2025中考數(shù)學專項復習：與圓有關的位置關系【十六大題型】含答案

2025中考數(shù)學專項復習與圓有關的位置關系【十六

大題型】含答案

與凰有關的債置關系【十六大題型】

?題型梳理

【題型1點和圓的位置關系】...............................................................2

【題型2直線與圓的位置關系】............................................................4

【題型3求平移到與相切時圓心坐標或運動距離】............................................8

【題型4根據(jù)直線與圓的位置關系求交點個數(shù)】.............................................13

【題型5判斷或補全使直線成為切線的條件】...............................................17

【題型6利用切線的性質求值】...........................................................19

【題型7證明某條直線是圓的切線】.......................................................22

【題型8利用切線的性質定理證明】.......................................................27

【題型9切線的性質與判定的綜合運用】...................................................32

【題型10作圓的切線】...................................................................37

【題型U應用切線長定理求解或證明】....................................................41

【題型12由外心的位置判斷三角形形狀】..................................................47

【題型13求三角形外接圓的半徑、外心坐標】...............................................48

【題型14由三角形的內切圓求值】........................................................52

【題型15與三角形內心有關的應用】......................................................57

【題型16三角形外接圓與內切圓綜合】....................................................61

>舉一反三

【知識點與圓有關的位置關系】

1.點和圓的位置關系

設。。的半徑為T,點P到圓心的距離為OP=d,則有：

點P在圓外；

點P在圓上od=r；

點P在圓內od<r。

性質：不在同一條直線上的三個點確定一個圓。

定義:經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條

邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。

2.直線和圓的位置關系

直線和圓有兩個公共點時,我們說這條直線和圓相交。這條直線叫做圓的割線。

直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線和圓相切。這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。

直線和圓沒有公共點時,我們說這條直線和圓相離。

設。。的半徑為T,圓心。到直線I的距離d,則有：

直線Z和。。相交odVr；

直線，和。。相切od=r；

直線I和。。相離=d>T。

切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質定理:圓的切線垂直于過切點的半徑。

經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長。

切貨長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾

角。

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的

內心。

【題型1點和圓的位置關系】

1.（2023?上海閔行?校聯(lián)考模擬預測）矩形4BCD中，48=8,=3"，點P在邊AB上，且=

3AP,如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

A.點8,。均在圓P外B.點口在圓P外，點。在圓P內

C.點B在圓P內，點。在圓P外D.點8,。均在圓尸內

2.（2023?四川涼山?統(tǒng)考模擬預測）在Rt4ABe中，/C=90°,8。=3,AC=4,。為48的中點.以A

為圓心，「為半徑作?4,若B、C、。三點中只有一點在。A內，則。4的半徑r的取值范圍是

（）

A.2.5O44B.2.5<r<4C.2.54rW4D.2.54rV4

3.（2023?四川成都?統(tǒng)考二模）已知P是。O內一點（點尸不與圓心。重合），點尸到圓上各點的距離中，

最小距離與最大距離是關于re的一元二次方程ax2-12ax-20=0的兩個實數(shù)根，則。O的直徑為

4.（2023?江蘇揚州?統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，4B=3,4,點P是平面內一點，以P、B、C為

頂點的三角形是等腰三角形，則PD的最小值為（）

47

A.■—B.1C.■—D.2.5

55

【題型2直線與圓的位置關系】

5.（2023?河北秦皇島?模擬預測）如圖，已知ZACB=30°,CM=2,4W=5,以河為圓心，度為半徑作。

M,。河與線段47有交點時，則T的取值范圍是.

6.（2023?上海青浦?統(tǒng)考二模）如圖，在直角梯形ABCD中，4D〃BC,AA=90°,E是AD上一定點，AB

=3,BC=6,4D=8,/E=2.點P是上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作。P.若。P與以

E為圓心，1為半徑的。后有公共點，且。P與線段4D只有一個交點，則PC長度的取值范圍是

7.（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考模擬預測）如圖，線段BC=16cm,過點B在線段BC的上方作射線BA,且

tanZABC=今，動點。從點8出發(fā),沿射線BA以1cm人的速度運動，同時動點Q從點。出發(fā)，沿線

段CB以2cm⑥的速度向點8運動，當點Q到達點口時，點O,Q都停止運動.以點。為圓心，08長

為半徑的半圓與線段交于點。，與射線BA交于點P.連接PQ,設運動時間為力秒（t>0）

備用圖

（1）求m的長（用含t的式子表示）

（2）當t為何值時，線段PQ與半圓O相切？

（3）若半圓O與線段PQ只有一個公共點，直接寫出t的取值范圍.

8.（2023?福建廈門?統(tǒng)考模擬預測）已知矩形RBCD,AD>AB

圖1圖2

（1）如圖1,若點在以O為圓心，OA為半徑的圓上，48=。8,求證：40=248；

（2）如圖2,點E,尸分別在A。，邊上，若點。，點。關于直線即對稱的點分別為點B和點P,判斷

直線DP與過A,E,F三點的圓的位置關系，并說明理由

【題型3求平移到與相切時圓心坐標或運動距離】

9.（2023?河南南陽?統(tǒng)考一模）如圖，直線g=—,力一3交c軸于點4交9軸于點點P是多軸上一動

點，以點P為圓心，以1個單位長度為半徑作。P,當。P與直線相切時，點P的坐標是（）

A.B.（一日,0）或（一?,0）

C.P°D.（一］,0）或（一居,0）

10.（2023?吉林松原?校聯(lián)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的。P的圓心P的坐標為（一3,0）,

將。P沿工軸正方向平移，使。P與夕軸相交，則平移的距離d的取值范圍是.

11.（2023?四川涼山?統(tǒng)考模擬預測）如圖，在半徑為5cm的。。中，直線/交。。于A、B兩點，且弦48

=8cm,要使直線，與。。相切，則需要將直線Z向下平移（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

12.（2023?北京?統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系力Og中，。O的半徑為2.對于直線Z和線段BC,給出如下

定義：若將線段關于直線I對稱，可以得到。。的弦B'C（B1,C分別是B,。的對應點），則稱線

段是以直線2為軸的。O的“關聯(lián)線段”.例如，圖1中線段是以直線，為軸的。。的“關聯(lián)線

⑴如圖2,點B,G,瑪，G,瑪，&的橫、縱坐標都是整數(shù).

①在線段81G,B2c2，B3c3中，以直線。：y=2+4為軸的。O的“關聯(lián)線段”是；

②在線段BG,B2C2,瑪&中，存在以直線為：V=-T+b為軸的OO的“關聯(lián)線段”，求b的值；

（2）已知直線/3：y=—V3x+m（m>0）交宓軸于點4在△ABC中，AB=6,_BC=2,若線段8c是

以直線23為軸的?o的“關聯(lián)線段”，直接寫出小的最大值與最小值，以及相應的AC的長.

【題型4根據(jù)直線與圓的位置關系求交點個數(shù)】

13.（2023?河北滄州??？既＃╊}目：“如圖，在電△ABC中，乙8=90°,48=3,47=5,以點B為圓心

的。8的半徑為r,若對于T的一個值，。B與AC只有一個交點,求r的取值范圍.”對于其答案，甲

答：r=4.乙答：3<r<4.丙答：「=孕.則正確的是（）

5

A.只有乙答的對B.甲、乙的答案合在一起才完整

C.乙、丙的答案合在一起才完整D.三人的答案合在一起才完整

14.（2023?湖南?中考真題）已知。O的直徑等于12cm，圓心O到直線I的距離為5cm,則直線Z與。。的

交點個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.無法確定

15.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考模擬預測）在矩形中，4口=8,6.點。為對角線AC上一點（不與

/重合），。。是以點。為圓心，AO為半徑的圓.當。O與矩形各邊的交點個數(shù)為5個時，半徑O/

的范圍是，

16.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知。4=6,OB=8,BC=2,0P與OB、AB均相切，點P是

【題型5判斷或補全使直線成為切線的條件】

17.（2023?廣東揭陽?統(tǒng)考一模）如圖，AB是。O的直徑，BC交?。于點D,DE±AC于點E,下列說法

不正確的是（）

A.若。E=L>O，則。E是。O的切線B.若則OE是。O的切線

C.若CD=DB,則RE；是。O的切線D.若OE是。O的切線，則=

18.（2023?天津西青?模擬預測）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的。P的圓心P的坐標為（

—3,0）,將。P沿刀軸正方向平移，使。P與4軸相切，則平移的距離為.

19.（2023?吉林?一模）已知△4BC內接于OO,過點A作直線石F.

（1）如圖1所示，若為。。的直徑,要使石尸成為。O的切線，還需要添加的一個條件是.

（2）如圖2所示，如果AB是不過圓心。的弦，且NCAE=,那么班是。。的切線嗎？試證明你

的判斷.

20.（2023?貴州?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，交。。于點。，DE，人。于點E,要使。是。

O的切線，還需補充一個條件，則補充的條件不正確的是（）

A.DE=DOB.AB=ACC.CD=DBD.AC//OD

【題型6利用切線的性質求值】

21.（2023?安徽?校聯(lián)考模擬預測）如圖，已知4B是OO的直徑，與。。相切于點8.若△ABC?

△C8O,貝Usin/y1C?=

22.（2023?海南三亞?統(tǒng)考二模）如圖，R4與。O相切于點A,PO與。。相交于點3,點。是。。上一

點，若AACB=32°,則NP的度數(shù)為.

23.（2023?安徽?模擬預測）如圖，E是。。的直徑AB延長線上一點，過點E作。O的切線EC,C為切

點，。是。O上一點（在直徑AB的下方）.若NAEC=50°,則AADC的度數(shù)為.

24.（2023?廣東汕頭?汕頭市第六中學?？家荒＃┤鐖D，△ABC內接于。O.是直徑，過點人作直線

AW,且是。。的切線.

（1）求證：/.MAC=AABC.

⑵設。是弧AC的中點，連接AD交AC于點G,過點。作DELAB于點E,交AC于點F.

①求證：FD=FG.

②若BC=3,4B=5,試求AE的長.

【題型7證明某條直線是圓的切貨】

25.（2023?江蘇連云港?模擬預測）如圖，直線Q4交。。于4、口兩點，AE是。。的直徑，點。為。。上

一點，且AC平分NE4E,過C作CDLB4,垂足為D

（1）求證：CD為。。的切線；

（2）若AC=5,NE=30°,求CD的長.

26.（2023?江蘇淮安??？寄M預測）如圖，已知直線,與。O相離，O/，/于點4,交。。于點P,點B

是。O上一點，連接BP并延長，交直線Z于點C,使得AB=AC.

（1）判斷直線與?O的位置關系并說明理由；

（2）PC=2A/6,。4=4,求線段P8的長.

27.（2023?廣東肇慶?統(tǒng)考三模）如圖，48是。O的直徑，C,。是。O上的兩點，且BC=DC,8。交/。

于點E,點斤在47的延長線上，BE=砂\

r

（1）求證：8F是0O的切線；

（2）若E9=6,cosAABC=孑,

①求B尸的長；

②求。。的半徑.

28.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考三模）如圖，是。O的直徑，點E是劣弧8。上一點，APAD=AAED,^.

DE=V2,AE平分NBA。，AE與BD交于點F.

（1）求證：B4是。。的切線；

（2）若tan/DAEn亨，求EF的長；

（3）延長￡?,48交于點。，若OB=BC,求。O的半徑.

【題型8利用切線的性質定理證明】

29.（2023?廣東江門?統(tǒng)考一模）如圖1,已知4B是。。的直徑，=2,。為圓上任意一點，過點。作圓

的切線，分別與過48兩點的切線交于P,Q兩點.

⑴求CPCQ的值；

（2）如圖2,連接PB,AQ交于點雙,證明直線MC±AB.

30.（2023?內蒙古包頭?統(tǒng)考一模）如圖，PA,PB是。。的兩條切線，是切點,連接AO并延長,與PB

的延長線相交于點C,連接P。,交。。于點。，連接。

（1）求證：乙4尸O=NBPO；（用兩種證法解答）

（2）若DP=?？?試探究PB與PD之間的數(shù)量關系,寫出并證明你的結論.

31.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預測）如圖，圓O中內接△ABC,過點A作圓O的切線Z,作直線CD使得

乙4CD=,并交4B于E.

（1）證明：CD〃Z；

（2）若儂=。4=2及4=2,求班的值；

（3）證明：8c2-ED=CE-BE-BA.

32.（2023?河南許昌?統(tǒng)考二模）《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得所著的一部數(shù)學著作，書中以23個

定義、5個公設和5個公理作為基本出發(fā)點，給出了119個定義和465個命題.其中，命題4.2的內

容是:給定一個三角形，可作圓內接相似三角形.

小冉想嘗試對這個命題進行證明，于是根據(jù)書中命題的內容及圖形的畫法寫出了已知和求證：

已知:如圖1,ZVIBC為已知三角形，如圖2,是。O的切線，D為切點，NEDH=ZB,AFDG=

ZC.

求證：尸?△AC?.

小冉在圖2的基礎上,添加了輔助線;如圖3,連接并延長OO,交。。于點P,連接PE,PF.

（1）請在小冉所添輔助線的基礎上,求證：△DEF?ZVICB；

（2）若AB=AC=5,BC=8,即=16,求OO的半徑.

【題型9切線的性質與判定的綜合運用】

33.（2023?廣東肇慶?統(tǒng)考二模）如圖,矩形ABCD中，AB=13,4D=6.點E是CD上的動點，以AE為

直徑的?O與交于點尸，過點斤作FG±BE于點、G.

（1）當E是①的中點時：tan/EAB的值為；

（2）在（1）的條件下，證明：尸G是。。的切線；

（3）試探究：BE能否與。。相切？若能，求出此時BE的長;若不能,請說明理由.

34.（2023?山西太原?太原五中?？家荒＃┪覀儗W習過利用尺規(guī)作圖平分一個任意角，而“利用尺規(guī)作圖三

等分一個任意角”曾是數(shù)學史上一大難題,之后被數(shù)學家證明是不可能完成的.人們根據(jù)實際需要,

發(fā)明了一種簡易操作工具一三分角器.圖1是它的示意圖，其中4b與半圓O的直徑在同一直線

上，且48的長度與半圓的半徑相等，Z汨與AC垂直與點足夠長.

使用方法如圖2所示，若要把4MEN三等分,只需適當放置三分角器,使0B經(jīng)過NVEN的頂點E,

點A落在邊5M上，半圓。與另一邊EN恰好相切，則EB，EO就把NMEN三等分了.

為了說明這一方法的正確性，需要對其進行證明.如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補充完

整,并寫出“證明”過程.

已知:如圖2,點O,。在同一直線上，EBLA。,垂足為點_

求證:______.

35.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知48是。。的直徑，CD=CB,理;切。。于點過點。作

CF_LOE交BE于點、F,若EF=2BF.

圖1圖2

⑴如圖1,連接BD,求證：AADB篤△QBE；

（2）如圖2,N是AD上一點,在AB上取一點河,使AMCN=60°,連接A請問：三條線段MN,

12

BM,ON有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論.

36.（2023?浙江杭州?校考二模）知：如圖1,AB是。。的弦，點。是。O的半徑OB的延長線上一點，將

△ABC翻折得到4ABe',AC交半徑08于點D.

⑴求證：及7〃04

（2）若AC與。。相切.

①如圖2,點。落在。。上，求sin。的值.

②如圖3,若。4=10,AB=12,求的面積.

【題型10作圓的切線】

37.（2023?江蘇南京?一模）過。。上一點A,可以用尺規(guī)按以下方法作出。O的切線；

①另取。。上一點口，以B為圓心，A3為半徑作圓，將。B與。。的另一個交點記為點C；

②以A為圓心，AC為半徑作弧，將。人與OB的另一個交點記為點。，作直線AD.

直線4D即為。。的切線.

如圖，小明已經(jīng)完成了作圖步驟①.

（1）用尺規(guī)完成作圖步驟②；

⑵連接AC,AB,BC,求證：4B平分/CAD；

（3）求證：直線AD為。O的切線.

38.（2023?福建福州?統(tǒng)考三模）如圖，已知。。及圓外一點P,請你利用尺規(guī)作。的切線R4.（不寫作

法，保留作圖痕跡）

39.（2023?湖北?校聯(lián)考三模）如圖，在電△ABC中，乙4=90°,平分乙48C交CA于。點，。是上

一點，經(jīng)過8、。兩點的。。分別交8。、BA于點E、F.

D

（1）用尺規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡,不寫作法）；

（2）求證：CA與。O相切：

（3）當BD=，AABD=30°時,求劣弧BD的長.

40.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，乙8尸。=120°,點4、。分別在射線PR、PD上，乙B4C=30°,AC

（1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在人、。兩點分別與射線PB和尸。相切.要求:寫出作法，并保

留作圖痕跡；

（2）根據(jù)（1）的作法,結合已有條件,請寫出已知和求證，并證明；

（3）求所得的劣弧與線段上4、PC圍成的封閉圖形的面積.

【題型11應用切線長定理求解或證明】

41.（2023?河北邯鄲??？既＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，//=48=90°,4D=4,BC=W,sinC=§,

5

以AB為直徑作。O,把。。沿水平方向平移x個單位,得到。O',A'B'為直徑AB平移后的對應線

段.

?M

（1）當t=0,且M為。。上一點時，求。河的最大值；

（2）當日與。重合時，設。。與CD相交于點N,求點N到AB的距離；

⑶當。。與CD相切時，直接寫出宓的值.

42.（2023?山東威海?統(tǒng)考一模）如圖，?O的直徑AB=12,AM,BN是0O的兩條切線，切。。于

E,交BN于C,設AD=:E,BC=y.

⑴求證：AB2=4D￡>CE；

（2）求夕與t的函數(shù)關系式；

⑶若立，夕是方程2/—3Cte+a=0的兩個根，求△OCD的面積.

43.（2023?北京石景山?統(tǒng)考二模）如圖，AO是。。的直徑，P是。。外一點，連接PO交。。于點C,

08,2。分別切。。于點氏。,連接48,47.

（1）求證：AB//OP；

⑵連接若弘=22，tanNBAD=2,求PC長.

44.（2023?廣東中山?統(tǒng)考三模）如圖，已知是。O的直徑，/B=2,。為圓上任意一點，過點。作圓的

切線，分別與過A,B兩點的切線交于尸，Q兩點.

⑴求CP?CQ的值；

（2）如圖，連接PB,AQ交于點證明直線MG,

【題型12由外心的位置判斷三角形形狀】

45.（2023?江蘇無錫?模擬預測）下列說法：（1）三個點確定一個圓；（2）相等的圓心角所對的弦相等；（3）同

弧或等弧所對的圓周角相等；（4）三角形的外心到三角形三條邊的距離相等；（5）外心在三角形的一邊

上的三角形是直角三角形;其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

46.（2023?浙江溫州?模擬預測）如果三角形的外心在三角形的外部，那么這個三角形一定是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形

47.（2023?河北滄州?模擬預測）當一個三角形的內心與外心重合時，這個三角形一定是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

48.（2023?廣西玉林?統(tǒng)考中考真題）如圖，在5x7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1,點O,A,B,C,D,E

均在格點上，點。是4ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認為外心也是

O的三角形都寫出來.

【題型13求三角形外接圓的半徑、外心坐標】

49.（2023?湖北武漢??？寄M預測）如圖，/\ABC中，AB=AC,。O是△ABC的外接圓，BO的延長線

交邊47于點。.

（1）求證：ZBAC=2NABD；

（2）若AD：。。=2:3,BC=2小時，求。。的半徑.

50.（2023?江蘇南京?統(tǒng)考一模）如圖，△ABC內接于。O,ABAC=45°,ADLBC,垂足為。，BD=6,

。。=4.

（1）求。。的半徑；

（2）求AD的長.

51.（2023?浙江溫州??？家荒＃┤鐖D，△ABC在平面直角坐標系中，點4（—1,1）

(1)利用網(wǎng)格確定△ABC的外接圓的圓心坐標為;

(2)作出△ABC的外接圓；

(3)利用直尺作出乙4cB的角平分線.

52.(2023?山東濟寧?校考二模)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為/(-2,1),

仇一1,4),C(—3,2)

(1)以原點O為位似中心，位似比為2:1,在沙軸的左側畫出△ABC放大后的；

(2)在⑴中，若點M(m,n)為線段上任一點，寫出變化后點河的對應點M'的坐標.

(3)直接寫出△45G外接圓的圓心。坐標.

【題型14由三角形的內切圓求值】

53.(2023?黑龍江雞西??？既?如圖，在直角坐標系中，一直線I經(jīng)過點M(V3,1)，與步軸、4軸分別交

于兩點，且31=兒位,若。Oi是△4BO的內切圓，。。2與。5、八“軸分別相切，與。

C)2、l、y軸分別相切，……按此規(guī)律，則。。2023的半徑「2023=.

54.(2023?福建泉州?模擬預測)作圖題:如圖,在矩形ABCD中，已知AD=10,AB=6,

D

（1）用直尺和圓規(guī)在AD上找一點E,使EC平分NBED,（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）求△CDE內切圓半徑r的值.

55.（2023?山東淄博?統(tǒng)考一模）如圖，在放A4BC中，乙4=90°,點。，E分別在AC,上，且CD-SC

=AC-CE,以E為圓心，DE長為半徑作圓，。后經(jīng)過點B,與AB,分別交于點尸，G.

（1）求證：AC是OE的切線；

（2）若4F=4,CG=5,求OE的半徑；

（3）在（2）的條件下，若放的內切圓圓心為/，直接寫出血的長.

56.（2014?江蘇南京?統(tǒng)考中考真題）如圖，在電△ABC中，乙4cB=90°,AC=4cm,BC=3cm,。。為

△ABC的內切圓，

（1）求。。的半徑；

（2）點P從點口沿邊A4向點A以點lcm/s的速度勻速運動，以點尸為圓心，尸口長為半徑作圓，設點

P運動的時間為ts,若。P與。。相切，求t的值.

【題型15與三角形內心有關的應用】

57.（2023?陜西西安?西安市鐵一中學?？寄M預測）綜合與實踐：（1）如圖（1）,有一塊三角形材料△ABC,

準備裁剪成一個面積最大的圓形，已知90°,3,AC=4,求裁剪出的最大圓形面積?.M

（2）如圖（2）,市政部門準備把一塊四邊形區(qū)域改造成公園,計劃在主干道AB上確定大門M的位置，

且在雙與另外兩個小門E、尸連接而成的三角形區(qū)域內設計一個面積盡可能大的圓形花園，部分數(shù)據(jù)

如下：/8=/。=60°,郎=00=2E。=400米,點斤為。0的中點,請按市政要求確定州的位置，

畫出圖形并求出?W■長和最大的圓形花園的面積.

圖(1)圖⑵

58.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步.問勾中容圓，徑幾

何？”譯文:現(xiàn)在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步.問這個直角三角形

內切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長,求得斜

邊的長.用直角三角形三條邊的長相加作為除數(shù),用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù),計算所

得的商就是這個直角三角形內切圓的直徑.根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步.（注:“步”為

長度單位）

X

股15人弦

勾8

59.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小

正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）.若直角三角形的內切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則

大正方形的面積為.

60.（2023?河北?一模）如圖，三條筆直的小路a,b,c相交圍成一個三角形公園ABC,在△ABC的內心/處

修建了一個涼亭，過涼亭的小路d〃c,并分別與AABC的兩邊AB、AC相交于點。、E,=150m,

小路c與d之間相距60小，如果從涼亭分別向a,b,c修建一條石板路,那么這三條石板路的長度之和

最小為巾；若游人從8處出發(fā)，沿8-。-/一￡-C的路線，到達。處,那么所走的這段路程

長為m.

【題型16三角形外接圓與內切圓綜合】

61.（2023?浙江??？既＃┤鐖D，?O是RtZVLBC的內切圓，/8=90°.

⑴若4B=4,BC=3,

①求人必人8。外接圓的半徑；

②求RtAABC內切圓的半徑；

⑵連接49并延長交于點。，若4B=6,tan/CAD=4，求此。。的半徑.

62.（2023?福建廈門?統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，4。=8。=4,乙4cB=90°,。。是△4BC的外接圓,

連接。。并延長交。O于點。，連接8。,點E是△ABC的內心.

（1）請用直尺和圓規(guī)作出點E,證明=OE；

（2）求線段CE長.

63.（2023?湖北武漢?一模）在銳角AABC中，BC=2函，乙4=45°.

A

D

圖2

（1）如圖1,求△ABC外接圓的直徑；

（2）如圖2,點/為AABC的內心，AI的延長線交外接圓于。,

①求證3。=皿；

②若4B=6,求AABC內切圓的半徑（不需化簡）.

64.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，4D是邊上的中線，ABAD=ACAD,CE//AD,

CE交所1的延長線于點E,BC=8,AD=3.

⑴求CE的長；

（2）求證：為等腰三角形.

（3）求AABC的外接圓圓心P與內切圓圓心Q之間的距離.

22

與凰有關的位置關系【十六大題型】

?題型梳理

【題型1點和國的位置關系】...............................................................2

【題型2直線與國的位量關系】............................................................4

【典型3求千普到與相切時心坐標我運動距高】............................................8

【題型4根據(jù)直假與用的征，關系求交點個數(shù)】.............................................13

【題型5判斷或樸金便宜畿成為切鐵的條件】...............................................17

【題型6利用切假的性質求值】...........................................................19

【題型7證明某條直假是BI的切線】.......................................................22

【題型8利用切侵的性質定理證明］.......................................................27

【題型9切線的性質與判定的嫁合運用】...................................................32

【題型10作BI的切鰻】...................................................................37

【慝型11應用切線長定理求解或證明】....................................................41

【慝型12由外心的位置判斷三角形形狀】..................................................47

【題型13求三角財外接國的軍徑、外心坐標】...............................................48

【題型14由三角型的內切事求值】........................................................52

【題型15與三角府內心有關的應用】......................................................57

【題型16三角爵外接國與內切U綠合】....................................................61

>舉一反三

【知識點與圓有關的位置關系】

1.點和圓的位置關系

設。。的半徑為T,點P到圓心的距離為OP=d,則有：

點P在圓外Qd>r；

點P在圓上od=r；

點P在圓內od<r。

性痛:不在同一條直線上的三個點確定一個圓。

定義，經(jīng)過三角形的三個頂點可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三條

邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心。

2.直線和圓的位置關系

直線和圓有兩個公共點時,我們說這條直線和圓相交。這條直線叫做圓的割線。

直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線和圓相切。這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點。

直線和圓沒有公共點時,我們說這條直線和圓相離。

設。。的半徑為T,圓心。到直線I的距離d,則有：

直線Z和。。相交odVr；?M

直線，和。。相切0d=r；

直線Z和。O相離Qd>r。

切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質定理:圓的切線垂直于過切點的半徑。

經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長。

切貨長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾

角。

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點,叫做三角形的

內心。

【題型1點和圓的位置關系】

1.（2023?上海閔行?校聯(lián)考模擬預測）矩形4BCD中，48=8,3"，點P在邊AB上，且=

3/P,如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）

A.點8,。均在圓P外B.點口在圓P外，點。在圓P內

C.點B在圓P內，點。在圓P外D.點8,。均在圓尸內

【詳解】解:如圖，Dc

?.?四邊形ABCD為矩形，\/

：.AD^BC^3V5,\

AB=8,BP=3AP,_______

：.AP=2,BP=6,PB

在RtLADP中，4P=2,AD=3VK,

/.PD=VAP2+AD2=7,

在Rt/\PBC中，,：PB=6,BC=3A/5,

：.PC^^PB2+BC2=9,

：.PC>PD>PB,

.?.點B在圓P內，點。在圓P外.

故選：C.

【點睛】本題考查了點與圓的位置：設。O的半徑為丁,點、P到圓心的距離OP=d，則有：點P在圓外。d

>r;點P在圓上。d=r;點P在圓內Qd<r.

2.（2023?四川涼山?統(tǒng)考模擬預測）在R1△ABC中，/C=90°,80=3,47=4,。為AB的中點.以A

為圓心，「為半徑作。4,若口、C、。三點中只有一點在。入內，則04的半徑r的取值范圍是

（）

A.2.5Vr44B.2.5<r<4C.2.5<r<4D.2.54r<4

【詳解】?.?在RtZXAB。中，BC=3,AC=4,

AB=y/AC^+BC2=A/42+32=5,

?.?。為AB的中點,

：.AD=^-AB=^~.

22

由上圖可知，當0A的半徑r==時，點。在。A上,

當。入的半徑r=47=4時，點。在。人上，點。在圓內，

當。力的半徑r=AB=5時，點B在。A上，點。、。在圓內，

當。人的半徑滿足-<rW4時，點。在OA內，

當。人的半徑滿足4<rW5時，點。、。在OA內，

當0A的半徑滿足r>5時，點B、。在。?1內，

若B、C、。三點中只有一點在。A內，則?A的半徑r的取值范圍是卷Vr44.

故選：A

3.（2023?四川成者B?統(tǒng)考二模）已知P是?O內一點（點P不與圓心O重合），點P到圓上各點的距離中,

最小距離與最大距離是關于x的一元二次方程ax2-12ax-20=0的兩個實數(shù)根，則。O的直徑為

【詳解】解：是。。內一點，

.?.OO的直徑為最小距離與最大距離的和，

最小距離與最大距離是關于x的一元二次方程ax2—12QC-20=0的兩個實數(shù)根，

O的直徑為一二^=12,

a

故答案為：12.

【點睛】本題考查了點和圓的位置關系，一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練運用根與系數(shù)的

關系.

4.（2023?江蘇揚州?統(tǒng)考一模）如圖，矩形ABCD中，4B=3,4,點P是平面內一點，以P、3、C為

頂點的三角形是等腰三角形，則的最小值為（）

D

C

B

A，AB.1C—D.2.5

A55

【詳解】如圖，分別以B,C為圓心BG的長為半徑，作。B,OC,作8。的垂直平分線，則符合題意的點P,

在。B,。。以及BC的垂直平分線上，

當P位于CD的延長線與。。的交點時，取得最小值，

?.?四邊形ABCD是矩形，AB=3,BC=4,

:.BC=4,DC=3

：.PD=PO—_DC=4—3=1,則最小值為1

故選B

【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，等腰三角形的性質，根據(jù)題意作出兩圓一線是解題的關鍵.

【題型2直線與圓的位置關系】

5.（2023?河北秦皇島?模擬預測）如圖，已知乙4cB=30°,CM=2,AM=5,以M為圓心，r為半徑作。

M,。及與線段AC有交點時，則r的取值范圍是.

【詳解】解:過M作AC于H,如圖所示:

,:CM=2,/ACB=30°,

?：AM^5,。河與線段人。有交點，

/.r的取值范圍是1WrW5,

故答案為：lWr45.

【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系：設。。的半徑為r,圓心O到直線，的距離為d,若直線，和（DO

相交Qd<r;直線/和。O相切od=r;直線Z和OO相離。d>r.

6.（2023?上海青浦?統(tǒng)考二模）如圖,在直角梯形48。0中，40〃及7,乙4=90°,E是AD上一定點，AB

=3,BC=6,AD=8,AE=2.點P是上一個動點，以P為圓心，PC為半徑作。P.若。P與以

E為圓心，1為半徑的?E有公共點，且0P與線段AD只有一個交點，則PC長度的取值范圍是

E

AD

【詳解】解：根據(jù)題意可知：P。的最小值為圓P與AD相切，切點為河，如圖所示:

：.PM_LADf

在直角梯形ABCD中，

???AD//BC,

??.ZABC=ZA=90°,

???四邊形ABP7W是矩形，

：.PM=AB=PC=3f

最大值為圓P