2025年中考數(shù)學(xué)專項突破：線段周長問題（二次函數(shù)綜合）（含簡單答案）

2025年中考數(shù)學(xué)高頻考點突破一

線段周長問題（二次函數(shù)綜合）

1.如圖，已知拋物線y=^2+c過點（-2,2）,（4,5）,過定點尸（0,2）的直線/：＞=依+2與

拋物線交于A、8兩點，點B在點A的右側(cè)，過點3作x軸的垂線，垂足為C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若R9c的面積為4,求人的值；

（3）當(dāng)點8在拋物線上運動時，判斷線段即與BC的數(shù)量關(guān)系（＞、＜、=）,并證明你的

判斷.

2.己知拋物線'=。0-1）2-3（。*0）的圖象與》軸交于點人、B（A在8的左側(cè)），與〉軸交

于點CQ-2）,頂點為。.

（1）試確定。的值，并直接寫出。點的坐標(biāo).

（2）試在x軸上求一點P,使得的周長取最小值.

（3）若將拋物線向右平移皿，〃＞。）個單位長度，所得新拋物線的頂點記作點A的對應(yīng)

點記作A，與原拋物線的交點記作E,則是否存在一個加的值，使一AZE的面積與一A2D

的面積比為：，且點。、E.?！谕粭l直線上？若存在，請求出"的值；若不存在，請

說明理由.

3.如圖，拋物線y=x2+/u+c過點A(-l,2),且關(guān)于y軸對稱，點C與點B(a,0)(a>1)關(guān)

于原點對稱，直線AC交拋物線于點。.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)連接。4,BD,當(dāng)0A//2。時，求。的值；

(3)若直線AC交拋物線y=](x+l)-于E,尸兩點(點E在點尸的左側(cè))，且EA=OE求直

4.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=加-26-3°(。>0)與％軸交于A,B兩點(點A在點

B的左側(cè))，并只經(jīng)過點。(-2,-2),。(4,一5),磯-3,6)中的一點.

⑴判斷并直接寫出拋物線、=以2-2"-3a(a>0)經(jīng)過C,D,E中的點,并求出a

的值；

(2)點N是x軸上一點，點M是拋物線的頂點，連接是否存在一點N,使得

AE-BM=BE-MN?若存在,求出點N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

(3)點尸(〃〃)是原拋物線上一點，點P在新拋物線y=3比2一14比-21，上，過尸作兀軸的垂線

交原拋物線于點G,交線段石尸于點。，當(dāng)點。為線段E尸上靠近點尸的三等分點時，存在

才的值，使得器的值為定值，求出此時f的值和該定值.

rCr

5.如圖1,拋物線y=-；x?+bx+c與x軸交于點A(4,0),與y軸交于點B(0,4),在x

軸上有一動點D9(m,0)(0<m<4),過點D作x軸的垂線交直線AB于點C,交拋物線于

點E,

(1)直接寫出拋物線和直線AB的函數(shù)表達式.

(2)當(dāng)點C是DE的中點時，求出m的值，并判定四邊形ODEB的形狀(不要求證明).

(3)在(2)的條件下，將線段OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到OD，，旋轉(zhuǎn)角為a((T<a<90。)，

連接D，A、DB,求D，A+'DB的最小值.

2

13

6.如圖，拋物線、=-萬，+萬工+2與x軸交于點A,B,與y軸交于點C.點P是線段BC

上的動點(點P不與B,C重合)，連接并延長AP交拋物線于另一點Q,設(shè)點Q的橫坐標(biāo)

為X.

(1)①寫出點A,B,C的坐標(biāo)：A(),B(),C()；

②求證：△ABC是直角三角形；

(2)記ABCQ的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)表達式；

(3)在點P的運動過程中，岑是否存在最大值？若存在，求出當(dāng)?shù)淖畲笾导包cQ的坐

APAP

標(biāo)；若不存在，請說明理由.

7.如圖，已知二次函數(shù)y=a/+bx+4的圖像與x軸交于A(-2,0),8(4,0)兩點，與y軸交

于點C,拋物線的頂點為。，點P是x軸上方拋物線上的一個動點，過尸作PN，x軸于N,

交直線BC于M.

⑴求二次函數(shù)表達式及頂點D的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)=時，求點P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點”，連接釬交對稱軸于E,連接并延長交對稱軸于產(chǎn),

證明HE+HF的值為定值，并求出這個定值.

8.如圖，已知二次函數(shù)y=/+8+c經(jīng)過4,2兩點，軸于點C,且點A(-1,O),C(4,0),

AC^BC.

⑴求拋物線的解析式；

⑵點E是線段A8上一動點(不與A,B重合)，過點E作無軸的垂線，交拋物線于點-當(dāng)

線段所的長度最大時，求點E的坐標(biāo)及S-F；

(3)點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在這樣的P點，使成為直角三角形？

若存在，求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

9.己知二次函數(shù)y=-x2+4x+m.

(1)如果二次函數(shù)的圖象與X軸有兩個交點，求m的取值范圍；

(2)如圖，二次函數(shù)的圖象過點A(6,0),與y軸交于點B,點p是二次函數(shù)對稱軸上的

一個動點，當(dāng)PB+PA的值最小時，求p的坐標(biāo)

(3)根據(jù)圖象直接寫出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.

10.已知二次函數(shù)y=x?+bx+c,其圖象拋物線交x軸于點A(l,0)、B(3,0),交y軸于點C,

直線/過點C,且交拋物線于另一點E(點E不與點A、B重合).

⑴直接寫出二次函數(shù)的解析式；

(2)若直線〃經(jīng)過拋物線頂點D,交x軸于點F,且則以點C、D、E、F為頂點的四

邊形能否為平行四邊形，若能，求出點E的坐標(biāo)；若不能，請說明理由；

(3)將此拋物線沿著y=2翻折，E為所得新拋物線x軸上方一動點，過E作x軸的垂線，交x

軸于G,交直線y=-：1x-l于點F,求黑FG的最大值.

2小。

1o

如圖，將拋物線叱：了=微一向右平移2個單位長度，再向下平移!?個單位長度后，得到的拋

物線叫,平移后的拋物線也與X軸分別交于A,8兩點，與y軸交于點C.拋物線取的對稱

軸/與拋物線叱交于點。.

(1)請你直接寫出拋物線明的解析式；(寫出頂點式即可)

(2)求出A,8,C三點的坐標(biāo)；

(3)在＞軸上存在一點P,使PB+PD的值最小，求點P的坐標(biāo).

12.已知二次函數(shù)y=-x?+無+加.

(1)如圖，二次函數(shù)的圖象過點A(3,0),與y軸交于點B,求直線A8和二次函數(shù)圖象

的解析式；

(2)在線段AB上有一動點尸(不與A,8兩點重合)，過點尸作無軸的垂線，交拋物線于

點。，是否存在一點P使線段的長有最大值？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請

13.如圖，頂點為A(石，1)的拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點O,與x軸交于點B.

(1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式；

(2)過B作OA的平行線交y軸于點C,交拋物線于點D,求證：△OCD也△OAB；

(3)在x軸上找一點P,使得△PCD的周長最小，求出P點的坐標(biāo).

14.如圖1,二次函數(shù)y=ox2+bx-3的圖象尸交x軸于A,8兩點（點A在點B左側(cè)），交

y軸于點C,且6?=OC=3Q4,直線/：y=履-左一3交圖象P于M,N兩點（點M在點N

左側(cè)）.

圖I圖2

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）已知點D。,—2）,當(dāng)M4〃ND,且M4=ND時，求上的值；

⑶如圖2,設(shè)圖象廠的頂點為尸，線段MN的中點為S,連接SP,求證：不論攵取何值，鼻

MN

的值不變.

15.如圖，拋物線y=；Y-4x+6與x軸交于A,8兩點（A在B的左邊），與y軸交于點C,

連接AC,BC,點。在拋物線上一點.

(2)連接。C,如圖1,若2C平分/ACD,求點。的坐標(biāo).

⑶如圖2,若點。在線段BC的下方拋物線上一點，畫。EL8C于點E.

①求DE的最大值.

②在線段CE上取點F連。/，DF,若NEDE=ZACB,且點C關(guān)于直線。產(chǎn)的對稱點恰

好落在拋物線上，求點。的坐標(biāo)(直接寫出答案).

參考答案：

13

1.(1)y=-x2+l-(2)k=--(3)BF=BC

44

2.(1)々=1；D:(1,—3)(2)V26+V2(3)m=2

3.(1)j7=x2+l；(2)a=2+百；(3)y=2x+4.

4.(1)E,=1

⑵存在，點N的坐標(biāo)為go)或g,oj

⑶存在r=:,假名的定值為:

oJTG2

5.(1)y=-^-x2+x+4；y=-x+4；(2)m=2,四邊形ODEB為矩形；(3)歷

6.(1)①T,0；4,0；0,2.(2)S=-x2+4x；(3)存在，黑的最大值為點Q的坐

標(biāo)為(2,3)

7.(1)二次函數(shù)的表達式為、=-3/+》+4,頂點。的坐標(biāo)為(1,3；

(2)當(dāng)。/0=命3時，點2的坐標(biāo)為(2,4)

(3)這個