中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項(xiàng)知識(shí)圓的基本性質(zhì)(練習(xí))含答案及解析

第六章圓第27講圓的基本性質(zhì)TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01圓的周長(zhǎng)與面積問題??題型02圓中的角度、線段長(zhǎng)度的計(jì)算??題型03利用垂徑定理結(jié)合全等，相似綜合求解??題型04在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)??題型05垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用??題型06垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用??題型07利用垂徑定理求取值范圍??題型08利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求解??題型09利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求最值??題型10利用弧，弦，圓心角的關(guān)系證明??題型11利用圓周角定理求解??題型12利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求角??題型13利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題??題型14利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題??題型15利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問題??題型16與圓有關(guān)的常見輔助線-遇到弦時(shí)，常添加弦心距??題型17與圓有關(guān)的常見輔助線-遇到直徑時(shí)，常添加直徑所對(duì)的圓周角??題型01圓的周長(zhǎng)與面積問題1．（2024·四川成都·三模）魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法．所謂割圓術(shù)，即通過圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓，并使正多邊形的周長(zhǎng)無限接近圓的周長(zhǎng)，進(jìn)而求得較為精確的圓周率．劉徽形容“割圓術(shù)”為：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣．”已知⊙O的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正十二邊形近似估計(jì)⊙O的面積，可得π的近似值為．

2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，半徑為r的⊙O沿著邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的邊作無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周回到原來的位置，⊙O自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)是．（用含a，3．（2024·河北秦皇島·一模）某校社團(tuán)實(shí)踐活動(dòng)中，有若干個(gè)同學(xué)參加．先到的n個(gè)同學(xué)均勻圍成一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心，1m（1）若n=6，則相鄰兩人間的圓弧長(zhǎng)是m．（結(jié)果保留π）（2）又來了兩個(gè)同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調(diào)整位置，使這n+2個(gè)同學(xué)之間的圓弧長(zhǎng)與原來n個(gè)同學(xué)之間的圓弧長(zhǎng)相等．這n+2個(gè)同學(xué)排成圓圈后，又有一個(gè)同學(xué)要加入隊(duì)伍，重復(fù)前面的操作，則每人須再往后移b米，才能使得這n+3個(gè)同學(xué)之間的圓弧長(zhǎng)與原來n個(gè)同學(xué)之間的圓弧長(zhǎng)相同，則ba=??題型02圓中的角度、線段長(zhǎng)度的計(jì)算4．（2024·四川成都·二模）如圖，AB是⊙O的弦，若⊙O的半徑OA=10，圓心O到弦AB的距離OC=6，則弦AB的長(zhǎng)為()A．8 B．12 C．16 D．205．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）如圖，CD是以O(shè)為圓心的半圓的直徑，A是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過A點(diǎn)的直線交半圓于B，E兩點(diǎn)，B在A，E之間，若AB=OD，∠EOD=45°，則∠BAO的大小為（

）

A．10° B．15° C．20° D．25°6．（2024·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點(diǎn)，若C是BD的中點(diǎn)，連接OC，∠OBC=50°，則∠ACD=．??題型03利用垂徑定理結(jié)合全等，相似綜合求解7．（2024·浙江寧波·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，連結(jié)BC，AD，E為AB上一點(diǎn)，BE=BC，連結(jié)CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)(1)求證：∠G=2∠DCG．(2)若EF=2，F(xiàn)G=3，求(3)若EF=a，判斷1EC+18．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰三角形ABC和ACD無重疊地拼接在一起，且AB=AC=CD，△ABC的外接圓⊙O與邊CD交于點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)C，D重合），過點(diǎn)E作線段CD的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交線段AB于點(diǎn)H，連接AE．(1)求證△ABC∽△AED；(2)若⊙O的半徑為5，①若tan∠BAC=43②連接BE，若BE平分∠ABC，求BC(3)若EDCE=m，對(duì)于CE任意長(zhǎng)度，都有4E9．（2024·廣東汕尾·模擬預(yù)測(cè)）如圖，半圓O的直徑AB=6．點(diǎn)C在半圓O上，連接AC，BC，過點(diǎn)O作OD∥AC分別交BC，AB于點(diǎn)E，D，連接AD交BC于點(diǎn)F．(1)求證：點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；(2)將點(diǎn)O繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)G．①當(dāng)點(diǎn)G在線段AD上，求AC的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)G在線段AC上，求sin∠ABC10．（2024·上海普陀·三模）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，為的⊙O直徑，N為AC的中點(diǎn)，連接ON交AC于點(diǎn)H．(1)如圖①，求BCOH(2)如圖②，點(diǎn)D在⊙O上，連接DB，DO，DC，DC交OH于點(diǎn)E，若DB=DC，求證OD∥AC；(3)如圖③，在（2）的條件下，點(diǎn)F在BD上，過點(diǎn)F作FG⊥DO，交DO于點(diǎn)G．DG=CH，過點(diǎn)F作FR⊥DE，垂足為R，連接EF，EA，EF:DF=3:2，點(diǎn)T在BC的延長(zhǎng)線上，連接AT，過點(diǎn)T作TM⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若FR=CM,AT=42，請(qǐng)直接寫出圓O??題型04在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)11．（2024·江蘇南京·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，以AB為弦的⊙D與y軸相切．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．12．（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C1,1為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙C

(1)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)試確定經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線解析式；(3)在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．13．（2022·上海黃浦·二模）已知點(diǎn)P是直線y=2上一點(diǎn)，⊙P與y軸相切，且與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，如果AB=2，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是．??題型05垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用14．（2024·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，過A，B，C三點(diǎn)作一圓弧，則該圓弧的半徑=．15．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)BM=4，BN=2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)PM，PN，則所有滿足16．（2024·江西景德鎮(zhèn)·二模）如圖是一個(gè)由小正方形構(gòu)成的8×8的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)，⊙O經(jīng)過A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)你使用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求作圖，并保留作圖痕跡：(1)在圖1中，在圓上找一點(diǎn)D，使得BD=AC；(2)在圖2中，在圓上找一點(diǎn)P，使得A點(diǎn)為弧BP的中點(diǎn)．??題型06垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用17．（2025·廣西柳州·一模）某項(xiàng)目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測(cè)量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學(xué)想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、B、C、D四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm，AB=3cm，CD=4cmA．4.8cm B．5cm C．5.2cm18．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長(zhǎng)為4米，⊙O直徑長(zhǎng)為6米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（

）A．1米 B．2米 C．3?5米 D．3+19．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）粒子加速器是當(dāng)今高能物理學(xué)中研究有關(guān)宇宙的基本問題的重要工具．圖1，圖2是某環(huán)形粒子加速器的實(shí)景圖和構(gòu)造原理圖，圖3是粒子加速器的俯視示意圖，⊙O是粒子真空室，C、D是兩個(gè)加速電極，高速飛行的粒子J在A點(diǎn)注入，在粒子真空室內(nèi)做環(huán)形運(yùn)動(dòng)，每次經(jīng)過CD時(shí)被加速，達(dá)到一定的速度在B點(diǎn)引出，粒子注入和引出路徑都與⊙O相切．已知：AB=16km，粒子注入路徑與AB夾角α=53°，CD所對(duì)的圓心角是60°(1)求∠ABE的度數(shù)；(2)通過計(jì)算，比較CD與AB的長(zhǎng)度哪個(gè)更長(zhǎng)；(3)直接寫出粒子J在環(huán)形運(yùn)動(dòng)過程中，粒子J到AB的最遠(yuǎn)距離．（相關(guān)數(shù)據(jù)：tan37°≈??題型07利用垂徑定理求取值范圍20．（20-21九年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=34x?6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，若△CDE面積為S，則S的范圍是21．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l:y=kx+b，給出如下定義：若直線l與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱為直線l關(guān)于該圓的“圓截距”．如圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為?1,0，若⊙M的半徑為2，當(dāng)k的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值為22，則b的值為22．（22-23九年級(jí)下·北京西城·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l:y=kx+b，給出如下定義：若直線l與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱為直線l關(guān)于該圓的“圓截距”．(1)如圖1，⊙O的半徑為1，當(dāng)k=1，b=1時(shí)，直接寫出直線l關(guān)于(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(?1,0)，①如圖2，若⊙M的半徑為1，當(dāng)b=1時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”小于455，求②如圖3，若⊙M的半徑為2，當(dāng)k的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值為22，直接寫出b??題型08利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求解23．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖①）的形狀示意圖AB是⊙O的一部分，D是AB的中點(diǎn)，連接OD，與弦AB交于點(diǎn)C，連接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，則⊙O的半徑OA為（A．13cm B．16cm C．17cm24．（2024·云南昆明·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE．若∠BOC=34°，則A．68° B．78° C．88° D．112°25．（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC=CD，下列說法錯(cuò)誤的是()A．弧AB=弧BC B．∠AOD=3∠BOC C．AC=2CD D．OC⊥BD??題型09利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求最值26．（2023·山西陽(yáng)泉·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝12，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB=20°，N是MB的中點(diǎn)，連接MN，P是直徑AB上的動(dòng)點(diǎn)，若弦MN=2，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為．

27．（2022·河南洛陽(yáng)·一模）如圖，D是以AB為直徑的半圓O的中點(diǎn)，CD=2CB，E是直徑AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知AB=2cm，則圖中陰影部分周長(zhǎng)的最小值是28．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB中，BC=2AC，點(diǎn)D是半徑OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→O→A的方向運(yùn)動(dòng)到A的過程中，線段BE、CE與BC所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為??題型10利用弧，弦，圓心角的關(guān)系證明29．（2025·湖北十堰·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，F(xiàn)是圓上一點(diǎn)，D是BF的中點(diǎn)，連接CF交OB于點(diǎn)G，連接BC．(1)求證：GE=BE；(2)若AG=6，BG=4，求CD的長(zhǎng)．30．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)M，且AB=CD．(1)求證：AD=(2)連接OM，BD，若BD是⊙O的直徑，AB=2AD=8，求OM的長(zhǎng)．31．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合運(yùn)用如圖所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，點(diǎn)B平分CAD，CA平分∠BCD．(1)求證：∠CDE=2∠ECD．(2)若cos∠CBA=12(3)求證：BC??題型11利用圓周角定理求解32．（2023·遼寧錦州·二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，連接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，則陰影部分的面積為（

）A．π4 B．π3 C．2π33．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB，垂足為D，弦CE與AB交于點(diǎn)F，連接AE，AC，BC．

(1)求證：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF34．（2025·山東臨沂·一模）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，直徑AD⊥BC于E，過點(diǎn)A作⊙O的切線AF與∠ABC的平分線交于點(diǎn)F，BF交AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)M，連接AM．(1)求證：∠ACB=2∠ABF；(2)若tan∠AMB=2，BC=2，求CG??題型12利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求角35．（2024·浙江寧波·二模）如圖，在以AB為直徑的半圓O中，弦AC∥OD，若∠CAB=70°，則∠ACD的度數(shù)為（A．110° B．115° C．120° D．125°36．（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于點(diǎn)E．(1)求證：AB=AC；(2)若BD=12，DE=2，求BC的長(zhǎng)．37．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB為☉O的直徑，C為☉O上一點(diǎn)，連接CB，過C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過C作∠DCE，使∠DCE=2∠BCD，其中CE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)(1)求證：CE是☉O(2)如圖2，點(diǎn)F是☉O上一點(diǎn)，且滿足∠FCE=2∠ABC，連接AF并延長(zhǎng)交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G①試探究線段CF與CD之間滿足的數(shù)量關(guān)系；②若CD=4，tan∠BCE=12??題型13利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題38．（2024·山東濱州·模擬預(yù)測(cè)）閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Px0,y0和直線Ax+By+C=0（其中A、B不全為0），則點(diǎn)P到直線Ax+By+C=0的距離d可用公式d=Ax0+By0+CA2+B2根據(jù)以上材料，有下列結(jié)論：①點(diǎn)M0,3到直線y=②若以點(diǎn)M0,3為圓心，以4為半徑的圓與直線y=3x+9③直線y=3x與直線y=3④若點(diǎn)P是拋物線y=?x2+23x?3上的點(diǎn)，則點(diǎn)P正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．439．（2024·湖南益陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是AC的中點(diǎn)，DG⊥AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)E，BD交AC于點(diǎn)F，下列結(jié)論一定正確的是（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．①∠DAE=∠GAE，②AE=DE，③AC=2DG，④若tan∠BAC=3440．（2024·安徽安慶·三模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OD上，連接AP并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)P作PF⊥AP交BC于點(diǎn)F，連接AF、EF，AF交BD于G，現(xiàn)有以下結(jié)論：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB?PD=2BF；④S△AEF為定值；⑤SA．①③④ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④??題型14利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題41．（2023·海南海口·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O的半徑為4．將⊙O的一部分沿著弦AB翻折，劣弧恰好經(jīng)過圓心O．則這條劣弧的弧長(zhǎng)為（

）．A．43π B．π C．8342．（2023·浙江金華·三模）在綜合實(shí)踐課上，小慧將圖①中圓形紙片沿直徑AB向上對(duì)折得到圖②，再沿弦BC向下翻折得到圖③，最后沿弦BD向上翻折得到圖④．（1）若點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)，則∠ABC=（2）若CE:EB＝1:n，則sin∠ABC=．（用關(guān)于n43．（2024·浙江臺(tái)州·三模）如圖，AB是⊙O的直徑，CB是弦，把CB沿著弦CB翻折交AB于點(diǎn)D，再把CDB沿著AB翻折交BC于點(diǎn)E．當(dāng)E是DB的中點(diǎn)時(shí)，tan∠ABC的值是（

A．2?1 B．33 C．5?1??題型15利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問題44．（2024·浙江寧波·一模）如圖，AB、CD是⊙O中的兩條弦，相交于點(diǎn)E，且AB⊥CD，AE=DE，點(diǎn)H為劣弧AD上一動(dòng)點(diǎn)，G為HE中點(diǎn)，若CE=1，DE=7，連接AG，則

45．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）【問題探究】（1）如圖1，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，點(diǎn)E是菱形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)F、M、N分別是邊AB、AD、CD的中點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)P是線段MN上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PF，求PE+PF的最小值；【問題解決】（2）如圖2，某市有一塊未開發(fā)的四邊形綠地ABCD，經(jīng)測(cè)量，AD=3km，CD=33km，∠BAD=120°，AD∥BC，AD⊥CD，點(diǎn)D處有一個(gè)水塘，綠地中有兩條弧形小路劣弧AC和劣弧GH，點(diǎn)G、H分別在邊AB、CB上，GH所對(duì)的圓心角為60°，BH=BG=4?km．現(xiàn)計(jì)劃沿MP、PD修建景觀水渠，并沿△EFM的三邊喬木類的樹木方便市民納涼，點(diǎn)E、F、M、P分別是BG、BH、GH、AC上的動(dòng)點(diǎn)．為節(jié)約成本要求PD+PM值最小，同時(shí)要求46．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）我們?cè)趯W(xué)習(xí)圓的知識(shí)時(shí)，常常碰到題目中明明沒有圓，但解決問題時(shí)要用到，這就是所謂的“隱圓”問題：下面讓我們一起嘗試去解決：(1)如圖1，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4，P是△ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長(zhǎng)的最小值為________(2)如圖2，在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在邊DC,CB上移動(dòng)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)．若AD=2，則線段CP的最小值是_______；(3)如圖3，矩形ABCD中，AB=2,AD=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD,DC邊上的點(diǎn)，且EF=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為多少？??題型16與圓有關(guān)的常見輔助線-遇到弦時(shí)，常添加弦心距47．（2021·浙江寧波·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑作圓，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接DE(1)若∠ABC=20°，求∠DEA的度數(shù)；(2)若AC=3，AB=4，求CD的長(zhǎng)．48．（21-22九年級(jí)下·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，AB是圓O的弦，且AB=6，點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)，點(diǎn)D是優(yōu)弧AB上的一點(diǎn)，∠ADC=30°，則圓心O到弦AB的距離等于．49．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上．若PA=4，PB=6，則OP的長(zhǎng)為??題型17與圓有關(guān)的常見輔助線-遇到直徑時(shí)，常添加直徑所對(duì)的圓周角50．（2023·廣東陽(yáng)江·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，∠BAC=55°，則∠ADC=（

）A．25° B．35° C．45° D．55°51．（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，若AB=4,∠C=30°，則AD的長(zhǎng)度為（

A．1 B．1.5 C．2 D．352．（2024·四川眉山·二模）如圖，⊙P與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)，⊙P經(jīng)過圓心O，點(diǎn)C是⊙P的優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合）．連結(jié)AB，AC，BC，OC；(1)證明：∠ACO=∠BCO；(2)請(qǐng)說明當(dāng)點(diǎn)C在⊙P什么位置時(shí)，直線CA與⊙O相切；(3)請(qǐng)說明當(dāng)∠ACB的度數(shù)為何值時(shí)，⊙P與⊙O的半徑相等．1．（2024·江西·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=2，點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C的弦DE⊥AB，將DBE沿DE翻折交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)DE的長(zhǎng)為正整數(shù)時(shí)，線段FB的長(zhǎng)為．2．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）【實(shí)際情境】手工課堂上，老師給每個(gè)制作小組發(fā)放一把花折傘和制作花折傘的材料及工具．同學(xué)們認(rèn)真觀察后，組裝了花折傘的骨架，粘貼了彩色傘面，制作出精美的花折傘．【模型建立】（1）如圖1，從花折傘中抽象出“傘形圖”．AM=AN，DM=DN．求證：∠AMD=∠AND．【模型應(yīng)用】（2）如圖2，△AMC中，∠MAC的平分線AD交MC于點(diǎn)D．請(qǐng)你從以下兩個(gè)條件：①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中選擇一個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過程．（注：只需選擇一種情況作答）【拓展提升】（3）如圖3，AC為⊙O的直徑，AB=BC，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．求證：3．（2024·甘肅臨夏·中考真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．平面直角坐標(biāo)系中畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF背景素材六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個(gè)古老而經(jīng)典的幾何問題，旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個(gè)圓分成六等份的問題．這個(gè)問題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細(xì)闡述．已知條件點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，點(diǎn)D在x軸的正半軸上且坐標(biāo)為2,0操作步驟①分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P；②以點(diǎn)P為圓心，PC長(zhǎng)為半徑作圓；③以CD的長(zhǎng)為半徑，在⊙P上順次截取DE=④順次連接DE，EF，F(xiàn)A，AB，BC，得到正六邊形ABCDEF．問題解決任務(wù)一根據(jù)以上信息，請(qǐng)你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）任務(wù)二將正六邊形ABCDEF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，直接寫出此時(shí)點(diǎn)E所在位置的坐標(biāo)：______．4．（2024·江蘇徐州·中考真題）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，若CD2=AD?DB，則稱點(diǎn)D(1)如圖（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D．試說明：點(diǎn)D是點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(2)如圖（2），已知點(diǎn)D在線段AB上，用無刻度的直尺和圓規(guī)作一個(gè)△ABC，使其同時(shí)滿足下列條件：①點(diǎn)D為點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；②∠ACB是鈍角（保留作圖痕跡，不寫作法）．(3)若△ABC為銳角三角形，且點(diǎn)D為點(diǎn)C的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．設(shè)AD=m，DB=n，用含m、n的代數(shù)式表示AC的取值范圍（直接寫出結(jié)果）．5．（2024·海南·中考真題）如圖1，拋物線y=?x2+bx+4經(jīng)過點(diǎn)A?4,0、B1,0，交y(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為?2,6時(shí)，求四邊形AOCP的面積；(3)當(dāng)∠PBA=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)過點(diǎn)A、O、C的圓交拋物線于點(diǎn)E、F，如圖2．連接AE、AF、EF，判斷△AEF的形狀，并說明理由．1．（2024·江蘇連云港·中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在O點(diǎn)，另一端綁一重物．將此重物拉到A點(diǎn)后放開，讓此重物由A點(diǎn)擺動(dòng)到B點(diǎn)．則此重物移動(dòng)路徑的形狀為（

）

A．傾斜直線 B．拋物線 C．圓弧 D．水平直線2．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB，CD向終點(diǎn)B，D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線l，過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為G，則AG的最大值為（

）

A．3 B．32 C．2 3．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若AB=1m，CD=2.5m，則拱門所在圓的半徑為（A．1.25m B．1.3m C．1.4m4．（2024·海南·中考真題）如圖，AD是半圓O的直徑，點(diǎn)B、C在半圓上，且AB=BC=CD，點(diǎn)P在CD上，若∠PCB=130°，則A．105° B．100° C．90° D．70°5（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，正四邊形ABCD和正五邊形CEFGH內(nèi)接于⊙O，AD和EF相交于點(diǎn)M，則∠AMF的度數(shù)為（

）A．26° B．27° C．28° D．30°6．（2024·湖北·中考真題）如圖，AB是半圓O的直徑，C為半圓O上一點(diǎn)，以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交BA于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點(diǎn)D，畫射線BD，連接AC．若∠CAB=50°，則∠CBD的度數(shù)是（

A．30° B．25° C．20° D．15°7．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是⊙O的直徑，若∠BEC=20°，則∠ADC的度數(shù)為（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°8．（2024·北京·中考真題）如圖，⊙O的直徑AB平分弦CD（不是直徑）.若∠D=35°，則∠C=°

9．（2024·重慶·中考真題）如圖，以AB為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)A，以AC為邊作平行四邊形ACDE，點(diǎn)D、E均在⊙O上，DE與AB交于點(diǎn)F，連接CE，與⊙O交于點(diǎn)G，連接DG．若AB=10,DE=8，則AF=?_．DG=10．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，連接AD、BC、BD．若∠BCD=20°，則∠ABD=°．11．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，則AC+55

12．（2024·河南·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3，線段CD繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，過點(diǎn)B作AD的垂線，交射線AD于點(diǎn)E．若CD=1，則AE的最大值為，最小值為13．（2023·湖南·中考真題）問題情境：筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．問題設(shè)置：把筒車抽象為一個(gè)半徑為r的⊙O．如圖②，OM始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)t=0時(shí)，某盛水筒恰好位于水面A處，此時(shí)∠AOM=30°，經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處．（參考數(shù)據(jù)，2≈1.414

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到B處時(shí)，∠BOM的度數(shù)；(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)，它到水面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）14．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖是6×7的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，半圓ACB上的點(diǎn)A，B(1)在圖中作出弧BC的中點(diǎn)D．(2)連結(jié)AC，作出∠BAC的角平分線．(3)在AB上作出點(diǎn)P，使得AP=AC．15．（2023·山東·中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，弦DE⊥AB，垂足為點(diǎn)F．

(1)求證：BC=DE；(2)P是AE上一點(diǎn)，AC=6,BF=2，求tan∠BPC(3)在（2）的條件下，當(dāng)CP是∠ACB的平分線時(shí)，求CP的長(zhǎng)．16．（2023·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A，B，C，D為圓周的四等分點(diǎn)，AE為切線，連接ED，并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)G．(1)求證：AD平分∠CAE；(2)求證：△ADE≌△ABG；(3)若AE=3，AG=3GC，求cos∠CBF

第六章圓第27講圓的基本性質(zhì)TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01圓的周長(zhǎng)與面積問題??題型02圓中的角度、線段長(zhǎng)度的計(jì)算??題型03利用垂徑定理結(jié)合全等，相似綜合求解??題型04在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)??題型05垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用??題型06垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用??題型07利用垂徑定理求取值范圍??題型08利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求解??題型09利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求最值??題型10利用弧，弦，圓心角的關(guān)系證明??題型11利用圓周角定理求解??題型12利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求角??題型13利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決多結(jié)論問題??題型14利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決翻折問題??題型15利用圓的有關(guān)性質(zhì)解決最值問題??題型16與圓有關(guān)的常見輔助線-遇到弦時(shí)，常添加弦心距??題型17與圓有關(guān)的常見輔助線-遇到直徑時(shí)，常添加直徑所對(duì)的圓周角??題型01圓的周長(zhǎng)與面積問題1．（2024·四川成都·三模）魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密的理論和完善的算法．所謂割圓術(shù)，即通過圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓，并使正多邊形的周長(zhǎng)無限接近圓的周長(zhǎng)，進(jìn)而求得較為精確的圓周率．劉徽形容“割圓術(shù)”為：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣．”已知⊙O的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正十二邊形近似估計(jì)⊙O的面積，可得π的近似值為．【答案】3【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，圓的面積，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．過A作AM⊥OB于M，求得∠AOB=360°÷12=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AM=12OA=12【詳解】解：如圖，AB是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)O是正十二邊形的中心，

過A作AM⊥OB于M，在正十二邊形中，∠AOB=360°÷12=30°，∴AM=1∴S∴正十二邊形的面積為12×1∴3=1∴π=3，∴π的近似值為3，故答案為：3．2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，半徑為r的⊙O沿著邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的邊作無滑動(dòng)地滾動(dòng)一周回到原來的位置，⊙O自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)是．（用含a，【答案】2aπr【分析】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識(shí)，根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)可得正方形的周長(zhǎng)，結(jié)合圓的周長(zhǎng)計(jì)算，即可求解，掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：⊙O的周長(zhǎng)為：2πr，正方形的周長(zhǎng)為：4a，∴⊙O自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)是4a2πr故答案為：2aπ3．（2024·河北秦皇島·一模）某校社團(tuán)實(shí)踐活動(dòng)中，有若干個(gè)同學(xué)參加．先到的n個(gè)同學(xué)均勻圍成一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心，1m（1）若n=6，則相鄰兩人間的圓弧長(zhǎng)是m．（結(jié)果保留π）（2）又來了兩個(gè)同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調(diào)整位置，使這n+2個(gè)同學(xué)之間的圓弧長(zhǎng)與原來n個(gè)同學(xué)之間的圓弧長(zhǎng)相等．這n+2個(gè)同學(xué)排成圓圈后，又有一個(gè)同學(xué)要加入隊(duì)伍，重復(fù)前面的操作，則每人須再往后移b米，才能使得這n+3個(gè)同學(xué)之間的圓弧長(zhǎng)與原來n個(gè)同學(xué)之間的圓弧長(zhǎng)相同，則ba=【答案】π3【分析】本題考查圓的周長(zhǎng)和弧長(zhǎng)，（1）先計(jì)算出圓的周長(zhǎng)，再計(jì)算出圓的弧長(zhǎng)即可；（2）先計(jì)算出半徑往后移a米的圓的周長(zhǎng)，求出弧長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)相等建立等式即可求出a，再計(jì)算出b，即可得到答案．【詳解】解：（1）當(dāng)n=6時(shí)，圓的周長(zhǎng)為：2π，∴相鄰兩人間的圓弧長(zhǎng)是2π6故答案為：π3（2）又來了兩個(gè)同學(xué)后圓的周長(zhǎng)為：2π1+a∴2π1+a∴a=1當(dāng)又有一個(gè)同學(xué)要加入隊(duì)伍后，圓的周長(zhǎng)為：2π1+a+b∴2π1+a+b∴b=1∴ba故答案為：12??題型02圓中的角度、線段長(zhǎng)度的計(jì)算4．（2024·四川成都·二模）如圖，AB是⊙O的弦，若⊙O的半徑OA=10，圓心O到弦AB的距離OC=6，則弦AB的長(zhǎng)為()A．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理，得AC=BC=12AB本題考查了勾股定理，垂徑定理，熟練掌握兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理，得AC=BC=1根據(jù)勾股定理，得AC=O故AB=2AC=16．故選：C．5．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）如圖，CD是以O(shè)為圓心的半圓的直徑，A是DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過A點(diǎn)的直線交半圓于B，E兩點(diǎn)，B在A，E之間，若AB=OD，∠EOD=45°，則∠BAO的大小為（

）

A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【分析】本題考查了等邊對(duì)等角、三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，連接OB，可推出∠BAO=∠BOA，∠OBE=∠BAO+∠BOA=2∠BAO，根據(jù)OB=OE，得∠OEB=∠OBE=2∠BAO，進(jìn)而得∠EOD=∠BAO+∠OEB=3∠BAO=45°，即可求解；【詳解】解：連接OB，如圖所示：

∵AB=OD，OD=OB，∴AB=OB，∴∠BAO=∠BOA，∴∠OBE=∠BAO+∠BOA=2∠BAO，∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE=2∠BAO，∴∠EOD=∠BAO+∠OEB=3∠BAO=45°，∴∠BAO=15°，故選：B6．（2024·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點(diǎn)，若C是BD的中點(diǎn)，連接OC，∠OBC=50°，則∠ACD=．【答案】10°/10度【分析】此題考查了圓周角定理，等弧所對(duì)的圓心角相等，直角三角形兩銳角互余等知識(shí)．如圖所示，連接OD，首先由直徑得到∠ACB=90°，然后求出∠A=90°?∠B=40°，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=2∠A=80°，進(jìn)而求出∠COD=∠BOC=80°，然后求出∠AOD=180°?∠COD?∠BOC=20°，最后利用圓周角定理求解即可．【詳解】如圖所示，連接OD∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°∵∠OBC=50°∴∠A=90°?∠B=40°∴∠BOC=2∠A=80°∵C是BD的中點(diǎn)∴BC∴∠COD=∠BOC=80°∴∠AOD=180°?∠COD?∠BOC=20°∴∠ACD=1故答案為：10°．??題型03利用垂徑定理結(jié)合全等，相似綜合求解7．（2024·浙江寧波·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，連結(jié)BC，AD，E為AB上一點(diǎn)，BE=BC，連結(jié)CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)(1)求證：∠G=2∠DCG．(2)若EF=2，F(xiàn)G=3，求(3)若EF=a，判斷1EC+1【答案】(1)詳見解析(2)10(3)不會(huì)改變，1【分析】（1）如圖1，連接ED，根據(jù)EB=BC，得出∠BCE=∠BEC，由同弧所對(duì)的圓周角相等得∠BCE=∠BAG，根據(jù)垂徑定理得出AB是CD的垂直平分線，得到CE=ED，證出∠BEC=∠BED=∠AEG=∠BCE=∠BAG，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理證出∠DEG=∠G，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可證明∠G=2∠DCG；（2）根據(jù)EF=2,FG=3，求出EG=5，由（1）知：∠AEG=∠EAG，得出AG=EG=5，證明△AGF∽△DEF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．（3）設(shè)FG=b，則EG=AG=a+b，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）證明：如圖1，連接ED，∵EB=BC，∴∠BCE=∠BEC，由同弧所對(duì)的圓周角相等得∠BCE=∠BAG，∵AB是⊙O的直徑，且CD⊥AB，∴CH=DH，∴AB是CD的垂直平分線，∴CE=ED，∴∠CEB=∠DEB,∠ECD=∠EDC，∵∠AEG=∠BEC,∠BCE=∠EAG，∴∠BEC=∠BED=∠AEG=∠BCE=∠BAG，∵∠EAG+∠AEG+∠G=180°,∠AEG+∠BED+∠DEG=180°，∴∠DEG=∠G，∵∠DEG=∠ECD+∠EDC=2∠DCG，∴∠G=2∠DCG；（2）解：∵EF=2,FG=3，∴EG=EF+FG=2+3=5，由（1）知：∠AEG=∠EAG，∴AG=EG=5，∵∠DEG=∠G，∴AG∥DE，∴△AGF∽△DEF，∴DE∴DE5∴DE=10∵DE=CE，∴CE=10（3）解：1EC設(shè)FG=b，則EG=AG=a+b，∵AG∥DE，∴△AGF∽△DEF，∴DE∴DEa+b∴DE=a(a+b)∴1∴1【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，平行線的判定，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用相似三角形的性質(zhì)列比例式解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，等腰三角形ABC和ACD無重疊地拼接在一起，且AB=AC=CD，△ABC的外接圓⊙O與邊CD交于點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)C，D重合），過點(diǎn)E作線段CD的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交線段AB于點(diǎn)H，連接AE．(1)求證△ABC∽△AED；(2)若⊙O的半徑為5，①若tan∠BAC=43②連接BE，若BE平分∠ABC，求BC(3)若EDCE=m，對(duì)于CE任意長(zhǎng)度，都有4E【答案】(1)見解析(2)①1655

(3)1【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠B=∠D，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠B=∠AED，再由AB=AC，可得∠B=∠ACB=∠AED=∠D，即可求證；（2）①連接AO，并延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)M，連接BO，可得OA⊥BC，從而得到BC=2CM,∠BAM=12∠BAC，進(jìn)而得到∠BOM=∠BAC，繼而得到tan∠BOM=BMOM=43，設(shè)BM=4x，OM=3x，可求出x的值，從而得到BM=4，OM=3，再由勾股定理求出AC=AB=45，再由△ABC∽△AED，即可求解；②由BE平分∠ABC，得到AE=EC，由△ABC∽△AED，得到BCAB=EDAE，根據(jù)等量代換得到，BCAB=ABBC?1（3）過點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)G，可得DE=2DG，再由平行四邊形的性質(zhì)可得AG=EH，根據(jù)題意可得DE=mCE，從而得到DG=12mCE，AC=AB=CD=CE+DE=(m+1)CE，再由ΔABC∽ΔAED，可得AD2=(本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)題意列出等量關(guān)系式．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D，∵四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，∴∠B+∠AEC=180°，∵∠AEC+∠AED=180°，∴∠B=∠AED，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠AED=∠D，∴△ABC∽△AED；（2）解：①如圖，連接AO，并延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)M，連接BO，∵AB=AC，∴AB=AC，∴OA⊥BC，∴BC=2CM，∠BAM=1∵∠BOM=2∠BAM，∴∠BOM=∠BAC，∵tan∠BAC=∴tan∠BOM=設(shè)BM=4x，OM=3x，∴OB=5x，∵⊙O的半徑為5，∴5x=5，即x=1，∴BM=4，OM=3，∴BC=2BM=8，AM=OA+OM=8，∴AC=AB=B∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=8，∵△ABC∽△AED，∴ACAD=BCDE，即②∵BE平分∠ABC，∴AE=EC，∵△ABC∽△AED，∴BCAB又∵CD=AB，EC=AE=AD=BC，∴BCAB=設(shè)ABBC=t，則：1t=t?1，即：t2?t?1=0，解得：設(shè)BM=12BC=a在Rt△ABM中，AM=在Rt△OBM中，OM2+BM∴BC（3）如圖，過點(diǎn)A作AG⊥DE于點(diǎn)G，∵∠AED=∠D，∴AD=AE，∴DE=2DG，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB∥CD，∴AG⊥AB，∵EH⊥AB，∴AG=EH，∵EDCE∴DE=mCE，∴DG=1∴AC=AB=CD=CE+DE=(m+1)CE，∵△ABC∽△AED，∴ACAD=BC∴AD∴AG∴HE∴4E=4=∵對(duì)于CE的任意長(zhǎng)度，都有4EH∴3m解得：m=1∴當(dāng)m=13時(shí)，EH9．（2024·廣東汕尾·模擬預(yù)測(cè)）如圖，半圓O的直徑AB=6．點(diǎn)C在半圓O上，連接AC，BC，過點(diǎn)O作OD∥AC分別交BC，AB于點(diǎn)E，D，連接AD交BC于點(diǎn)F．(1)求證：點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；(2)將點(diǎn)O繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)G．①當(dāng)點(diǎn)G在線段AD上，求AC的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)G在線段AC上，求sin∠ABC【答案】(1)見解析(2)①AC=2；②sin【分析】（1）先得到∠C=90°，由平行線的性質(zhì)得到OD⊥BC，則由垂徑定理即可證明結(jié)論；（2）①連接OF，在AF上取一點(diǎn)使得FG=OF，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠OFG=90°，證明△ACF≌△DEFAAS得到AC=DE，再證明△BOE∽△BAC，得到AC=2OE，再根據(jù)線段之間的關(guān)系求解即可②如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得FG=FO，∠OFG=90°，證明△CFG≌△EOFAAS得到OE=CF，證明△ACF∽△DEF，設(shè)OE=CF=x，則AC=2x，DE=3?x可得EF=3?x2，則CE=BE=3+x【詳解】（1）證明：∵AB是半圓O直徑，∴∠C=90°∵OD∥∴∠OEB=∠C=90°，即OD⊥BC∴BD=CD，即點(diǎn)D（2）解：①連接OF，在AF上取一點(diǎn)使得FG=OF，∵點(diǎn)O繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)G，∴∠OFG=90°，∴AF=DF，又∵OD∥∴∠D=∠CAD，∠C=∠DEC，∴△ACF≌△DEF∴AC=DE，∵O是AB中點(diǎn)，OD∥AC，∴△BOE∽△BAC，∴OEAC∴AC=2OE，∵直徑AB=6，∴OE+DE=OD=3，∴AC+1∴AC=2；②如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得FG=FO，∵∠FCG=∠OEF=90°，∴∠CFG+∠EFO=90°=∠CGF+∠CFG，∴∠EFO=∠CGF，∴△CFG≌△EOF∴OE=CF，由①得，AC=2OE，∵AC∥∴△ACF∽△DEF，設(shè)OE=CF=x，則AC=2x，DE=3?x∴CF:AC=EF:DE=1:2∴EF=3?x∴CE=BE=CF+EF=∴在Rt△BOE中，由勾股定理得3+x解得：x1=1.8，∴sin【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，直徑所對(duì)的圓周角是直角，掌握相應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．10．（2024·上海普陀·三模）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，為的⊙O直徑，N為AC的中點(diǎn)，連接ON交AC于點(diǎn)H．(1)如圖①，求BCOH(2)如圖②，點(diǎn)D在⊙O上，連接DB，DO，DC，DC交OH于點(diǎn)E，若DB=DC，求證OD∥AC；(3)如圖③，在（2）的條件下，點(diǎn)F在BD上，過點(diǎn)F作FG⊥DO，交DO于點(diǎn)G．DG=CH，過點(diǎn)F作FR⊥DE，垂足為R，連接EF，EA，EF:DF=3:2，點(diǎn)T在BC的延長(zhǎng)線上，連接AT，過點(diǎn)T作TM⊥DC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若FR=CM,AT=42，請(qǐng)直接寫出圓O【答案】(1)BCOH(2)證明見解析；(3)13．【分析】（1）連接OC，根據(jù)N為AC的中點(diǎn)，可得AH=HC，再根據(jù)中位線定理得出結(jié)論；（2）連接OC，先證△DOB≌△DOC得∠BDO=∠CDO，再根據(jù)OB=OD得∠DBO=∠BDO，根據(jù)（3）連接AD，先證△DOB≌△DOC，再證四邊形ADFE是矩形，過A作AS⊥DE垂足為S，先證出FR=AS，再能夠證出△CAS≌△TCM從而CT=AC，得到等腰直角△ACT，利用三角函數(shù)求出AC，再根據(jù)【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，∵N為AC的中點(diǎn)，∴AN=∴∠AON=∠CON，∵OA=OC，∴AH=HC，∵OA=OB，∴OH是△ABC的中位線，∴BCOH（2）證明：如圖，連接OC，設(shè)∠BDC=2α，∵BD=DC，DO=DO，OB=OC，∴△DOB≌∴∠BDO=∠CDO=1∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO=α，∵∠ACD=∠ABD=α，∴∠CDO=∠ACD，∴OD∥（3）解：連接AD，∵FG⊥OD，∴∠DGF=90°，∵∠CHE=90°，∴∠DGF=∠CHE，∵∠FDG=∠ECH，DG=CH，∴△DGF≌∴DF=CE，∵AH=CH，∴OH⊥AC，∴CE=AE=DF，∵∠EAC=∠ECA=α，∠AED=∠EAC+∠ECA=2α，∴∠BDC=∠AED，∴DF∥∴四邊形ADFE是平行四邊形，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴四邊形ADFE是矩形，∴∠EFD=90°，∴tan∠EDF=過點(diǎn)A作AS⊥DE垂足為S，∴sin∠AES=∵FR⊥DC，∴sin∠FDR=∵FD∥∴∠FDR=∠AES，∴sin∠FDR=∴FR=AS，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACS=90°，∵∠ASC=90°，∴∠CAS+∠ACS=90°，∴∠BCE=∠CAS，∵∠BCE=∠TCM，∴∠CAS=∠TCM，∵TM⊥DC，∴∠TMC=90°，∴∠TMC=∠ASC，∵FR=CM，∴AS=CM，∴△CAS≌∴CT=AC，∵∠ACT=180°?90°=90°，∴∠CAT=∠CTA=45°，∴AC=AT?sin∵∠EDF=∠BAC，∴tan∠EDF=∴BCAC∴BC=6，∴AB=A∴圓O半徑的長(zhǎng)13．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查圓的有關(guān)知識(shí)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、垂徑定理、三角函數(shù)、勾股定理、圓周角定理等知識(shí)，構(gòu)造輔助線解決問題是解題關(guān)鍵．??題型04在坐標(biāo)系中利用垂徑定理求值或坐標(biāo)11．（2024·江蘇南京·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸、y軸上，以AB為弦的⊙D與y軸相切．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．【答案】5【分析】本題考查了勾股定理、切線的性質(zhì)、正方形性質(zhì)，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥AB，交OC與點(diǎn)E，連接AD，設(shè)⊙D得半徑為r，由正方形的性質(zhì)及垂徑定理可得EF=4，DF=EF?ED=4?r，BF=AF=2，在根據(jù)勾股定理即可求解．熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB，交OC與點(diǎn)E，連接AD，設(shè)⊙D得半徑為r，∵A4,0∴在正方形OABC中，AB∥OC，OA=AB=BC=OC=4，∵以AB為弦的⊙D與y軸相切，AB∥OC，∴DE⊥CO，則EF是⊙D直徑的一部分則EF=4，DF=EF?ED=4?r，由垂徑定理可得BF=AF=2，在Rt△ADF中，AD2解得：r=5∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為52故答案為：5212．（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C1,1為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在⊙C

(1)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)試確定經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的拋物線解析式；(3)在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)A(2)y=?x2(3)D【分析】（1）作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接OA,OB，根據(jù)C1,1，半徑AC=BC=2，得到CE=1,利用勾股定理求出AE=BE=3，即可得到A，（2）由圓與拋物線的對(duì)稱性可知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3或1,?1，分別設(shè)出解析式代入點(diǎn)B的坐標(biāo)求出解析式；（3）假設(shè)存在點(diǎn)D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形，得到PC∥OD且PC=OD，由PC∥y軸，確定點(diǎn)D在y軸上，根據(jù)【詳解】（1）作CE⊥AB于點(diǎn)E，連接OA,OB，∵C1,1，半徑AC=BC=2∴CE=1，∴AE=BE=A∴A1?

（2）由圓與拋物線的對(duì)稱性可知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3或1,?1，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,3時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax?1將點(diǎn)B1+3,0∴y=?x?1當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,?1時(shí)，設(shè)拋物線的解析式為y=ax?1將點(diǎn)B1+3,0∴y=1（3）假設(shè)存在點(diǎn)D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形，∴PC∥OD且∵PC∥∴點(diǎn)D在y軸上，當(dāng)拋物線為y=?x∵PC=2，∴OD=2，即D0,2又D0,2滿足y=?∴點(diǎn)D在拋物線上，存在D0,2使線段OP與CD當(dāng)拋物線為y=1∵PC=3，∴OD=3，即D0,?3∵D0,?3不滿足y=∴不存在D0,?3使線段OP與CD綜上，存在D0,2使線段OP與CD【點(diǎn)睛】此題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)及判定，綜合掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．（2022·上海黃浦·二模）已知點(diǎn)P是直線y=2上一點(diǎn)，⊙P與y軸相切，且與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，如果AB=2，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【答案】?【分析】根據(jù)題意作出圖形，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，然后由垂徑定理及勾股定理可得圓的半徑，由此可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，畫出圖形如下：∴ON=2，AB=2，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，∴PM=2，AM=BM=1，在Rt△PBM中，PB=∵⊙P與y軸相切，∴PN⊥y軸，PN=PB=5∵⊙P與x軸負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是?5故答案為：?5【點(diǎn)睛】此題考查的是切線的性質(zhì)、垂徑定理及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，正確作出圖形是解決此題的關(guān)鍵．??題型05垂徑定理在格點(diǎn)中的應(yīng)用14．（2024·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，過A，B，C三點(diǎn)作一圓弧，則該圓弧的半徑=．【答案】5【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．再利用網(wǎng)格與勾股定理求解即可．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．如圖所示，連接OA，∴OA=22故答案為：5．15．（2024·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格圖形ABCD中，M，N分別是AB，BC上的格點(diǎn)BM=4，BN=2．若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)PM，PN，則所有滿足【答案】2【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，得出邊PM的長(zhǎng)的最大值等于圓O的直徑是解題的關(guān)鍵．作線段MN中點(diǎn)Q，作MN的垂直平分線OQ，并使OQ=12MN，以O(shè)為圓心，OM為半徑作圓，通過圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P在P'位置時(shí)，恰好過格點(diǎn)且P'M經(jīng)過圓心O，此時(shí)P'M最大，等于圓O的直徑，得出【詳解】解：作線段MN中點(diǎn)Q，作MN的垂直平分線OQ，并使OQ=12MN，以O(shè)為圓心，OM∵OQ為MN垂直平分線且OQ=12MN∴OQ=MQ=NQ，∴∠OMQ=∠ONQ=45°，∴∠MON=90°，∴弦MN所對(duì)的圓O的圓周角為45°，∴點(diǎn)P在圓O上，PM為圓O的弦，通過圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P在P'位置時(shí)，恰好過格點(diǎn)且P'M∴此時(shí)P'M最大，等于圓∵BM＝4，BN＝2，∴MN=2∴MQ=OQ=5，∴OM=2MQ=∴P'即邊PM的長(zhǎng)的最大值為21016．（2024·江西景德鎮(zhèn)·二模）如圖是一個(gè)由小正方形構(gòu)成的8×8的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫作格點(diǎn)，⊙O經(jīng)過A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)你使用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按要求作圖，并保留作圖痕跡：(1)在圖1中，在圓上找一點(diǎn)D，使得BD=AC；(2)在圖2中，在圓上找一點(diǎn)P，使得A點(diǎn)為弧BP的中點(diǎn)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題通過作圖考查了圓周角定理和垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是正確作圖的關(guān)鍵．（1）連接BO交⊙O于D，可知BD為直徑，則BD=AC，點(diǎn)D即為所求；（2）取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF交AC于G，交⊙O于P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】（1）解：由圖可知，AB=3，BC=6，AC=3∴AC∴∠ABC=90°，又∵⊙O經(jīng)過A，B，C三個(gè)格點(diǎn)，∴AC為⊙O的直徑，連接BO交⊙O于D，可知BD為直徑，則BD=AC，如圖所示，點(diǎn)D即為所求；（2）取格點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BF交AC于G，交⊙O于P，由圖可知，AB=EF=3，BC=EB=6，AC=FB=3∴△ABC≌△FEBSSS∴∠ABG=∠ACB，∵∠ABG+∠CBG=90°，∴∠ACB+∠CBG=90°，則∠BGC=90°，∴直徑AC⊥BP，∴AB=即：點(diǎn)P即為所求．??題型06垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用17．（2025·廣西柳州·一模）某項(xiàng)目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測(cè)量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學(xué)想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、B、C、D四點(diǎn)，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm，AB=3cm，CD=4cmA．4.8cm B．5cm C．5.2cm【答案】B【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理．由垂徑定理求出BN，CM的長(zhǎng)，設(shè)ON=x，由勾股定理得到3.5?x2+22=x2【詳解】解：如圖，MN⊥AB，MN過圓心O，連接OC，OB，∴MN=3.5cm，∵AB∥∴MN⊥CD，∴CM=12CD=設(shè)ON=xcm∴OM=MN?ON=3.5?x∵OM2+M∴OM∴3.5?x∴x=2，∴ON=2cm∴OB=O∴紙杯的直徑為2.5×2=5cm故選：B．18．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長(zhǎng)為4米，⊙O直徑長(zhǎng)為6米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（

）A．1米 B．2米 C．3?5米 D．3+【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．連接OC，OC交AB于D，由垂徑定理得AD=BD=12AB=2（米），再由勾股定理得OD=【詳解】解：連接OC，OC交AB于D，由題意得：OA=OC=3米，OC⊥AB，AB=4米，∴AD=BD=12AB=2∴OD=O∴CD=OC?OD=3?即點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是3?5故選：C．19．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）粒子加速器是當(dāng)今高能物理學(xué)中研究有關(guān)宇宙的基本問題的重要工具．圖1，圖2是某環(huán)形粒子加速器的實(shí)景圖和構(gòu)造原理圖，圖3是粒子加速器的俯視示意圖，⊙O是粒子真空室，C、D是兩個(gè)加速電極，高速飛行的粒子J在A點(diǎn)注入，在粒子真空室內(nèi)做環(huán)形運(yùn)動(dòng)，每次經(jīng)過CD時(shí)被加速，達(dá)到一定的速度在B點(diǎn)引出，粒子注入和引出路徑都與⊙O相切．已知：AB=16km，粒子注入路徑與AB夾角α=53°，CD所對(duì)的圓心角是60°(1)求∠ABE的度數(shù)；(2)通過計(jì)算，比較CD與AB的長(zhǎng)度哪個(gè)更長(zhǎng)；(3)直接寫出粒子J在環(huán)形運(yùn)動(dòng)過程中，粒子J到AB的最遠(yuǎn)距離．（相關(guān)數(shù)據(jù)：tan37°≈【答案】(1)∠ABE=53°(2)AB的長(zhǎng)度更長(zhǎng)，見解析(3)粒子J到AB的最遠(yuǎn)距離是16【分析】（1）如圖，延長(zhǎng)AF，BE交于（2）根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出CD的長(zhǎng)，再進(jìn)行比較即可；（3）如圖，當(dāng)粒子J運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，離AB的距離最遠(yuǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠FAO=90°，再根據(jù)垂徑定理和三角函數(shù)得出AO的長(zhǎng)，進(jìn)而解答即可【詳解】（1）解：如圖，延長(zhǎng)AF，BE交于由題意得，AF，BE是∴AG=BG，∴∠ABE=∠FAB=α=53°；（2）解：AB的長(zhǎng)度更長(zhǎng)，∵CD所對(duì)的圓心角為60°，OC=OA=10km∴CD的長(zhǎng)度約為60π∵10.5<16，∴AB的長(zhǎng)度更長(zhǎng)；（3）解：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)EO交⊙O于點(diǎn)P，連接AO，∵AF是⊙O的切線，∴∠FAO=90°，∵α=53°，∴∠EAO=90°?53°=37°，∵AB是⊙O的弦，OE是弦心距，OE⊥AB，∴AE=BE=12AB=8∴tan∠EAO=∴OE≈3∴AO=A如圖，當(dāng)粒子J運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，離AB的距離最遠(yuǎn)，∴EP=OE+OP=6+10=16km即粒子J到AB的最遠(yuǎn)距離是16km【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，涉及圓周角定理，圓切線的性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形，弧長(zhǎng)公式，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．??題型07利用垂徑定理求取值范圍20．（20-21九年級(jí)下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，直線y=34x?6與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D、E，若△CDE面積為S，則S的范圍是【答案】8≤S≤28【分析】連接OC，如圖，根據(jù)垂徑定理得到OC⊥AB，則利用圓周角定理可判斷點(diǎn)C在以O(shè)A為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外），以O(shè)A為直角作⊙P，過P點(diǎn)作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，如圖，先利用一次函數(shù)解析式確定E（0，-6），D（8，0），則DE=10，接著證明△DPH∽△DEO，利用相似比求出PH=185，則MP=285，NH=85，由于當(dāng)C點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，S最大；C點(diǎn)與N點(diǎn)重合時(shí)，S最小，然后計(jì)算出SΔNED【詳解】解：連接OC，如圖，∵點(diǎn)C為弦AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，∴∠ACO=90°，∴點(diǎn)C在以O(shè)A為直徑的圓上（點(diǎn)O、A除外），以O(shè)A為直角作⊙P，過P點(diǎn)作直線PH⊥DE于H，交⊙P于M、N，如圖，當(dāng)x=0時(shí)，y=34x-6=-6，則E當(dāng)y=0時(shí)，34x-6=0，解得x=8，則D∴DE=62∵A（4，0），∴P（2，0），∴PD=6，∵∠PDH=∠EDO，∠PHD=∠EOD，∴△DPH∽△DEO，∴PH：OE=DP：DE，即PH：6=6：10，解得PH=185∴MP=PH+2=285，NH=PH-2=8∴SΔNED=當(dāng)C點(diǎn)與M點(diǎn)重合時(shí)，S最大；C點(diǎn)與N點(diǎn)重合時(shí)，S最小，∴S的范圍為8≤S≤28．故答案為：8≤S≤28．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱藞A周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)．21．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l:y=kx+b，給出如下定義：若直線l與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱為直線l關(guān)于該圓的“圓截距”．如圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為?1,0，若⊙M的半徑為2，當(dāng)k的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值為22，則b的值為【答案】±1【分析】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合，如圖所示，設(shè)直線l與⊙M交于B、C，與y軸交于D，過點(diǎn)M作MD⊥BC于E，連接MB，先證明當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，ME最大，即此時(shí)BC最小，再由BC最小=22，求出MD=2【詳解】如圖所示，設(shè)直線l與⊙M交于B、C，與y軸交于D，過點(diǎn)M作ME⊥BC于E，連接MB，∴BC=2BE，在Rt△MBE中，由勾股定理得BE=∴當(dāng)ME最大時(shí)，BE最小，即此時(shí)BC最小，∵M(jìn)E≤MD，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，ME最大，即此時(shí)BC最小，∵直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值為22，即B∴BD=1∴MD=M∵D0∴1+b解得b=±1，故答案為：±1．22．（22-23九年級(jí)下·北京西城·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線l:y=kx+b，給出如下定義：若直線l與某個(gè)圓相交，則兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離稱為直線l關(guān)于該圓的“圓截距”．(1)如圖1，⊙O的半徑為1，當(dāng)k=1，b=1時(shí)，直接寫出直線l關(guān)于(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(?1,0)，①如圖2，若⊙M的半徑為1，當(dāng)b=1時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”小于455，求②如圖3，若⊙M的半徑為2，當(dāng)k的取值在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值為22，直接寫出b【答案】(1)2(2)①0<k<12或k>2；【分析】（1）先求出⊙O與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)即為1，（2）①求出當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A0，1，B?2，0時(shí)，k=12，解直角三角形求出此時(shí)BC=455；求出當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)0，1，?1，?1時(shí)，k=?2，由對(duì)稱性可知此時(shí)直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”為455，兩種情況結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．②如圖所示，設(shè)直線l與⊙M交于B、C，與y軸交于D，過點(diǎn)M作MD⊥BC【詳解】（1）解：當(dāng)k=1，b=1時(shí)，則一次函數(shù)解析式為∴此時(shí)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為1，∵1，∴1，0，0，1都在∴“圓截距”=1（2）解：①如圖2-1所示，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A0∴?2k+b=0b=1∴k=1∵OA=1，∴AB=O∴cos∠ABO=設(shè)AB與⊙M的另一個(gè)交點(diǎn)為C，連接OC，可知∠OCB=90°．∴BC=OB?cos∠ABO=455．即此時(shí)直線l結(jié)合圖形可知0<k<1如圖2-2所示，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)0，1，由對(duì)稱性可知此時(shí)直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”為45結(jié)合圖形可知k>2．綜上，當(dāng)0<k<12或k>2時(shí)直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”小于②如圖所示，設(shè)直線l與⊙M交于B、C，與y軸交于D，過點(diǎn)M作ME⊥BC于E，連接MB，∴BC=2BE，在Rt△MBE中，由勾股定理得BE=∴當(dāng)ME最大時(shí)，BE最小，即此時(shí)BC最小，∵M(jìn)E≤MD，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，ME最大，即此時(shí)BC最小，∵直線l關(guān)于⊙M的“圓截距”的最小值為22，即B∴BD=1∴MD=M∵D0∴1+b解得b=±1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，一次函數(shù)與幾何綜合，解直角三角形，勾股定理等等，正確理解題意利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．??題型08利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求解23．（2025·湖北十堰·一模）“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個(gè)“老碗”（圖①）的形狀示意圖AB是⊙O的一部分，D是AB的中點(diǎn)，連接OD，與弦AB交于點(diǎn)C，連接OA，OB．已知AB=24cm，碗深CD=8cm，則⊙O的半徑OA為（A．13cm B．16cm C．17cm【答案】A【分析】本題主要考查了垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，設(shè)⊙O的半徑OA為Rcm，并根據(jù)勾股定理列出關(guān)于R先利用垂徑定理的推論得出OD⊥AB，AC=BC=12AB=12cm，再設(shè)⊙O的半徑OA為Rcm【詳解】解：∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=∴∠AOD=∠BOD,∵OA=OB,AB=24cm∴OD⊥AB，設(shè)⊙O的半徑OA為Rcm，則OC=OD?CD=在Rt△OAC中，∠OCA=90°∴OA∴R2=122+R?82，解得：R=13故選：A．24．（2024·云南昆明·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE．若∠BOC=34°，則A．68° B．78° C．88° D．112°【答案】B【分析】本題主要考查了弧與圓心角之間的關(guān)系，根據(jù)同圓中，等弧所對(duì)的圓心角相等得到∠DOE=∠COD=∠BOC=34°，再根據(jù)平角的定義可得答案．【詳解】解：∵BC=CD=∴∠DOE=∠COD=∠BOC=34°，∴∠AOE=180°?∠DOE?∠COD?∠BOC=78°，故選：B．25．（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC=CD，下列說法錯(cuò)誤的是()A．弧AB=弧BC B．∠AOD=3∠BOC C．AC=2CD D．OC⊥BD【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系；根據(jù)題意和垂徑定理，可以得到AC=BD，AB=BC，【詳解】解：∵OB⊥AC，∴，AB=BC，故A正確；∴AD=3BC，∴∠AOD=3∠BOC，故B正確；AC=∴AC=BD<BC+CD=2CD，故C錯(cuò)誤；∵CD=∴OC⊥BD，故D正確；故選：C．??題型09利用弧，弦，圓心角的關(guān)系求最值26．（2023·山西陽(yáng)泉·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝12，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB=20°，N是MB的中點(diǎn)，連接MN，P是直徑AB上的動(dòng)點(diǎn)，若弦MN=2，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為．

【答案】8【分析】如圖所示，作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N'，連接MN'交AB于P，△PMN周長(zhǎng)為PM+PN+MN=2+PM+PN，由對(duì)稱性知△PMN周長(zhǎng)為=2+PM+PN=2+PM+PN'【詳解】解：作點(diǎn)N關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N'，則點(diǎn)N'在⊙O上，連接MN'交

由對(duì)稱性知PN=PN∴△PMN周長(zhǎng)為PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知△PMN周長(zhǎng)的最小為2+MN∵點(diǎn)N是MB的中點(diǎn)，∠MAB=20°，∴MN=∴∠BAN'=10°，∴∠MAN'=20°+10°=30°，∴∠MON'=60°，∴△MON'是正三角形，∴OM=ON'=MN'=1∵M(jìn)N=2，∴△PMN周長(zhǎng)的最小值為2+6=8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)最值問題，涉及圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對(duì)稱性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．27．（2022·河南洛陽(yáng)·一模）如圖，D是以AB為直徑的半圓O的中點(diǎn)，CD=2CB，E是直徑AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知AB=2cm，則圖中陰影部分周長(zhǎng)的最小值是【答案】3【分析】取點(diǎn)C連關(guān)于AB對(duì)稱的點(diǎn)C'，連接DC'交AB于點(diǎn)E，當(dāng)D、E、C【詳解】解：作圖如下：∵CD∴∠COD=2∠BOC=60°∴取點(diǎn)C連關(guān)于AB對(duì)稱的點(diǎn)C'，連接DC'交AB∴DE+CE=DE+C即為DE+CE的最小值，過點(diǎn)D作DH⊥CC'∴CP=OC·sinOP=OC·cos∴CH=OD?CP=1?1HC∵DH=OP=3∴DC∴圖中陰影部分周長(zhǎng)的最小值是3+故答案為：3+【點(diǎn)睛】本題考查的核心原理在于兩點(diǎn)之間的線段最短和垂線段最短，通常在求最值的時(shí)候我們會(huì)借助于幾何三大變化，軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)移，從而轉(zhuǎn)換成兩大核心原理進(jìn)行求解．28．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在半徑為2cm，圓心角為90°的扇形OAB中，BC=2AC，點(diǎn)D是半徑OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→O→A的方向運(yùn)動(dòng)到A的過程中，線段BE、CE與BC所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為【答案】2【分析】分兩種情況討論求解，①當(dāng)點(diǎn)E在線段OB上時(shí)，易得當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)，陰影部分面積最小，連接OC、BC，如圖1，②當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，易得當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，陰影部分面積最小，連接OC、BC，過點(diǎn)C作CF