2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期高頻考點(diǎn)突破專題04基本不等式含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE10專題04基本不等式基本不等式1．均值定理：假如，（表示正實(shí)數(shù)），那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有等號(hào)成立．此結(jié)論又稱均值不等式或基本不等式．2．均值不等式推廣：，其中須要前提條件．叫做平方平均值．3．可以認(rèn)為基本元素為，，；其中隨意一個(gè)為定值，都可以求其它兩個(gè)的最值．考點(diǎn)1：常規(guī)基本不等式問(wèn)題例1.（1）已知，則的最小值為A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故選：．（2）已知，則取最大值時(shí)的值為A． B． C． D．【解答】解：，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最大值故選：．（3）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則等于A．9 B．7 C．5 D．3【解答】解：，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，取得最小值，此時(shí)，．故選：．考點(diǎn)2：基本不等式易錯(cuò)點(diǎn)例2.（1）已知，，，則的最小值是A． B． C． D．【解答】解：由，得，解得且，①當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)；②當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．綜上可得，最小值故選：．（2）已知，，則下列不等式中不成立的是A． B． C． D．【解答】解：，；，當(dāng)時(shí)取“”；，當(dāng)時(shí)取“”；，當(dāng)時(shí)取“”；該不等式成立；，當(dāng)時(shí)取“”；，當(dāng)時(shí)取“”；，當(dāng)時(shí)取“”；該不等式成立；．，當(dāng)時(shí)取“”；，當(dāng)時(shí)取“”；該不等式成立；，當(dāng)時(shí)取“”；；，當(dāng)時(shí)取“”；該不等式不成立．故選：．考點(diǎn)3：基本不等式常見(jiàn)變形例3.已知，且，則取得最小值時(shí)，等于A． B． C． D．【解答】解：（當(dāng)且僅當(dāng)即取得最小值時(shí)，滿意故選：．例4.（1）已知正數(shù)，滿意，則的最小值是A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：正數(shù)，滿意，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值為9．故選：．（2）已知，，且，則最大值是．【解答】解：，，令，上式化為，解得．的最大值即最大值是．故答案為：．（3）若實(shí)數(shù)，滿意，則的最大值是A．6 B．4 C． D．【解答】解：實(shí)數(shù)，滿意，即．再由，可得，解得，，故的最大值為，故選：．例5.（1）已知，，，則的最小值是A．4 B． C．5 D．9【解答】解：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故選：．（2）若正數(shù)，滿意，則的最小值是A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：正數(shù)，滿意，，當(dāng)且僅當(dāng)即且時(shí)取等號(hào)，的最小值是5故選：．例6.（1）設(shè)，，且，求的最大值．【解答】解：，，且，當(dāng)且僅當(dāng)即且時(shí)取等號(hào)，的最大值為（2）設(shè)，則的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)即取等號(hào)．的最小值為4故選：．例7.設(shè)正實(shí)數(shù)，，滿意．則當(dāng)取得最大值時(shí)，的最大值為A．0 B．1 C． D．3【解答】解：，，又，，均為正實(shí)數(shù)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，，此時(shí)，．，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“”，滿意題意．的最大值為1．故選：．例8.（1）函數(shù)的最小值為A．2 B．3 C． D．2.5【解答】解：令，則在，上單調(diào)遞增，，即，函數(shù)的最小值為2.5，故選：．（2）已知，則函數(shù)的最小值為．【解答】解：，，．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最小值．故答案為：．（3）函數(shù)的最大值為．【解答】解：設(shè)，則，．，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最值．．．即原函數(shù)的最大值為．故答案為．課后作業(yè)：1．若，，，則的最小值為A． B．4 C． D．3【解答】解：因?yàn)?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)．故選：．2．已知，，，則的最大值是A．100 B．50 C．20 D．10【解答】解：由，可得：，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．則的最大值是50．故選：．3．實(shí)數(shù)，，，且滿意，則的最小值是A．1 B． C．2 D．3【解答】解：實(shí)數(shù)，，，且滿意，，化為：，，，．解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的最小值是2．故選：．4．若，則的最大值為A． B． C． D．【解答】解