2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：雙曲線及其性質(zhì)（十一大題型）（講義）（學(xué)生版+解析）

第06講雙曲線及其性質(zhì)

目錄

01考情透視?目標導(dǎo)航.............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航.............................................................3

03考點突破?題型探究.............................................................4

知識點1：雙曲線的定義..........................................................4

知識點2：雙曲線的方程'圖形及性質(zhì)..............................................4

解題方法總結(jié)....................................................................7

題型一：雙曲線的定義與標準方程..................................................7

題型二：雙曲線方程的充要條件...................................................10

題型三：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題...............................11

題型四：雙曲線上兩點距離的最值問題.............................................13

題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題...........................................14

題型六：離心率的值及取值范圍...................................................16

方向1：利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換...................................................16

方向2：建立關(guān)于a和c的一次或二次方程與不等式.................................17

方向3：利用e=|j,其中2c為焦距長，2°=|阿卜|尸聞..............................18

方向4：坐標法.................................................................18

方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理...............................................19

方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理...............................................20

方向7：利用基本不等式.........................................................21

方向8:利用漸近線的斜率求離心率...............................................22

方向9：利用雙曲線第三定義.....................................................23

方向10:利用對應(yīng)焦點焦半徑的取值范圍［c-a,+8)...................................................................24

題型七：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)問題..............................................25

題型八：利用第一定義求解軌跡...................................................27

題型九：雙曲線的漸近線.........................................................30

題型十：共焦點的橢圓與雙曲線...................................................32

題型十一：雙曲線的實際應(yīng)用.....................................................35

04真題練習(xí)?命題洞見............................................................37

05課本典例?高考素材............................................................38

06易錯分析?答題模板............................................................40

易錯點：雙曲線焦點位置考慮不周全...............................................40

答題模板：求雙曲線的標準方程...................................................40

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

雙曲線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，但從總體上

2024年天津卷第8題，5分

看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低，在

2024年甲卷(理)第5題，5分

(1)雙曲線的定義與標高考中雙曲線的試題以選填題為主，解答題考查

2023年甲卷(文)第8題，5分

準方程雙曲線的可能性不大.在雙曲線的試題中，離不

2023年天津卷第9題，5分

(2)雙曲線的幾何性質(zhì)開漸近線的考查，幾乎所有雙曲線試題均涉及漸

2023年北京卷第12題，5分

近線，因此雙曲線的試題中，最為重要的是三

2023年I卷第16題，5分

點：方程、漸近線、離心率.

復(fù)習(xí)目標：

(1)了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程.

(2)掌握雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).

(3)了解雙曲線的簡單應(yīng)用.

倒2

屈1世屈圖?更雉弘瓦、

雙曲線及其性質(zhì)

------

知識J

知識點1：雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個定點￡,用的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于陽1|）的點的軌跡叫做雙曲線

（這兩個定點叫雙曲線的焦點）.用集合表示為｛⑼周|=2°（0<2°<用磯）｝

注意：（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

（2）當2°=寓閭時，點的軌跡是以耳和耳為端點的兩條射線；當24=0時，點的軌跡是線段耳耳的

垂直平分線.

（3）2a>|耳閭時，點的軌跡不存在.

在應(yīng)用定義和標準方程解題時注意以下兩點：

①條件"閨g|>2a”是否成立；②要先定型（焦點在哪個軸上），再定量（確定"，/的值），注意

。2+〃=，2的應(yīng)用.

【診斷自測】雙曲線:-看=1的左右焦點分別是片與耳,胡是雙曲線左支上的一點，且恢用|=7,則

|5|=（）

A.IB.13C.1或13D.3

知識點2：雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

2222

標準方程/一第=1(。>0,b>0)?…6>0)

圖形

"a

焦點坐標耳(-c,0),F2(C,O)6(0,-c),F2(0,C)

對稱性關(guān)于x,y軸成軸對稱，關(guān)于原點成中心對稱

頂點坐標4（一名0）,4（。,0）4(0,〃)，4(0,-a)

范圍|x|>aea

實軸、虛軸實軸T￡為2。，虛軸長為2b

c

離心率卜

令=Ony=±",人/fa

令———-=0^>y=±—x,

漸近線方程abaa2b2b

焦點到漸近線的距離為b焦點到漸近線的距離為b

>1,點Oo/o）在雙曲線內(nèi)

>1,點（X。,%）在雙曲線內(nèi)

x2y2（含焦點部分）

點和雙曲線-------《（含焦點部分）

a2b2=1,點（X。,九）在雙曲線上--------

的位置關(guān)系a2b2=1,點（%,%）在雙曲線上

<1,點（X。,％）在雙曲線外

<1,點（%,%）在雙曲線外

共焦點的雙2222

,J.=1(a2<k<b')22

22,,2,=1(a<k<b)

曲線方程a+kb-ka+kb-k

共漸近線的22

十…5臺冷…

雙曲線方程

=x

切線方程一號一碧^二l,（x（）/o）為切點^2~~~7Tt(o^o)為切點

abab

對于雙曲線上一點所在的切線方程，只需將雙曲線方程中/換為七X,/換成

切線方程

JV便得?

切點弦所在竽一年山"0）為雙曲線

岑-等=1,（%,%）為雙曲線外一點

直線方程ab

外一點

點（X。,%）為雙曲線與兩漸近線之間的點

設(shè)直線與雙曲線兩交點為4網(wǎng),必），3（馬,先），

2

則弦長|力同=A/1+k?|xj—x2|=

弦長公式

忖-司=’（%+Z）2-4%馬=杏，其中是消"y"后關(guān)于“x”的一元二次方程

\a\

的“%2，，系數(shù).

2b之

通徑通徑（過焦點且垂直于￡￡的弦）是同支中的最短弦，其長為竺

a

雙曲線上一點尸（%,%）與兩焦點耳耳構(gòu)成的KPFE成為焦點三角形，

2b2

設(shè)組PF1=e,\PF\=rx,\PF2\=r2,貝Ucos6=l,

r\r2

yh^（wo）

焦點三角形

c1.?sin。b2|c|%,焦點在X軸上

Sf=2^m9=X-c9bj2=‘a(chǎn)n二品，焦點在例上，

2

焦點三角形中一般要用到的關(guān)系是

[^PF1\-\PF2^=2a（2a>2c）

]閨凡上附「+1時「_2附歸用cosN/PE

等軸雙曲線滿足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線=離心率

等軸雙曲線e=4^o兩漸近線互相垂直=漸近線方程為尸±xo方程可設(shè)為

x2—y2=2（2w0）

【診斷自測】（2024?山東濟南?三模）已知雙曲線G過點/（一加,1）,且與雙曲線。2：/-3/=1有相同的

漸近線，則雙曲線G的標準方程為（

B/*-1

124

c.D.

解題方法總結(jié)

(1)雙曲線的通徑

2

過雙曲線的焦點且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑.通徑長為2生A.

a

(2)點與雙曲線的位置關(guān)系

對于雙曲線］/=1(穌6>0),點尸(七,%)在雙曲線內(nèi)部，等價于可一￡>1.

abab

點尸(X。，%)在雙曲線外部，等價于鳥-條<1結(jié)合線性規(guī)劃的知識點來分析.

ab

(3)雙曲線?？夹再|(zhì)

ab

性質(zhì)1：雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離為常數(shù)6；頂點到兩條漸近線的距離為常數(shù)

性質(zhì)2：雙曲線上的任意點尸到雙曲線。的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)彳；

c

(4)雙曲線焦點三角形面積為三(可以這樣理解，頂點越高，張角越小，分母越小，面積越大)

ta/

2

(5)雙曲線的切線

22

點〃(%,%)在雙曲線與=1(°>0,6>0)上，過點M作雙曲線的切線方程為誓-顰=1.若點

abab

在雙曲線4=1(°>0,6>0)外，則點M對應(yīng)切點弦方程為誓一程=1

abab

題型一：雙曲線的定義與標準方程

【典例1-1】已知片，E是平面內(nèi)兩個不同的定點，則TI即|-|崢||為定值”是“動點M的軌跡是以月,

月為焦點的雙曲線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【典例1-2】（2024?北京門頭溝?一模）已知雙曲線C經(jīng)過點（0,1）,離心率為2,則C的標準方程為（）

v2

A.尤2-J_=iB.—=1

33

,2,2

c.戶上D.--x2=l

3

【方法技巧］

求雙曲線的方程問題，一般有如下兩種解決途徑:

（1）在已知方程類型的前提下，根據(jù)題目中的條件求出方程中的參數(shù)a,b,c,即利用待定系數(shù)法

求方程.

（2）根據(jù)動點軌跡滿足的條件，來確定動點的軌跡為雙曲線，然后求解方程中的參數(shù)，即利用定義

法求方程.

【變式1-1】已知雙曲線中心在原點，一頂點坐標為（0,4）,且漸近線方程為x=±2y,則其標準方程為

()

B.--x2=1

166416

C.X2-^=1D/「I

166416

【變式1-2】化簡方程X-5)2+y2=8的結(jié)果是（）

2222

A___-=\B.土-匕=1

-43916

DY/

C.u.----------1

2516169

22

【變式1-3】雙曲線C：會一方=1（。>0/>0）的兩個焦點為片、F2,點N（/l）在雙曲線。上，且滿足

麗?碧=0,則雙曲線。的標準方程為一.

2222

【變式1-4］（2024?西藏拉薩?二模）已知雙曲線C:2唾=1（。>0/>0）與5-：=1有相同的漸近線，

且直線工-2^-嶼=0過雙曲線61的焦點，則雙曲線C的標準方程為.

22

【變式1-5】若雙曲線。與雙曲線3-工=1有相同的漸近線，且經(jīng)過點（2后,后），則雙曲線。的標準

方程是

【變式1-6】已知雙曲線r：1-<=l（a>0,b>0）,四點/（6,e）、d4,孚;C（5,2）、D（-5,-2）中恰

有三點在：T上，則雙曲線「的標準方程為.

【變式1-7］（202牛江西南昌?一模）已知中心在原點的雙曲線E的離心率為2,右頂點為A,過E的左焦

點F作x軸的垂線/,且/與E交于M,N兩點，若AN九W的面積為9,則E的標準方程為.

【變式1-81（1）若雙曲線過點（3,9近），離心率e=平，則其標準方程為

(2)若雙曲線過點尸(2,-1),漸近線方程是y=±3x,則其標準方程為

22

(3)若雙曲線與雙曲線乙-土=1有共同的漸近線，且經(jīng)過點加(3,-2),則其標準方程為

43

題型二：雙曲線方程的充要條件

22

【典例2-1】雙曲線方程為一+占=1,則無的取值范圍是()

陶一25-K

A.k>5B.2<k<5C.-2<k<2D.一2〈左<2或左>5

22

【典例2-2】(2024?河北石家莊?二模)已知曲線匕=1。”0),貝上加?(0,6)”是“曲線。的焦點在x

6m

軸上”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

條件

【方法技巧】

22

土+匕=1表示橢圓的充要條件為：m>0,n>0,m^n；

mn

工+匕=1表示雙曲線方程的充要條件為：加"<0；

mn

二+廣=1表示圓方程的充要條件為：加=〃>0.

mn

22

【變式2-1】方程^+工=1表示雙曲線的必要不充分條件可以是()

m+3m-\

A.me(-3,1)B.me(-3,-l)u(-l,l)

C.加G(—3,+8)D.me(-3,-1)

【變式2-2]（2024?廣東佛山?二模）已知方程孫+m+幼+尸=0,其中

A>B>C>D>E>F.現(xiàn)有四位同學(xué)對該方程進行了判斷，提出了四個命題：

甲：可以是圓的方程；乙：可以是拋物線的方程；

丙：可以是橢圓的標準方程；?。嚎梢允请p曲線的標準方程.

其中，真命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式2-3]“0<〃<2，堤“方程工+工=1表示雙曲線”的（）

〃+1〃一3

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

題型三：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題

22

【典例3』】⑵24?高三重慶?開學(xué)考試）設(shè)叱為雙曲線土卜1的兩個焦點，點尸是雙曲線上的一點,

且/RPR=90°,則△耳尸區(qū)的面積為.

【典例3-2】已知雙曲線的左右焦點分別為6耳，過片的直線與左支交于48兩點，若|Z月=5,且雙曲

線的實軸長為8,則△/叫的周長為

【方法技巧】

對于題中涉及雙曲線上點到雙曲線兩焦點距離問題常用定義，即||「片|-|「工||=2。，在焦點三角形

面積問題中若已知角，則用5.何=50/訃|尸尸2卜由6，儼片|-|「工||=2口及余弦定理等知識；若未知

角，則用5Ap尸低=Q.2c?1丹卜

fL

【變式3-1】已知雙曲線1-V=1（。＞0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,實軸長為2百，P為雙曲線右支上

a

一點，且滿足|尸印2_1尸印2=4小，貝?。荨魇兜闹荛L為.

22

【變式3-2】已知雙曲線1_一2_=1的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,過用的直線交該雙曲線于點A、B,且

福.麗=0,可+2項=0,則A片的面積為_.

2

【變式3-3】已知不g是雙曲線X?-匕=1的左右焦點，過月的直線/交雙曲線右支于48兩點，不々分別

3一

是片片和△姐片的內(nèi)切圓半徑，則馬的取值范圍是.

【變式3-4］（2024?廣東珠海?一模）已知點P在雙曲線C:片-匕=1上，R,用分別是雙曲線C的左、右

6436

焦點，若△尸石月的面積為45,則歸國+|尸不上—.

22

【變式3-5］（2024?廣西?模擬預(yù)測）已知雙曲線。的方程為土—匕=1,其左右焦點分別為耳，耳，已知

169

西?西逝?西

點尸坐標為（4,2）,雙曲線C上的點。（%,%）（x0>0,為>0）滿足，設(shè)△西鳥的內(nèi)

切圓半徑為z貝什=__，S4F[PQ_SAF^PQ+S/\PF\F2二

題型四：雙曲線上兩點距離的最值問題

22

【典例4-1】（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測）已知。是雙曲線=上任意一點，若。到。的兩

條漸近線的距離之積為。2，則。上的點到焦點距離的最小值為.

22

【典例4-2】雙曲線土-匕=1（機>0/>0）的離心率是2,左右焦點分別為耳后,P為雙曲線左支上一點,

mn

則國的最大值是（）

3

A.-B.2C.3D.4

2

【方法技巧】

利用幾何意義進行轉(zhuǎn)化.

22

【變式4-1】已知雙曲線C：（■啖=1的左焦點為尸，且P是雙曲線上的一點，則附的最小值為

22

【變式4-2］（2024?高三?浙江臺州?期中）已知雙曲線C:=-匕=l（a>0）,尸為左焦點，若。=2,則雙曲

a3

線離心率為；若對于雙曲線。上任意一點尸，線段尸尸長度的最小值為1,則實數(shù)a的值為

【變式4-3】已知片、鳥為雙曲線J-/=i的左、右焦點，尸為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，若

4'

△也月內(nèi)切圓的圓心為/,則圓心/到圓/+3_1)2=1上任意一點的距離的最小值為.

題型五：雙曲線上兩線段的和差最值問題

【典例5-1】若點P是雙曲線C：二-且=1右支上的一點，點A是圓E:/+(y-5『=1上的一點，點3是

169v'

圓尸:(x+5)2+必=1上的一點，則陽|+|尸耳的最小值為

22

【典例5-2】尸是雙曲線之一5=1的右支上一點，M、N分別是圓卜+5『+必=4和(無一5)2+/=1上的

點，則|》叨_|尸'的最大值為()

A.6B.7C.8D.9

【方法技巧】

在解析幾何中，我們會遇到最值問題，這種問題，往往是考察我們定義.求解最值問題的過程中，如

果發(fā)現(xiàn)動點P在圓錐曲線上，要思考并用上圓錐曲線的定義，往往問題能迎刃而解.

【變式5-1】過雙曲線V-5=1的右支上一點P,分別向圓G:(x+W+/=4和圓G:(x-4『+V=1作

切線，切點分別為M，N,則「的最小值為—；此時尸點坐標為一.

【變式5-2】尸是雙曲線C：X-^=1的左焦點，P是C右支上一點，過P作與直線/：4x-3y=0夾角為

45

45。的直線，并與/相交于點。，則2|尸目+后忸。|的最小值為一.

22

【變式5-3］（2024?貴州遵義?模擬預(yù)測）已知雙曲線C：三一2=1的左、右焦點分別為耳，鳥，點/在

1620

雙曲線C的右支上，若3（-1,-2）,則+M國的最小值為.

【變式5-4】已知點河0,2）,點尸是雙曲線C：土仁=1左支上的動點，月為其右焦點，N是圓

916

。:（x+5）z+y2=l的動點,則歸的最小值為

【變式5-51P為雙曲線/-（=1右支上一點，M,N分別是圓卜+盯+必=4和（x-4『+/=l上的點,

貝”尸川日尸川的最大值為.

【變式5-6】已知雙曲線的方程為=1,點與，鳥是其左右焦點，A是圓/+（了-5『=4上的一點,

點M在雙曲線的右支上，則|孫|+］初4|的最小值是.

22

【變式5-7】P是雙曲線亍-3=1的右支上一點，M、N分別是圓（x+3『+r=2和（》-3丫+/=1上的

點，則FM一下川的最大值為.

題型六：離心率的值及取值范圍

方向1:利用雙曲線定義去轉(zhuǎn)換

【典例6-1】已知雙曲線4一/=1（。>0乃>0）的左、右焦點分別為大,鳥，焦距為2c（c>0）.若雙曲線C

右支上存在點P,使得戶閭=4a,且凡兩與=12",則雙曲線C的離心率6=（）.

A.V5B.-C.>/6+1D.A/13

22

【典例6-2】（2024?河南周口?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:0-2=1（。>0/>0）的左、右焦點分別為片，鳥,

ab

/___,___,\

過點不作傾斜角為30。的直線/與C的左、右兩支分別交于點尸，Q,若昌+昌.（京-月0）=0,則

UMIMJ

C的離心率為（）

A.6B.V3C.2D.V5

【變式6-1］（2024?高三?河北邢臺?開學(xué)考試）已知雙曲線M的左、右焦點分別為6月，過點片且與實軸垂

直的直線交雙曲線M于48兩點.若與為等邊三角形，則雙曲線M的離心率為（）

A.V3B.V2C.2D.V3+1

方向2：建立關(guān)于a和c的一次或二次方程與不等式

22

【典例7-1】已知雙曲線C:，-右=1（〃>0/〉0）的右焦點為尸（。,0）,若a,b,。成等比數(shù)列，則C的離

ab

心率為（）

AA/3—1RV5—10V5+1八V3+1

2222

22

【典例7-2】若雙曲線C：十方=l（a>0]>0）的漸近線與圓（x-2y+j?=3沒有公共點，則雙曲線C

的離心率的取值范圍為（）

B.(2,+oo)C.(1,2)

【變式7-1】已知雙曲線C：一衛(wèi)=1（。>0,6>0）的上、下焦點分別為片，F(xiàn)2,尸是C上支上的一點

ab

（不在y軸上），*與x軸交于點/,VR4耳的內(nèi)切圓在邊/片上的切點為8,若|/邳>26,則C的離心

率的取值范圍是（）

A.（1,亨9B.C.（1,-）D.（―,+℃）

方向3：利用e=,，其中2c為焦距長，2a=回|一|明|

【典例8-1】已知耳鳥分別是雙曲線C:1-4=1（4〉0,6>0）的左、右焦點，斜率為a的直線/過耳，交

C的右支于點B,交V軸于點A,且/胡月=//廖，則C的離心率為（）

A.拽B.逋C.V3D.V5

33

22a

【典例8-2】已知雙曲線C:'-a=1（°>0,6>0）的左、右焦點分別為耳,月，過耳斜率為二的直線與C的右

ab4

支交于點P,若線段冏恰被〉軸平分，則C的離心率為（）

A.vB.—C.2D.3

23

22

【變式8-1】己知耳（-c,0）,巴（c,0）分別是雙曲線C三一==1（a>0,b>0）的兩個焦點，尸為雙曲

ab

線c上一點，尸耳，尸E且/尸匕耳=三，那么雙曲線c的離心率為（）

A.手B.百C.2D.73+1

方向4：坐標法

22

【典例9-1】已知雙曲線C:二-與=1（。>0,6>0）的左焦點為￡8為雙曲線C的虛軸的一個端點，直線

ab

EB與雙曲線C交于點尸，若麗=而，則雙曲線C的離心率為.

22

【典例9-2】（2024?四川雅安?三模）設(shè)片，鳥分別為雙曲線。：3-4=1（。＞0力＞0）的左右焦點，過點月的

ab

直線交雙曲線右支于點M,交V軸于點N,且月為線段的中點，并滿足而，麗，則雙曲線。的離

心率為（）

A.B.73+1C.2D.V5+1

2

2

【變式9-1］（2024?安徽?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:尤2一a=1伍＞0）的左焦點為凡過坐標原點。作C的

一條漸近線的垂線/,直線/與C交于43兩點，若尸的面積為拽，則C的離心率為（）.

3

A.3B.VsC.2D.G

方向5：找?guī)缀侮P(guān)系，利用余弦定理

【典例10-1】已知雙曲線C：^-^=1（0＞0,6＞0）的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,。為原點，若以

出閶為直徑的圓與C的漸近線的一個交點為尸，且出刊=百|(zhì)。尸|,則C的離心率為.

22

【典例10-21已知雙曲線C:0-4=l（。＞0,6＞0）的左、右焦點分別是6耳，過點耳的直線與。交于

ab

43兩點，且/BL耳片，現(xiàn)將平面AF；巴沿耳鳥所在直線折起，點A到達點尸處，使面尸片￡，面理月,

若cos/PF/1,則雙曲線C的離心率為.

22

【變式10-1】（2024?高三?湖南?開學(xué)考試）已知片為雙曲線C:\-4=1（。>0,6>0）的左焦點，。為雙曲

ab

22

線C左支上一點，ZOFiQ=^2\QFi\=^a+b,則雙曲線。的離心率為（）

3

22

【變式10-2】已知耳、鳥是雙曲線C:二-2=1（。>0,6>0）的焦點，點尸是雙曲線。上的動點，若

ab

PF\=2PF?,/￡尸笈=60°,則雙曲線。的離心率為一

方向6：找?guī)缀侮P(guān)系，利用正弦定理

22

【典例11-1］（多選題）已知雙曲線C：q一看=l（6>a>0）的左、右焦點分別為耳,巴，雙曲線上存在點尸

ab

（點P不與左、右頂點重合），使得/尸乙￡=3/尸片與，則雙曲線C的離心率的可能取值為（）

A.—B.V3C.—D.2

22

22

【典例11-21已知雙曲線二-方=1（°>0力>0）的左、右焦點分別為用月，M為雙曲線右支上的一點，若

M在以閨閭為直徑的圓上，且,則該雙曲線離心率的取值范圍為（）

A.(1,行]B.["+可C.(1,A/3+1)D.[V2,V3+lj

22

【變式11-1】已知耳、片分別為雙曲線c：「-4=1（。>0）>0）的左、右焦點，。為原點，雙曲線上的

ab

??sin/尸7M_——

點尸滿足I。尸|=6,且一^^=3,則該雙曲線。的離心率為（）

sin^—L.x,ri

A.V2B.—C.2D.73

2

方向7：利用基本不等式

【典例12-1】已知雙曲線。:=-4=1（°>0,6>0）,尸為右焦點，過點歹作功，x軸交雙曲線于第一象限

02b2'J

內(nèi)的點4點8與點4關(guān)于原點對稱，連接BF,當N/3尸取得最大值時，雙曲線的離率為.

22

【典例12-2】在平面直角坐標系xOy中，己知雙曲線1r-方=l（a>0,6>0）的左、右頂點為A、B,若該

雙曲線上存在點P,使得直線P4、尸8的斜率之和為1,則該雙曲線離心率的取值范圍為

【變式12-1］如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐?金筐寶鈿團化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪

天工，是唐朝金銀細作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線。：5-，=1（4>0,6>0）的部

分的旋轉(zhuǎn)體.若該雙曲線上存在點尸，使得直線為，PB（點4,3為雙曲線的左、右頂點）的斜率之和為

4,則該雙曲線離心率的取值范圍為

方向8：利用漸近線的斜率求離心率

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【典例13-1］（2024?四川德陽?模擬預(yù)測）已知雙曲線/：1-4=1（。>0力>0）的焦距為2c,右頂點為力