安徽省亳州市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)7月期末考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

高二數(shù)學(xué)（人教版）

本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

考生注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1,若X是離散型隨機(jī)變量，則石［x—"（x）］=（）

A.E（X）B.2石（X）C.OD.［E（X）］2

2.函數(shù)/（x）的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間（。力），導(dǎo)函數(shù)/'（x）在（。3）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)“X）在開(kāi)區(qū)間

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.某市旅游局對(duì)全市各旅游景區(qū)的環(huán)境進(jìn)行綜合治理，投入不同數(shù)額的經(jīng)費(fèi)（x千萬(wàn)元），得到各旅游景區(qū)

收益的增加值（＞萬(wàn)元），對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：

投人的治理經(jīng)費(fèi)X（單位：千萬(wàn)元）1234567

收益的增加值y（單位：萬(wàn)元）2325779

若X與y的回歸直線方程為y=i.2i4x+a，則相應(yīng)于點(diǎn)（7,9）的殘差是（）

A.-0.358B.0.358C.-8.642D.8.642

4.函數(shù)/(%)=sin2x+4co&x-3%在R上()

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有增有減D.無(wú)法判定

5.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原

節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為

A.42B.30C.20D.12

6.已知函數(shù)/（x）=alnx+Zzr2eiT,a,Z?GR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若曲線y=/（九）在點(diǎn)（2,/（2））處的切

線方程是丫=尤+1112,則萬(wàn)的值是（）

2-ln22+ln2C(2-ln2)e(2+ln2)e

---------B.---------

4"4

7.甲乙兩人分別擲兩枚骰子，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)，則由原擲骰子的人繼續(xù)擲；若擲

出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則由對(duì)方接著擲.第一次擲由甲開(kāi)始，設(shè)第〃次由甲擲的概率為巴，則匕與

匕_1之間的關(guān)系是（）

B.—Ei)(〃N2)

C.^=-1^+|（^>2）D.2=_：2_1+?7>2)

8.設(shè)耳，工分別是離心率為也的橢圓C:￡+與=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)耳的直線交橢圓C于

2a~b-

兩點(diǎn)，且1M|=3閨同,則cos/A%8=（）

1JI23

A.-B.—C.-D.-

5555

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.把一個(gè)正態(tài)曲線。沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線力，下列說(shuō)法中正確的是（）

A.曲線b仍然是正態(tài)曲線

B.曲線”和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等

C,以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線。為概率密度曲線的總體的期望小2

D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線〃為概率密度曲線的總體的方差大2

10.己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為3,6=2,且S“=2S,i+〃—1（〃之2）,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.an>Sn_x（n>i）B.｛4+1｝是等比數(shù)列

c.s?<2a,是遞增數(shù)列

11.“曼哈頓距離”是由赫爾曼-閔可夫斯基使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ).在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

P(%,%)、%)的曼哈頓距離為：LpQ=|x1-x2|+|y1-y2|.若點(diǎn)P(l,2)，點(diǎn)。為圓C:f+產(chǎn)=4

上一動(dòng)點(diǎn)，則()

A.點(diǎn)P(l,2)和點(diǎn)4(—1,3)的曼哈頓距離為3

1-2esin|—\cos3>—

B.設(shè)2(2cos0,2sin。)，則￡尸°=<

3-20sin0H—,cos0<一

4J2

LPQ的最大值為1+2

的最大值為3+2行

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知隨機(jī)變量J~8(2024,0.5),則。(2J+1)的值是

13.在二項(xiàng)式7?+「=的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為4096,則此二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和是

14.若不等式lnx+至三—左20(左eZ)對(duì)任意%>2恒成立，則整數(shù)上的最大值是.

X

四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(%)=。曰'+X+1,其中aeR,e為自然對(duì)數(shù)底數(shù).

(1)求八％)的極值；

(2)若/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

16.如圖，在四棱錐P-A5CD中，底面矩形A3CD垂直于側(cè)面且上4，AD,E、尸分別是棱

AD、PC的中點(diǎn)，AD=y/2AP=y/2AB.

(1)證明：尸平面5環(huán);

(2)若AD=①，求二面角尸—BE—C正弦值.

17.己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A是拋物線。：f=2力(，＞0)上與點(diǎn)。不重合任意一點(diǎn).

(1)設(shè)拋物線。的焦點(diǎn)為尸，若以尸為圓心，E4為半徑的圓尸交C的準(zhǔn)線/于V、N兩點(diǎn)，且

NMFN=9O°,AA70N的面積為40，求圓產(chǎn)的方程;

(2)若8是拋物線C上的另外一點(diǎn)，非零向量旅礪滿足|況+礪|=|函-詞，證明：直線A3必經(jīng)

過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

18.某市一些企業(yè)，由于沒(méi)有技術(shù)更新業(yè)務(wù)受到形響，資金出現(xiàn)缺額，銀行將給予低息貸款的扶持.銀行制

定了評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這些企業(yè)進(jìn)行評(píng)估，然后依據(jù)企業(yè)評(píng)估得分將這些企業(yè)分別定為優(yōu)秀、良好、合

格、不合格四個(gè)等級(jí)，并根據(jù)等級(jí)分配相應(yīng)的低息貸款數(shù)額.為了更好地掌握貸款總額，銀行隨機(jī)抽查了部

分企業(yè)，得到以下兩個(gè)圖表數(shù)據(jù).

頻率

評(píng)估得分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]

評(píng)定類型不合格合格良好優(yōu)秀

貸款金額(萬(wàn)

0200400800

元)

(1)任抽一家企業(yè)，求抽到的等級(jí)是優(yōu)秀或良好的概率(將頻率近似看做概率)；

(2)對(duì)照上表給出的標(biāo)準(zhǔn)，這些企業(yè)進(jìn)行了整改.整改后，優(yōu)秀企業(yè)數(shù)量不變，不合格企業(yè)、合格企

業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量成等差數(shù)列.要使這些企業(yè)獲得貸款的數(shù)學(xué)期望不低于410萬(wàn)元，求整改后不合格企

業(yè)占企業(yè)總數(shù)百分比的最大值.

19.特征根方程法是求一類特殊遞推關(guān)系數(shù)列通項(xiàng)公式的重要方法.一般地，若數(shù)列｛4｝滿足

q+2=4與+1+c%("cN*,0c#0/2+4c>0),Q=s,a2=t,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式可以按以下步爰求

解：①a〃+2=m“+i+ca〃對(duì)應(yīng)的方程為爐=陵+。，該方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根名萬(wàn)；②令

nn

an^A-a+B-/3,其中A,3為常數(shù)，利用q=s,%=。求出A3,可得｛4｝的通項(xiàng)公式.滿足

F｝=F2=l,Fn+2=Fn+i+%(〃eN*)的數(shù)列｛與｝稱為斐波那契數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛尺｝的通項(xiàng)公式；

(2)若存在非零實(shí)數(shù)使得｛%+1+4｝(〃eN*)為等比數(shù)列，求/的值；

]2024

(3)判定萬(wàn)一?ZF：是數(shù)列｛￡｝的第幾項(xiàng)，寫(xiě)出推理過(guò)程.

“2025/=1

高二數(shù)學(xué)(人教版)

本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

考生注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試卷、草稿紙

和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.若X是離散型隨機(jī)變量，則石[x—"(x)]=()

A.E(X)B.2石(X)C.OD.[E(X)]2

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】E[X-E(X)~]=E(X)-EX=Q.

故選：C.

2.函數(shù)〃尤)的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間(。,。)，導(dǎo)函數(shù)/'(%)在(。力)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)/(可在開(kāi)區(qū)間

(口力)內(nèi)有極小值點(diǎn)()

C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】

【分析】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知尸（X）在開(kāi)區(qū)間（?？冢﹥?nèi)有4個(gè)零點(diǎn)玉,%，％，x4，（石<%<七=。<X4），

分析導(dǎo)函數(shù)再零點(diǎn)左右的導(dǎo)數(shù)值（正、負(fù)），即可判斷函數(shù)的極值點(diǎn)，從而得解.

【詳解】從圖形中可以看出，/'（尤）在開(kāi)區(qū)間（。力）內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)石,9,七,4,<x2<x；=0<x4）,

在為處的兩邊/'（%）左正、右負(fù)，取得極大值；

在々處的兩邊/'（%）左負(fù)、右正，取值極小值；

在尤3處的兩邊/'（%）都為正，沒(méi)有極值；

在4處的兩邊/'（%）左正、右負(fù)，取值極大值.

因此函數(shù)〃%）在開(kāi)區(qū)間（。力）內(nèi)的極小值點(diǎn)只有一個(gè).

故選：A.

3.某市旅游局對(duì)全市各旅游景區(qū)的環(huán)境進(jìn)行綜合治理，投入不同數(shù)額的經(jīng)費(fèi)（x千萬(wàn)元），得到各旅游景區(qū)

收益的增加值（y萬(wàn)元），對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：

投人的治理經(jīng)費(fèi)X（單位：千萬(wàn)元）1234567

收益的增加值y（單位：萬(wàn)元）2325779

若X與y的回歸直線方程為y=L214x+a，則相應(yīng)于點(diǎn)（7,9）的殘差是（）

A.-0.358B.0.358C.-8.642D.8.642

【答案】B

【解析】

【分析】先算出U代入回歸直線方程為y=1.214%+a，可得a，進(jìn)而得到回歸直線方程，當(dāng)％=7時(shí),

求出y,算出殘差即可.

.、“立力▼—1+2+3+4+5+6+7.—2+3+2+5+7+7+9_

【詳解］X=-----------------------=4,y=-----------------------------=5,

所以。=亍—菽=5—L214x4=0.144,y=1.214x+0.144，

當(dāng)x=7時(shí)，y=1.214x7+0.144=8.642，因此殘差為9—8.642=0.358.

故選：B.

4.函數(shù)/'（%）=5]1124+4（\）8^—34在區(qū)上（

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有增有減D.無(wú)法判定

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可分析函數(shù)單調(diào)性.

【詳解】因?yàn)?'(x)=2cos2x-4sinx-3=2(1-2sin2x)-4sinx-3

=-4sin2x-4siax-1=-(2sinx+1)2<0>函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞減.

故選：B.

5.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原

節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為

A.42B.30C.20D.12

【答案】A

【解析】

【詳解】原定的5個(gè)節(jié)目之間有6個(gè)位.

當(dāng)插入的這兩個(gè)新節(jié)目在一起時(shí)，有插法;

當(dāng)插入的這兩個(gè)新節(jié)目不在一起時(shí)，有用插法,

所以總的不同插法的種數(shù)為C6+C；6=42種.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)于排列和組合的題目，常用到捆綁法和插位法.捆綁法是將一些對(duì)象看作一個(gè)對(duì)象進(jìn)行排列;

插位法是將一些對(duì)象進(jìn)行排列后，再對(duì)剩下的對(duì)象進(jìn)行排列.

6.已知函數(shù)/(“=疝比+人/?。簠^(qū)/^區(qū)犬是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若曲線y=在點(diǎn)(2,/(2))處的切

線方程是丫=龍+1112,則力的值是()

2+ln2C（2-ln2）e（2+ln2）e

B.---------

44'4“4

【答案】C

【解析】

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)的切線方程得到y(tǒng)=/(x)在點(diǎn)(2,7(2))處的切線方程可表示為:

y-/(2)=|(x-2)^y=|x-a+/(2),再由切線方程是y=^+ln2,建立方程組求解.

【詳解】因?yàn)?'(x)=，+Zzx(2-x)e』，所以/(2)=彳.

y=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程可表示為：

V-/(2)="|(x-2)=丁=0-a+/⑵,

又因?yàn)榍€y=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線方程是y=x+ln2,

0=1

2切,0（2-ln2）e

所以《.j，斛得a-2,b--------------

4b4

〃ln2+——2=ln24

e

故選：C.

7.甲乙兩人分別擲兩枚骰子，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)，則由原擲骰子的人繼續(xù)擲；若擲

出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則由對(duì)方接著擲.第一次擲由甲開(kāi)始，設(shè)第〃次由甲擲的概率為匕，則匕與

匕t之間的關(guān)系是()

1?

A.^=-^(n>2)B.5=§(1—Ei)(〃N2)

12?1

C.^,=--^+-(^>2)D,P=P^(n>2)

3JnD1+D

【答案】C

【解析】

【分析】據(jù)題意列出第〃次由甲擲的兩種情況，根據(jù)互斥事件判斷可得到答案.

【詳解】第九次由甲擲應(yīng)該有兩種情況：

121

①第n—1次由甲擲，第九次繼續(xù)由甲擲，此時(shí)概率為

363

(12、2

②第n—1次由乙擲，第九次由甲擲，此時(shí)概率為1—痛(1—《I).

由于這兩種情況是互斥的,

i9i9

因此月=.月_|+.(1—只_J,2與之間的關(guān)系式是E,=—QET+Q,其中(〃22).

故選：C.

8.設(shè)片，工分別是離心率為Y2的橢圓C:三■+與=1(?！?〉0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Fl的直線交橢圓c于

2a廳

A3兩點(diǎn),且|叫|=3閨用,則cos/A&8=()

1J223

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由橢圓的定義結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，即可得到NA=90。，從而得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)楣?變,所以°=岳.設(shè)|畢|=9〉0),則|叫=3/,河|=由.

a2

(3t)2+(2a—3/)2—(2C)29/+(2a-3424

在耳工中,cosA=

2x3/x(2a-3t)2x3/x(2?-3/)

(4/)2+(2a_3/)2_(2a_1)216產(chǎn)+(24_3力2_(2“_力2

在中,cosA=

2x4/x(2a-3t)2x4/x(2a—3t)

9/+(2a-3/)2-2/_16.+(2a-37)2_(2a—)2

期以2x3tx(2a-3t)—2x4?x(2?-3?)整理得，3at=a1,a=3t*

3

于是IA閭=3r=|A用,\BF2\=5?,|AB|=4?,ZA=90°,cosZAF2B=-.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.把一個(gè)正態(tài)曲線。沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線力，下列說(shuō)法中正確的是()

A.曲線b仍然是正態(tài)曲線

B.曲線。和曲線b的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等

C.以曲線b為概率密度曲線的總體的期望比以曲線。為概率密度曲線的總體的期望小2

D.以曲線b為概率密度曲線的總體的方差比以曲線。為概率密度曲線的總體的方差大2

【答案】AB

【解析】

【分析】利用正態(tài)分布的圖象與性質(zhì)判定即可.

[(x-〃)21-2/

【詳解】密度函數(shù)/(x)=-^e2拼，向右移動(dòng)2個(gè)單位后，密度函數(shù)g(x)=-^e2b。，

y/2Tiayj211(7

曲線b仍然是正態(tài)曲線，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，故AB正確；

以曲線6為概率密度曲線的總體的期望值為〃+2,故C錯(cuò)誤；

以曲線b為概率密度曲線的總體的方差不變.故D錯(cuò)誤；

故選:AB.

10.已知數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為S”,6=2,且S“=2S,i+〃—1(〃之2),則下列結(jié)論中正確的是()

A.??>S,;_1(H>2)B.也+1｝是等比數(shù)列

c.Sn<2anDJ畀是遞增數(shù)列

【答案】ACD

【解析】

【分析】由題中條件可得a“=S,i+〃-1,判斷A；通過(guò)兩式相減的?！?i=2a〃+1,變形可得出

(3,n=l

an+\=\c，判斷B；

12",n>2

根據(jù)求和公式結(jié)合作差法比較大小判斷C,D；

【詳解】對(duì)于A,由邑=2"_1+〃—15?2)得，

?！?5“_1+〃一1,所以an>S“_].A正確；

對(duì)于B,將=S“T+〃-1與4+1=S“+〃整體相減得，a,.=2%+1,

所以。“+1+1=2(%+1),〃22,

又4+%=2q+1，即％=3,

3,n=l

所以4+1=1"

n>2

因此｛4+1｝不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤;

2,n=l

對(duì)于C因?yàn)?/p>

所以當(dāng)“之2時(shí)，S,=2+22—l+23—l+?+"—=n+l-n-.

當(dāng)”=1時(shí)，51=2<2?].

+in+i

當(dāng)〃22時(shí)，Sn-2an=r-n-l-2.+2=l-n<Q,因此S“<2a“，c正確；

,+1

對(duì)于D,因Sn=2'-n-l,

所以*=2一守，

所以祟—|f=—賓+二=券>°，

因此是遞增數(shù)列，D正確；

故選:ACD.

11.“曼哈頓距離”是由赫爾曼-閔可夫斯基使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語(yǔ).在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)

P（%，x）、的曼哈頓距離為：=忖—%|+|x-丁2卜若點(diǎn)尸（1,2）,點(diǎn)。為圓。：爐+丁2=4

上一動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.點(diǎn)P。,2）和點(diǎn)4（—1,3）的曼哈頓距離為3

1-2在sin,cos^>—

2

B.設(shè)0（2cos。,2sin。）,則L=-

PQ]

3-2缶in,cos6<一

14,2

C.乙尸2的最大值為1+2&

D.乙2的最大值為3+20

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)“曼哈頓距離”即可去判斷選項(xiàng)A,根據(jù)。（2cosO,2sin。），分類討論去絕對(duì)值結(jié)合輔助角公

式可求判斷選項(xiàng)B,C,D.

【詳解】對(duì)A,￡P(guān)A=|1+1|+|2-3|=3,A對(duì);

因?yàn)镼(2cosO,2sin。),

1—2加sin［"：J,cos0八>—1

2

所以LPQ=|2cos夕一11+|2sin0-2|=|2cos0-l|+2-2sin0=<B對(duì);

3—2缶+cosd<一

2

當(dāng)。一二=2E+2/eZ,即6=2E+叁時(shí)，1—2&sin（e—四］的最大值為1+2&.滿足cose?g

424I

當(dāng)8+q=2版+型/eZ,即e=2E+2時(shí)，3—2任皿（6+二］的最大值為3+20.滿足cos(9＜；,

424I4J

則C錯(cuò)，D對(duì)，

故選ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知隨機(jī)變量J~5(2024,0.5),則。(2J+1)的值是

【答案】2024

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求得。(3=2024x0.5x(1-0.5)=506,再結(jié)合方差的性質(zhì)公式得出結(jié)

果.

【詳解】因?yàn)?。（?2024x0.5x（1-0.5）=506,

所以D（2J+1）==2024.

故答案為：2024.

n

13.在二項(xiàng)式+\展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為4096,則此二項(xiàng)式展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和是

【答案】16

【解析】

【分析】令x=l，利用各項(xiàng)系數(shù)和求出“，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】在二項(xiàng)式［7?+十］的展開(kāi)式中，令x=l,

得，（7+1）"=4096,

即，23"=2%

解得，n=4,

所以二項(xiàng)式系數(shù)和為24=16.

故答案為：16.

2"+2

14.若不等式lnx+------左NO(左eZ)對(duì)任意%>2恒成立，則整數(shù)上的最大值是.

x

【答案】3

【解析】

【分析】將不等式化為xlnx?Ax—2(左+l),x>2,令g(x)=Tiu"(x)=Ax—2(k+l),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直

線與曲線相切，進(jìn)而求不等式的最值即可.

令g(x)=xlnx，Mx)=Ax—2(A+l),顯然直線人⑺過(guò)定點(diǎn)(2,-2),

因?yàn)間(尤)=xlnx的定義域?yàn)?0,+8),貝ijg'(x)=lnY+l,

所以當(dāng)I。,］時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)，,+同時(shí),

g(x)單調(diào)遞增,

可以畫(huà)出曲線y=g(x)的草圖(如圖)，

由圖象可知，直線h(x)=kx-2(k+\)的極限位置是與曲線y=g(x)相切，

設(shè)切點(diǎn)是4(％,%),則切線方程是y-X011?0=(l+liu0)(x-x0),

將點(diǎn)(2,—2)代入得，—2—/1叫=。+1叫)(2—/)，即%—21叫)—4=0,則左Wl+lnxo=3^二

令0(x)=x-21nx-4,x>2,貝!J"(%)=1——>0,夕(%)在(2,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

又因?yàn)椤＂?4-21n8=2(lne2—ln8)(0,o(9)=5-41n3:0,在％0-21叫一4=0中％e(8,9),于是

左故整數(shù)上的最大值是3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，直線與曲線相切應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用以及函數(shù)最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)

形結(jié)合思想，是一道難題.

四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知函數(shù)+1,其中aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)求了(%)的極值；

(2)若/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)(0,e-2).

【解析】

【分析】(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)分類討論，求解函數(shù)極值；

(2)根據(jù)“X)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為a=—(x+l)e"令g(x)=—(x+l)e』,xeR,利用函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)

g(%)單調(diào)性和在不同范圍內(nèi)函數(shù)的值域求得。的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

一n

/r(x)=-aeTx+1=——--,xeR.

T一〃

當(dāng)a<0時(shí)，/'(%)=R上單增，既沒(méi)有極大值，也沒(méi)有極小值.

e

ex-n

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(%)=——-—=0,則eX-a=0,x=lna

當(dāng)xe(-oo』na)時(shí)，/,(x)<0,/(x)在(-oo,lnn)上單減，

當(dāng)xe(inn,+8)時(shí)，/'(%)>0,/(x)在(lm,+oo)上單增，

所以/(九)的極小值為/(lna)=ae-lna+ln?+l=2+ln?,沒(méi)有極大值.

【小問(wèn)2詳解】

由/(x)=。得,a=-(x+l)ex.令g(x)=—(x+DetxeR.

則g'(x)=—(x+2)e”,當(dāng)xe(-oo,-2)時(shí),g<x)>O,g(x)單增；

當(dāng)xe(-2,+oo)時(shí),g<x)<O,g(x)單減.因此8(力48(-2)=己2.

顯然當(dāng)為<-1時(shí)，g(x)>0；當(dāng)］〉一1時(shí)，g(尤)<0.

當(dāng)0<a<e-2時(shí)，直線丁=。與函數(shù)g(x)的圖象有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，

即函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn).

故〃的取值范圍是(0,-2).

16.如圖，在四棱錐P-A5CD中，底面矩形A3CD垂直于側(cè)面R4。，且24,ARE、戶分別是棱

AD、PC的中點(diǎn)，AD=42AP=42AB.

(1)證明：PC_L平面班反；

(2)若AD=①,求二面角尸—BE—C的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)6

2

【解析】

【分析】(1)由面面垂直可得B41■平面。A。，則5AJ_R4,由幾何知識(shí)可得上戶_1_尸。,BFLPC,

結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；

(2)建系標(biāo)點(diǎn)，可得平面5環(huán)、平面A3CD的法向量，利用空間向量求二面角.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳3CD為矩形，則B4LAD，

且平面ABCD平面PAD，平面ABC。c平面PAD=AD,BAu平面PAD,

則平面R4D，且B4u平面PAD，所以

連接PE、EC.

在RSPLE和Rt^COE中，PA=AB=CD,AE=DE,

可知RjME全等于RtaCDE.則PE=CE,

且歹是PC中點(diǎn)，則所，PC.

在中，PBMJPA?+AB?=eAB=AD=BC，

而尸是尸C的中點(diǎn)，則"，PC.

且BFcEF=F，BF,EFu平面BEF,所以PCI平面3跖.

小問(wèn)2詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AP,AD,AB所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-邙,

則P（l,0,0）,C（0,V2,l）,可得定=/1,61）,

由（1）知，卮=（—1,血,1）是平面5跖的法向量,

且平面A3C。的法向量是Q=（1,0,0）.

PCAP

可得cosPC,AP=

RPR2,

所以二面角F-BE-C的正弦值為v

17.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A是拋物線。：爐=2加（0〉0）上與點(diǎn)。不重合的任意一點(diǎn).

（1）設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為尸，若以尸為圓心，E4為半徑的圓尸交。的準(zhǔn)線/于M、N兩點(diǎn)，且

NMFN=90。,AAMN的面積為40，求圓產(chǎn)的方程；

（2）若8是拋物線。上的另外一點(diǎn)，非零向量豕礪滿足|函+礪|=|礪-可，證明：直線A3必經(jīng)

過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

【答案】（1）/+⑶―1）2=8

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】⑴求出陽(yáng)用，點(diǎn)A到準(zhǔn)線/的距離2=|同/，利用%則=40求出?？傻么鸢福?/p>

（2）方法一，對(duì)|西+無(wú)卜|西—礪|兩邊平方得設(shè)A（石，乂），5（%2，%），設(shè)直線

A5的方程為y-y=，2%（x-xj,結(jié)合拋物線方程得丁一%="上（工一七），再由石/+%%=。

%2%]2p

可得答案；方法二，對(duì)|西+3吊=|函—國(guó)兩邊平方得%々+M%=0,設(shè)人（%，%），5（々，%），設(shè)直

線AB的方程為y=kx+b與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合%々+%%=°可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

準(zhǔn)線/為y=-與F（o,S到/的距離是P.由對(duì)稱性知，

△MF7V是等腰直角三角形，斜邊"W|=2p,

點(diǎn)A到準(zhǔn)線/的距離4=|￡4|=|根|=夜〃，

SAAMN=^x\MN\xd=4^/2,解得p=2,

故圓產(chǎn)的方程為公+（丁-1）?=8；

【小問(wèn)2詳解】

方法一，因?yàn)閲?guó)+網(wǎng)=但一國(guó)，

I--?|2I---.|2--?---.--?---.I--J2I---J2

所以O(shè)A+\OB\+20A-OB=-20AOB+\OA+\OB\,

所以。4_1_06%%2+%%=0，

設(shè)A（%,yJ、B（x2,y2）,A>3在拋物線。：爐=2py（p〉0）上,

則》：=2〃弘、x[=2py2.

顯然直線AB的斜率存在，

%—y

則直線AB的方程為y-y=

x2—玉

,2,2

將％=￥、%=M代入得'2p2p

2p2py-y=——-x-xj

x2-x1

x+x

即fl二矢9」

2P

令x=0,得、一%=??（-七）,y=-芋，（*）

2p2pv7

22

八.XiXn?

由t％M+%%=0Z得|=，X[X+=0,

124p~

因?yàn)槭┢?（否則，浜礪有一個(gè)為零向量），

所以%工2=-4.2,代入（*）式可得y=2。，

故直線A3經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0,2夕）.

方法二，因?yàn)閨次+3同=|函—詞，所以次，礪,%%2+3％=°，

設(shè)A（%,yJ、B（x2,y2）,A>3在拋物線C:f=2py（p〉0）上，

貝ijx；=2p%、%；=2py2,

顯然直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為、=履+），

聯(lián)立c消去y得到，

〔%=2py

2

x-2pkx-2pb=0,xl+X2=2pk,x1x2=-2pb,

由石々+%%=0得，占龍2?小;=0,

4P2

因?yàn)槭R/。（否則，旅礪有一個(gè)為零向量）,

所以七％2=-4.2,gp-2pb=-4p2,b=2p,

因此y=就是y=Ax+2p.故直線AB經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,2夕).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過(guò)特殊情

況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，

根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方

程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過(guò)定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距

式來(lái)證明.

18.某市一些企業(yè)，由于沒(méi)有技術(shù)更新業(yè)務(wù)受到形響，資金出現(xiàn)缺額，銀行將給予低息貸款的扶持.銀行制

定了評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這些企業(yè)進(jìn)行評(píng)估，然后依據(jù)企業(yè)評(píng)估得分將這些企業(yè)分別定為優(yōu)秀、良好、合

格、不合格四個(gè)等級(jí)，并根據(jù)等級(jí)分配相應(yīng)的低息貸款數(shù)額.為了更好地掌握貸款總額，銀行隨機(jī)抽查了部

分企業(yè)，得到以下兩個(gè)圖表數(shù)據(jù).

頻率

評(píng)估得分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]

評(píng)定類型不合格合格良好優(yōu)秀

貸款金額（萬(wàn)

0200400800

元）

（1）任抽一家企業(yè)，求抽到的等級(jí)是優(yōu)秀或良好的概率（將頻率近似看做概率）;

（2）對(duì)照上表給出的標(biāo)準(zhǔn)，這些企業(yè)進(jìn)行了整改.整改后，優(yōu)秀企業(yè)數(shù)量不變，不合格企業(yè)、合格企

業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量成等差數(shù)列.要使這些企業(yè)獲得貸款的數(shù)學(xué)期望不低于410萬(wàn)元，求整改后不合格企

業(yè)占企業(yè)總數(shù)百分比的最大值.

【答案】（1）0.45

（2）10%

【解析】

【分析】（1）由頻率分布直方圖可得，抽到不合格、合格、良好、優(yōu)秀的概率,則可得抽到的等級(jí)是優(yōu)秀或

良好的概率；

（2）設(shè)整改后，抽到不合格、合格、良好的概率分別為"c,則a,仇。也成等差數(shù)列，即2b=a+c,又

a+Z?+c+0.25=l,可得人=O.25,a+c=0.5,列出分布列，可求得￡（4）=450—400a,又?jǐn)?shù)學(xué)期望不

低于410,列出不等式，即可解得不合格企業(yè)占企業(yè)總數(shù)百分比的最大值.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)任意抽取一家企業(yè)，抽到不合格、合格、良好、優(yōu)秀的概率分別是品E，A，8，

則根據(jù)頻率分布直方圖可知，

^=0.015x10=0.15,^=0.04xlO=0.4,P3=0.02xl0=0.2,8=0.025xl0=0.25.

故任抽一家企業(yè)，等級(jí)是優(yōu)秀或良好的概率約為鳥(niǎo)+A=0.2+0.25=0.45.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)整改后，任意抽取一家企業(yè)，抽到不合格、合格、良好的概率分別為4C,

因?yàn)椴缓细衿髽I(yè)、合格企業(yè)、良好企業(yè)的數(shù)量成等差數(shù)列，所以