北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)常見題型專練：探索勾股定理（2種題型） （原卷版）

第01講探索勾股定理（2種題型）

D【知識(shí)梳理】

一、勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為

a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么。2+〃2=cL

要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段

長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)

題的目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：

a2=c2—b1,b2=c2—a2,c2=（?+/?）"—lab.

二、勾股定理的證明

方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖°）中幾方“前=（a+6）2=/+4X）處，所以1+川=3

At&2

方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖⑵中S防般的0=1=3-4+4*；而，所以/=/+「

="+歐=2X%+1J，所以/+/=/

三、勾股定理的作用-“

1.已知直角三角形的任意兩條邊長(zhǎng)，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問(wèn)題；

3.利用勾股定理，作出長(zhǎng)為式的線段.

邊.

【考點(diǎn)剖析】

題型一、勾股定理的應(yīng)用

例1、在AABC中，NC=90°,NA、ZB,NC的對(duì)邊分別為a、b、c.

(1)若a=5,b=12,求c；

(2)若c=26,b=24,求a.

例2.如圖所示，在多邊形ABCD中，AB=2,CD=1,ZA=45°,ZB=ZD=90°,求多邊形

ABCD的面積.

【變式】已知：如圖，在AABC,BC=2,SAABC=3,ZABC=135°,求AC、AB的長(zhǎng).

例3、長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折

痕為EF,求DE的長(zhǎng).

題型二、勾股定理的證明

例4、如圖所示，在RtZ\ABC中，/C=90°,AM是中線，MNXAB,垂足為N,

試說(shuō)明/UY?—BN?

例5.請(qǐng)用兩種方法證明：△ABC中，若/C=90°,則。2+反=?2

例6.圖中大正方形是由4個(gè)全等直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的，其中每個(gè)直角三角形

兩直角邊為a,b,斜邊為c,你能通過(guò)此圖驗(yàn)證得到勾股定理嗎？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的理由.

例7.做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直線邊分別為a,b,斜邊為c,再做3個(gè)邊

長(zhǎng)分別為a，b,c的正方形，把它們按圖4,圖5所示的方式拼成兩個(gè)正方形.利用兩個(gè)

正方形的面積相等來(lái)證明勾股定理：a2+b2=c2.

abab

例8.如圖，己知NC=/O=90°,D,E,C三點(diǎn)共線，各邊長(zhǎng)如圖所示，請(qǐng)利用面積法證

明勾股定理.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

選擇題

1.（2022春?西華縣期中）如圖，這是用面積為18的四個(gè)全等的直角三角形拼成的“趙爽

弦圖”.如果大正方形的邊長(zhǎng)為9,那么小正方形的邊長(zhǎng)為（）

2.（2022春?高安市期中）勾股定理被譽(yù)為“幾何明珠”，如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦

圖”，它由4個(gè)全等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為25,小正方形面積為1,若用

。、b表示直角三角形的兩直角邊（a>b）,則下列說(shuō)法：①。2+房=25,②a-b=l,③ab=

12,④。+b=7.正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二.填空題

3.用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖一個(gè)大正方形ABC。和一個(gè)小正方形EFG”，這就是著

名的“趙爽弦圖"，若48=15,AF=12,則小正方形EFGH的面積為

4.（2022春?臺(tái)江區(qū)期中）在△ABC中，ZC=90",若AB=&,則482+8。2+忙2

5.（2022春?長(zhǎng)垣市期中）如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形

是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5,則正方形。的面積為

6.1876年美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德利用圖驗(yàn)證了一個(gè)十分著名的定理，這個(gè)定理稱

為,該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

7.（2022春?新邵縣期中）如圖所示，在RtA4BC中，ZB=90°,A。平分/BAC,交8C于

點(diǎn)0,DE±AC,垂足為點(diǎn)E,若BO=3,則DE的長(zhǎng)為.

三.解答題

8.（2022春?巢湖市校級(jí)期中）學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法.某

同學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點(diǎn)B是正方形ACOE邊C。上一點(diǎn)，連接A8,

得到直角三角形ACB,三邊分別為a,b,c,將裁剪拼接至△/?￡下位置，如圖2所示，

該同學(xué)用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理.請(qǐng)你寫出該方法證明勾股定理的過(guò)程.

F

9.如圖所示是用硬紙板做成的四個(gè)完全相同的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，直角

三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是。，b,斜邊的長(zhǎng)為c,請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能推導(dǎo)勾股定理的

圖形.

(1)畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖；

(2)推導(dǎo)勾股定理.

bb

aac

10.【閱讀理解】我國(guó)古人運(yùn)用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個(gè)直角三角形拼成正

方形，通過(guò)證明可得中間也是一個(gè)正方形.其中四個(gè)直角三角形直角邊長(zhǎng)分別為。、b,斜

邊長(zhǎng)為c.圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2,也可表示為c2+4X」ab,即（a+b）2=

2

C2+4X—ab,所以<j2+b2=c2.

2

【嘗試探究】美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾