2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似、全等三角形問(wèn)題

動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似、全等三角形問(wèn)題

一階方法突破練

相似三角形問(wèn)題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,A(-3,0),B(3,0),C(0,4),點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)△ABC-△4CD時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

V

C

A0]ffx

第1題圖

4

-X

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y3+8與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

(-4,0),點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若以A,P,C為頂點(diǎn)的三角形與△40B相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

第2題圖

3.如圖，拋物線y=-12+|久+2交x軸于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M

作MN1x軸于點(diǎn)N.若△MON與△BOC相似，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).

第3題圖

?全等三角形問(wèn)題

4.如圖直線y="+2與x軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，直線AC1于點(diǎn)A,若點(diǎn)D是x軸上方直線AC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BOA=A4ED時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

第4題圖

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/+2“+3與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)C是第

一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作（CD1x軸于點(diǎn)D,直線y=x與CD所在直線交于y=x點(diǎn)E,若直線:y=%；上

存在一點(diǎn)F，使得△ODE=△FCE,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

第5題圖

6如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-/—2x+3與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)

C,連接AC,BC,若在第二象限內(nèi)存在一點(diǎn)D，使得以A,C,D為頂點(diǎn)的三角形與△力BC全等，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

第6題圖

二階設(shè)問(wèn)進(jìn)階練

例如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=丘+11與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C的拋物線y=

江2_|x+1與直線AC交于點(diǎn)B(4,3).

⑴已知點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)0重合)，連接CP,若△AOC-△ACP,,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

例題圖①

(2)已知點(diǎn)Q(m,O)是x軸上一點(diǎn)，連接BQ,若以點(diǎn)A,B.Q為頂點(diǎn)的三角形與△40C相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

例題圖②

⑶已知點(diǎn)E(O,n)為y軸正半軸上一點(diǎn)點(diǎn)D(O--1),,若以點(diǎn)B,C,E為頂點(diǎn)的三角形與△4CD相似，求點(diǎn)E

的坐標(biāo)；

例題圖③

⑷若點(diǎn)F是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FG1y軸于點(diǎn)G,點(diǎn)J是y軸上一點(diǎn)，要使以F,G,J為頂點(diǎn)的三角形與

△。力C全等，求點(diǎn)F的縱坐標(biāo)；

例題圖④

⑸若點(diǎn)s為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)S作ST1久軸于點(diǎn)T,點(diǎn)Z是X軸上一點(diǎn)，要使以S,T,Z為頂

點(diǎn)的三角形與△40C全等，求點(diǎn)Z的坐標(biāo)；

例題圖⑤

⑹如圖⑥，已知L為A0的中點(diǎn)，連接0B,點(diǎn)R為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)R，使得以L,0,

R為頂點(diǎn)的三角形與△COB全等?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例題圖⑥

綜合強(qiáng)化練

I.創(chuàng)新題?閱讀理解題定義：將拋物線y=aY向右平移h個(gè)單位，再向上平移k個(gè)單位得到拋物線y=?(%

-a+k(h,k均大于0),則將拋物線y=口必稱為“原函數(shù)"把由它平移得到的拋物線y=a(x-hY+k稱為拋物

線、=af的“衍生函數(shù)，，，將平移路徑稱為“衍生路徑"平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離77?”稱“衍生距離”.如圖，

已知拋物線Ly=-+2%與x軸交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為B,連接AB,OB.

⑴若拋物線y=-12為拋物線L的“原函數(shù)，，則拋物線L的“衍生路徑，為平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的“衍生

距離”為—；

(2)若點(diǎn)Q是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，連接CQ,點(diǎn)B關(guān)于線段CQ的對(duì)稱點(diǎn)為B，當(dāng)△B工。為等

邊三角形時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；

⑶若將拋物線L作為“原函數(shù)”，將其向左平移九(九)0))個(gè)單位得到它的“衍生函數(shù)”U,口與x軸的負(fù)半軸交于

點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)P為拋物線L上一點(diǎn)，若APOE=AP。，求兩拋物線的“衍生距離”.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=a/+bx-2與x軸交于A(l,0),B(-3,0))兩點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)

C,連接AC.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，PQ1x軸于點(diǎn)Q,M是x軸上的點(diǎn)，當(dāng)以P,Q,M為頂點(diǎn)的三角

形與△40C全等時(shí)，求P點(diǎn)與M點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖②，連接BC.過(guò)點(diǎn)A作.力0|BC交拋物線于點(diǎn)D,E為BC下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE,交線段B

C于點(diǎn)F,連接CE,AF,求四邊形ACEF面積的最大值.

作圖區(qū)答題區(qū)

圖②

第2題圖

備用圖

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-V3x+百的圖象分別與x軸，y軸交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的

另一直線交x軸于點(diǎn)(C(-3,0).

(1)求直線BC的解析式；

(2)創(chuàng)新題?動(dòng)點(diǎn)求面積關(guān)系若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CA運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行

線交直線BC于點(diǎn)Q,連接BP.設(shè)ABPQ的面積為S,點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自

變量t的取值范圍；

(3)在直線BC上是否存在點(diǎn)M，使得以A,B,M為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

作圖區(qū)答題區(qū)

4.創(chuàng)新題?閱讀理解題定義：若拋物線y=ax2+bx+c(ac豐0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.線

段OAQBQC的長(zhǎng)滿足OC2=OA?OB,則這樣的拋物線稱為“黃金拋物線”.如圖，“黃金拋物線y=ax2+bx+2g

豐0)與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A,與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,且。4=4OB.

⑴求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD14c于點(diǎn)D.

①求PD的最大值；

②連接PC,當(dāng)以點(diǎn)P,C,D為頂點(diǎn)的三角形與△力C。相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

作圖區(qū)答題區(qū)

第4題圖

備用圖①

備用圖②

5.如圖①,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-久+4與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A,B,拋物線y=ax2+

bx+c(aW0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,(C(-2-0).

⑴求拋物線的解析式；

(2)連接BC,點(diǎn)P為直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE||BC交AB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)P作

PF||x軸交直線AB于點(diǎn)F,求△PEF周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖②，將拋物線向右平移2個(gè)單位得到一個(gè)新的拋物線歹,，新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)

G,連接BG并延長(zhǎng)交新拋物線y，于點(diǎn)D,連接OG，作射線OD.動(dòng)點(diǎn)M位于射線OD下方的新

拋物線上，動(dòng)點(diǎn)N位于射線OD上，是否存在動(dòng)點(diǎn)M,N,使乙0MN=90。,,且以點(diǎn)O,M,N為頂

點(diǎn)的三角形與△OBG相似?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

作圖區(qū)答題區(qū)

圖①

綜上所述X點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為三

一階方法突破練

1.解:,.A(-3,0),B(3,0),C(0,4),

.-.AB=6,AC=5.

AABJAACD,

—=優(yōu)即-=工解得AD=

ACAD5AD6

由題意得，點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，

7

???OA=3,??.OD=AD-0A=

6

,點(diǎn)D的坐標(biāo)為弓，0).

2.解:在y=-梟+8中，令x=0,解得y=8,令y=0,解得x=6,，A(6,0),B(0,8),，4B=V62+82=10.分兩種情況

考慮，如解圖所示，

①當(dāng)AAOBSAACPI時(shí)zACPi=ZAOB=90°

當(dāng)x=-4時(shí)y=—1久+8=?

，點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(-4,三)；

②當(dāng)AAOBSAAP2c時(shí)，設(shè)點(diǎn)

P2的坐標(biāo)為(m，+8).

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-4,0),

..AC=10.

△AOB'-AAP2C/

，絲二些即也=u

??BO48網(wǎng)810'____________________________________________

2

CP2=8,.-.J[m-(-4)]++8-0)=8,整理，得(|zn-4)=0,解得m1=m2-y,

.,點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(y-y).

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4與或

2

3.解:在y=—jx+1%+2中，令x=0彳導(dǎo)y=2r.C(0/2)//.OC=2,

令-1X2+|X+2=0,解得x=4或x=-l,

???點(diǎn)B在x軸正半軸,.?.B(4Q),「QB=4.

設(shè)時(shí)(￡,_衿+|t+2),lN(t,0),

MN=--1t2r+3-t+2,0N=t.

22

分兩種情況討論：

①當(dāng)ABOC-MNO時(shí)，*=券

即也―!_

t-1t2+|t+2，

-1+V17_ix4-1-V17

解得t=丁或"(舍去);

2

②當(dāng)斗臚ONM時(shí)，器=器，艮2_4

-登+法+2t'

解博咨1|4班或t=1-___).

或1+逐

4.角蕈沒(méi)鼐懶」AC±AB,.-.zBAC=zAOB=90°,

zABO+zBAO=zCAE+zBAO=90°,

.,.zABO=zCAE,

在y=[x+2中，

令x=0,則y=2,令y=0,則x=-4,

...OA=4,OB=2,

?.ABOA^AED,.-.AE=OB=2,.-.OE=AE+OA=6,

.-.E(-6,0).

5.解:CD，x軸，直線y=x與CD交于點(diǎn)E,/.zOED=zEOD=45°,OD=DE,

設(shè)D(m,O),

如解圖,當(dāng)點(diǎn)C在直線y=x上方時(shí),AODE?FCE,

.?.zODE=zFCE=90o,ED=CE,/.C(m,2m),WC點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得2m=—m2+2m+3,解得m=

遍或m=-遮(舍去)

??C(V3,2V3),

當(dāng)點(diǎn)C在直線y=x下方時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)C.

綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(百，2V3).第5題解圖

6.解：：拋物線y=-運(yùn)-2x+3與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,

，令x=0,解得y=3,令y=0,解得x=l或x=-3,

，C(0,3),A(-3,0),BQ,0),「QA=OC=3,OB=1.如解圖，分兩種情況討論：

①當(dāng)ACDIA學(xué)ABC時(shí)，

■.OA=OC=3,/.zCAO=45°,

..,△CDiA學(xué)ABC,

???zACDi=ZCAO=45°

CDiWAB,CDi=28=4,

，D(4,3);

②當(dāng)AADZC2AABC時(shí)，

ZBAC=ZCAD2=45°,AB=AD2=4,

.?.ZD2AB=90°,.-.D2(-3,4),

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-4,3)或(-3,4).

二階設(shè)問(wèn)進(jìn)階練

例解：(1)；直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,3)〃?.將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線AC的解析式，得3=4k+l,解得k=[,

，直線AC的解析式為y=|x+1,在y=六+1中，令y=0,解得x=-2,

.??點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),

.-.AO=2,CO=1,

???AC=yjAO2+CO2=V22+I2=V5.

如解圖①，設(shè)點(diǎn)P(p,0),連接CP,.-.PA=p+2.

---AAOOAACP,

—=—,BP-=-,解得P=-,

AOAC2乃ebv2

二點(diǎn)p的坐標(biāo)為((|,o)；

(2)如解圖②，分兩種情況討論：

7

<4o|\y(?,Q；X

例題解圖②

①AAOJAQIB時(shí)/AQIB=NAOC=90。,

???BQjx軸.

.B(4,3),

，點(diǎn)Qi的坐標(biāo)為(4,0);

②AAOJAABQZ時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BQz^AB,交x軸于點(diǎn)Q?廁點(diǎn)Q2(m,0),

AOac日口2

-布-而嚴(yán)」耗-m+2'

解得m=鄭匕時(shí)點(diǎn)Qz的坐標(biāo)為60).

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,0)或管，0);

(3)/A(-2,0),C(0,l),B(4,3),D(0,-l),E(0,n),AC=AD=V5,FC=2低CO=2,CE=\n-1|

，分兩種情況討論：

①當(dāng)AACDiBCE時(shí),冬=器

即噂=咎解得n=5或n=-3(舍去)；

②當(dāng)AACDSAECB時(shí)，

爺=黑，即離=親解得n=6或n=-4(舍去)

ECBC|n-1|2V5

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,5)或(0,6);

(4)：A(-2,0),C(0,1),.QA=2,OC=1,分兩種情況討論:

①AOAC9GJF時(shí)，

.QC=FG=L??.點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1或-1,

將點(diǎn)F的橫坐標(biāo)代入y=|%2-|x+1,

解得y=-|或)/=?；

②AOAC學(xué)GFJ時(shí)，

..0A=FG=2,.?點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為2或-2,將點(diǎn)F的橫坐標(biāo)代入y=#-7+1,解得y=-l或y=9,

，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為一:或?或-1或9;

44

(5)/OA=2,OC=l,

分兩種情況討論：

①如解圖③，當(dāng)AAOC2ASTZ時(shí),ST=AO=2,OC=TZ=L，ys=2,

在y=#_|刀+1中，令y=2彳導(dǎo)jx2-|x+1=2,

5+V37.

解得x=—?或%=弓亙舍去),(1

3

^5+737

???S(0.7(4)，

、3

.?"(手，0)或(手，01

例題解圖

②如解圖④，當(dāng)AAOCMAZTS時(shí),ST=CO=l,AO=TZ=2,.?.ys=L

在y=_|刀+1中，令y=L得|*2+1=1,解得x=5或X=0(舍去),

???5仁，1),7管，0),."&0)或售，0)，

.?點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(三，0)或(警°)或0°)或((冬°)；

⑹存在.

?-B(4,3),

???OB=J(4-0尸+(3-0尸=5,

，在ACOB中,(CO=1,BC=2Vs,OB=5

.二L為AO的中點(diǎn)OA=2,CO=1,

.-.LO=CO=1,L(-1,0),

設(shè)R點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

貝(ILR2=(%+1)2+y2,0R2=x2+y2,

?；LO=C。,如解圖⑤，分兩種情況討論:

①當(dāng)ALOR2ACOB時(shí),RL=BC,OR=OB.

+I)2+y2=20鏟彳口儼1=-3(x=-3

"tx2+y2=25'解=lyi=41、2=—4'

即R點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,4)或(-3,-4);

②當(dāng)AOLR2ACOB時(shí),RL=OB,OR=CB.

.((x+I)?+必=25鏟汨儼3=2(x=2

224

"Ix+y=20廨付ly3=4'b4=—4'

即R點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)或(2,-4).

二綜上所述,R點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,4)或(-3,-4)或(2,4)或(2,-4).

例題解圖⑤

三階綜合強(qiáng)化練

1.解：Q）將原函數(shù)向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，2V2；【解法提示】「y=-1/+2x=

~l（x-2）2+2,.將原函數(shù)y=-打2向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位即可得到y(tǒng)=-|x2+2x,根據(jù)公式

得"衍生距離"為=V8=2V2.

（2）【思路點(diǎn)撥】審題后，根據(jù)題意畫出草圖，由AAOB的三邊關(guān)系可判定AAOB為等腰直角三角形，由對(duì)稱

性和等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)求解即可.

根據(jù)題意畫出圖象，如解圖①，

在y=—|x2+2久中，

令y=0,解得x=0或x=4,；.A(4,0).

B為拋物線L的頂點(diǎn)，

.-.B(2,2),.\OB=BA=2A/2.

VC是OB的中點(diǎn)，[OC=BC=V2.

?■-AOB'C為等邊三角形"?.NOCB'=60°.

又1?點(diǎn)B與點(diǎn)B'關(guān)于線段CQ對(duì)稱，

,?.zB'CQ=zBCQ=60°.

???OA=4,0B=2y[2,AB=2A/2,

OB2+AB2=OA2,：.NOBA=90°

在RMCBQ^,zCBQ=90°,zBCQ=60°,BC=V2,

???cosNBCQ=—BC=—y[2=-1

yCQCQ2

CQ=2V2;

y

B

-0Q

第1題解圖①

(3)【思路點(diǎn)撥】由全等三角形對(duì)應(yīng)邊角關(guān)系可得OD=OE/POD=NPOE,由線段相等關(guān)系結(jié)合拋物線與坐標(biāo)

軸交點(diǎn)，列方程求解即可.

???將拋物線L作為"原函數(shù)"，將其向左平移n個(gè)單位得到它的"衍生函數(shù)"L，(n>0),L:y=-3(x-2)2+2,

-?■L:y=—|(x—2+n)2+2,

???拋物線L的"衍生函數(shù)"L'與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)D,

，令x=(X得y=—|n2+2n,令y=0,得x=-n或x=4-n,

■1.OD=\—|n2+2n|,OE:=n或OE=4-n,

,.,△POE^APOD,.,.OD=OE,

如解圖②，當(dāng)-72+2n>0,即0<n<4時(shí)，有-|n2+2n=n,解得n=0(舍去)或n=2,或有-jn2+2n=4-n,

解得n=4倍去)或n=2,

拋物線L的"衍生函數(shù)"L為y=-#+2,

圖②圖③

第1題解圖

如解圖③，當(dāng)-'2+2n<0時(shí)，即n<0（不符合題意）或n>4時(shí),4-n<0〃?有|n2-2n=上解得n=0（舍去）或

n=6,

二兩拋物線的“衍生距離"為依不取=6,綜上所述，兩拋物線的“衍生距離”為2或6.

'_2

2a+a

2.解:⑴把A（l,0）,B（-3,0）代入y=ax+bx-2中相｛Q?=。解得\-j

19?！?D—2=0b=-

24

22

-%+-X-

,拋物線的解析式為V33

（2）【思路點(diǎn)撥】?.以P,Q,M為頂點(diǎn)的三角形與AAOC全等，由于NAOC=NPQM=90°,故分兩種情況①WQ

M斗AOC,②△MQP2Aoe，分別求解即可.

在y=|%2+“-2中，令x=0廁y=-2,

.?.C（0,-2）,.-.OC=2,

■.A（1,0）,.-.OA=1,

設(shè)P（W%2+

分兩種情況討論：

①如解圖①，當(dāng)APQM當(dāng)AOC時(shí),PQ=OA=1,QM=OC=2,

2

-3x+3-x—2=1,

解得X=—合一1或%=苧—1（舍去），

.,?。（一號(hào)-1，1），;《（一第-1，。），

第2題解困

②如解圖②，當(dāng)AMQP當(dāng)AOC時(shí),PQ=OC=2,QM=OA=1,

-x2+-x—2=2,

33

解得X=—夕―1或％=夕—1（舍去），

P（一夕-1'2）,???Q（-V7-1'0）,

M（-巾-2,0）或M（-V7-0）,

綜上所述，點(diǎn)P,M的坐標(biāo)為:P（-苧-1，1）,“（與-3,0）或M（-等+l，0）;P（-V7-l，2）,M

（一夕—2,0）或M（一夕，0）;

（3）【思路點(diǎn)撥】分別求出BC,AD的解析式確定點(diǎn)D坐標(biāo)，連接DC,將四邊形ACEF的面積轉(zhuǎn)化為^DEC

的面積，表示出面積關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值.

?.B（-3,0）,C（0,-2）,

直線BC的解析式為y=—|x—2,

'.ADIIBC,，設(shè)直線AD的解析式為y=-"+%將AQQ）代入得b2=|,

.,直線AD的解析式為y=-|x+|,

令--x+-=-x2+-x—2,

3333

解得x=-4或x=l(舍去)，

.皿―4號(hào))，

如解圖③，連接DC,

?.ADllBC,第2題解圖③

，?SAFC=SDFC，

,?S四邊形ACEF-'DEC'

-D(-4,號(hào),C(0,-2),

4

2

-X-

二直線DC的解析式為y3

過(guò)點(diǎn)E作EQJ_X軸交CD于點(diǎn)Q

設(shè)E(m)|m2+—2)貝?。軶(nr—(m—2),

'圓錐側(cè)ACEF—'DEC

1/42o4\

=-x4x——m—2——mz——m+2

2\3337

=--(m2+4m)

=(—+2)2+p

--<0,

3

???當(dāng)m=-2時(shí),四邊形ACEF面積的最大值為y.

3.解:⑴:一次函數(shù)y=-V3x+百的圖象經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)，二當(dāng)x=0時(shí),y=V3,/.B(0,V3),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k/O),將B(0,百),C(-3,0)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入

k=*

得L二2。'解得

b=有

..直線BC的解析式為y=gx+百;

⑵由題意可得CP=t，則OP=|t-3|,，P(t-3,0)”PQliyffl,

」.Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t-3,將x=t-3,代入直線BC的解析式得y=Q(t-3,生)

當(dāng)04t<3時(shí),ABPQ在y軸左側(cè)，此時(shí)PQ=^t,0P=3-t,

2

.-.SBP(3=|PQ-OP=|x^tx(3-t)=-^t+^t.

當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)B,Q重合，

.,.s=o；

當(dāng)t>3時(shí),ABPQ在y軸右側(cè)，此時(shí)PQ=^-t,OP=t-3,

???SBPQ=|PQ.OP=|xftx(t—3)=9產(chǎn)一生

當(dāng)t=3時(shí)同樣滿足上式.

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為

停產(chǎn)+*（ovt<3）

[小2一生（t23）'

⑶存在.

??.tan/OBC="=2=百,；.NOBC=60。，

0By[3

/.zBCO=30°z/.BC=2OB=2V3.

令y=—V3x+V3=。，則x=l〃.A（L。），

???tan^OBA=—==—,??-NOBA=30°,

OBW3

.?.zABC=90°,AB=2OA=2.

①當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè),AMBASAAOB時(shí)廁翳=怒臥與=磊,；.MB=當(dāng),

AUUD1VoD

如解圖，過(guò)點(diǎn)Mi作MiH^y軸于點(diǎn)H,

M]H=MrB-sin60°=手x￥=1,

BH=M±B-cos60。=迪x(chóng)工=￡

1323

WO=BO-BH=V3--=-.

33

?.點(diǎn)M在第二象限,Mi（-1，竽）；

當(dāng)AABMSAAOB時(shí)，則器=梟，

即詈=BM=28,此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，

”2（-3,0）；

②當(dāng)點(diǎn)M在y軸右側(cè),AMBASAAOB時(shí)廁翳=焉即第=高；.MB=粵,

AUUD1VoD

如解圖，過(guò)點(diǎn)M3作M3N±y軸于點(diǎn)N,

AM3N=M3B-sin60°=乎x/=1,

BN=MB-cos600=—x-=—,

3323

.?.。村=舊+日=竽,；.“3（1，竽）；

當(dāng)AABM'AAOB時(shí)廁器=笫

即瑞=（，.?.MB=2代

如解圖，過(guò)點(diǎn)IVU作M4P±y軸于點(diǎn)P,

第3題解圖

PM4=M4B-sin60°=2V3x/=3,

PB=M4B-cos60°=2A/3x-=y/3,

OP=OB+PB=43+43=2V3,

.-?M4(3<2V3).

綜上所述，符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1，甯或(-3,0)或(1，竽)或(3,2V3).

4.解:⑴由題意得,0C2=0A-OB,

拋物線y=ax2+bx+2與y軸交于點(diǎn)C,

，C(0,2)/QC=2,

■.OA=4OB,.-.4=4OB-OB,

.QB=LOA=4,

.-.A(-4,0),B(l,0),

16a2

將點(diǎn)A(-4,0),B(l,0)代入拋物線y=2+bx+2中得[7^t=。解得"?

Ia+D+2=0b=—

I2

二拋物線的解析式為y=|x2-|x+2；

(2)①【思路點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線與直線AC交于點(diǎn)E,NPED=NACO,由銳角三角函數(shù)將求PD的最大

值轉(zhuǎn)化為求PE的最大值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

如解圖①，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交直線AC于點(diǎn)E,

易知直線AC的解析式為y=^x+2,

設(shè)P(m>—|—|M+2),貝[]E(m'|m+2^,

_|2_|_|__|2_

...p￡=mm+2m2=m2m/

-1<。,..當(dāng)m=-^=-2時(shí),PE有最大值，p/2^[c

?.zPED=zACO,A(-4,0),C(0,2),.

cueAE0\Bx

smzPED=smzACO,\'

L第4題解圖①

AC=2V5,

.?.PD:PE=AO:AC=4:2V5,

上當(dāng)m=-2時(shí),PD有最大值，最大值為誓；

②【思路點(diǎn)撥】分兩種情況.("CPDiACO面對(duì)應(yīng)角相等關(guān)系可得,PCIIAO,將0<=2=丫代入即可,(i"PCDs

△ACO,構(gòu)造"A"字型與△PCD相似的三角形，再構(gòu)造"一線三垂直"模型，聯(lián)立直線與拋物線的解析式求解即

可.

-.PD±AC,.-.zPDC=90°=zAOC,

，當(dāng)以點(diǎn)P,C,D為頂點(diǎn)的三角形與AACO相似時(shí)，則ACPD-AACO或APCD-AACO,

(i)如解圖②，若ACPD-AACO,則NPCD=NCAO,R.CP"AO,

?.C(0,2)〃?.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2,

1?點(diǎn)P為AC上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，

1231c

???2n=————x+2,

22

解得Xi=。(不合題意，舍去)，X2=一3,

???此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,2);

G,

圖②圖③

第4題解圖

(ii)如解圖③，過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線，交CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GH±x軸于點(diǎn)H,若APCD-乂(20,貝!]

NPCD=^ACO,—=—,

AOCO

,_P_O—_4_0_——4—c/

''CD~CO~2~，

???PD_LAC,GA_LAC,「.GAHPD,

.,.△GAOWDC,

GA_AC.GZ_PQ_

??PD~DC'''AC~CD~'

-.GA±AC,GH±x?,

.?.zGAC=zGHA=90°,

.■.zAGH+zGAH=90°,zGAH+zCAO=90°,

.-.zAGH=zCA0,

X-.ZGHA=ZAOC=90°,/.AGHA-AAOC,

.GH_AH_GABnGH—AH—2

"AO-CO_4c網(wǎng)4-2-'

.-.GH=8,AH=4,.-.HO=AH+OA=8,.-.G(-8,8),

易知直線CG的解析式為y=-1x+2,

令一|久+2=-1x2-|x+2,

解得Xi-。(不合題意，舍去)，x2=-1,

把久=一|代入y=—1x+2得y=-|x(一|)+2=裝，

，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(V吟).

綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,2)或(-|嚕).

5.解:⑴?.直線y=-x+4與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,/.A(4,0),B(0,4),

.,拋物線的解析式為y=ax2+bx+4

將A(4,0),C(-2,0)分別代入y=ax2+bx+4中彳導(dǎo)]呼十普：:=：