2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：一元一次方程（考點(diǎn)清單）解析版

【考點(diǎn)題型十一二】分?jǐn)?shù)類形討結(jié)論合思想

t考點(diǎn)題型十】整體思想

【考點(diǎn)題型九】方案決策問(wèn)題

【考點(diǎn)題型八】分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題

專題05次方程（考點(diǎn)清單，5個(gè)考點(diǎn)清單+12種題型解讀）

【【考清點(diǎn)單題01型】六一】元銷一售次問(wèn)方題程的概念

［【清單02】等式的基本性質(zhì)

ah考點(diǎn)清單’【清單03】一元一次方程的解法

《【清單04】一元一次方程的應(yīng)用

\【清單05】用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型

【考點(diǎn)題型五】工程問(wèn)題

【考點(diǎn)題型一】一元一次方程及其解

1考點(diǎn)題型二】等式的性質(zhì)

一元一次方程【考點(diǎn)題型三】解一元一次方程

【考點(diǎn)題型四】配套問(wèn)題

點(diǎn)儕單

____________1.等式的兩邊加（或減）同T數(shù)（或擊子），結(jié)果仍相等

等式的性質(zhì)k2.等式的兩邊I乘樂(lè)—或除以同』不為0的數(shù)結(jié)果仍相

\等

只含有一個(gè)未知數(shù)（無(wú)），且含有君瞰的式子都是整式，未

堿的次數(shù)都是1的方程

（1.去分母:方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)

_元一次方程,（2.卻舌號(hào):碘雌

一\解法，3.移項(xiàng):移鰻變導(dǎo)一

元

合并同類項(xiàng):依據(jù)合并同類項(xiàng)法則

次；4.

方

\5.系數(shù)化為1:方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)

程

1.審題2.找相等關(guān)系

一」直接設(shè)未知數(shù)

3設(shè).未知數(shù)

-----------\間接設(shè)未知數(shù)

一元一次方程的應(yīng)用4列.方程5廨方程

.s人（1）是否符A元一次方程

6.檢驗(yàn)/~

-----------<（2）是否符合實(shí)際

7寫.答

【清單01】一元一次方程的概念

1.方程：含有未知數(shù)的等式叫作方程.

2.方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。

3.一元一次方程定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是一次，且兩邊都是整式的方程叫作一元一次方

程。

細(xì)節(jié)剖析：

判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：

①只含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)為丘_

②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù).

4.一元一次方程的解：能使一元一次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。

【清單02】等式的基本性質(zhì)

等式的性質(zhì)1等式的兩邊都加上(或都減去)同一個(gè)數(shù)或式，所得結(jié)果仍是等式。

字母表達(dá)式為：如果那么a±c=6±c.

等式的性質(zhì)2等式的兩邊都乘或都除以同一個(gè)數(shù)或式(除數(shù)不能為零)，所得結(jié)果仍是等式。

字母表達(dá)式為：如果a=。，那么ac=bc,或g=2(cwO).

CC

細(xì)節(jié)剖析：

等式的傳遞性如果a=6、b-c,那么a=c。

【清單03】一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步驟：

(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù).

(2)去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào),再去中括號(hào),最后去大括號(hào).

(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊.

(4)合并：逆用乘法分配律,分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng),把方程化為ax=b(a=0)的形式.

(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解x=±b(aWO).

a

(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等,則是方程的解;若方程左右兩邊的值不相等，

則不是方程的解.

【清單04】一元一次方程的應(yīng)用

首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為X,然后用含

尤的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、歹！J、解、答.

一元一次方程應(yīng)用題解題一般步驟：

①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系

②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為X）

③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系

④列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值

⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）

【清單05】用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型

（1）探索規(guī)律型問(wèn)題；

（2）數(shù)字問(wèn)題；

（3）銷售問(wèn)題（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=今照X100%）；

進(jìn)價(jià)

（4）工程問(wèn)題（①工作量=人均效率X人數(shù)X時(shí)間；②如果一件工作分幾個(gè)階段完成，那么各階段的工作

量的和=工作總量）；

（5）行程問(wèn)題（路程=速度X時(shí)間）；速度義時(shí)間=路程；相遇問(wèn)題：S甲+SjS總；追及問(wèn)題：S快-S慢

二s相晅；

（6）等值變換問(wèn)題；

（7）和，差，倍，分問(wèn)題；

（8）分配問(wèn)題；

（9）比賽積分問(wèn)題；

（10）水流航行問(wèn)題（順?biāo)俣?靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度）.

題型需單

【考點(diǎn)題型一】一元一次方程及其解

【例1】（2023秋?咸安區(qū)期末）【閱讀材料】規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程依=6的解為x=b+a,則稱

該方程為“和諧方程”.

例如：方程2x=T的解為彳=-2,

而一2=T+2,

所以方程2x=T為“和諧方程”.

請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問(wèn)題：

（1）下列關(guān)于x的一元一次方程是“和諧方程”的有—；（填寫序號(hào)）

①4x=-2；

②-3x」；

4

?-%=--

22

（2）已知關(guān)于x的一元一次方程6x=:%是“和諧方程”，求加的值;

（3）已知關(guān)于x的一元一次方程4x=m+〃是"和諧方程”，并且它的解是x=〃，求機(jī)，”的值.

【分析】（1）分別求出三個(gè)方程的解，再由“和諧方程”的定義判斷即可；

（2）由“和諧方程”的定義解答即可；

（3）由“和諧方程”的定義及方程的解的定義解答即可.

【解答】解：（1）①方程4x=—2的解是》=一2，—2+4=2,即一工力一2+4,所以方程4x=—2不是'‘和諧

22

方程”；

②方程-3x=?的解是尤=-』，-+（-3）=--,即-之=2+（-3）,所以方程-3x=2是“和諧方程”；

4444444

③方程!彳=一工的解是x=-l,--+-=0,即一12一工+工，所以方程工尤■不是“和諧方程”；

22222222

故答案為：②；

（2）若關(guān)于x的一元一次方程6x=機(jī)是“和諧方程”，

貝U生二機(jī)+6,

6

解得m=——；

5

（3）若關(guān)于x的一元一次方程以=相+〃是"和諧方程”,

貝U-------=m+n+4，

4

它的解是x=〃,

m+n

-------=n，

4

.\m=3n,

3n+n

=3〃+〃+4,

4

解得n=——

3?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義，一元一次方程的解，理解“和諧方程”的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2023秋?涪城區(qū)期末）下列各式中，屬于方程的是（）

2

A.6+（-2）=4B.—x-2C.7x>5D.2x—1=5

【分析】根據(jù)方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【解答】解：A、6+（-2）=4不含未知數(shù)，不是方程，不符合題意；

B,2尤一2不是等式，故不是方程，不符合題意；

5

C、7x>5不是等式，故不是方程，不符合題意；

D、2x-1=5是含有未知數(shù)的等式，是方程，符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是方程的定義，熟知含有未知數(shù)的等式叫方程是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2023秋?固始縣期末）若方程2x-fct+l=5x-2的解為-1,則%的值為（）

A.10B.-4C.-6D.-8

【分析】把x=-l代入已知方程，列出關(guān)于女的新方程，通過(guò)解新方程來(lái)求左的值.

【解答】解：依題意，得

2x（-l）-（-l）-fc+l=5x（-l）-2,即一1+左=-7,

解得，k=-6.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方程的解的定義.無(wú)論是給出方程的解求其中字母系數(shù)，還有判斷某數(shù)是否為方程的

解，這兩個(gè)方向的問(wèn)題，一般都采用代入計(jì)算是方法.

【變式1-3］（2023秋?昭通期末）下列方程中，是一元一次方程的是（）

,1

A.x~—4x=3B.lx=0C.x+2y=1D.x—l=—

x

【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程.它的一般形式是

ax+b—O（a,6是常數(shù)且aw0）.

【解答】解：A、是一元二次方程，故A錯(cuò)誤；

B、是一元一次方程，故3正確；

C、是二元一次方程，故C錯(cuò)誤；

D、是分式方程，故D錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1,一次項(xiàng)系數(shù)

不是0,這是這類題目考查的重點(diǎn).

【變式1-4］（2023秋?成安縣期末）已知（利-3）鏟卜2=18是關(guān)于x的一元一次方程，貝4（）

A.m—2B.m=-3C.m—±3D.m—1

【分析】若一個(gè)整式方程經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)變形后，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1,系數(shù)不為0,則

這個(gè)方程是一元一次方程.所以m-3-0,|加|-2=1,解方程和不等式即可.

【解答】解：已知("?-3)/卜2=豬是關(guān)于x的一元一次方程，

則|加|-2=1,

解得：加=±3,

又.系數(shù)不為0,

7〃片3,則7找=一3.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是根據(jù)一元一次方程的未知數(shù)x的次數(shù)是1這個(gè)條件，此類題目可嚴(yán)格按照定義解答.

【變式1-5](2023秋?西安期末)小芳同學(xué)在解關(guān)于尤的一元一次方程土￡-1=5時(shí)，誤將抄成

23

x+a,求得方程的解為x=2,請(qǐng)幫小芳求出原方程正確的解.

【分析】依題意得方程*-1=四的解為x=2,根據(jù)一元一次方程根的定義可求出。=2,進(jìn)而得原方

23

程為三2_1=山，然后再解原方程求出x即可.

23

【解答】解：依題意得：方程*-1=3的解為x=2,

23

2+。2+1

---------1=------，

23

2+a.

/.------=2,

2

/.2+々=4，

a=2,

原方程為二-1=山，

23

去分母，方程兩邊同時(shí)乘以6,得：3(x-2)-6=2(x+l),

去括號(hào)，得：3x-6-6=2x+2,

移項(xiàng)，得：3x-2x=2+6+6,

合并同類項(xiàng)，得：x=14.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解一元一次方程的解，熟練掌握解一元一

次方程的方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【變式1-6](2023秋?東臺(tái)市期末)定義：關(guān)于尤的方程<zt->=0與方程6x-a=0(a、6均為不等于0的

常數(shù))稱互為“伴生方程”，例如：方程2x-1=0與方程x-2=0互為“伴生方程”.

Cl)若關(guān)于X的方程2x-3=0與方程3x-c=0互為“伴生方程”，則。=—;

(2)若關(guān)于x的方程4x+3〃z+l=0與方程5x-"+2=0互為"伴生方程”，求加、”的值；

(3)若關(guān)于x的方程5x-b=0與其“伴生方程”的解都是整數(shù)，求整數(shù)6的值.

【分析】(1)根據(jù)“錯(cuò)位方程”的定義直接可得答案；

(2)將“錯(cuò)位方程”組成方程組求解可得答案；

(3)根據(jù)“錯(cuò)位方程"2x-6=0與樂(lè)-2=0的解均為整數(shù)，可得2與2都為整數(shù)，由此可得答案.

2b

【解答】解：(1)2x—3=0與方程3x—c=0互為“錯(cuò)位方程”，

.'.c=2.

故答案為：2；

(2)將4%+3帆+1=0寫成4%—(一3加—1)=0的形式，

將5x—〃+2=0寫成5%—(〃-2)=0的形式，

4%+3切+1=0與方程5%-幾+2=0互為“錯(cuò)位方程”，

J-3m-l=5

"[n-2=4，

[m=-2

[n=6'

，加、〃的值分別是-2,6；

⑶5%-。=0的“錯(cuò)位方程”為"-5=03力0),

b

由5x—b=0得，%=—,

5

當(dāng)法-5=0,得％

b

5x-〃=0與陵-5=0的解均為整數(shù)，

「.2與*都為整數(shù)，

5b

Z?也為整數(shù)，

h5

.?.當(dāng))=5時(shí)，-=1,-=1,都為整數(shù)，

5b

h5

當(dāng)b=_5時(shí)，-=-1,-=-1,都為整數(shù)，

5b

「2的值為±5.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是新定義，一元一次方程的應(yīng)用，以及解二元一次方程組，能夠正確理解概念是解決此

題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)題型二】等式的性質(zhì)

7?33

【例2】(2023秋?尋烏縣期末)觀察下列兩個(gè)等式：1-4=2*1--1,2-士=2x2x3-l給出定義如下:

3355

我們稱使等式。-》=2仍-1成立的一對(duì)有理數(shù)。,。為“同心有理數(shù)對(duì)”，記為(。,6),如：數(shù)對(duì)(1,1)，(2,|),

都是“同心有理數(shù)對(duì)”.

(1)數(shù)對(duì)(-2,1),(3,[)是“同心有理數(shù)對(duì)”的是.

(2)若33)是“同心有理數(shù)對(duì)”,求。的值；

(3)若(加力是“同心有理數(shù)對(duì)”，則(-〃，-加)—“同心有理數(shù)對(duì)"(填“是”或“不是”)，說(shuō)明理由.

【分析】(1)根據(jù)：使等式a-6=2H-1成立的一對(duì)有理數(shù)*6為“同心有理數(shù)對(duì)”，判斷出數(shù)對(duì)(-2,1),

(3,。是“同心有理數(shù)對(duì)”的是哪個(gè)即可.

(2)根據(jù)(a,3)是“同心有理數(shù)對(duì)"，可得：a-3=6a-l,據(jù)此求出。的值是多少即可.

(3)根據(jù)⑴,〃)是“同心有理數(shù)對(duì)”，可得：據(jù)此判斷出(-〃,-加)是不是同心有理數(shù)對(duì)即可.

【解答】解：(1)--2-l=-3,2x(-2)xl-l=-5,-3W-5,

，數(shù)對(duì)(-2,1)不是“同心有理數(shù)對(duì)”；

c417cc4,17

3—=—，2x3x--1=—，

7777

44

.-.3——=2x3x——1,

77

.?.(3,3)是“同心有理數(shù)對(duì)”，

(2)-3,3)是“同心有理數(shù)對(duì)”.

ci—3—6Q—1,

2

I.Q=--.

5

(3)(八口是“同心有理數(shù)對(duì)”,

.\m—n=2nm—l?

—n—(―m)=—n+m=m—n=2mn—1,

㈤是“同心有理數(shù)對(duì)

故答案為：(3,*)；是.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等式的性質(zhì)，以及同心有理數(shù)對(duì)的含義和判斷，要熟練掌握.

【變式2-1]（2023秋?懷仁市期末）下列各式進(jìn)行的變形中，不正確的是（）

A.若3a=2b,貝U3a+2=?+2B.若3a=26,貝i]9a=46

C.若3a=2b,貝!13。-5=2。一5D.若3a=2b,貝40=2

23

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：A.3a=26,

:.3a+2=2b+2,故本選項(xiàng)不符合題意；

B.3a=2b，

9a=6b^4b故本選項(xiàng)符合題意；

C.?3a=2b

:.3a-5=2b-5,故本選項(xiàng)不符合題意；

C.3a=2b,

1=1（等式兩邊都除以6）,故本選項(xiàng)不符合題意；

D.當(dāng)a=O時(shí)，由儲(chǔ)=6〃不能推出。=6,故本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)，能熟記等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：①等式的性質(zhì)1、等式的兩邊

都加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），等式仍成立；②等式的性質(zhì)2、等式的兩邊都乘同一個(gè)數(shù)，等式仍成立，

等式的兩邊都除以同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍成立.

【變式2-2]（2023秋?乳山市期末）等式依-3x=3中，若x是正整數(shù)，則整數(shù)a的取值是—.

【分析】先解方程，得到一個(gè)含有字母”的解，然后用完全歸納法解出。的值.

【解答】解：由關(guān)于尤的方程3x=3,得

3

x=----.

CL—3

X是正整數(shù)，。是整數(shù)，

，正整數(shù)解相應(yīng)為：x=l、x=3,

的值是：6或4.

故答案為：6或4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的解.解答此題難點(diǎn)是對(duì)。值進(jìn)行完全歸納，注意不要漏解.

【變式2-3]（2023秋?曲陽(yáng)縣期末）已知8m+3〃+2=4久+7〃,利用等式的性質(zhì)比較加與〃的大小關(guān)系：

mn（填）.

【分析】把等式變形為機(jī)減〃等于多少的形式，從而可得結(jié)論.注意：兩個(gè)數(shù)的差大于0,被減數(shù)大于減數(shù);

兩個(gè)數(shù)的差等于0,被減數(shù)和減數(shù)相等；兩個(gè)數(shù)的差小于0,被減數(shù)小于減數(shù).

【解答】角星：8HZ+3〃+2=4"Z+7〃，

移項(xiàng)得：8m—4m—7n+3n=—2,

合并同類項(xiàng)得：4冽-4〃=-2,

提取公因數(shù)得：4（m-n）=-2,

化簡(jiǎn)：m—n=——J

2

——<0,

2

:.m—n<G,

:.m<nf

故答案為：＜.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì).

【變式2-4］（2023秋?皇姑區(qū)期末）如圖，標(biāo)有相同字母的物體的質(zhì)量相同，若A的質(zhì)量為15克，則當(dāng)5

的質(zhì)量為—克時(shí)，天平處于平衡狀態(tài).

、司回國(guó)/、同同同陶/

【分析】設(shè)3的質(zhì)量為X克，則根據(jù)圖形得出2xl5+x=15+3x,再根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解即可.

【解答】解：設(shè)3的質(zhì)量為x克，

則根據(jù)圖形可知：2xl5+x=15+3x,

解得:x=7.5,

即當(dāng)3的質(zhì)量是7.5克時(shí)，天平處于平衡狀態(tài).

故答案為：7.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)，能根據(jù)題意得出方程2xl5+x=15+3x是解此題的關(guān)鍵.

【變式2-5］（2023秋?渝中區(qū)期末）如果那么—」=—也成立時(shí)c應(yīng)滿足的條件是.

c-1c-1

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式.得到C-1x0,即

可求出C的滿足條件.

【解答】解：c—IwO,

二.CW1.

故答案為：cwl.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等式的性質(zhì)得到C-1W0,再求出答案.

【考點(diǎn)題型三】解一元一次方程

[例3](2023秋?雨湖區(qū)期末)七3班數(shù)學(xué)老師在批改小紅的作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)，小紅在解方程四一1=〃+三

24

時(shí)，把“2-x”抄成了“x-2”，解得x=8,而且處的數(shù)字也模糊不清了.

(1)請(qǐng)你幫小紅求出處的數(shù)字.

(2)請(qǐng)你正確地解出原方程.

【分析】(1)將x=8代入四-1=。+3中，進(jìn)而求出“a"處的數(shù)字；

24

(2)將(1)中a的值代入原方程，求解即可.

【解答】解：(1)根據(jù)題意將x=8代入山-1=”+二中，

24

日口93

即—l=a+一，

22

解得a=2,

廠.“a”處的數(shù)字為2；

(2)將a=2代入原方程得，--1=2+—,

24

去分母得，2(x+l)-4=8+(2-x),

去括號(hào)得，2x+2-4=8+2-x,

移項(xiàng)合并得，3x=12,

系數(shù)化為1得，x=4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解本題

的關(guān)鍵.

【變式3-1](2023秋?關(guān)嶺縣期末)解方程：

Y-I-1Y

(1)3x+7=-l-2x；(2)2+——=-.

35

【分析】(1)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，據(jù)此求出方程的解即可；

(2)去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,據(jù)此求出方程的解即可.

【解答】解：(1)移項(xiàng)，可得：3x+2x=-l-7,

合并同類項(xiàng)，可得：5%=-8,

系數(shù)化為1,可得：x=-1.6.

(2)去分母，可得：30+5(x+1)=3x,

去括號(hào)，可得：30+5x+5=3x,

移項(xiàng)，可得：5x-3x=-30-5,

合并同類項(xiàng)，可得：2%=-35,

系數(shù)化為1,可得：x=-17.5.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要明確解一元一次方程的一般步驟，去括號(hào)要注意括號(hào)前

面的符號(hào)，移項(xiàng)時(shí)要改變符號(hào)是關(guān)鍵.

【變式3-2](2023秋?成安縣期末)解下列方程：

(1)4(2x-1)-3(5x+2)=3(2-x)；(2)1-^-^=^^.

32

【分析】(1)先去括號(hào)，再移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把未知數(shù)的系數(shù)化“1”，從而可得答案；

(2)先去括號(hào)，再去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，把未知數(shù)的系數(shù)化“1”，從而可得答案.

【解答】解：(1)4(2x-1)-3(5%+2)=3(2-x),

去括號(hào)得：8x-4-15x-6=6-3x,

整理得：-4x=16,

解得：x=T；

,c、3-5x3x—?5

\2,)1----------=--------，

32

去分母得：6-2(3-5期=3(3%-5),

去括號(hào)得：6-6+10x=9x-15,

解得：x=-15.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步驟”是解本題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023秋?泗洪縣期末)--—=3.

0.20.5

【分析】本題方程兩邊都含有分?jǐn)?shù)系數(shù)，如果直接通分，有一定的難度，但對(duì)每一個(gè)式子先進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理

為整數(shù)形式，難度就會(huì)降低.

【解答】解：去分母，得

5(x-2)-2(x+l)=3,

去括號(hào)，得

5x—10—2%—2=3,

合并同類項(xiàng)，得

3x=15,

方程的兩邊同時(shí)除以3,得

x=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的解法.本題易在去分母、去括號(hào)和移項(xiàng)中出現(xiàn)錯(cuò)誤，還可能會(huì)在解

題前產(chǎn)生害怕心理.因?yàn)榭吹叫?shù)、分?jǐn)?shù)比較多，學(xué)生往往不知如何尋找公分母，怎樣合并同類項(xiàng)，怎

樣化簡(jiǎn).

【變式3-4］（2023秋?通州區(qū)期末）已知代數(shù)式8x-7的值與代數(shù)式6-2x的值互為相反數(shù)，求x的值.

【分析】根據(jù)題意，先列出方程，再求方程的解.

【解答】解：8%-7的值與代數(shù)式6-2%的值互為相反數(shù)，

8x—7+6—2x=0.

/.6x—1=0.

1

x——?

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步驟是解決本題的關(guān)鍵.

【變式3-5］（2023秋?沂南縣期末）若式子主匚的值比空里的值小2,求x的值.

23

【分析】先根據(jù)題意得出方程，再去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可.

【解答】解：由題意，得主三=①1一2,

23

去分母，得3（3x-2）=2（5x+l）-12,

去括號(hào)，得9x-6=10x+2-12,

移項(xiàng)，得9x—10x=2—12+6,

合并同類項(xiàng)，得-x=Y,

系數(shù)化成1,得x=4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵.

【變式3-6］（2023秋?明水縣期末）關(guān)于x的方程》-2m=-3x+4與2-m=x的解互為相反數(shù).

（1）求加的值；

（2）求這兩個(gè)方程的解.

【分析】（1）先求出第一個(gè)方程的解，然后根據(jù)互為相反數(shù)的和等于0列式得到關(guān)于〃，的方程，再根據(jù)一

元一次方程的解法求解即可；

（2）把機(jī)的值代入兩個(gè)方程的解計(jì)算即可.

【解答】解：（1）由％-27"=-3》+4得：x=—m+\,

2

思、:—/w+1+2—m=0,

2

解得：m-6；

（2）由m=6,

解得方程％—2m=—31+4的解為％=」x6+l=3+l=4,

2

解得方程2-7“=x的解為x=2—6=-4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同解方程的問(wèn)題，先求出兩個(gè)方程的解的表達(dá)式，然后根據(jù)互為相反數(shù)的和等于0列式

求出機(jī)的值是解題的關(guān)鍵.

【變式3-7］（2023秋?潮南區(qū)期末）閱讀理解題：

你知道為什么任何無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)形式嗎？下面的解答過(guò)程會(huì)告訴你原因和方法.

閱讀下列材料：

問(wèn)題：利用一元一次方程將0.7化成分?jǐn)?shù).

設(shè)0.7=尤，

由0.7=0.777...,可知10x0.7=7.777...=7+0.7,

即7+x=lOx.（請(qǐng)你體會(huì)將方程兩邊都乘以10起到的作用）

77

可解得「，gp0.7=-.

99

（1）填空：將0.4直接寫成分?jǐn)?shù)形式為-.

一9一

（2）請(qǐng)仿照上述方法把小數(shù)0.25化成分?jǐn)?shù)，要求寫出利用一元一次方程進(jìn)行解答的過(guò)程.

【分析】（1）按照例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

（2）按照例題的解題思路進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：（1）設(shè)0.4=x,

由0.4=0.444…，可知10x0.4=4.444.=4+0.4,

即4+%=10尤，

44

解得：x=—9即0.4=—,

99

故答案為：—；

9

（2）設(shè)0.25=%,

由0.25=0.252525可知100x0.25=25.2525...=25+0.252525

即25+尤=100尤，

解得：尤="，

99

25

即0.25=—.

99

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程，等式的性質(zhì)，理解例題的解題思路是解題的關(guān)鍵.

【變式3-8］（2023秋?桂平市期末）本學(xué)期學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法，下面是小蒙同學(xué)的解題過(guò)程：

解方程：￡±1_^±Z=3

24

解：方程兩邊同時(shí)乘以4,得：±±1x4-至二x4=3x4…①

24

去分母，得：2（x+l）-3x+2=12...@

去括號(hào)，得：2x+2-3x+2=12…③

移項(xiàng)，得：2x-3x=12-2-2...@

合并同類項(xiàng)，得：-x=10…⑤

系數(shù)化1,得：x=10...@

（1）以上求解步驟中，第一步的依據(jù)是.

（2）上述小蒙的解題過(guò)程從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是.

（3）請(qǐng)幫小蒙改正錯(cuò)誤，寫出完整的解題過(guò)程.

【分析】檢查小蒙同學(xué)的解題過(guò)程，找出出錯(cuò)的步驟，以及錯(cuò)誤的原因，寫出正確的解題過(guò)程即可.

【解答】解：（1）第一步的依據(jù)是：等式的基本性質(zhì)；

（2）第②步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是去分母沒(méi)有加括號(hào)；

故答案為：等式的基本性質(zhì)；②；去分母沒(méi)有加括號(hào).

（3）解：方程兩邊同時(shí)乘以4,得：土里x4-亙望x4=3x4,

24

去分母，得：2（x+l）-（3x+2）=12,

去括號(hào)，得：2x+2-3x-2=12,

移項(xiàng)，得：2x-3x=12-2+2,

合并同類項(xiàng)，得：r=12,

系數(shù)化1,得：x=-12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)題型四】配套問(wèn)題

【例4】（2023秋?東港區(qū)期末）2023年8月8日，是全國(guó)第15個(gè)全民健身日，近年來(lái)，日照始終秉持“以

人民為中心”的展思想，不斷擴(kuò)大城市體育服務(wù)供給量，打造“體育生活圈”，某工廠現(xiàn)需生產(chǎn)一批太空漫

步器（如圖），每套設(shè)備各由一個(gè)架子和兩套腳踏板組裝而成；工廠現(xiàn)共有45名工人，每人每天平均生產(chǎn)支

架60個(gè)或腳踏板96套，應(yīng)如何分配工人才能使每天的生產(chǎn)的架子和腳踏板配套？每天生產(chǎn)多少套太空漫

步器？

【分析】設(shè)分配無(wú)名工人生產(chǎn)架子，（45-幻名工人生產(chǎn)腳踏板，根據(jù)題意得腳踏板的數(shù)量是架子的數(shù)量的

2倍，列出方程，即可求解問(wèn)題.

【解答】解：設(shè)分配無(wú)名工人生產(chǎn)架子，（45-幻名工人生產(chǎn)腳踏板，

由題意得，2?60%=96（45-尤），

解得x=20,

則生產(chǎn)腳踏板的人數(shù)為45-20=25（人），

每天生產(chǎn)太空漫步機(jī)的數(shù)量為60x20=1200（套），

答：分配20名工人生產(chǎn)架子，25名工人生產(chǎn)腳踏板，才能使每天的生產(chǎn)的架子和腳踏板配套，每天生產(chǎn)太

空漫步器1200套.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，配套問(wèn)題，本題的關(guān)鍵是理解題意得到腳踏板的數(shù)量是架子的數(shù)

量的2倍進(jìn)而列出方程解題.

【變式4-11（2023秋?黔南州期末）如圖是學(xué)校手工藝社團(tuán)編織的手工花朵，一朵花由1個(gè)花心和8個(gè)花瓣

構(gòu)成，已知手工藝社團(tuán)有30人，據(jù)統(tǒng)計(jì)，每個(gè)學(xué)生一節(jié)課可以編織5個(gè)花心或20個(gè)花瓣.安排多少人編織

花心，多少人編織花瓣，才能使一節(jié)課編織出來(lái)的花心和花瓣剛好配套？

學(xué)生手工藝花朵

【分析】設(shè)安排x人編織花心，貝U（30-x）人編織花瓣，根據(jù)一朵花由1個(gè)花心和8個(gè)花瓣構(gòu)成列出方程求

解即可.

【解答】解:設(shè)安排無(wú)人編織花心，則（30-尤）人編織花瓣，

根據(jù)題意得，5xx8=20（30-尤），

解得x=10,

止匕時(shí)3O—x=3O—10=20（人）,

答：安排10人編織花心，則20人編織花瓣，才能使一節(jié)課編織出來(lái)的花心和花瓣剛好配套.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2］（2023秋?九龍坡區(qū)期末）某車間有80名工人，負(fù)責(zé)加工某轎車甲、乙兩種零件的生產(chǎn)任務(wù).每

個(gè)工人每天能加工20個(gè)甲種零件或加工15個(gè)乙種零件，每輛轎車需要4個(gè)甲種零件和3個(gè)乙種零件.該

車間每天生產(chǎn)的零件正好滿足轎車的配套需求.

（1）每天應(yīng)安排多少工人加工甲種零件？

（2）每天生產(chǎn)該轎車總加工費(fèi)為15200元.已知加工一件甲種零件的費(fèi)用比加工一件乙種零件的費(fèi)用少2

元，求加工一件乙種零件的費(fèi)用為多少元？

【分析】（1）設(shè)每天應(yīng)安排x名工人加工甲種零件，則應(yīng)安排（80-尤）名工人加工乙種零件，根據(jù)該車間每

天生產(chǎn)的零件正好滿足轎車的配套需求，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之可得出應(yīng)安排加工甲種零件的

人數(shù)，再將其代入（80-尤）中，即可求出應(yīng)安排加工乙種零件的人數(shù)；

（2）設(shè)加工一件乙種零件的費(fèi)用為y元，則加工一件甲種零件的費(fèi)用為（y-2）元，根據(jù)每天生產(chǎn)該轎車總

加工費(fèi)為15200元，可列出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)每天應(yīng)安排x名工人加工甲種零件，則應(yīng)安排（80-尤）名工人加工乙種零件，

根據(jù)題意得：&="（807）,

43

解得：x=40,

.".80-x=80-40=40（名）.

答：每天應(yīng)安排40名工人加工甲種零件，40名工人加工乙種零件；

（2）設(shè)加工一件乙種零件的費(fèi)用為y元，則加工一件甲種零件的費(fèi)用為（y-2）元，

根據(jù)題意得：20x40（y—2）+15x40y=15200,

解得：y=12.

答：加工一件乙種零件的費(fèi)用為12元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2023秋?榆陽(yáng)區(qū)期末）在社會(huì)與實(shí)踐的課堂上，劉老師組織七（1）班的全體學(xué)生用硬紙板制

作圓柱體（圖1）.七（1）班共有學(xué)生50人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人，并且每名學(xué)生每小時(shí)剪20

個(gè)圓柱側(cè)面（圖2）或剪10個(gè)圓柱底面（圖3）.

圖1圖2圖3

(1)七(1)班有男生、女生各多少人？

(2)原計(jì)劃男生負(fù)責(zé)剪圓柱側(cè)面，女生負(fù)責(zé)剪圓柱底面，要求一個(gè)圓柱側(cè)面配兩個(gè)圓柱底面，那么每小時(shí)

剪出的筒身與筒底能配套嗎？如果不配套，那么男生應(yīng)向女生支援多少人時(shí)，才能使每小時(shí)內(nèi)剪出的側(cè)面與

底面配套.

【分析】(1)設(shè)該班有男生x人，則女生有(50-刈人，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；

(2)先判斷每小時(shí)剪出的筒身與桶底不配套，然后設(shè)男生向女生支援y人，剪出的筒身與桶底正好配套，

根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果.

【解答】解：(1)設(shè)該班有男生x人，則女生有(50-尤)人，

由題意，得50-x=x+2,

解得x=24,

答：該班有男生24人，女生26人；

(2)因?yàn)槟猩恍r(shí)剪筒身24x20=480,

需要960個(gè)筒底，而26x10=260,

所以每小時(shí)剪出的筒身與筒底不配套，

設(shè)男生向女生支援y人，剪出的筒身與筒底正好配套，

由題意，得2x20x(24-y)=10x(26+y),

即960-40y=260+10〉，

解得：y=14,

則男生向女生支援14人，剪出的筒身與筒底正好配套.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

【變式4-4](2023秋?信州區(qū)期末)某工廠現(xiàn)有15〃木料，準(zhǔn)備制作各種尺寸的圓桌和方桌，如果用部分

木料制作桌面，其余木料制作桌腿.

(1)已知一張圓桌由一個(gè)桌面和一條桌腿組成，如果1加木料可制作40個(gè)桌面，或制作20條桌腿.要使

制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接寫出制作桌面的木料為多少

(2)已知一張方桌由一個(gè)桌面和四條桌腿組成.根據(jù)所給條件，解答下列問(wèn)題：

①如果1加3木料可制作50個(gè)桌面，或制作300條桌腿，應(yīng)怎樣計(jì)劃用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？

②如果3m3木料可制作20個(gè)桌面，或制作320條桌腿，應(yīng)怎樣計(jì)劃用料才能制作盡可能多的桌子？

【分析】(1)設(shè)用x疝木料制作桌面，則用(15-x)立方米木料制作桌腿恰好配套，根據(jù)條件的數(shù)量關(guān)系建

立方程求出其解即可.

(2)①設(shè)用G7?木料制作桌面，則用(15-0立方米木料制作桌腿恰好配套，由題意建立方程求出其解即

可.②設(shè)用y射木料制作桌面，則用(15-y)加木料制作桌腿恰好配套，由題意建立方程求出其解即可.

【解答】解：(1)設(shè)用x疝木料制作桌面，則用(15-尤)立方米木料制作桌腿恰好配套，由題意得

40x=20(15-x),

解得：x=5,

答：制作桌面的木料為5疝.

(2)①設(shè)用。"木料制作桌面，則用(15-0立方米木料制作桌腿恰好配套，由題意得

4x50a=300(15-d),

解得：a=9,

制作桌腿的木料為：15-9=6(M).

答：用9川木料制作桌面，用6疝木料制作桌腿恰好配套.

②設(shè)用y加木料制作桌面，則用(15-,)加木料制作桌腿能制作盡可能多的桌子，由題意得

4x20x^-=320x^^,

33

解得y=12,

.?.15-12=3帚，

答：用12加木料制作桌面，用3方木料制作桌腿能制作盡可能多的桌子.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列一元一次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，尋找配套問(wèn)題的等量關(guān)系建立方程是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.

【考點(diǎn)題型五】工程問(wèn)題

【例5】(2023秋?清原縣期末)某市今年進(jìn)行煤氣工程改造，甲乙兩個(gè)工程隊(duì)共同承包這個(gè)工程.這個(gè)工程

若甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成；若乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成.若甲乙兩隊(duì)同時(shí)施工4天，余下的工程由乙

隊(duì)完成，問(wèn)乙隊(duì)還需要幾天能夠完成任務(wù)？

【分析】設(shè)甲乙兩隊(duì)同時(shí)施工4天后，余下的工程乙隊(duì)還需要x天能夠完成任務(wù)，利用甲隊(duì)完成的工程量+

乙隊(duì)完成的工程量=總工程量，可列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)甲乙兩隊(duì)同時(shí)施工4天后，余下的工程乙隊(duì)還需要尤天能夠完成任務(wù)，

根據(jù)題意得：巴+士=1,

1015

解得：x=5.

答：乙隊(duì)還需要5天能夠完成任務(wù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2023秋?高陽(yáng)縣期末)某物業(yè)計(jì)劃修整小區(qū)綠化帶，現(xiàn)有甲乙兩個(gè)工程隊(duì)均有意愿承接此項(xiàng)工

程.已知甲隊(duì)計(jì)劃每天修整32平方米，乙隊(duì)計(jì)劃每天修整48平方米，若單獨(dú)完成這項(xiàng)工作，甲隊(duì)比乙隊(duì)要

多用10天，修整期間，甲乙兩隊(duì)的人工費(fèi)用分別為800元1天和1200元1天.

(1)求這項(xiàng)工程共需修整綠化帶多少平方米？

(2)此項(xiàng)工程先由甲，乙兩隊(duì)按原計(jì)劃修整速度合作一段時(shí)間后，甲隊(duì)因事停工，乙隊(duì)立刻將自己每天的

修整速度提高25%.且工資隨之上漲了200元1天，獨(dú)立完成剩下工作，已知乙隊(duì)的全部工作時(shí)間是甲隊(duì)

工作時(shí)間的2倍還多2天，求乙隊(duì)共修整多少天？

【分析】(1)設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，根據(jù)甲、乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需修整綠化帶相等，列

出方程，進(jìn)而作答即可；

(2)設(shè)甲工程隊(duì)的工作時(shí)間為y天，則乙工程隊(duì)總工作時(shí)間為(2y+2)天，甲隊(duì)修，整量+乙隊(duì)修整量=960,

列出方程，再解即可.

【解答】解：(1)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，

由題意得：32(%+10)=48%,

解得：x=20,

48x20=960(平方米)，

這項(xiàng)工程共需修整綠化帶960平方米；

(2)設(shè)甲工程隊(duì)的工作時(shí)間為y天，則乙工程隊(duì)總工作時(shí)間為(2〉+2)天，

32y+48y+48(1+25%)x(2y+2-y)=960,

解得：y=6,

2y+2=2x6+2=14(天)，

，乙隊(duì)共修整14天.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程.

【變式5-2](2023秋?桂林期末)某水利工程，甲工程隊(duì)單獨(dú)施工需要40天可以完成，乙工程隊(duì)單獨(dú)施工

需要60天可以完成.

(1)現(xiàn)在乙工程隊(duì)施工10天后，為了加快進(jìn)度，甲工程隊(duì)加入，兩隊(duì)合作完成余下的工程，問(wèn)完成此項(xiàng)水

利工程一共用了多少天？

（2）完成此項(xiàng)水利工程，甲、乙二隊(duì)共得到施工費(fèi)68萬(wàn)元，如果按每隊(duì)完成的工作量計(jì)算施工費(fèi)，那么甲

工程隊(duì)可以得到多少萬(wàn)元？

【分析】（1）設(shè)完成此項(xiàng)水利工程一共用了x天，則甲工程隊(duì)施工（x-10）天，乙工程隊(duì)施工尤天，利用甲工

程隊(duì)完成的工程量+乙工程隊(duì)完成的工程量=整個(gè)工程量（單位“1”），可列出關(guān)于x的一元一次方程，

解之即可得出結(jié)論；

（2）利用甲工程隊(duì)得到的施工費(fèi)=總施工費(fèi)x甲工程隊(duì)完成的工程量占整個(gè)工程量的比例，即可求出結(jié)論.

【解答】解：（1）設(shè)完成此項(xiàng)水利工程一共用了x天，則甲工程隊(duì)施工（尤-10）天，乙工程隊(duì)施工尤天，

根據(jù)題意得：士竺+土=1,

4060

解得：x=30.

答：完成此項(xiàng)水利工程一共用了30天；

（2）根據(jù)題意得：型二3x68=34（萬(wàn)元）.

40

答：甲工程隊(duì)可以得到34萬(wàn)元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2023秋?長(zhǎng)清區(qū)期末）列方程解應(yīng)用題：

某縣在創(chuàng)建省級(jí)衛(wèi)生文明城市中，對(duì)縣城內(nèi)的河道進(jìn)行整治.現(xiàn)有一段長(zhǎng)為260米的河道整治任務(wù)，由甲、

乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力完成.甲工程隊(duì)每天整治8米，乙工程隊(duì)每天整治12米，共用時(shí)25天.

（1）求甲、乙兩工程隊(duì)分別整治河道多少天？

（2）雇傭甲工程隊(duì)需要800元/天，雇傭乙工程隊(duì)需要1000元/天，則共需支付兩個(gè)工程隊(duì)多少錢？

【分析