2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（十大題型）（練習(xí)）（學(xué)生版+解析）

第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：等差數(shù)列的基本量運(yùn)算...................................................2

題型二：等差數(shù)列的判定與證明...................................................2

題型三：等差數(shù)列的性質(zhì).........................................................3

題型四：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì).................................................3

題型五：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值.................................................4

題型六：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用.....................................................4

題型七：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問題的討論...........................................5

題型八：對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題.........................................6

題型九：利用等差數(shù)列的單調(diào)性求解...............................................7

題型十：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題...........................................7

02重難創(chuàng)新練..................................................................8

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................43

//

題型一：等差數(shù)列的基本量運(yùn)算

1.(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)已知首項(xiàng)%=-6的等差數(shù)列｛4｝中，a；=a3a6,若該數(shù)列的前“項(xiàng)和S“=0,

則”等于()

A.10B.11C.12D.13

2.等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,若85=50,a5=l,則0=()

7

A.-2B.-C.1D.2

3

3.(2024?河北?模擬預(yù)測)已知S“是等差數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，若％=3,醺=25,貝()

A.1B.2C.3D.4

4.(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列｛%｝滿足％+%=M,且%-%=8,則首項(xiàng)/=()

A.1B.2C.3D.4

題型二：等差數(shù)列的判定與證明

5.已知數(shù)列｛4｝滿足：4=1,%=4,all+2=2an+1-an+2.

(1)證明：｛%”-/｝是等差數(shù)歹!I,并求｛見｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)2=?！?與,若數(shù)列也,｝是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

6.數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且4=1,當(dāng)〃22("eN*)時，(〃-+=；(/_〃).

⑴計算：％，。3；

（2）證明，刀|不，為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

7.（2024?高三.山東濟(jì)寧.開學(xué)考試）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝中，S“為｛凡｝的前"項(xiàng)和,

q=2,ga3=S“M+S?.證明：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

8.（2024.高三.山東.開學(xué)考試）記數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S”,己知%=3,"a"+i=2S“+3”.證明：an+2+an=2an+l；

題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)

9.（2024.遼寧撫順.三模）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,，若a“=M+l,%o=21,貝豚=,品=.

10.（2024?陜西?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛4｝中，%+2延=3,則%=.

題型四：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

11.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛%｝和他,｝的前〃項(xiàng)和分別為S“和?；，且爭=，!，則

a3_

瓦=------

12.已知等差數(shù)列｛“,也｝的前"項(xiàng)和分別為\工，且?=樂|，貝=.

13.設(shè)S,是等差數(shù)列｛端的前“項(xiàng)和，S10=16,S]00fo=24,則$0=.

題型五：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

14.(2024.四川南充.三模)設(shè)為S,等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知'、名、S’成等比數(shù)列，邑=2q+2,

當(dāng)6q,-S“取得最大值時，n=()

A.6B.7C.8D.9

15.若｛4｝是等差數(shù)列，s〃表示｛q｝的前〃項(xiàng)和，%+a>°，S9<°，貝iJ｛sj中最小的項(xiàng)是()

A.S&B.S5C.S6D.S7

16.(2024?四川自貢?三模)已知數(shù)列｛4｝的前項(xiàng)和為S,,且S1).

(1)證明：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

⑵若%,a9,與成等比數(shù)列，求S“的最大值.

17.在等差數(shù)列｛4｝中，已知：%=-3,11%=5您.

(1)求數(shù)列｛4｝的公差及通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛??｝的前”項(xiàng)和S”的最小值，并指出此時正整數(shù)"的直

18.記S“為等差數(shù)列｛□"｝的前”項(xiàng)和，已知為=T8,S,=5a6.

(1)求｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵求S”的最小值.

題型六：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

19.(2024?山西?模擬預(yù)測)干支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即：甲、乙、

丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干

支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”

起,比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開

始，即“甲戌”、"乙亥”，之后地支回到“子''重新開始，即“丙子”，…，依此類推.已知2024年是甲辰年，

則2124年為（）

A.丁辰年B.癸未年C.甲午年D.甲申年

20.（2024?湖南?二模）張揚(yáng)的父親經(jīng)營著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5

碼為公差排列成等差數(shù)列.有一天，張揚(yáng)幫助他的父親整理某一型號的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進(jìn)貨，

張揚(yáng)在進(jìn)貨單上標(biāo)記了兩個缺貨尺寸.幾天后，張揚(yáng)的父親詢問那些缺貨尺寸是哪些，但張揚(yáng)無法找到標(biāo)

記缺貨尺寸的進(jìn)貨單，他只記得其中一個尺寸是28.5碼，并且在當(dāng)時將所有有貨尺寸加起來的總和是677

碼.現(xiàn)在問題是，另外一個缺貨尺寸是（）

A.28碼B.29.5碼C.32.5碼D.34碼

21.（2024?四川達(dá)州?一模）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時著名的數(shù)學(xué)著作，其中有物不知數(shù)問題：今有物

不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多

少個，只知道將它們?nèi)齻€三個地數(shù)，會剩下2個；五個五個地數(shù)，會剩下3個；七個七個地數(shù)，也會剩下2

個.這些物品的數(shù)量是多少個？若一個正整數(shù)除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數(shù)由小到大排列，則

前5個數(shù)的和為（）

A.189B.190C.191D.192

22.（2024?高三?上海?開學(xué)考試）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、

乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，亥.天

干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支

由“子”起,例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅”…，以此類推，排列到“癸酉”后，天

干回到“甲''重新開始，即“甲戌”，"乙亥”，然后地支回至廠子''重新開始，即“丙子”…，以此類推.2024年是

甲辰年，高斯出生于1777年，該年是（）

A.丁酉年B.丁戌年C.戊酉年D.戊戌年

題型七：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問題的討論

23.（2024?山東威海?一模）已知數(shù)列｛凡｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記S,為｛4｝的前〃項(xiàng)和，且2s“=?！?+%.

（1）求數(shù)列｛氏｝的通項(xiàng)公式；

（2）記cn=（-1）"anan+l,求數(shù)列｛cj的前〃項(xiàng)和力,.

24.(2024.黑龍江.三模)已知等差數(shù)列｛4｝的公差d>0,4與W的等差中項(xiàng)為5，且44a6=24.

(1)求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式；

%,〃為奇數(shù)，

⑵設(shè)a=，'1，”為偶數(shù)，求數(shù)列也｝的前20項(xiàng)和火

、anan+2

25.(2024?山東.模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，《=%=3且56-53=27,數(shù)列匕｝滿足

[2c,/是偶數(shù)，、幾人

G+i是奇數(shù),‘設(shè)

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式，并證明：〃用=2以-3；

(2)設(shè)乙=an(bn-3),求數(shù)列｛/,｝的前"項(xiàng)和Q,.

題型八：對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題

26.(2024.全國?模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列｛4｝馮=-10,記S,為｛4｝的前/1項(xiàng)和，從下面①②③中再選取

qq

一個作為條件，解決下面問題.①2%+/=0；②Su=-55；③方一點(diǎn)二？.

⑴求S“的最小值；

⑵設(shè)｛同|｝的前耳項(xiàng)和為求務(wù).

27.(2024.湖南.二模)記S”為等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，514+S8=18,的+%=°.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

100

⑵求⑷的值.

k=\

28.（2024?遼寧大連?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，其中%=-10,S6=-42.

（1）求數(shù)列｛4“｝的通項(xiàng)；

⑵求數(shù)列｛|。』｝的前”項(xiàng)和為3,?

題型九：利用等差數(shù)列的單調(diào)性求解

29.（2024?高三?山東淄博?期末）設(shè)S“為等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，貝IJ“對w/zeN*,4什1>%”是

>（”+i）s“”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

30.（2024.吉林白山.模擬預(yù)測）若等差數(shù)列｛凡｝的前"項(xiàng)和為S“，且滿足S4043〉0，S4044<0,對任意正整數(shù)

”,都有同N⑷，則為的值為（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

31.已知S,是等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，且%>0，%+%<°則（）

A.數(shù)列｛4“｝為遞增數(shù)列B.^<0

C.S,的最大值為aD.S14>0

題型十：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題

32.（多選題）（2024?高三.黑龍江哈爾濱?期中）已知S,是等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，且%>0,%+%<0,

則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列B.4<0

”的最大值為S7

c.sD.5I4>0

33.（多選題）公差為d的等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，若S2023<S2021<S2022,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.d>0B.%<0時，"的最小值為2022

C.S,有最大值D.S,〉0時，”的最大值為4043

34.（多選題）已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和S"=/，b,=（-l）"a,a,+i，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和。滿足7；>蘇-2”對

任意aeN*恒成立，則下列命題正確的是（）

2

A.=2/7-1B.當(dāng)場為奇數(shù)時，Tn=-3n+2n-2

2

C.T2n=Sn+4nD.f的取值范圍為（r?,-2）

1.（2024?陜西西安.三模）如圖，用相同的球堆成若干堆“正三棱錐”形的裝飾品，其中第1堆只有1層，且

只有1個球；第2堆有2層4個球，其中第1層有1個球，第2層有3個球；…；第”堆有”層共S“個球，

20

第1層有1個球，第2層有3個球，第3層有6個球，.…已知邑o=154O,則（）

0=1

A.2290B.2540C.2650D.2870

2.（2024廣東東莞?模擬預(yù)測）等差數(shù)列｛q｝和等比數(shù)列出｝都是各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的無窮數(shù)列，且4=伉，出=用,

｛?！埃那啊表?xiàng)和為S"，｛〃｝的前"項(xiàng)和為T,，下列判斷正確的是（）

A.｛%｝是遞增數(shù)列B.｛4｝是遞增數(shù)列

C.Sn>TnD.Sn<Tn

3.（2024?山西陽泉?三模）已知等差數(shù)列｛%｝中，的是函數(shù)/（x）=sin（2x-*）的一個極大值點(diǎn)，則tan（%+a9）

的值為（）

A.當(dāng)B.73C.土幣D.-73

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)a,b,c構(gòu)成公差為1的等差數(shù)列，若abc=2,b<0,則d的取值范

圍為（）

A.卜8,-6）u[括,+8）B.（-oo,-2）u[2,+<?）

C.卜8,-石）。[6,+8）D.（-00,-3）O[3,+00）

5.（2024?浙江?三模）已知等差數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和為S”，“2網(wǎng)=?！笔?S,=邑047一"（"<4047,〃€N）”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2024?青海海西?模擬預(yù)測）前〃項(xiàng)和為S“的等差數(shù)列｛4｝中，若56-其=18,則%=（）

A.6B.7C.8D.9

7.（2024.內(nèi)蒙古呼和浩特二模）已知函數(shù)/（"=3忖-2],公差不為。的等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S.，

若〃％012）=/（%013），則$2024=（）

A.1012B.2024C.3036D.4048

8.（2024?四川攀枝花?三模）數(shù)列｛a.｝的前，項(xiàng)和為S“，4=-1,%,=S“+〃（"l）（〃eN*）,設(shè)2=（-1）%,

則數(shù)列也｝的前51項(xiàng)之和為（）

A.-149B.-49C.49D.149

9.（多選題）（2024.山西呂梁.三模）已知等差數(shù)列加,｝的首項(xiàng)為4,公差為d,前〃項(xiàng)和為S“，若幾<醺<Sg,

則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)〃=8總最大

B.使得S,<0成立的最小自然數(shù)〃=18

C.jflg+a5|>|<210+aH|

D.1區(qū)]中最小項(xiàng)為1

[anJ陽

10.（多選題）（2024?湖南益陽?三模）己知｛4｝是等比數(shù)列，s,是其前〃項(xiàng)和，滿足％=2%+外,則下列

說法正確的有（）

A.若｛%｝是正項(xiàng)數(shù)列，則｛?｝是單調(diào)遞增數(shù)列

B.S“，邑”-5.,53.-52.一定是等比數(shù)列

C.若存在M>0,使同對都成立，則｛|?！眧｝是等差數(shù)列

D.若a,>0,且勾=工，Tn=aca2an,則〃=7時T”取最小值

11.（多選題）（2024.重慶.模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛“〃｝,也〃｝,記？，S〃=4+Z?2+A++2,

J1I71

右于十-二］且勿=則下列說法正確的是（

T

n冊TnTn+l

A.Tn=UB.數(shù)列｛〃〃｝中的最大項(xiàng)為2

D.S<—

n2

12.（2024?浙江紹興.三模）記I,為正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積，已知T?=1,則％=；1必=.

13.（2024.湖北襄陽.模擬預(yù)測）蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān)，如圖為

某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫法如下：在水平直線上收長度為1的線段A3,作一個等邊三角形

ABC,然后以點(diǎn)8為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段C3的延長線于點(diǎn)。（第一段圓?。僖渣c(diǎn)C

為圓心，8為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點(diǎn)E,再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓

弧……以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時，“蚊香”的長度為.

14.（2024?上海?三模）已知兩個等差數(shù)列2,6,10,202和2,8,14,200,將這兩個等差數(shù)列

的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項(xiàng)之和為.

15.（2024.陜西安康.模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和為S“，且$5=45,4+&=26.

（1）求數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式;

（2）若b?=，求數(shù)列也｝的前10項(xiàng)和.

16.（2024.重慶九龍坡.三模）已知S“是等差數(shù)列也,｝的前幾項(xiàng)和，$5=4=20,數(shù)列也｝是公比大于1

的等比數(shù)列，且仄=%，b,-b2=n.

⑴求數(shù)列｛??｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)求使cn取得最大值時n的值.

17.（2024.貴州六盤水.三模）已知｛?｝為等差數(shù)列，且的=3勾，a1+a5+a14=a10+24.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若2".彳3%+/++。“恒成立，求實(shí)數(shù)力的取值范圍.

18.（2024?山東青島?二模）已知數(shù)列｛%｝滿足1+?！?4”+4（weN*）,且《=3.

⑴求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)%=（-2戶，數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為%若色＜-2024,求w的最小值.

19.（2024.黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）己知數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)積為北=3號］，數(shù)列｛〃｝滿足〃=1，

新亞二=1"22,nGN*）.

⑴求數(shù)列｛4｝,凡｝的通項(xiàng)公式；

（2）將數(shù)列｛%｝,｛〃｝中的公共項(xiàng)從小到大排列構(gòu)成新數(shù)列｛%｝,求數(shù)列｛c“｝的通項(xiàng)公式.

20.（2024?浙江紹興.三模）已知函數(shù)"尤）=A/^sinmc+cos7tx（尤eR）的所有正零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列｛。/（九eN*）.

⑴求函數(shù)〃x）的周期和最大值；

（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式凡及前〃項(xiàng)和5?,

①若｛?！ǎc｛4｝均為等差數(shù)列，則M中最多有1個元素;

②若｛%｝與｛4｝均為等比數(shù)列，則M中最多有2個元素；

③若｛%｝為等差數(shù)列，｛￡｝為等比數(shù)列，則M中最多有3個元素；

④若｛%｝為遞增數(shù)列，｛〃｝為遞減數(shù)列，則M中最多有1個元素.

其中正確結(jié)論的序號是.

5.（2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題）記S“為等差數(shù)列｛《｝的前”項(xiàng)和，若4+%=7,3%+%=5,則

6.（2014年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（江西卷））在等差數(shù)列｛%｝中，4=7,公差為d,

前〃項(xiàng)和為S.，當(dāng)且僅當(dāng)”=8時S“取最大值，則d的取值范圍_______.

7.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于祛碼的、

用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列｛?！埃?該數(shù)列

的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且卬=1,%=12,%=192,則%=；數(shù)列｛%｝所有項(xiàng)的

和為.

8.（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記S“為等差數(shù)列｛鞏｝的前〃項(xiàng)和.若2s3=3邑+6,則公差.

9.（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）記S“為等差數(shù)列｛a/的前,項(xiàng)和，已知名=11，兀=40.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛|。,|｝的前幾項(xiàng)和

2

10.（2023年新課標(biāo)全國I卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"，且d>l.令以=匚2,記分

別為數(shù)列｛%｝,｛僅｝的前"項(xiàng)和.

⑴若3a2=3%+。38+4=21,求｛。“｝的通項(xiàng)公式；

（2）若也｝為等差數(shù)列，且%-4=99,求d.

11（2023年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知間為等差數(shù)列，心必…為偶數(shù)’記以「分別為數(shù)

列｛%｝，物“｝的前〃項(xiàng)和，S,=32,4=16.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明:當(dāng)〃>5時,Tn>Sn.

12.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）記S“為數(shù)列｛a“｝的前〃項(xiàng)和.已知&+“=2%+1.

n

⑴證明：｛冊｝是等差數(shù)列；

⑵若。4，%，生成等比數(shù)列，求5“的最小值.

第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：等差數(shù)列的基本量運(yùn)算...................................................2

題型二：等差數(shù)列的判定與證明...................................................2

題型三：等差數(shù)列的性質(zhì).........................................................3

題型四：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì).................................................3

題型五：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值.................................................4

題型六：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用.....................................................4

題型七：關(guān)于等差數(shù)列奇偶項(xiàng)問題的討論...........................................5

題型八：對于含絕對值的等差數(shù)列求和問題.........................................6

題型九：利用等差數(shù)列的單調(diào)性求解...............................................7

題型十：等差數(shù)列中的范圍與恒成立問題...........................................7

02重難創(chuàng)新練..................................................................8

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................43

題型一：等差數(shù)列的基本量運(yùn)算

1.(2024?四川綿陽?模擬預(yù)測)已知首項(xiàng)％=-6的等差數(shù)列｛4｝中，a；=a3a6,若該數(shù)列的前“項(xiàng)和S“=0,

則”等于()

A.10B.11C.12D.13

【答案】D

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為"，因?yàn)?=-6,a-=a3a6,

所以(-6+81)2=(-6+24)(-6+54),解得”=1或4=0,

若d=0,則｛4｝為常數(shù)數(shù)列，則'=-6"力0,不合題意，舍去；

則d=1,由等差數(shù)列前”項(xiàng)和公式得s“=-6〃+佇8二9x1=0,解得〃=13.

故選：D.

2.等差數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和為S“，若S5=S[o，a5=l,則4=()

7

A.-2B.yC.1D.2

【答案】B

【解析】由Si?！?5=/+%+為+%+40=54=0，則4=0,

則等差數(shù)列｛4｝的公差d=忙%=-＜，故4=%-4"=1-4、(-1=(

故選：B.

S

3.(2024?河北?模擬預(yù)測)已知S”是等差數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，若%=3,S5=25,貝()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

Sx4

【解析】由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，得風(fēng)=56+寸4=25,即％+2d=5.

因?yàn)?=3,所以q+d=3,

+2d=5

由〈CLJc，可得ai=l,d=2,

q+d=3

所以a?=l+2（/i-l）=2/1-1,Sn=°+2：T）"=/,

所以，^=*=4.

—a?/—3

故選：D.

4.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛%｝滿足%+%=14,且%-%=8,則首項(xiàng)q=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"，因?yàn)?+%=14,且%-%=8,

%+%=2%+3d=144=1

所以

]a「%=2d=8d=4.

故選：A

題型二：等差數(shù)列的判定與證明

5.己知數(shù)列｛4｝滿足：%=1,%=4,an+2=2an+1-an+2.

(1)證明：｛叫「/｝是等差數(shù)歹并求｛4｝的通項(xiàng)公式；

k

(2)設(shè)2=4+一,若數(shù)列他,｝是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

an

【解析】(1)因?yàn)椤?+2=2為「4+2,所以4+2-%-(%-4)=2%-4+2-2%+4=2為常數(shù),

又%-%=3,所以數(shù)列｛/,「/｝是公差為2,首項(xiàng)為3的等差數(shù)列.

所以ctn+l—an=3+(n—1)x2=2?t+1,

當(dāng)"22時，(a“一?！报DI)+(4T—4—2)++(%—%)=2("—1)+1+2(及—2)++2x1+1,

所以4-q="2-i,又4=1,所以a“=〃2,又〃=1,滿足%=1,

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為?！?耐.

(2)由(1)知〃=/+￡,因?yàn)閿?shù)列也｝是遞增數(shù)列，

n

。2kkk

所以bH+l-bH=(n+1)+(〃+])2一(/+U)=(2〃+1)[1-(〃+])2〃2]>°，對〃eN*恒成立，

得到k<("+1)2/對〃eN*恒成立,所以左<4.

3

6.數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=1,當(dāng)心2（〃wN*）時，（M-l）S?-（n+l）S?_1=1（/7-77）.

⑴計算：％，〃3；

⑵證明為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

【解析】（1）由%=1,—（〃+l）S〃T=3（〃3一小，

令〃=2,得S2—3S]=2,又％=S]=1,所以〃2二4,

令〃=3,得2s3—4§2=8,又S=5,??.。3=9;

（2）因?yàn)楫?dāng)〃之2（九￡N）時，（H—1）S〃+=g（〃3一九），

grpi一鼠_____%一--

所以+仇―1）九一3'

SC11

所以數(shù)列不公為等差數(shù)列，首項(xiàng)為號=9,公差為9,

〃（幾+1〃223

所以J,二工十'（/_1）=+

切以+23V）36，

所以S〃=：〃（"+1）（2H+1），

o

于是，當(dāng)〃22（"eN*）時，

4“=s“-S“T=g〃（〃+l）（2〃+l）-g（〃-1）〃（2〃-1）=〃2,

當(dāng)〃=1時，q=S]=l,滿足上式，

故

7.（2024?高三?山東濟(jì)寧?開學(xué)考試）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝中，S,為｛4｝的前"項(xiàng)和,

o1=2,1<=S?+1+S?.證明：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列；

【解析】在正數(shù)的數(shù)列｛4｝中，1?,；+1=5?+1+S?,當(dāng)“22時，：*=S〃+S,T，

兩式相減得：g（a；+i-片）=a“+i+an,整理得（。向—%）（%+i+%）=2（%+i+〃“），

顯然為+1+為>0,則4+i—凡=2,又;片=82+，=2%+%，即名—2%—8=0,%〉0,

解得〃2=4,有%—q=2,因此〃eN*,an+1-an=2f

所以｛%｝是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

8.（2024.高三.山東?開學(xué)考試）記數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S”,己知%=3,以+1=2Sn+3”.證明：an+2+an=2an+l；

【解析】證明：因?yàn)榻?i=2S“+3",

當(dāng)心2時，=2S"_i+3（“_l）,

兩式相減,得㈣^-("+1)%=3①，則(〃+1)4+2—(〃+2)%+i=3②,

②-①得(?+1)%+2+(〃+1)%=(2〃+2)a.,

所以%+2+a“=2%+G?2).

當(dāng)為=1時,%=2S]+3=2%+3=9,

當(dāng)篦=2時，2%=2s2+6=24+6=30,a3=15.

所以為+〃1=2。2，所以為+2+〃〃=2為+「

題型三：等差數(shù)列的性質(zhì)

9.（2024?遼寧撫順三模）已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,若為=2〃+1嗎0=21,則彳=,'=.

【答案】299

【解析】由%=2"+1,40=21,得104+1=21,解得4=2；

貝|?！?2”+1,顯然｛q｝是等差數(shù)列，所以Sg=9⑷;“9）=9%=9X11=99.

故答案為：2；99

10.（2024?陜西?模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛4｝中，%+2延=3,則％=.

【答案】1

【解析】《+2〃6=%+%+%=3%=3,故%=1.

故答案為：1.

題型四：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

11.（2024.陜西西安.模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列｛%｝和他,｝的前〃項(xiàng)和分別為S“和北，且?=/|，則

a3_

￡=-------

4

【答案】-

【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列｛%｝和也｝的前〃項(xiàng)和分別為Sn和T”,

Sn+3kn(n+3\、

故可設(shè)十二Iz

所以S"=協(xié)("+3),1=bi(n-D,k,0,

所以￡=宗學(xué)1810%8%_4

12k-6k~6k~3,

4

故答案為：—.

3

「、，、-eS”2〃一5a,

12.已知等差數(shù)列⑷,也｝的前〃項(xiàng)和分別為L&且廣=赤與，則清

17

【答案】—

47

S2〃5

【解析】等差數(shù)列｛為｝,｛〃｝的前"項(xiàng)和分別為S,工，且廣=比百，

n(%+4i)

所以巴.=也=幺±包2_Sn2x11-517

11(^+^^~7^~4xll+3~47

42b6bl+bl}

2

17

故答案為：-

13.設(shè)S,是等差數(shù)列｛冊｝的前“項(xiàng)和，S10=16,$00-890=24,則％0=

【答案】200

【解析】依題意，%,S20-S10,S30F，…,Sioo-Sgo依次成等差數(shù)列,

設(shè)該等差數(shù)列的公差為/又*0=16,Sim-S90=24,

Q

因止匕8100—590=24=16+(10—1)d=16+91,解得d=—,

10x9if)xQ8

所以Sioo=lOSio+^-d=lOxl6+-^-Xg=2OO.

故答案為：200

題型五：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值

14.(2024.四川南充.三模)設(shè)為S〃等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知5、$2、區(qū)成等比數(shù)列,$2=2%+2,

當(dāng)6冊-凡取得最大值時，n=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由邑=24+2,得2%+〃=2%+2,解得1=2,

由S]、S?、$4成等比數(shù)列，得(2q+4)2=4(4%+64),解得4=；d=l,

因止匕氏=1+2(〃-1)=2〃一1,Sn==",

則6ati-S”=6(2〃-1)-/=-6尸+30W30,當(dāng)且僅當(dāng)〃=6時取等號,

所以〃=6.

故選：A

15.若｛%｝是等差數(shù)列，S“表示｛%｝的前〃項(xiàng)和，生+4>。4<。，則⑸｝中最小的項(xiàng)是()

A.S4B.S5C.S6D.S]

【答案】B

【解析】因?yàn)樵?9(%；。9)=9%<0,

所以生<。，

因?yàn)槌?必="3+。8>0,所以%>—%>0，

所以公差d=>。，

故當(dāng)aV5時，a?<0,當(dāng)〃26時，o?>0,

所以當(dāng)〃=5時，S”取得最小值，

即｛S“｝中最小的項(xiàng)是S5.

故選：B.

16.(2024?四川自貢.三模)已知數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和為S“，且-1).

(1)證明：數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

⑵若名，。9,%成等比數(shù)列，求S”的最大值.

【解析】(1)數(shù)歹￡%｝滿足Sf7-〃%=；w("—l)①，

當(dāng)〃22時，有S,T-(〃一1)4T=；(〃-1)(〃-2)(2),

①一②可得：51,,—_+(n—l)a?_i=-n(n-1)--(n-l)(n-2),

即(l-n)a?+(n-=g(〃-1)上「(〃-2)],

變形可得4-加=-1(n>2),

故數(shù)列｛風(fēng)｝是以-1為等差的等差數(shù)列；

(2)由(1)可知數(shù)列｛?｝是以-1為等差的等差數(shù)列，

若生,a9,孫成等比數(shù)列，則有片=%xan,

即3-8>=(q-4)(0,-10),解得q=12,

所以?！?%+(幾_l)d=13—〃，

所以｛“〃｝單調(diào)遞減，又當(dāng)1<八<13時，”〃>0,當(dāng)〃=13時，?！?。，當(dāng)〃>13時，

故當(dāng)〃=12或13時，S〃取得最大值，

且(S).*="=品=12X+X(-1)=78.

17.在等差數(shù)列｛%,｝中，已知：4=-3,1la5=5as.

⑴求數(shù)列｛??)的公差及通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S”的最小值，并指出此時正整數(shù)〃的值.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,

由11%=54n1l(〃i+4d)=5(%+7J)=>6ax=-9d,

Q%=-3,

:.d=2,

所以等差數(shù)列的公差為2,通項(xiàng)公式。〃=-3+2(〃-1)=2〃-5.

(2)因?yàn)?。i=—3,d=2,

所以=〃％+gn(n-V)d=n2-4H=(n-2)2-4,

當(dāng)〃=2時，S〃有最小值T,此時正整數(shù)〃的值為2.

18.記S“為等差數(shù)列｛?｝的前"項(xiàng)和，已知名=-18,S2=5a6.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵求5的最小值.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

q+2d——18

由。3=—18,=5〃6,可得解得q=-24,J=3,

2%+d=5(6+5d)

所以數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式為a“=q+(〃T)d=3〃—27.

(2)由(1)知d=3,可得數(shù)列｛?｝為遞增數(shù)列，且。9=3x9-27=0,

所以當(dāng)1工〃(8,幾￡?4*時，。〃<。；當(dāng)〃=9時，〃9=0；當(dāng)〃210,〃EN*時，?！?gt;。,

所以，當(dāng)及=8或9時，S“取得最小值，即S8=R=9(q詈)=708,

所以52-108,故以的最小值為-108.

題型六：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

19.（2024?山西.模擬預(yù)測）干支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，十天干即：甲、乙、

丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干

支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”

起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開

始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始,即“丙子”，…,依此類推.已知2024年是甲辰年，

則2124年為（）

A.丁辰年B.癸未年C.甲午年D,甲申年

【答案】D

【解析】天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，

由于2124—2024=100,故100年后天干為甲，

由于100+12=84,余數(shù)為4,故100年后地支為“辰”后面第四個，即“申”，

所以2124年為甲申年.

故選：D

20.（2024?湖南?二模）張揚(yáng)的父親經(jīng)營著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5

碼為公差排列成等差數(shù)列.有一天，張揚(yáng)幫助他的父親整理某一型號的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進(jìn)貨，

張揚(yáng)在進(jìn)貨單上標(biāo)記了兩個缺貨尺寸.幾天后，張揚(yáng)的父親詢問那些缺貨尺寸是哪些，但張揚(yáng)無法找到標(biāo)

記缺貨尺寸的進(jìn)貨單，他只記得其中一個尺寸是28.5碼，并且在當(dāng)時將所有有貨尺寸加起來的總和是677

碼.現(xiàn)在問題是，另外一個缺貨尺寸是（）

A.28碼B.29.5碼C.32.5碼D.34碼

【答案】C

【解析】設(shè)第一個尺碼為q,公差為d,

則q=25,d=0.5,

貝=25+（n-1）x0.5=0.5n+24.5,

當(dāng)=0.5〃+24.5=36.5時，n=24,

故若不缺碼，所有尺寸加起來的總和為

（a,+）x24…

S=U