìn)行減法運算即可.

【詳解】解：由題意，得：4=一(-4)一卜12|=-8,B=-6+5=-l,

回A—B=—8+1=—7；

故答案為：-7.

3.已知4，/，馬,…，馬。都是不等于。的有理數(shù)，若％°=兇+同+國+…+國，

"^2*^3*^20

則力，所有可能等于的值的絕對值之和等于.

【答案】220

【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，化簡絕對值，根據(jù)題意分別得出%。所有可能等于

的值即可得出結(jié)論.

【詳解】解：當(dāng)20個數(shù)的符號相同時，若都為正,

gy20=—+^+—+...+—=1+1+1+1+1=20

項尤2尤3X20

若都為負(fù)，貝1J=*+*+*+…=-1-1=-2°

X]兀2"3'20

回%。等于20或-20,

當(dāng)20個數(shù)的符號有一個相異時，不妨設(shè)這個數(shù)為4,

當(dāng)X]為正，貝！Jy2o=_L_|--------------------------+---------------=1-1-1-1-1=1-19=-18,

x

占x2x,io

+%2

若Xj為負(fù)，貝1J%0=——+...+0=-1+1+1+1+1=-1+19=18

三/毛々0

回為0等于18或-18,

同理當(dāng)20個數(shù)的符號有兩個相異時，必。等于16或-16,

當(dāng)20個數(shù)的符號有三個相異時,%。等于14或-14,

當(dāng)20個數(shù)的符號有四個相異時,%。等于12或-12,

當(dāng)20個數(shù)的符號有十個相異時，%。等于0,

所有可能等于的值的絕對值之和

=(20+18+16+14+12+10+8+6+4+2+0)x2=220,

故答案為：220.

4.若有理數(shù)a,b互為倒數(shù)，c,d互為相反數(shù)，%的絕對值是2,則

/八2023(1Y2

…)+[--J+m=—,

【答案】5

【分析】根據(jù)題意，可得必=1,c+d=0,機(jī)=±2,再代入即可求解.本題主要考查了倒

數(shù)，絕對值的意義，相反數(shù)的性質(zhì)，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】解：由題意得，ab=\,c+d=0,m=±2,

(c+6/)2023+f-—V+m2=O2023+(-l)4+(±2)2=0+1+4=5,

IabJ

故答案為：5.

5.實數(shù)〃，b,。，d,%/中，〃與/，互為倒數(shù)，c與d互為相反數(shù)，e是一血的絕對

值，/的算術(shù)平方根是8,求：(或+等+?2+好的值.

【答案】6；

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義，相反數(shù)的性質(zhì)，絕對值的化簡及算術(shù)平方根的定義得到

ab=l,c+d=O,e=|-夜|=夜，/=82=64,代入計算即可.

【詳解】解：由題意得，ab=l,c+d=O,e=\-721=V2,/=82=64,

z.-ab+^-^+e1

23Y

=gxl+《+(6)2+鬧

=-+0+2+4

2

=61.

2

【點睛】此題考查了已知式子的值求代數(shù)式的值，正確掌握倒數(shù)的定義，相反數(shù)的性質(zhì)，

絕對值的化簡及算術(shù)平方根的定義得到必=1,c+d=0,e=|-72|=V2,/=8，=64是解題

的關(guān)鍵.

6.如果及c,d,e,f是實數(shù)，且“力互為倒數(shù)，c,d互為相反數(shù)，e的絕對值是血，了的算

術(shù)平方根是8,求;+需+?+療.

【答案】g+3或g-夜

【分析】根據(jù)相反數(shù)，倒數(shù)，以及絕對值的意義求出c+d,仍及e的值，代入計算即可.

【詳解】解：由題意可知：ab=l,c+d=。，e=±V^,F=64,

當(dāng)e=0時，：而+■|^+e+療=；+()+夜+4=2+血,

乙乙U4_L乙乙

當(dāng)6=-應(yīng)時，；"+1^+e+V7=；+°-0+4=g-&.

【點睛】此題考查了實數(shù)的運算，平方根，絕對值，以及倒數(shù)，熟練掌握運算法則是解本

題的關(guān)鍵.

7.已知實數(shù)。，b,c,d,m,其中。，b互為相反數(shù)，c,d互為倒數(shù)，加的絕對值是

,a+b+m2+1、,

2,求x——p=—的平萬根D.

7cd

【答案】土下

【分析】直接利用互為相反數(shù)以及倒數(shù)和絕對值的性質(zhì)得出代數(shù)式的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：回a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，m的絕對值是2,

0a+b=O,cd=l,m=+2

0+4+1=

=-1-=5,

5的平方根是土

【點睛】此題主要考查了實數(shù)運算，正確得出已知代數(shù)式的值是解題關(guān)鍵.

8.已知。的立方根是2,b是小的整數(shù)部分，c是9的平方根，求a+b+c的算術(shù)平方

根.

【答案】歷或2屈/2版或屈

【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，求一個數(shù)的平方根，根據(jù)立方根求這個

數(shù)，無理數(shù)的估算等等，正確根據(jù)題意求出久氏c的值是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)立方根的定義得到a=23=8,估算出3〈爐<4得到b=3,根據(jù)平方根的定義得到

c=±3,據(jù)此求出a+b+c=14或a+b+c=8,再根據(jù)算術(shù)平方根的定義可得答案.

【詳解】解：回。的立方根是2,

回〃=2^=8,

09<15<16,

03<A/15<4,

回匕是小的整數(shù)部分，

0&=3,

EK是9的平方根，

0c=±3,

回a+b+c=8+3+3=14或a+6+c=8+3—3=8,

^a+b+c的算術(shù)平方根為而或而=272.

9.(1)已知x的平方根為±3,>的立方根為2,求尤+2y的算術(shù)平方根.

(2)實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：\a-b\+^a+bf.

J——1------>

0b

【答案】(1)5；(2)-2a

【分析】(1)根據(jù)x的平方根為±3,y的立方根為2,得出x=9,V=8,代入進(jìn)行計算求

出x+2y的值，再由算術(shù)平方根的定義計算即可;

(2)由數(shù)軸可得。<0<b,同>例，從而得出a—b<0,a+b<0,再根據(jù)絕對值的性質(zhì)

和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可.

【詳解】解：(1)x的平方根為±3,丁的立方根為2,

/.x=32=99y=23=S

x+2y=9+2x8=9+16=25,

x+2y的算術(shù)平方根為岳=5；

(2)由圖可得：a<0<b,|?|>|^|,

:.a-b<0,a+b<0,

/.|tz-闿+—b-a-(a+b)=b-Q-a-b-—2a?

【點睛】本題考查了平方根、立方根的定義、根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)、化簡

絕對值、利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，熟練掌握以上知識點是解此題的關(guān)鍵.

10.若。、b互為相反數(shù)，d互為倒數(shù)，加的絕對值為3,求

2

加+巴心_(_4嚴(yán)3+a

mb

【答案】11

【分析】本題主要考查了相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的定義，掌握互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加等

于0,互為倒數(shù)的兩個數(shù)相乘等于1,解題的關(guān)鍵掌握各自的定義.根據(jù)互為相反的兩個數(shù)

相加等于0,互為倒數(shù)的兩個數(shù)相乘等于1,互為相反數(shù)的兩個數(shù)比值為-1即可求解.

【詳解】解；由題意可知。+6=0,f=cd=\,Im1=3,

b

.?.原式=32+0—(-1)2023+(_1)2

=9-(-1)+1

9+1+1

=11?

變式拓展

1.下列各數(shù)是無理數(shù)的是（）

/—2271

A.y/25B.0.1001C.—D.

73

【答案】D

【分析】本題考查了無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)，有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；根據(jù)

無理數(shù)的概念判斷即可.

【詳解】解：由于后=5,所以后0.1001,,都是有理數(shù)，-三是無理數(shù)，

故選：D.

2.下列各數(shù)中：-1,+3,0,0.2,-21,一兀，負(fù)數(shù)一共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題主要考查了實數(shù)的分類，解題的關(guān)鍵是熟練掌握實數(shù)分為正實數(shù)、負(fù)實數(shù)和

零.

【詳解】解：-1,+3,0,0.2,-21,一乃中負(fù)數(shù)有-I,-21,一乃，共3個，故C正

確.

故選：C.

7T1

3.在實數(shù)3.142,0,萬，1.01001000100001...（相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次增加

1）中，無理數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了有理數(shù)與無理數(shù)的分類，無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)；有理數(shù)包含整數(shù)

與分?jǐn)?shù).分別根據(jù)無理數(shù)、有理數(shù)的定義逐項進(jìn)行判斷即可，理解無理數(shù)的定義是解題關(guān)

鍵.

【詳解】解：3.142,0,-g為有理數(shù)；

TT

1.01001000100001…為無理數(shù)，共有兩個，

2

故選：B

4.下列說法正確的是（）

A.所有無限小數(shù)都是無理數(shù)B.實數(shù)分為正實數(shù)、負(fù)實數(shù)、0

C.三是分?jǐn)?shù)D.無理數(shù)與無理數(shù)的和仍是無理數(shù)

【答案】B

【分析】本題考查了無理數(shù)的概念、實數(shù)的分類，根據(jù)無理數(shù)的概念和實數(shù)的分類逐項判

斷即可，熟練掌握相關(guān)定義是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故原說法錯誤，不符合題意；

B、實數(shù)分為正實數(shù)、負(fù)實數(shù)、0,故原說法正確，符合題意；

C、三是無理數(shù)，故原說法錯誤，不符合題意；

D、無理數(shù)與無理數(shù)的和可能是有理數(shù)，例如-&+也=0,故原說法錯誤，不符合題意；

故選：B.

5.在實數(shù)君、0、-2.36、萬、VI石、指中，無理數(shù)的個數(shù)為（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】本題主要考查無理數(shù)的識別，無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.熟

練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A/5,萬，我是無限不循環(huán)小數(shù)，它們是無理數(shù)；

0,灰石=12是整數(shù)，-2.36是分?jǐn)?shù)，它們不是無理數(shù)；

綜上，無理數(shù)共3個，

故選：B.

6.下列說法正確的是（）

A.實數(shù)分為正實數(shù)和負(fù)實數(shù)B.正是分?jǐn)?shù)

2

C.數(shù)軸上的點表示的數(shù)都是有理數(shù)D.-6是5的平方根

【答案】D

【分析】本題考查實數(shù)的分類，平方根的概念，實數(shù)與數(shù)軸，屬于基礎(chǔ)知識的考查，掌握

相關(guān)概念或性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：A、實數(shù)分為正實數(shù).負(fù)實數(shù)和零，原說法錯誤，本選項不符合題意；

B、正是無理數(shù)，不是分?jǐn)?shù)，原說法錯誤，本選項不符合題意；

2

C、數(shù)軸上的點表示的數(shù)都實數(shù)，原說法錯誤，本選項不符合題意；

D、卜斯『=5,則-&'是5的平方根，原說法正確，本選項符合題意；

故選：D

7.下列說法正確的是（）

A.實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的B.實數(shù)可以分為有理數(shù)、零和無理數(shù)

C.帶根號的數(shù)都是無理數(shù)D.不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)

【答案】A

【分析】根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的分類逐項判斷即可.

【詳解】解：A.實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，說法正確；

B.實數(shù)可以分為有理數(shù)和無理數(shù)，原說法錯誤；

C.帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，例如a=2,原說法錯誤；

D.不帶根號的數(shù)不一定是有理數(shù)，例如丁，原說法錯誤；

故選：A.

【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，實數(shù)的分類，正確理解無理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

8.在單元復(fù)習(xí)課上，老師要求寫出幾個與實數(shù)有關(guān)的結(jié)論，小明同學(xué)寫了以下5個：

①任何無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)；

②立方根等于它本身的數(shù)是±1和0;

③在1和3之間的無理數(shù)有且只有行、0小、將這4個；

④萬是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)；

⑤由四舍五入得到的近似數(shù)7.30表示大于或等于7.295,而小于7.305的數(shù).

其中正確的有（填序號）.

【答案】①②⑤

【分析】本題考查了無理數(shù)的定義，立方根，近似數(shù)；根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，立

方根，實數(shù)的分類，近似數(shù)，可得答案.

【詳解】解：①任何無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，故①正確；

②立方根等于它本身的數(shù)是±1和0,故②正確；

③在1和3之間的無理數(shù)有無數(shù)個，故③錯誤；

④會是無理數(shù)，故④錯誤；

⑤由四舍五入得到的近似數(shù)7.30表示大于或等于7.295,而小于7.305的數(shù)，故⑤正確；

故答案為：①②⑤.

9.下列各數(shù)3.1415926,出,1.212212221.…（相鄰兩個1之間2的個數(shù)逐次加1）,

2-兀,-2020,4中，有理數(shù)有個.

【答案】4

【分析】根據(jù)實數(shù)的分類進(jìn)行判定即可得出答案，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，其中有限小數(shù)

和無限循環(huán)小數(shù)都屬于分?jǐn)?shù).

【詳解】解：有理數(shù)有3.1415926,y,-2020,"共4個.

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了實數(shù)，熟練掌握實數(shù)的分類進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.

10.在+3.5,0.13,-y,2萬，0.1010010001,（相鄰兩個1之間依次增加1個0）中，有

理數(shù)有一個.

【答案】3

【分析】根據(jù)實數(shù)的分類，有理數(shù)是有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，由此即可求解.

【詳解】解：在+3.5,0.13,-y,2%，0.1010010001，（相鄰兩個1之間依次增加1個

0）中，有理數(shù)有+3.5,0.13,-y,共3個，

故答案為：3.

【點睛】本題主要考查實數(shù)的分類，掌握其分類的方法，有理數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

11.在萬，0.3,一5中，無理數(shù)是.

【答案】乃

【分析】無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，常見的無理數(shù)有開不盡方的數(shù)，含萬的最簡式子，特

殊結(jié)構(gòu)的數(shù)等，由此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)無理數(shù)的定義，可知無理數(shù)有萬，

故答案為：乃.

【點睛】本題主要考查無理數(shù)的定義，掌握實數(shù)的分類，無理數(shù)的定義，及常見無理數(shù)的

形式是解題的關(guān)鍵.

12.將下列各數(shù)進(jìn)行分類（填序號即可）：

12

①1,②石，③0,④一3.2,⑤際，⑥-7，⑦1.202002…（每個"2"之間依次多

一個"0"）.

正整數(shù)：—;

分?jǐn)?shù)：;

無理數(shù)：—.

【答案】①⑤；④⑥；②⑦

【分析】根據(jù)實數(shù)的分類即可解答.

【詳解】解：舊=3,

，病為正整數(shù).

二正整數(shù)為：①⑤；

■---1-2-..1.2

77

.??分?jǐn)?shù)為：④⑥；

無理數(shù)為：②⑦.

故答案為：①⑤；④⑥；②⑦.

【點睛】本題考查了實數(shù)的分類，化簡絕對值和求一個數(shù)的立方根，熟練掌握和運用實數(shù)

的分類是解決本題的關(guān)鍵.

13.將下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi).

-7,0.32,0,般,J-,^125，7T,0.1010010001...

3V2

①有理數(shù)集合｛...｝

②無理數(shù)集合｛...｝

③負(fù)實數(shù)集合｛...）.

【答案】-7,0.32,0,^/125瓜,71,0.1010010001-7

【分析】根據(jù)實數(shù)的分類：實數(shù)分為有理數(shù)、無理數(shù).或者實數(shù)分為正實數(shù)、0、負(fù)實

數(shù).進(jìn)行填空.

【詳解】解：花=20,卜*炳=5,

①有理數(shù)集合｛-7,0.32,1,0,V125.-■.)

②無理數(shù)集合｛*，￡,兀,0.1010010001...,...)

③負(fù)實數(shù)集合｛-7,...｝.

故答案為：-7,0.32,-,0,^25；瓜,J->無，0.1010010001...；-7.

3V2

【點睛】本題考查了實數(shù)的分類.注意0既不是正實數(shù)也不是負(fù)實數(shù)是解題的關(guān)鍵.

14.把下列各數(shù)填入表示它所在的數(shù)集的大括號里：

-21%,+|-6|,+卜^；0,-0-3,0.212212221---,-2017,3.14,萬，-(+4),(-7)2.

負(fù)有理數(shù)集合：｛…｝;

分?jǐn)?shù)集合：｛??):

無理數(shù)集合：｛-?｝;

非負(fù)整數(shù)集合：｛???｝.

【答案】—21%,+1：，一°3，一2。17,-(的)；-21%,-0-3-314；

0.212212221-,萬；+|-6|,o,(-7)2.

【分析】根據(jù)實數(shù)的分類，即可得到答案.

【詳解】解：負(fù)有理數(shù)集合：｛-21%,+[-1],-0.3,-2017,-(M),…｝;

分?jǐn)?shù)集合：｛-21%,+?,-0.3,3.14,-??)；

無理數(shù)集合：｛0.212212221…，乃，…｝;

非負(fù)整數(shù)集合：｛+|-6|,0,(-7))■?)；

故答案為：一21%,+1<]，-0.3,-2017,—(M)；-21%,+1<]，-0.3,3.14；

0.212212221-,萬；+|-6|,0,(-7)2.

【點睛】本題考查了實數(shù)，利用實數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵.

考向三近似數(shù)和科學(xué)記數(shù)法

在用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時，一定要正確確定〃的值.

典例引領(lǐng)

1.華為朋Re60Pro手機(jī)搭載了海思麒麟9000s八核處理器，預(yù)裝華為自主研發(fā)的

操作系統(tǒng)，為全球首款支持衛(wèi)星通話的智能手機(jī).預(yù)計至2024年底，這款

手機(jī)的出貨量將達(dá)到70000000臺.將70000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）

A.7xl08B.70xl06C.7xl07D.0.7xlO8

【答案】C

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，將一個數(shù)表示為axlO”的形式，其中

1〈忖<10,〃為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可得出答案.

【詳解】解：70000000=7xl07,

故選：C.

2.2023年9月23日晚，以"潮起亞細(xì)亞”為主題的杭州亞運會盛大開幕，本次亞運會觀眾

預(yù)計達(dá)到570萬人次（）

A.5.7xlO2B.5.7xlO4C.5.7xlO5D.5.7xlO6

【答案】D

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，將一個數(shù)表示成0X10"的形式，其中

1<|?|<10-〃為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法，據(jù)此即可求得答案，熟練掌握其定

義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：57075=5700000=5.7x10%

故選：D.

3.長城的總長用科學(xué)記數(shù)法表示約為6.7x106米，則它的原數(shù)為（）

A.