2025年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：立體幾何中的?？級狠S小題（七大題型）（學(xué)生版+解析）

拔高點突破03立體幾何中的?？級狠S小題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：球與截面面積問題.......................................................2

題型二：體積、面積、周長'角度'距離定值問題...................................3

題型三：體積'面積'周長'距離最值與范圍問題...................................4

題型四：立體幾何中的交線問題...................................................6

題型五：空間線段以及線段之和最值問題...........................................7

題型六：空間角問題.............................................................8

題型七：立體幾何裝液體問題....................................................10

03過關(guān)測試....................................................................12

方法技巧與總結(jié)

立體幾何中的?？級狠S小題往往聚焦于空間幾何體的性質(zhì)、體積計算、空間角的求解及與球相關(guān)的綜

合問題。解題時，需熟練掌握多面體（如棱柱、棱錐）和旋轉(zhuǎn)體（如圓柱、圓錐）的結(jié)構(gòu)特征，靈活運用

空間向量、三垂線定理等工具解決空間角問題。此外，與球相關(guān)的題型常要求通過幾何關(guān)系求出球的半徑,

進而解決表面積、體積等問題。解題時還需注意幾何體的翻折、展開等變化過程中的不變性與不變量，以

及平行、垂直等位置關(guān)系的論證?？傊Ⅲw幾何壓軸小題考驗的是空間想象能力和綜合運用知識解決問

題的能力。

題型一：球與截面面積問題

【典例1-1]（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知三棱錐A-BC2AB=BC=26,E為BC中點，

A-BC-O為直二面角，且上W為二面角的平面角，三棱錐A-BCD的外接球。表面積為

言，則平面38被球。截得的截面面積及直線與平面28所成角的正切值分別為（）

.4兀2^/5r4■兀3^/5?16K2#16TT3A/5

55555555

【典例1-2]（多選題）（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測）在正三棱柱48<3-486中出=/^=2,

△A3。的重心為G,以G為球心的球與平面相切.若點尸在該球面上，則下列說法正確的有（

A.存在點P和實數(shù)使得麗=4麗+〃肥

B.三棱錐2一ABC體積的最大值為紀2叵

9

C.若直線3P與平面A3C所成的角為6,貝!|sin，的最大值為止叵

8

D.若則所有滿足條件的點P形成的軌跡的長度為晅

3

【變式1-1]（2024?全國?模擬預(yù)測）已知某圓柱的高與底面圓的直徑均為4,則該圓柱的外接球的

體積為—；AB是圓柱下底面圓的直徑，C是圓柱上底面圓周上一點.記該圓柱的內(nèi)切球為球。，則平面

ABC截球。所得截面面積的取值范圍為一.

【變式1-2］（2024?高三?山東?期末）已知三棱錐尸-MC的四個頂點都在球。的表面上，PA±

平面A3C,PA=6,AB=26AC=2,BC=4,貝"：（1）球。的表面積為；（2）若。是3c的中

點，過點。作球。的截面，則截面面積的最小值是.

題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題

【典例2-1】已知正方體的棱長為1，P是空間中任意一點.給出下列四個結(jié)論：

①若點P在線段4G上運動，則總有CPLBD；

②若點尸在線段A2上運動，則三棱錐B-OPG體積為定值；

③若點尸在線段\B上運動，則直線CP與平面AC。所成角為定值；

④若點尸滿足蘇=6+4工'（Owawi）,則過點兒，P,C三點的正方體截面面積的取值范圍為［4,應(yīng)］.

其中所有正確結(jié)論的序號為

【典例2-2】如圖，正方體ABCD-4262的棱長為1，線段耳。上有兩個動點E,尸，且所=:，給

出下列三個結(jié)論：

C,______________Bx

?AC±BE

②AAEF的面積與ABEF的面積相等

③三棱錐A-BEF的體積為定值

其中，所有正確結(jié)論是.

【變式2-1］（多選題）（2024?高三?貴州貴陽?開學(xué)考試）如圖，在長方體ABCO-ABCQ中,

A3=AD=2,AA=1,點河為線段上動點（包括端點），則下列結(jié)論正確的是（）

A.當點M為片口中點時，G/，平面B8QO

B.當點”為4。中點時，直線DM與直線BC所角的余弦值為正

3

C.當點M在線段BQ上運動時，三棱錐G-BDM的體積是定值

D.點M到直線BG距離的最小值為理

3

【變式2-2］（多選題）（2024?高三?廣東深圳?開學(xué)考試）如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點,

將AABM沿直線AM翻折成連接與。，N為的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是

（）

A.不存在某個位置，使得CNLAB

B.翻折過程中，CN的長是定值

C.若AB=BM,則AM_Lg￡>

D.若AB=9=1,當三棱錐旦-AM。的體積最大時，其外接球的表面積是4兀

題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題

【典例3-1］（多選題）已知邊長為2的等邊三角形ABC,點M,N均在平面ABC的上方,

ITIT

AM=3AN=3,且AM,4V與平面ABC所成角分別為，則下列說法中正確的是（）

63

A.四面體ABCM的體積為定值地

2

3

B-AM面積的取小值為1

C.四面體ABA/N體積的最大值為1

D.當四面體ABA7N的體積最大時，其外接球的表面積為14兀

【典例3-2】（多選題）（2024?廣東惠州?三模）在四面體ABCD中，AB=CD=1,

AC^AD^BC^BD^l,E,F,G分別是棱BC,AC,AD上的動點，且滿足AB,8均與面E/G平

行，則（）

A.直線A3與平面ACD所成的角的余弦值為巫

16

B.四面體ABCD被平面EPG所截得的截面周長為定值1

C.三角形EFG的面積的最大值為，

O

7兀

D.四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為一

【變式3-1］（多選題）（2024?山西呂梁?三模）已知正方體ABC。-AAG2的棱長為2,。是空間中

的一動點，下列結(jié)論正確的是（）

A.若點。在正方形。CG2內(nèi)部，異面直線A4與08所成角為。，則。的范圍為

B.平面ABG〃平面ACA

c.若而=；通+彳而（0V/IV1）,則4。+。。的最小值為歷

D.^AO=^AB+（1-A）A^（0<2<1）,則平面截正方體ABCD-所得截面面積的最大

值為4女

【變式3-2］（多選題）（2024?河北秦皇島?三模）在長方形ABCD中，AB=6,A￡>=1,點E在線

段上（不包含端點），沿。E將VADE折起，使二面角A-DE-C的大小為（9,。40,兀），貝U（）

A.存在某個位置，使得AELDC

B.存在某個位置，使得直線3CV/平面ADE

C.四棱錐A-3CDE體積的最大值為拽

3

D.當。=；時，線段AC長度的最小值為2近

【變式3-3］（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）如圖，AC為圓錐SO的底面圓。的直徑，點B是圓。上異

于A,C的動點，S0=[AC=2,則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.圓錐SO的側(cè)面積為8夜兀

B.三棱錐S-ABC的體積的最大值為1?2

C.的取值范圍是

D.若AB=3C,E為線段A3上的動點，則SE+CE的最小值為2（百+1）

題型四：立體幾何中的交線問題

【典例4-1】（2024?福建福州?三模）如圖，在圓臺O。/中，OO、=粗，點C是底面圓周上異于A、

8的一點，AC=2,點。是的中點，/為平面。|AC與平面的交線，則交線/與平面QBC所成角

【典例4-2】已知在正方體ABCO-AACQI中，AB=4,點尸，Q,7分別在棱BB-CQ和Afi上,

且男尸=3,C,Q=1,BT=3,記平面PQT與側(cè)面ADR4，底面A3CD的交線分別為機，"，則（）

A.優(yōu)的長度為朋B.機的長度為疲

33

C.〃的長度為士叵D.〃的長度為正

33

【變式4-1]（2024?安徽?一模）安徽徽州古城與四川闔中古城、山西平遙古城、云南麗江古城被稱為

中國四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底層部分可近似看作一個正方體A2。-ASGR.已知該正方體

中，點瓦尸分別是棱M，CG的中點，過。,三點的平面與平面A3。的交線為Z,則直線/與直線A?

所成角為（）

【變式4-2]（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）在正方體ABCD-AgGR中，E為B?中點，過

AR,E的截面a與平面的交線為/,則異面直線/與所成角的余弦值為（）

A.叵B.立C典D.叵

10555

題型五：空間線段以及線段之和最值問題

【典例5-1]在正方體ABCD-AgGR中，AB=2,G為棱CO的中點，P,Q分別為BC”CG上的動點,

則PQ+QG的最小值為

【典例5-2】在棱長為4的正方體ABC。-ABCQ中，瓦尸分別為線段期,32上的動點，點。為側(cè)

面BCG用的中心，則M）EF的周長的最小值為.

【變式5-1］正三棱柱ABC-的底面邊長是4,側(cè)棱長是6,M,N分別為CC「A3的中點,

若尸是側(cè)面BCCB上一點，且PN〃平面A印W,則線段PN的最小值為

【變式5-2］如圖，棱長為1的正方體A8C。-A瓦GQ中，P為線段A用的中點，M,N分別為線段

AC1和棱G2上的動點，則2PM+A/^0N的最小值為

【變式5-3］如圖，已知正方體"CD-A與G，的棱長為4,點“在棱A4上，且卬1t=1,在側(cè)面

BCC國內(nèi)作邊長為1的正方形EFGQ,P是側(cè)面BCCA內(nèi)的動點，且點p到平面CDD?的距離等于線段

P尸的長.當點尸運動時，1Hpi的最小值是.

題型六：空間角問題

【典例6-1】如圖，斜三棱柱ABC-ABC1中，底面是正三角形，瓦￡G分別是側(cè)棱

441,8月,CG上的點，^AE>CG>BF,設(shè)直線CACB與平面加G所成的角分別為a,/?,平面所G與底

面A3C所成的銳二面角為，，貝I()

A.sin8<sina+sin0coscos。+cos4

B.sin82sina+sin0cos6vcosa+cos尸

C.sin6<sina+sin/7,cos8>cosa+cos￡

D.sin^>sincr+sin/7,cos^>costz+cos/3

【典例6-2】設(shè)三棱錐A5c的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱儂上的點（不含端點），記

直線尸B與直線AC所成角為a,直線尸3與平面ABC所成角為夕，二面角P-AC-3的平面角為7,貝11

A./3<y,a<yB./3<a,（3<y

C.P<a,y<aD.a</3，Y</3

【變式6-1]如圖，已知正三棱柱ABC-AB?！盇C=44,,E,尸分別是棱BC,AG上的點.記EF與

所成的角為a,EF與平面ABC所成的角為尸，二面角b-3C-A的平面角為/,貝!!（）

A.a<p<yB.P<a<yC./3<y<aD.a<y</3

【變式6-2]（2024?浙江?二模）已知三棱柱ABC-A4cl的所有棱長均相等，側(cè)棱平面ABC,

過4月作平面a與8G平行，設(shè)平面a與平面ACGA的交線為/,記直線/與直線A8,8C,C4所成銳角分別

為a，B，Y,則這三個角的大小關(guān)系為（）

B.a=(3>y

C.y>/3>aD.a>p=y

題型七：立體幾何裝液體問題

【典例7-1】（多選題）（2024?山東荷澤?一模）透明塑料制成的正方體密閉容器A8CZ）-A瓦G，的

體積為8,注入體積為x（0<x<8）的液體.如圖，將容器下底面的頂點A置于地面上，再將容器傾斜.隨著傾

斜度的不同，則下列說法正確的是（）

A

A.液面始終與地面平行

B.x=4時，液面始終是平行四邊形

C.當xe（O,l）時，有液體的部分可呈正三棱錐

D.當液面與正方體的對角線AC垂直時，液面面積最大值為

【典例7-2］（多選題）向體積為1的正方體密閉容器內(nèi)注入體積為無（0<%<1）的液體，旋轉(zhuǎn)容器,

下列說法正確的是（）

A.當尤=：時，容器被液面分割而成的兩個幾何體完全相同

B.不管注入多少液體，液面都可以成正三角形形狀

C.液面可以是正六邊形，其面積為更

4

D.當液面恰好經(jīng)過正方體的某條體對角線時，液面邊界周長的最小值為百

【變式7-1]（2024?湖北宜昌?一模）已知一個放置在水平桌面上的密閉直三棱柱qG容器,

如圖1,44BC為正三角形，AB=2,M=3,里面裝有體積為2石的液體，現(xiàn)將該棱柱繞3C旋轉(zhuǎn)至圖2.

在旋轉(zhuǎn)過程中，以下命題中正確的個數(shù)是（）

圖1

①液面剛好同時經(jīng)過A,片，q三點;

②當平面A3C與液面成直二面角時，液面與水平桌面的距離為g-1；

33

③當液面與水平桌面的距離為!■時，A3與液面所成角的正弦值為

A.0B.1C.2D.3

【變式7-2]（2024?廣西南寧-模擬預(yù)測）一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正

方體的棱長為1,如果任意轉(zhuǎn)動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍為

J312

A.

6?6

【變式7-3】一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為2,如果任意轉(zhuǎn)動

該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體的體積的取值范圍為（）

417420

A.B.C.4D.35T

1.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知三棱錐尸-ABC,底面A3C是邊長為2的正三角形，且PC,平面

ABC,尸C=2,M為PB的中點，N為平面PAC內(nèi)一動點，則MV+NB的最小值為（）

A.20B.2+V2C.3D.2

2.在棱長為1的正方體A3CD-AqGR中，E、尸分別為AB、3c的中點，則點尸為正方形人用。鼻內(nèi)一

點，當。尸〃平面4￡尸時，。尸的最小值為（）

A.72B.-C.述D.這

244

3.在長方體ABCD-ABIG，中，已知AB=6,CB=2,然=4,點p為底面ABC。內(nèi)一點，若尸弓和底

面所成角與二面角尸-4由-2的大小相等，點P在底面4耳弓，的投影為點。，則三棱錐

尸-Q片2體積的最小值為（）

A.—B.2C.2V2D.

4.在棱長為2的正方體中，P,Q,R分別為線段3。，B.C,G。上的動點，貝。

廢+3QR的最小值為（）

A.2"B.472C.3也D.5

5.（2024?四川成都?三模）六氟化硫，化學(xué)式為S丹，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定

氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個

面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八

面體E-ABC。-歹的棱長為。，下列說法中正確的個數(shù)有（）

①異面直線AE與即所成的角為45°；

②此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為36；

③若點P為棱上的動點，則AP+CP的最小值為2瓜；

④若點。為四邊形AB8的中心，點。為此八面體表面上動點，且=則動點Q的軌跡長度為

8A/3

---cm?

3

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）以半徑為1的球的球心。為原點建立空間直角坐標系，與球。相切的平

面a分別與x,y,z軸交于A,B,C三點，\OC\=^/2,貝11。4「+4|。用②的最小值為（）

A.16夜B.12A/3C.18D.876

7.如圖，若P是棱長為2的正方體A與GR的表面上一個動點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.當P在平面8CG片內(nèi)運動時，四棱錐尸-M2。的體積變化

TTTT

B.當尸在線段AC上運動時，RP與AG所成角的取值范圍是

O2_

C.使直線AP與平面ABC。所成的角為45。的點P的軌跡長度為2無+40

D.若F是棱4耳的中點，當P在底面A3CD內(nèi)運動，且滿足尸尸//平面耳C，時，P/長度的最小值

是通

8.（2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）已知正四棱錐S-ABCD的8條棱長均相等，。為頂點S在底面的射影,

貝I（）

A.側(cè)棱SA與底面ABCD所成角的大小為]

___7T

B.設(shè)N為正方形ABC。邊上的兩點，則二面角S-MN-O的值大于:

4

__TT

C.側(cè)面必R與底面ABC。所成角的大小為了

4

D.設(shè)尸為正方形ABCD上的點，則直線SP與底面所成角的最大值為:

9.（2024?山西呂梁?三模）在四面體A3CZ）中，AD與2C互相垂直，AD=2BC=4,且

AB+BD^AC+CD=2-J]A，則四面體體積的最大值為（）

A.4B.6C.8D.4.5

10.（2024?山東?模擬預(yù)測）已知圓臺上、下底面的半徑分別為3和5,母線長為4,A3為上底面圓的

一條直徑，C是下底面圓周上的一個動點，則VABC面積的最大值為（）

A.3庖B.673C.屈D.36

11.（2024?浙江?模擬預(yù)測）正四面體ABC。，E為棱AO的中點，過點A作平面BCE的平行平面，該

平面與平面ABC、平面AC。的交線分別為乙，，貝必，所成角的正弦值為（）

A."B.旦C.-D.@

3332

12.（2024?全國?一模）已知三棱錐ABC為正三棱錐，且AB=6,&4=2岳，點〃、N是線段AC、

S6的中點，平面a與平面S3C沒有公共點，且Ac平面口,若/是平面a與平面ABC的交線，則直線,與

直線所成角的正切值為（）

AMRV6rV15n后

4453

13.（2024?湖南湘潭?三模）在棱長為1的正方體A3CO-ABC2中，E為4R的中點，過點A.C.E

的截面與平面3D，陽的交線為切，則異面直線，"與CG所成角的正切值為（）

A.V2B.述C.交D.史

424

14.（多選題）（2024?河南?模擬預(yù)測）己知四面體ABCD的頂點A,B,C,。均在球。的球面上,

△ACD是邊長為2的等邊三角形，NCBD=90°,棱BC,BD,AD的中點分別為Af,N,H,過A1,N,

打三點的平面截四面體所得截面四邊形的對角線互相垂直，則（）

A.AB=2

B.AC與3D所成角不可能為90°

C.直線AB與平面BCD所成的角為30°

D.球。的表面積為一

15.（多選題）（2024?高三?黑龍江哈爾濱?期中）在棱長為2的正方體ABC。-4qGR中，M為

3c邊的中點，下列結(jié)論正確的有（）

A.40與。田所成角的余弦值為叵

10

B.過三點4、M、R的截面面積為2

c.四面體AG8O的內(nèi)切球的表面積為g

D.E是eq邊的中點，尸是A3邊的中點，過E、M、歹三點的截面是六邊形.

16.（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）已知平面1〃平面夕，且均與球。相交，得截面圓。1與截面

圓為。為線段op的中點，且aa=2。，線段A3與co分別為圓。］與圓。2的直徑，則（）

A.若VA3C為等邊三角形，則球的體積為18兀

B.若P為圓。1上的中點，AB±AC,且筋=AC,則OP與AC所成角的余弦值為當

C.若AB_LCD,且A8=2?,則

D.若ABLCD,且AC與BD所成的角為60。，則球。的表面積為20兀或84兀

17.（多選題）（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測）在正方體45。-中，P為線段及C上的動點,

則（）

A.AP〃平面AG。B.耳。，平面力CD]

JTJT

C.直線AP與AQ所成角的取值范圍是D.三棱錐C1-尸。A的體積為定值

O2_

18.（多選題）（2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測）在正三棱柱ABC-4旦6中，A8=懼=1,點P滿足

麗=4配+〃甌，其中貝I」（）

A.當2=1時，AP+PB]最小值為&

B.當〃=1時，三棱錐P-A8C的體積為定值

C.當2=1,〃=：時，平面力BiPl平面4AB

D.若AP=1,則P的軌跡長度為T

19.（多選題）（2024?湖北黃岡?二模）如圖，在棱長為2的正方體44G2中，P為棱BB、

的中點，點Q滿足東=幾以瓦+“^,則下列說法中正確的是（）

B.若口。〃平面4尸。，則動點。的軌跡是一條線段

c.若x+〃=g,則四面體。尸。4的體積為定值

D.若M為正方形AOAA的中心，則三棱錐外接球的體積為電1兀

3

20.（多選題）（2024?全國?模擬預(yù)測）已知正方體ABCD-A由G2的棱長為LE，”分別為棱

的中點，動點R在線段AG上，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.直線BQ與平面B8Q。所成角為45。

B.直線板與直線AB所成角的余弦值為e

6

C.三棱錐B-CE火的體積為定值

D.點尸在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且EF〃平面ABG，則動點廠的軌跡所形成的區(qū)域面積為

373

21.（多選題）（2024?江蘇南京?二模）在棱長為1的正方體A8C。-4瓦弓2中，E、尸分別為A3、

3C的中點，點產(chǎn)滿足卒=2福+〃而（0V/lVl,0V〃Vl）,則下列說法正確的是（）

,9萬

A.若4=1,4=0,則三棱錐P—班C外接球的表面積為下

4

B.若%=〃=；,則異面直線CP與用產(chǎn)所成角的余弦值為嚕

3

C.若2+〃=1,貝I」！PE尸面積的最小值為3

O

D.若存在實數(shù)使得而=x聒+y而，則2P的最小值為逑

4

22.（多選題）（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-ASCn中，〃為平

面ABC。內(nèi)一動點，則（）

A.若M在線段上，則RM+MC的最小值為“7運

B.平面ACR被正方體內(nèi)切球所截，則截面面積為97T

0

TT

C.若與A2所成的角為則點M的軌跡為橢圓

D.對于給定的點M,過/有且僅有3條直線與直線0A,QC所成角為60°

23.（2024?山東青島?三模）已知長方體ABC。-中，AB=2.,BC=3,AAl=4,點尸為矩形

ABJGA內(nèi)一動點，記二面角尸-B的平面角為。，直線PC與平面ABCD所成的角為夕，若夕=夕,

則三棱錐尸-84口體積的最小值為.

24.（2024?安徽?三模）已知四棱錐S-ASCD的底面ABCD為矩形，其中AD=2AB=2AS=4,點SAL

平面ABCD，點M,N分別在線段AB,SD±（不含端點位置），其中怨=怨，則四面體CBMN的體

ABDS

積最大值為.

拔高點突破03立體幾何中的?？級狠S小題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：球與截面面積問題.......................................................2

題型二：體積、面積'周長、角度'距離定值問題...................................3

題型三：體積、面積'周長'距離最值與范圍問題...................................4

題型四：立體幾何中的交線問題...................................................6

題型五：空間線段以及線段之和最值問題...........................................7

題型六：空間角問題.............................................................8

題型七：立體幾何裝液體問題....................................................10

03過關(guān)測試....................................................................12

亡法牯自與.柒年

//\\

立體幾何中的?？級狠S小題往往聚焦于空間幾何體的性質(zhì)、體積計算、空間角的求解及與球相關(guān)的綜

合問題。解題時，需熟練掌握多面體（如棱柱、棱錐）和旋轉(zhuǎn)體（如圓柱、圓錐）的結(jié)構(gòu)特征，靈活運用

空間向量、三垂線定理等工具解決空間角問題。此外，與球相關(guān)的題型常要求通過幾何關(guān)系求出球的半徑,

進而解決表面積、體積等問題。解題時還需注意幾何體的翻折、展開等變化過程中的不變性與不變量，以

及平行、垂直等位置關(guān)系的論證。總之，立體幾何壓軸小題考驗的是空間想象能力和綜合運用知識解決問

題的能力。

題型一：球與截面面積問題

【典例1-1]（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）已知三棱錐A-B8,AB=BC=26,E為BC中點，

A-BC-O為直二面角，且—AED為二面角A-BC-D的平面角，三棱錐A-BCD的外接球。表面積為

空，則平面3C。被球。截得的截面面積及直線AO與平面38所成角的正切值分別為（）

.4it2A/5?4K3#>?16K2小16兀3#）

A.--,----D.--,----C.---,----L）.---,----

55555555

【答案】D

【解析】依題知AE_L平面38，又BCu面BCD,所以AE_LBC,又E為BC中點，

所以A3=AC=BC=2若，

取AC中點為G,連接3G交AE于耳，則修是VABC外心，又4￡=2總皿2=3,

所以HE=1,AH=2,連接ED,在上取下為ABCD外心,

過尸作平面38的垂線，過H作平面ABC的垂線，

兩垂線的交點即為三棱錐A-BCD外接球球心。，

則四邊形OH砂是矩形，OF=HE=\,

連接設(shè)ABCD外接圓半徑=B尸=廠，

設(shè)球。半徑為03=7?,因為球。的表面積為學(xué)，所以4%玄=拳，得到心=11,

所以在RtAOB尸中，/=。尸2=R2一0尸2=^一1=￡,

所以平面88截球0的截面面積nr2=—,

在Rt^AOH中，O8=JR2_4=乎,

所以ED=EF+FD=OH+r="+逑=小,

55

又/ADE為直線AD與平面3CD所成角，所以tanZADE=—=4==—，

EDy[55

故選：D.

【典例1-2]（多選題）（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測）在正三棱柱ABC-Age中A4,=8C=2,

△AB。的重心為G,以G為球心的球與平面BCG與相切.若點P在該球面上，則下列說法正確的有（

A.存在點P和實數(shù)4〃，使得麗=2麗+〃而

B.三棱錐p—ABC體積的最大值為2±2叵

9

C.若直線3尸與平面ABC所成的角為夕，貝°sin。的最大值為亞叵

8

D.若則所有滿足條件的點P形成的軌跡的長度為運

3

【答案】BC

【解析】方法一:

對于A,

取3C中點/，B|C中點E,連接AF,，人/，以？，

正三棱柱ABC-44G中，平面ABC,平面BCC百，平面A3CC平面BCJ片=BC,

"■<=平面48(7,，/皿_1平面2。6片，AF=也,而G為△ABC的重心，

:.AG=2GE,;.G到平面BCC4的距離為更，而G到平面ABC的距離為18耳=2>1,

???球G與平面ABC相離，則不存在這樣的尸和實數(shù)%〃，使麗=2麗+〃而，A錯.

對于B,G到平面ABC的距離為2,球G半徑尺=且，則尸到平面ABC的最大距離為2+1，

3333

”1c“I石/2省)3+2山―

--VP-ABC=^S^ABC'h-^X-Tx4'1+丁=-Q~，B正確.

對于C,設(shè)N為球的的上頂點，NG,平面ABC于點a,8M與球G相切且與平面BNH共面,

BH=—,BG=~,MG=—,

333

kGBH=a,NMBG=/3,則有cosa=立,sinQ=走，得sina=±cosQ='，

2424

(sin6>)=sin(a+〃)=Lx巫+"=,C正確.

\'maxv724248

對于D,過BG且與瓦C垂直的平面為平面BCQ,

G到平面BC^D的距離等于二倍的A到平面BC^D的距離，即d=1,

33

而球G半徑R=#,則平面BQD截球G的截面圓半徑r==|,

127t

所以截面圓周長即p的軌跡長度為2兀《=胃，D錯.

故選：BC.

方法二：

對于A,如圖：

左圖中M為AC中點，以為G在平面A3C上的投影.

右圖為俯視圖下看的球，由于G為重心，在俯視圖看來就是正三角形的中心，

所以球?qū)嶋H上與三個側(cè)面均相切，則易得半徑R=#.

12

而GH=gBBi=g>R,因此球與底面A5C不相交，因此A是錯的；

對于B,有（％/"6四+尺）=：乎2《+￡|=土芋，正確;

對于C,作出平面&V/的截面如下圖：

當e最大時P的位置如上圖所示，不難計算出BH=^-,ZGBH=30。,8G=±,

33

所以sin/PBG=—=—.cosZPBG=—,

BG44

那么此時$出6=5山（30。+/尸26）=2?巫+1.，1=2±巫，所以C正確;

1724248

對于D,軌跡即過8且垂直于用C的平面與球的交線圓，而更身>

3

此式右邊是球面上的大圓的周長，所以是不可能的，所以D錯.

故選：BC.

【變式1-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）已知某圓柱的高與底面圓的直徑均為4,則該圓柱的外接球的

體積為—；AB是圓柱下底面圓的直徑，C是圓柱上底面圓周上一點.記該圓柱的內(nèi)切球為球。，則平面

ABC截球。所得截面面積的取值范圍為一.

【答案】他兀［粵垢］

【解析】由題可知，圓柱的外接球的直徑為4魚，

則圓柱的外接球的體積為4"Q0）=64后兀.

33

如圖，四邊形CDE尸是圓柱的一個軸截面，

圓柱上、下底面的圓心分別為?！薄?,則。為線段。的中點.

連接CO?，則CO2U平面ABC.過。作。GLC。之于G,

則。6=！乂與=述.設(shè)。到平面ABC的距離為d,

22755

平面A3C截球。的截面圓的半徑為外，

416

球。的半徑為r,則dWOG,/=/一屋=4-縝24=1，

平面A3C截球0的截面面積最小值為等

易知當直徑AB與E尸重合時，平面A3C截球。的截面面積最大，且最大值為兀x2?=4私

平面ABC截球。所得截面面積的取值范圍為—,4TT

故答案為：￥加；［—,4兀

【變式1-2］（2024?高三?山東?期末）已知三棱錐P-AfiC的四個頂點都在球。的表面上，PA1.

平面ABC,PA=6,AB=26,AC=2,BC=4,貝心（1）球。的表面積為；（2）若。是BC的中

點，過點。作球。的截面，則截面面積的最小值是.

【答案】52萬4萬

【解析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系，可將三棱錐尸-ABC可放入以AP,AC,A3為長方體的長，寬,高的長方體中，則體

對角線為外接球直徑，進而求解即可；

（2）易得。為底面ABC的外接圓圓心，當。O_L截面時，截面面積最小,即截面為平面ABC”求解即可.（1）

由題，根據(jù)勾股定理可得AC±AB，則可將三棱錐P-ABC可放入以AP,AC,A3為長方體的長，寬，高的長方體

中，則體對角線為外接球直徑，即2r=