2025中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：規(guī)律探究（考題猜想8種熱考題型）解析版

專題02規(guī)律探究（考題猜想，8種熱考題型）

型大裳合

題型一\規(guī)麟究一數(shù)表規(guī)律（共11題）

題型二：規(guī)撕究一數(shù)字寶塔（共7題）

題型三：規(guī)麟究一乘方規(guī)律（共9題）

題型四：規(guī)麟究幻方規(guī)律（共7題）

規(guī)律探究

題型五：規(guī)律探究幻圓規(guī)律（共7題）

題型六：規(guī)麟究一特殊結(jié)構(gòu)（共維§）

題型七：規(guī)麟究一數(shù)形規(guī)律（共7題）

題型八：規(guī)麟究一列代數(shù)式解決■問題（共4題）

型大通關(guān)

題型一：規(guī)律探究一一數(shù)表規(guī)律（共11題）

1.（2022秋?簡(jiǎn)陽市期中）如圖五個(gè)正方形中各有四個(gè)數(shù)，各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)

此規(guī)律，可推測(cè)出加的值為（）

D.8

【分析】觀察前四個(gè)正方形規(guī)律是：左上、左下、右上三個(gè)數(shù)是連續(xù)的三個(gè)偶數(shù)，右下=左上x左下+右上,

可得機(jī)的值.

【解答】解：由前四個(gè)正方形內(nèi)數(shù)的規(guī)律可知：

每個(gè)正方形左上、左下、右上三個(gè)數(shù)是連續(xù)的三個(gè)偶數(shù)，

故第五個(gè)正方形左下和右上兩數(shù)分別為：-2,0.

而每個(gè)正方形右下的數(shù)=左上的數(shù)x左下的數(shù)+右上的數(shù)，

故〃Z=（-4）X（_2）+0=8.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)

的規(guī)律解決問題.

2.（2021秋?涇陽縣期末）如下表，從左到右在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意二個(gè)相鄰格子

中所填整數(shù)之和都相等，則第2021個(gè)格子中的數(shù)為（）

-1abc25

A.-1B.0C.2D.5

【分析】根據(jù)三個(gè)相鄰格子的整數(shù)的和相等列式求出a、c的值，再根據(jù)第9個(gè)數(shù)是5可得〃=5,然后找出

格子中的數(shù)每3個(gè)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，再用2021除以3,根據(jù)余數(shù)的情況確定與第幾個(gè)數(shù)相同即可得

解.

【解答】解：-任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等，

—1+a+Z?=Q+Z?+c,

解得c=-1,

a+Z?+c=Z?+c+2,

解得a=2,

所以，數(shù)據(jù)從左到右依次為-1、2、b、-1、2、b,

第9個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)相同，即6=5,

所以，每3個(gè)數(shù)“-1、2、5”為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，

2021-3=673.......2,

第2021個(gè)格子中的整數(shù)與第2個(gè)格子中的數(shù)相同為2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，仔細(xì)觀察排列規(guī)律求出a、b、c的值，從而得到其規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

3.（2023秋?鐘山區(qū)期末）幻方的歷史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書”.把洛書用今天的數(shù)學(xué)

符號(hào)翻譯出來，就是一個(gè)三階幻方.將9個(gè)數(shù)填入三階幻方的空格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三

個(gè)數(shù)之和相等.如表是一個(gè)未完成的三階幻方，則表中機(jī)的值為（）

A.1B.2C.4D.6

【分析】設(shè)第1行中間的空格中的數(shù)為利用每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和相等的條件求得。

值，則結(jié)論可求.

【解答】解：設(shè)第1行中間的空格中的數(shù)為a,則其余空格的數(shù)值如下表:

QQ3

0

□LZJ□

由題意得：4+。-4=2+16—。,

a=9.

帆+a+a—4=4+a+2，

.*.m+9+9-4=4+9+2,

:.m=l.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，利用已知條件列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

（2）正方形（〃）中，a=，b-m=.（用含”的代數(shù)式表示）

【分析】（1）觀察大正方形中的四個(gè)數(shù)可知：每個(gè)正方形右上方和左下方的兩個(gè)數(shù)字乘積減去另一條左上方

的的數(shù)=右下方的數(shù)，正方形右上方比左上方的兩個(gè)數(shù)字多4,正方形左上方的數(shù)字比左下方數(shù)字少2,按

照此規(guī)律解答即可；

（2）觀察圖形可知：正方形左下角的數(shù)字是圖形序號(hào)的2倍，按照此規(guī)律，結(jié)合（1）中規(guī)律進(jìn)行解答.

【解答】解：2x4-0=8,4-2=2；4x6=24,24-2=22；6x8=48,48-6=42,

每個(gè)正方形右上方和左下方的兩個(gè)數(shù)字乘積減去另一條左上方的的數(shù)=右下方的數(shù)，正方形右上方比左

上方的兩個(gè)數(shù)字多4,正方形左上方的數(shù)字比左下方數(shù)字少2,

,正方形（4）中，左下方的數(shù)字為8,右上方的數(shù)為10,

二."7=8x10-6=74，

故答案為：74；

（2）觀察圖形可知：正方形左下角的數(shù)字是圖形序號(hào)的2倍，

.?.第（〃）個(gè)圖形中的6=2〃，按照（1）中的規(guī)律可知：a=2〃—2,c=2n-2+4=2n+2,

m=bc-a=2n（2n+2）-（2n-2）=4n2+4n—2n+2=4n2+2n+2,

故答案為：2〃一2,2n,2〃+2,4/?2+2〃+2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解題關(guān)鍵是觀察圖形，找出規(guī)律.

5.（2023秋?坪山區(qū)期末）如表所示每個(gè)表格中的四個(gè)數(shù)都是按相同規(guī)律填寫的，根據(jù)此規(guī)律確定x的值

為—,

-1324-3546a10

0-1314-2-13534.......bX.......

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)第4個(gè)...

【分析】觀察表格中四個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系即可解決問題.

【解答】解：觀察表格中的數(shù)可知，

右上角的數(shù)依次為：3,4,5,6,

所以第〃個(gè)方格中右上角的數(shù)為：n+2.

左上角的數(shù)的絕對(duì)值依次增加1,且第奇數(shù)個(gè)格子中左上角數(shù)為負(fù)數(shù)，第偶數(shù)個(gè)格子中左上角的數(shù)為正數(shù),

又因?yàn)榱?2=10時(shí)，

則〃=8,

所以第8個(gè)格子中右上角的數(shù)為10,

則第8個(gè)格子中左上角的數(shù)為8,即a=8.

又因?yàn)?1+1=0,2+1=3,—3+1=—2,4+1=5,....

所以b=a+l=9.

觀察表格可知，左下角與右上角的數(shù)字之積加上左上角的數(shù)字等于右下角的數(shù)字,

所以x=10Z?+a=10x9+8=98.

故答案為：98.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)給出的表格中的數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

6.(2023秋?蓮池區(qū)校級(jí)期末)數(shù)學(xué)活動(dòng)——探究日歷中的數(shù)字規(guī)律：如圖1是2023年11月份的日歷，小

樂在其中畫出一個(gè)3x3的方框(粗線框),框住九個(gè)數(shù),計(jì)算其中位置如圖2所示的四個(gè)數(shù)“(6+c)-(a+d)”

的值.探索其運(yùn)算結(jié)果的規(guī)律.

(1)初步分析：計(jì)算圖1中(8+20)-(6+22)的結(jié)果為；

將3x3的方框移動(dòng)到圖1中的其他位置，通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)(6+。)-(。+d)的值均為—；

(2)數(shù)學(xué)思考：小樂認(rèn)為(1)中猜想正確，其說理的過程如下，請(qǐng)你將其補(bǔ)充完整.

解：設(shè)“=x,貝!|6=x+2,c=x+14,d=,

(。+c)—(a+d)，

—(x+2+%+14)—()9

所以，S+c)-(a+d)的值均為

(3)拓廣探究：同學(xué)們利用小樂的方法，借助圖1中的日歷，繼續(xù)進(jìn)行如下探究.請(qǐng)從下列A,3兩題中

任選一題作答.我選擇—題.

A.在日歷中用“Z型框”框住位置如圖3所示的四個(gè)數(shù)，探究“(6+c)-(a+d)”的值的規(guī)律，寫出你的

結(jié)論，并說明理由;

B.在日歷中用“y型框”框住位置如圖4所示的四個(gè)數(shù)，探究“s+c)-(a+d)”的值的規(guī)律，寫出你的

圖1圖2圖3圖4

【分析】(1)計(jì)算所列式子即可;

(2)根據(jù)框出數(shù)字規(guī)律填空即可；

(3)A：設(shè)〃=%,貝!%+1,c=x+8,d=x+9,再代入計(jì)算即可；

B：設(shè)〃=%,貝1j〃=x+2,c=x+8,d=x+15,再代入計(jì)算即可.

【解答】解：(1)(8+20)-(6+22)

=28-28

=0；

將3x3的方框移動(dòng)到圖1中的其他位置，總有Z?=〃+2,c=a+14,d=i+16,

(Z?+c)—(tz+d)

=(a+2+a+14)—(a+a+16)

=0；

故答案為：0；0；

(2)設(shè)〃=%,則Z?=x+2,c=%+14,d=x+16,

(Z?+c)—(a+d)f

=(x+2+x+14)—(x+x+16)9

=0,

所以，S+c)-(a+d)的值均為0；

故答案為：x+16；x+x+16；0；0；

(3)A.S+c)—(a+d)的值均為0；理由：

設(shè)〃=工，則)=尤+1,。=%+8,d=x+9,

S+c)—(a+d)

—(x+1+%+8)—(x+x+9)

—2%+9—2%—9

=0；

(Z?+c)-(6Z+d)的值均為0.

B.g+c)—(a+d)的值均為一5；理由：

設(shè)〃=%,則匕=九+2,。=尤+8,d=%+15,

(b+c)(a+d)

=(x+2+x+8)—(x+x+15)

2%+10-2x一15

=—5，

，（6+c）-（a+d）的值均為-5.

故答案為：A（或5）；

【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的加減，解題的關(guān)鍵是能觀察得到日歷表中框出數(shù)字的規(guī)律.

7.（2023秋?恩平市期末）如圖1,邊長(zhǎng)為。st的正方形硬紙板的4個(gè)角上剪去相同的小正方形，這樣可

制作一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒，設(shè)底面邊長(zhǎng)為xcm.

（1）這個(gè)紙盒的底面積是cm2,高是cm（用含。、x的代數(shù)式表示）.

（2）x的部分取值及相應(yīng)的紙盒容積如表所示:

x/cm123456789

紙盒容m72n

積/cm3

請(qǐng)通過表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算：相=

（3）若將正方形硬紙板按圖2方式裁剪，亦可制作一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒.

①若為該紙盒制作一長(zhǎng)方形蓋子，則該長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別是—cm,—cm（用含。、y的代數(shù)式表

示）；

②已知A,B,C,。四個(gè)面上分別標(biāo)有整式2（m+2）,加，-3,6,且該紙盒的相對(duì)兩個(gè)面上的整式的和

相等，求機(jī)的值.

a--------

rFH下

：;B

<-X—>

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式結(jié)合進(jìn)行計(jì)算即可;

（2）利用紙盒的容積的公式求出a的值，然后把尤=2,x=9代入進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）①結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算即可解答；②結(jié)合圖形可知A與C相對(duì)，3與。相對(duì)，然后進(jìn)行即可解答.

【解答】解：（1）這個(gè)紙盒的底面積是/。/，高是Ue”，

2

故答案為：一,生；

2

（2）由題意得:

當(dāng)％=6時(shí)，紙盒的容積為72°加，

2a—x”

/.x-------=72，

2

“a—6f

36---------72，

2

a-10,

10—?

.?.當(dāng)x=2時(shí)，m=4x-------=16,

2

、匕eg10-981

Tx=9時(shí),〃=8Q1x-------=——，

22

故答案為：16,—；

2

(3)①若為該紙盒制作一個(gè)長(zhǎng)方形蓋子，則該長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)分別是ycm,(a-2y)cm,

故答案為：y,a-2y；

②由圖可知：A與C相對(duì)，5與。相對(duì),

由題意得:

2(m+2)+(—3)=m+6,

2m+4—3=m+6，

m=5，

二.m的值為5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，列代數(shù)式，整式的加減，解一元一次方程，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)

行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?青島期中）如表所示的數(shù)中，第〃+3個(gè)數(shù)比第幾個(gè)數(shù)大2（其中〃是正整數(shù)）.

第1個(gè)數(shù)第2個(gè)數(shù)第3個(gè)數(shù)第4個(gè)數(shù)第5個(gè)數(shù)

abCa+2匕+2

（1）第6個(gè)數(shù)可表示為；第7個(gè)數(shù)可表示為

（2）若第22個(gè)數(shù)是12,第23個(gè)數(shù)為61,則。=,b=；

（3）第2025個(gè)數(shù)可表示為.

【分析】（1）根據(jù)題意直接求解即可；

（2）通過觀察發(fā)現(xiàn)，每組三個(gè)數(shù)，后一組的三個(gè)數(shù)分別比前一組的三個(gè)數(shù)大2,由此可知第〃組數(shù)是

a+2（n-l）,b+2（〃一1）,c+2（〃一1）,根據(jù)題意可得a+14=12,人+12=61,求出a、b的值即可；

（3）由（2）的規(guī)律，可知第2025個(gè)數(shù)是c+2x（675-l）=c+1348.

【解答】解：(1)第6個(gè)數(shù)比第3個(gè)數(shù)大2,

.?.第6個(gè)數(shù)是c+2,

第7個(gè)數(shù)比第4個(gè)數(shù)大2,

.?.第7個(gè)數(shù)是。+4,

故答案為：C+2,67+4:

(2)第一組數(shù)是a、b、c,

第二組數(shù)是a+2,b+2,c+2,

第三組數(shù)是a+4,6+4,c+4,

.?.第〃組數(shù)是a+2(〃-l),b+2(n-l),c+2(n-l),

22+3=7.......1,

.?.第22個(gè)數(shù)是a+14,第23個(gè)數(shù)是6+14,

?.?第22個(gè)數(shù)是12,第23個(gè)數(shù)為61,

a=-2,b=47,

故答案為：-2,47；

(3)2025+3=675,

.?.第2025個(gè)數(shù)是c+1348,

故答案為：c+1348.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的數(shù)，探索出每組數(shù)的規(guī)律，從而得到一般性結(jié)論是解題

的關(guān)鍵.

9.(2023秋?盂縣期末)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

書柜中序號(hào)的秘密

數(shù)學(xué)課上，李老師借助教室里書柜上的號(hào)碼(如圖1),帶領(lǐng)同學(xué)們展開活動(dòng)，探尋數(shù)字之間存在的規(guī)律.

1234567891011121314

1516171819202122232425262728

2930313333343536373839404142

4344454647484950515253545556

57585960616263646566衛(wèi)生工具

圖1

勤奮小組發(fā)現(xiàn)：如圖2,用陰影任意框出一個(gè)“Z字型”，下面兩行數(shù)字之和與上面兩行數(shù)字之和作差可得

到一個(gè)定值.

1234567891011121314

1516171819202122232425262728

2930313233343536373839404142

4344454647484950515253545556

57585960616263646566衛(wèi)生工具

圖2

若將“Z字型”中左上角的數(shù)字設(shè)為加，則上面一行右邊的數(shù)字為帆+1,下面一行左邊的數(shù)字為根+15,

右下角的數(shù)字為m+16.所以[(%+15)+0+16)]-[加+(加+1)]=30.

智慧小組受到勤奮小組的啟發(fā)，如圖3,用陰影任意框出一個(gè)字型”，發(fā)現(xiàn)七個(gè)數(shù)字之和與中間數(shù)字存

在著一定的關(guān)系.

1234567891011121314

1516171819202122232425262728

2930313233343536373839404142

4344454647484950515253545556

57585960616263646566衛(wèi)生工具

圖3

任務(wù)：

(1)請(qǐng)寫出智慧小組發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，并說明理由.

(2)小明同學(xué)提出：在圖3中，智慧小組框出的七個(gè)數(shù)字之和可以等于364.他說的正確嗎？請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)根據(jù)表格中的數(shù)字上下左右之間的關(guān)系即可解決問題.

(2)根據(jù)(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題.

【解答】解：(1)七個(gè)數(shù)字之和是中間數(shù)字的7倍.

設(shè)“修字型”的中間數(shù)字為x,則同一行的前一個(gè)數(shù)字為尤-1,后一個(gè)數(shù)字為尤+1,上一行的兩個(gè)數(shù)字分別

為x-15和x-13,下一行的兩個(gè)數(shù)字分別為x+13和x+15,

所以(x-15)+(x-13)+(x-l)+x+(x+l)+(x+13)+(x+15)=7x.

故七個(gè)數(shù)字之和是中間數(shù)字的7倍.

(2)小明同學(xué)說的不正確.

因?yàn)?64+7=52,

但圖中數(shù)字52的右下角沒有數(shù)字，

即智慧小組框出的七個(gè)數(shù)字之和不可以等于364.

所以小明同學(xué)說的不正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列代數(shù)式，能根據(jù)所給表格發(fā)現(xiàn)數(shù)字上下左右之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.(2023秋?湖北期中)如表，從左邊第一個(gè)格子開始向右數(shù)，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其

中任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等.

11ab2-7c

(1)可求得a=,b=，c=；

(2)第2023個(gè)格子中的數(shù)為；

(3)若前，"個(gè)格子中所填整數(shù)之和S=666,則小的值為多少？若S=2O33,機(jī)的值為多少？

(4)若4Vxec”則|x-a|+|x-6|+|x-c|的最小值為.

【分析】(1)根據(jù)任意三個(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和都相等即可解決問題.

(2)由(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題.

(3)由(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題.

(3)利用數(shù)形結(jié)合的思想即可解決問題.

【解答】解：⑴令表格中。的前后兩個(gè)數(shù)分別為加和〃，

因?yàn)楸砀裰腥我馊齻€(gè)相鄰格子中所填整數(shù)之和相等，

所以+〃，

貝！J〃=n.

同理可得，。=2,加=6=-7,c=ll.

故答案為：2,-7,11.

(2)由(1)可知，

表格中的數(shù)按11,-7,2循環(huán)出現(xiàn)，

又因?yàn)?023+3=674余1,

所以第2023個(gè)格子中的數(shù)為11.

故答案為：11.

(3)因?yàn)?1+(-7)+2=6,

即表格中每三個(gè)連續(xù)格子中的整數(shù)之和為6,

又因?yàn)?66+6=111,且111x3=333,

所以表格中前333個(gè)格子中所填整數(shù)之和為666,

故此時(shí)m=333.

又因?yàn)?033+6=337余11,

且337x3+1=1012,

所以表格中前1012個(gè)格子中所填整數(shù)之和為2033,

故此時(shí)加=1012.

(4)由(1)知，

a=2,b=—7,c=11,

以|龍一|+1.V—Z?|+1JV—cRx—2|+|龍+7|+|龍一111，

則此代數(shù)式的值可看成數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到表示2,-7和11三個(gè)點(diǎn)的距離之和，

又因?yàn)橐?＜》＜11,

所以當(dāng)表示尤的點(diǎn)在表示2的點(diǎn)的位置時(shí)，代數(shù)式有最小值，

最小值為：|2-2|+|2+7|+|2-11|=18.

故答案為：18.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值及數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)題意得出表格中的數(shù)按11,-7,2循環(huán)出現(xiàn)是解題的

關(guān)鍵.

11.(2022秋?連平縣期末)如圖，從左到右，在每個(gè)小格子中都填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰格

子中所有整數(shù)之和都相等.

(2)定義新運(yùn)算，a*b=2(a+b),例如5*6=2x(5+6)=22,若y=[(—I)*(-0.5)]*2,貝Uy=.

(3)數(shù)軸上A、3兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)為y、x(已在前兩問求得)，尸點(diǎn)為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，尸點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，如果

A點(diǎn)、3點(diǎn)和尸點(diǎn)分別以速度為1、2、3(單位長(zhǎng)度/秒)向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過幾秒后，尸為4?的中點(diǎn).

【分析】(1)由題意可得：9+*+^=*+^+x,從而可確定尤=9；進(jìn)一步可確定★=-6,則可確定眾

=2；

(2)把相應(yīng)的值代入到新定義的運(yùn)算中計(jì)算即可；

(3)可設(shè)經(jīng)過x秒后。為AB的中點(diǎn)，列出相應(yīng)的方程解答即可.

【解答】解：(1)由題意得：9+*++=*+翁+工，

:.x=9J

★+☆+%=☆+%+(-6),

/.★=-6,

，☆二2；

故答案為：9；—6；2；

(2)y=[(T)*(-0.5)]*2

=[2x(-1-0.5)]*2

=-3*2

=2x(—3+2)

=—2，

故答案為：-2；

(3)設(shè)經(jīng)過，秒后，尸為AB的中點(diǎn)，依題意得：

-2+t+9+2t.

------------------=5t

2

7

/.t=一,

3

經(jīng)過？秒后，P為相的中點(diǎn).

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，列出相應(yīng)的

方程.

題型二：規(guī)律探究一一數(shù)字寶塔(共7題)

1.(2022秋?越秀區(qū)期末)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)了如圖所示的三角形數(shù)表，我們稱之為“楊輝三角”，

圖中兩線之間的一列數(shù)：1,3,6,10,15,....我們把第一個(gè)數(shù)記為4,第二個(gè)數(shù)記為由，第三個(gè)數(shù)記為

a3,第〃個(gè)數(shù)記為a“，則g+如值是()

1

A.96B.45C.76D.78

【分析】根據(jù)前幾個(gè)數(shù)的特點(diǎn)，找到規(guī)律.再代入求值.

【解答】解：第一個(gè)數(shù)記為4=1,第二個(gè)數(shù)記為4=3,第三個(gè)數(shù)記為〃3=6,…，第〃個(gè)數(shù)記為

Un=1+2+3+........+H=--——

二.g+%=10+—x11x12=10+66=76,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

2.(2021秋?橋西區(qū)校級(jí)期末)觀察下面一列數(shù)：-1,2,-3,4,-5,6,-7…，將這列數(shù)排成下列形式:

照上述規(guī)律排下去，則第九行中左邊第6個(gè)數(shù)是()

-1

2-34

-56-78-9

10-1112-1314-1516

A.70B.-70C.69D.-69

【分析】根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第〃行數(shù)的個(gè)數(shù)為2〃-1,第w個(gè)數(shù)是(-1)5,可得答案.

【解答】解：通過觀察，第1行數(shù)最后一個(gè)數(shù)是1,

第2行數(shù)最后一個(gè)數(shù)是負(fù)的2的平方，

第8行數(shù)最后一個(gè)數(shù)是8的平方是64,

第9行數(shù)的第一個(gè)數(shù)是-65,第9行第6個(gè)數(shù)是70,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第〃行數(shù)的個(gè)數(shù)為2〃-1,第〃個(gè)數(shù)是(T)"w是解題關(guān)鍵.

3.(2022秋?恩施市期中)將自然數(shù)按照下列規(guī)律排列成一個(gè)數(shù)陣根據(jù)規(guī)律，自然數(shù)2021應(yīng)該排在從上往

下數(shù)的第7"行，是該行中從左往右數(shù)的第〃個(gè)數(shù)，那么〃7+〃=()

o

23

4568

91()1112131415

A.129B.130C.131D.132

【分析】每行的第一個(gè)數(shù)是5-1）2,第〃行的數(shù)字的個(gè)數(shù)是2〃-1,所以2021在第45行，45行第一個(gè)數(shù)字

是1936,45行有89個(gè)數(shù)字，進(jìn)而得出2021是第86個(gè)數(shù)據(jù)，從而得出答案.

【解答】解：.每行的第一個(gè)數(shù)是5-1）2,

第〃行的數(shù)字的個(gè)數(shù)是2〃-1,

,第45行第一個(gè)數(shù)字為：（45-1）2=1936,

第46行第一個(gè)數(shù)字為：（46-=2025,

二.2021在第45行，共有89個(gè)數(shù),

2021-1936=85,

.?.2021在第(85+1)=86(位)，

/.m=45?〃=86,

m+n=131.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類.解題關(guān)鍵是確定第45行的第一個(gè)數(shù)字和第46行的第一個(gè)數(shù)

字.

4.（2021秋?荔灣區(qū)校級(jí)期中）己知一列數(shù)：1、-2、3、-4、5、-6、…，將這列數(shù)排成如圖形式:

1

-23

-45-6

7-89-10

11-1213-1415

按照上述規(guī)律排列下去，第10行數(shù)的第1個(gè)數(shù)是.

【分析】觀察排列規(guī)律得到第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，第3行有1個(gè)數(shù)，…，第9行有9個(gè)數(shù)，

則可計(jì)算出前9行的數(shù)的個(gè)數(shù)45,而數(shù)字的序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)字為負(fù)數(shù)，于是可判斷第10行數(shù)的第1個(gè)

數(shù).

【解答】解：第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，第3行有1個(gè)數(shù)，…，第9行有9個(gè)數(shù)，

所以前9行的數(shù)的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+9=45，

而數(shù)字的序號(hào)為奇數(shù)時(shí)，數(shù)字為正數(shù)，數(shù)字的序號(hào)為偶數(shù)時(shí)，數(shù)字為負(fù)數(shù)，

所以第10行數(shù)的第1個(gè)數(shù)為T6.

故答案為：-46.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，利用數(shù)字與序號(hào)數(shù)的關(guān)系解決這類問題.

5.(2021秋?鳳山縣期末)觀察下面一列數(shù)：1,-2,3,-4,5,-6,7…將這列數(shù)排成如圖形式，a訥第

i行第j列，如a2i=-2,那么/=?

1

-23-4

5-67-89

-1011-1213-1415-16

【分析】先確定第"行數(shù)字個(gè)數(shù)，再確定第7行數(shù)字個(gè)數(shù)和前7行數(shù)字總個(gè)數(shù)，最后可確定出3對(duì)應(yīng)數(shù)字.

【解答】解：第〃行有(2〃-1)個(gè)數(shù)字，

所以第7行有13個(gè)數(shù)字，前7行共有1+3+5+7+9+11+13=49個(gè)數(shù)字，且最后一個(gè)數(shù)字是49,

所以。83是-52，

故答案為：-52.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字規(guī)律探索.確定每行數(shù)字個(gè)數(shù)和前〃行數(shù)字總個(gè)數(shù)是解答關(guān)鍵.

6.(2023秋?梁子湖區(qū)期中)將自然數(shù)按照下列規(guī)律排列成一個(gè)數(shù)陣，根據(jù)規(guī)律，自然數(shù)2023應(yīng)該排在從

上往下數(shù)的第機(jī)行，是該行中從左往右數(shù)的第〃個(gè)數(shù)，那么〃的值是

0

123

45678

9101112131415

【分析】數(shù)字的變化類.每〃行的第一個(gè)數(shù)是5-1>,第〃行的數(shù)字的個(gè)數(shù)是2〃-1,在第45行的第一個(gè)數(shù)

字是(45-I)?=1936,第45行里有2x45-1=89個(gè)數(shù)字，進(jìn)而得出2023-1936=87,故2023是第88個(gè)數(shù)

據(jù)，從而得出答案.解題關(guān)鍵是確定第45行的第一個(gè)數(shù)字和第45行的個(gè)數(shù).

【解答】解：依題意，

第一行的第一個(gè)數(shù)是0,0=(1-1)?,第一行里有1個(gè)數(shù)，l=2xl-l；

第二行的第一個(gè)數(shù)是1,1=（2-1）2,第一行里有3個(gè)數(shù)，3=2x2-l；

第三行的第一個(gè)數(shù)是4,4=（3-1）2,第一行里有5個(gè)數(shù)，5=2x3-1；

.?.每〃行的第一個(gè)數(shù)是第〃行的數(shù)字的個(gè)數(shù)是2"-1,

因?yàn)?936<2023<2025,

即(45-I)?<2023<(46-I)?

.?.2023在第45行,

則第45行的數(shù)字的個(gè)數(shù)是2x45-1=89,共有89個(gè)數(shù),

2023-1936=87,

因?yàn)榈?5行的第一位數(shù)是1936,

.?.2023在第87+1=88（位），

.?.根=45,71=88,

m+n=45+88=133.

故答案為：133.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了代數(shù)式，以及已知字母的值求代數(shù)式，以及列代數(shù)式規(guī)律型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵.

7.（2020秋?廬陽區(qū)期末）如圖數(shù)表是由1開始的連續(xù)自然數(shù)組成的，觀察規(guī)律并完成各題的解答:

1

234

56789

10111213141516

171819202122232425

2627282930313233343536

（1）第8行的最后一個(gè)數(shù)是一；

（2）第〃行的第一個(gè)數(shù)是—，第〃行共有一個(gè)數(shù)；

（3）數(shù)字2021排在第幾行？從左往右數(shù)，第幾個(gè)？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由.

【分析】（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，從而可以寫出第8行的最后一個(gè)數(shù)；

（2）根據(jù)題意和（1）中發(fā)現(xiàn)的數(shù)字變化特點(diǎn)，可以寫出第幾行的第一個(gè)數(shù)和第〃行的數(shù)字個(gè)數(shù)；

（3）根據(jù)前面發(fā)現(xiàn)的數(shù)字的變化特點(diǎn)，可以寫出數(shù)字2021排在第幾行，從左往右數(shù)，第幾個(gè)，并說出理

由.

【解答】解：(1)由圖中的數(shù)據(jù)可知，第〃的行的最后一個(gè)數(shù)據(jù)是每一行中的數(shù)據(jù)都是按照從小到大排

列的，每行的數(shù)字個(gè)數(shù)依次為1,3,5,是一些連續(xù)的奇數(shù)，

故第8行的最后一個(gè)數(shù)是G=64,

故答案為：64；

(2)由題意可得，

第"行的第一個(gè)數(shù)是：5-1)2+1=/-2〃+1+2=/-2九+2,

第，行共有(2〃-1)個(gè)數(shù)，

故答案為：-2〃+2,(2M-1)；

(3)2021是第45行從左往右數(shù)第85個(gè)數(shù).

理由：2021<2025=452,

.?.2021排在第45行，第45行共有2x45-1=89個(gè)數(shù),

.-.2025是第45行從左往右數(shù)第89個(gè)數(shù)，

二2021是第45行從左往右數(shù)第85個(gè)數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的數(shù)字.

題型三：規(guī)律探究一一乘方規(guī)律(共9題)

1.(2023春?泗縣期末)任意大于1的正整數(shù)機(jī)的三次幕均可“分裂”成機(jī)個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如：23=3+5,

33=7+9+11,43=13+15+17+19,…按此規(guī)律，若加分裂后，其中有一個(gè)奇數(shù)是2023,則優(yōu)的值是(

)

A.46B.45C.44D.43

【分析】觀察可知，分裂成的奇數(shù)的個(gè)數(shù)與底數(shù)相同，然后求出到疝的所有奇數(shù)的個(gè)數(shù)的表達(dá)式，再求出

奇數(shù)2023的是從3開始的第1011個(gè)數(shù)，然后確定出1011所在的范圍即可得解.

【解答】解：,底數(shù)是2的分裂成2個(gè)奇數(shù)，底數(shù)為3的分裂成3個(gè)奇數(shù)，底數(shù)為4的分裂成4個(gè)奇數(shù)，

分裂成機(jī)個(gè)奇數(shù)，

所以，從23到疝的奇數(shù)的個(gè)數(shù)為：2+3+4+...+*('"+2)(*1),

2

2/1+1=2023,〃=

奇數(shù)2023是從3開始的第1011個(gè)奇數(shù)，

(44+2)(44-1)=989,鄧+2)(45-1)=.,

22

.?.第1011個(gè)奇數(shù)是底數(shù)為45的數(shù)的立方分裂的奇數(shù)的其中一個(gè),

即相=45.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運(yùn)算，觀察出分裂的奇數(shù)的個(gè)數(shù)與底數(shù)相同是解題的關(guān)

鍵，還要熟練掌握求和公式.

2.(2022秋?岳西縣期末)觀察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2；已知

按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2m,2101,2102,2199,2200,若2i°°=a,用含。的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是

()

A.2/—2a—2B.2a~+CLC.2a~—2aD.2a~—a

【分析】將所給數(shù)據(jù)相加，提取2儂再結(jié)合題中所給規(guī)律即可解決問題.

【解答】解：由題知，

2必+2⑼+*+...+2200=2100X(1+2+22+...+2100)

根據(jù)題中所給等式可知,

2+22+23+...+2100

所以原式=21°°〉(1+2101_2)

=2100x(2x2100-l),

又因?yàn)?洶=。，

所以原式=a(2a-1)=2a2—a.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律及列代數(shù)式，能根據(jù)所給等式發(fā)現(xiàn)2+2?+2?+…+U=2向-2(〃為正整

數(shù))是解題的關(guān)鍵.

3.(2023秋?漢川市期末)閱讀材料：大數(shù)學(xué)家高斯在上學(xué)讀書時(shí)曾經(jīng)研究過這樣一個(gè)問題：

1+2+3+…+100=?經(jīng)過研究，這個(gè)問題的一般性結(jié)論是1+2+3++〃=；〃(〃+1),其中〃是正整數(shù).現(xiàn)

在我們來研究一個(gè)類似的問題：1X2+2X3+3X4+...+"(〃+1)=?觀察幾個(gè)特殊的等式：

Ix2=1x(lx2x3-Oxlx2),2x3=1x(2x3x4-lx2x3),3x4=1x(3x4x5-2x3x4),將這三個(gè)等式的

兩邊相加，可以得到1X2+2X3+3X4=2X3X4X5=20.讀完這段材料，請(qǐng)你思考后計(jì)算：

3

Ix2+2x3+3x4+…+50x51的值是()

A.41650B.44200C.46852D.49608

【分析】根據(jù)所給等式，求出lx2+2x3+...+〃(〃+l)即可解決問題.

【解答】解：由題知,

S^lx2=|x(lx2x3-0xlx2),

2x3=1x(2x3x4-lx2x3),

3x4=^x(3x4x5-2x3x4),

...f

n(n+1)=g[n(n+l)(n+2)—(n—V)n(n+1)]；

將以上等式兩邊相加得，

1X2+2X3+3X4+...+n(n+1)=gn(n+l)(n+2),

當(dāng)〃=50時(shí)，

1X2+2X3+3X4+...+50X51=-X50X51X52=44200.

3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)所給等式得出Ix2+2x3+3x4+…+%+1)=+伽+1)(/1+2)是

解題的關(guān)鍵.

4.(2023秋?涼山州期末)大于1的正整數(shù)，"的三次幕可“分裂”成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如23=3+5,

33=7+9+11,43=13+15+17+19,…則”3分裂出的奇數(shù)中最大是()

A.165B.169C.179D.181

【分析】根據(jù)題中所給等式，發(fā)現(xiàn)等式右邊連續(xù)奇數(shù)的個(gè)數(shù)與左邊的底數(shù)相同，且等式右邊中間兩個(gè)數(shù)的平

均數(shù)或一個(gè)數(shù)為左邊底數(shù)的平方，據(jù)此可解決問題.

【解答】解：由題知，

等式右邊連續(xù)奇數(shù)的個(gè)數(shù)與左邊的底數(shù)相同，

所以133可分裂成連續(xù)13個(gè)奇數(shù)的和.

又因?yàn)榈仁接疫呑钪虚g一個(gè)或兩個(gè)奇數(shù)的平均數(shù)為左邊底數(shù)的平方，

所以133所分裂成的13個(gè)奇數(shù)最中間一個(gè)奇數(shù)為：13?=169，

貝！1169+2x6=181,

即133分裂出的奇數(shù)中最大是181.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字變化的規(guī)律，能根據(jù)所給等式發(fā)現(xiàn)療所分裂成連續(xù)奇數(shù)的個(gè)數(shù)及最中間一個(gè)或兩個(gè)

數(shù)平均數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?德城區(qū)期末）觀察下列等式：7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

根據(jù)其中的規(guī)律可得7°+7+7?++72儂的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是—.

【分析】先根據(jù)題目中所給運(yùn)算結(jié)果歸納出7"尾數(shù)的出現(xiàn)規(guī)律，再運(yùn)用該規(guī)律進(jìn)行求解.

【解答】解：?7°=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,

.?.7"尾數(shù)按1,7,9,3,…四次一循環(huán)周期的規(guī)律出現(xiàn)，

且7+9+3+1=20,

（2023+1）+4=506,

.-.20x506=10120,

即7。+7+7?++7283的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是0,

故答案為：0.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了算式規(guī)律的歸納能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解題意，并通過觀察、計(jì)算、歸納進(jìn)行求解.

6.（2023秋?蒙城縣期末）觀察下列算式，

12=1x2x3；F+2?=2X3X5；+22+32=3X4X7；

666

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用一個(gè)含〃的算式表示：12+22+32……+”2=

【分析】根據(jù)所提供的算式，即可分析得出所求規(guī)律.

【解答】解：由題所提供的算式得，

3+32……+〃2="（力+1）（2〃+1）,

6

故答案為：〃（〃+1）（2〃+1）.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字算式的規(guī)律的探究，弄清所給算式的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

7.（2023秋?歷下區(qū)期末）【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在計(jì)算過程中有一個(gè)有趣的發(fā)現(xiàn)：

[21x2x31

1=------=1；

6

12+22=2x3x5=5；

6

F+22+32=lrlrZ=i4；

6

222

12+2+3+4=^^=30.

6

【解決問題】

(1)12+22+32+42+52=.

(2)12+22+32+42++儲(chǔ)=.

【應(yīng)用新知】

對(duì)于自然數(shù)。和〃，規(guī)定+(4—1)",如52i2=5?+(5—I)?=41.

(3)i+M1A2+2A2+3A2+4A2++12A2.

【分析】(1)根據(jù)題干中的等式總結(jié)規(guī)律即可求得答案；

(2)根據(jù)題干中的等式總結(jié)規(guī)律即可求得答案；

(3)根據(jù)規(guī)定列式后利用所得規(guī)律計(jì)算即可.

【解答】解：(1)I2^1X(1+1)X(2X1+1)=I；

6

儼+2?=2X(2+1)X(2X2+1)=§.

~6-；

12+22+32=3X(3+1)X(2X3+1)=14；

6

F+22+32+42+于=5X(5+DX(2X5+1)=55.

6

故答案為：55；

2222

(2)1+2+3+4++*=以”+1)(2"+1),

6

故答案為：n(n+l)(2n+l)；

6

(3)原式=F+(1-1)2+22+(2-1)2+32+(3-1)2+...+12?+(12-1)2

=12+02+22+12+32+22+...+122+112

=02+12+12+22+22+...+102+112+112+122

=02+2X(12+22+...+112)+122

ccllx(ll+l)x(2xll+l)

=0+2x——--------------+144

6

=0+1012+144

=1156.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算及規(guī)律探索問題，結(jié)合已知條件總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

8.(2023秋?禹州市期中)已知九.2,且力為自然數(shù)，對(duì)/進(jìn)行如下“分裂”，可分裂成〃個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，

如圖：

即如下規(guī)律：22=1+3,32=1+3+5,4?=1+3+5+7,....

(1)按上述分裂要求，將5分裂成奇數(shù)和的形式：52=；IO?可分裂的最大奇數(shù)為.

(2)按上述分裂要求，/可分裂成連續(xù)奇數(shù)和的形式是：川=1+3+5+…+(填最大奇數(shù)，用含〃的

式子表示)；

(3)用上面的規(guī)律求：(n+l)2-n2.

【分析】(1)根據(jù)題意分別寫出52和IO?的分裂，即可得出答案；

(2)根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行總結(jié)即可；

(3)利用(2)中得出的規(guī)律，進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)由題意得，52=14-3+5+7+9；102=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19,10?可分裂的

最大奇數(shù)為19；

故答案為：1+3+5+7+9,19；

(2)由題意得，/=1+3+5+…+(2〃-1),

故答案為：(2〃-1)；

(3)由(2)得：(n+1)2=1+3+5++(2?-1)+[2(?+1)-1],

=1+3+5++(2〃—1)?

(n+1)2-n2

=1+3+5++(2zi-l)+[2(n+l)-l]-(l+3+5++2?-1)

=2(〃+1)-1

=2〃+1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字規(guī)律類題意，涉及整式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

9.（2023秋?平輿縣期中）在求兩位數(shù)的平方時(shí)，可以用“列豎式”的方法進(jìn)行速算，求解過程如圖所示.

（1）仿照?qǐng)D1,在下面的圖中補(bǔ)全67的平方的“豎式”；

（2）仿照?qǐng)D1的方法，用“列豎式”的方法計(jì)算一個(gè)兩位數(shù)的平方，部分過程如圖2所示，并且這個(gè)兩位

數(shù)某一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字也是。，則這個(gè)兩位數(shù)為（用含。的代數(shù)式表示）.

672=4489|