2025七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊壓軸題專練：規(guī)律探究（含答案及解析）

專題05規(guī)律探究（壓軸題專項(xiàng)講練）

■i典例精析

【典例11觀察下列各式：

p+23=1+8=9,而(1+2)2=9,.-.13+23=(1+2)2；

13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,.\13+23+33=(1+2+3)2；

13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,A13+23+33+43=(1+2+3+4)2；

猜想并填空：

(1)13+23+33+43+53=2=2；

根據(jù)以上規(guī)律填空：

(2)l3+23+33+...W=2=2；

(3)求解:163+173+183+193+203.

【思路點(diǎn)撥】

(1)通過觀察材料中算式的計(jì)算規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；

(2)通過觀察材料中算式的計(jì)算規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；

(3)利用(2)中的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算.

【解答過程】

解：(1)由題意可得：

13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152,

故答案為：(1+2+3+4+5)；15；

(2)l3+23+33+...W=(l+2+3+...+w)2=[^^^]2,

故答案為：(1+2+3+...+?)；廣(；+、；

(3)原式=(13+23+33+...+163+173+183+193+203)-(13+23+33+...+153)

=(1+2+3+...+20)2-(1+2+3+...+15)2

.2OX(l+2O)]2_15X(1+1S)]2

=F22

=2102一I2。2

=44100-14400

=29700.

e.學(xué)霸必刷

36912

1.(2021?昭陽區(qū)校級(jí)模擬)按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：-十n，：n，一n^，n之，…，則第"

24816

個(gè)單項(xiàng)式是()

A.(-1)'-1關(guān)B.(7)嚶

C.(-1)"呼D.(-1)

2n2n-1

2.(2021?五華區(qū)二模)列數(shù)81，82,83,84,82022,其中個(gè)位數(shù)字是8的數(shù)有()

A.672個(gè)B.506個(gè)C.505個(gè)D.252個(gè)

3.(2023秋?天橋區(qū)期末)對(duì)一組數(shù)(x,y)的一次操作變換記為P(x,y),定義變換

法則如下：P\(x,y)=(x+y,x-y)；且規(guī)定P”(x,y)=p(Pn-i(尤，y))為大于1

的整數(shù).如Pi(b2)=(3,-1),P2(1,2)=Pi(Pi(1,2))=P\(3,-1)=(2,

4),P3(1,2)=Pi(P2(L2))=Pi(2,4)=(6,-2),則=尸2021(1，-1)=

()

A.(0,-21010)B.(21010,-2皿。)

C.(0,21011)D.(21011,21011)

4.(2021?房縣一模)將正整數(shù)按如圖所示的位置順序排列：

3-?47-?8BAc

?+?+?+

1*25*69*.4D

根據(jù)排列規(guī)律，則2021應(yīng)在()

A.A處B.B處C.C處D.D處

5.（2023秋?巴南區(qū)期末）如圖，古希臘人常用小石子（小黑點(diǎn)）在沙灘上擺成各種圖形

來研究數(shù).例如：圖1表示數(shù)字1,圖2表示數(shù)字5,圖3表示數(shù)字12,圖4表示數(shù)字22,…,

依次規(guī)律，圖6表示數(shù)字（

6.（2021?玉林）觀察下列樹枝分杈的規(guī)律圖，若第〃個(gè)圖樹枝數(shù)用％表示，則Y9-Y4=

（）

第1個(gè)圖H=1第2個(gè)圖由=3第3個(gè)圖為=7第4個(gè)圖％=15

A.15x24B.31x24C.33x24D.63x24

7.（2021?北倍區(qū)校級(jí)模擬）漢字文化正在走進(jìn)人們的日常消費(fèi)生活.下列圖形都是由同樣

大小的圓點(diǎn)和線段按照一定的規(guī)律排列組成的篆書簡化“漢”字，其中，圖①中共有12個(gè)圓

點(diǎn)，圖②中共有18個(gè)圓點(diǎn)，圖③中共有25個(gè)圓點(diǎn)，圖④中共有33個(gè)圓點(diǎn)…依此規(guī)律則，

圖⑧中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

8.（2021?城中區(qū)四模）觀察下面三行數(shù):

-3,9,-27,81,-243,...；①

0,12,-24,84,-240,.

-1,3,-9,27,-81,...；（3）

然后在每行中取第6個(gè)數(shù)，則這三個(gè)數(shù)的和為.

9.（2023秋?天橋區(qū)期末）小剛在做數(shù)學(xué)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)下面有趣的結(jié)果:

第1行：3-2=1

第2行：8+7-6-5=4

第3行：15+14+13-12-11-10=9

第4行：24+23+22+21-20-19-18-17=16

根據(jù)以上規(guī)律，“2021”在第機(jī)行，從左往右數(shù)第〃個(gè)，那么用+〃=

10.（2021?蚌埠二模）觀察下列等式：

第1個(gè)等式：12=p；

第2個(gè)等式：（1+2）占：P+23；

第3個(gè)等式：（1+2+3）2=13+23+33；

第4個(gè)等式：（1+2+3+4）2=13+23+33+43；

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

（1）寫出第5個(gè)等式：；

（2）寫出第〃（〃為正整數(shù)）個(gè)等式：（用含〃的等式表示）；

（3）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求1P+123+133+…+10（）3值.

11.(2021春?廬陽區(qū)校級(jí)期末)觀察下列等式：

①人=1x(1-i)；②工=”；③工=1x(---)...

1X3233x52355x7257

根據(jù)上述等式的規(guī)律，解答下列問題：

(1)請(qǐng)寫出第④個(gè)等式：;

(2)寫出你猜想的第w個(gè)等式(用含有w的等式表示)，并證明這個(gè)等式.

(3)應(yīng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：

12.(2023秋?福田區(qū)期末)如果我們要計(jì)算l+2+22+23+...+299+2i°°的值，我們可以用如下

的方法：

解：設(shè)S=1+2+2?+23+…+299+21°°式

在等式兩邊同乘以2,則有2s=2+22+23+…+299+21?！?21°1式

式減去式，得2S-S=2101-1

即S=2101-1

即1+2+22+23+...+2"+2100=2101-1

【理解運(yùn)用】計(jì)算

(1)1+3+32+33+...+3"+3100

(2)1-3+32_33+...-3"+3100

13.(2021春?祁江區(qū)校級(jí)期末)(1)填空：2-2°=2'＞、22-21=2'〉、23-

22=2(＞、…

(2)探索(1)中式子的規(guī)律，請(qǐng)寫出第九個(gè)等式：；

(3)直接計(jì)算：22°0-2199-2198-...-22-21=；

(4)利用(2)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：21000+21001+21002+...+22020+22021.

11

_____i_______I_________1_________I-...-L2021

14.(2021?西城區(qū)校級(jí)開學(xué))計(jì)算:11r1i1T丁

（1+如1+飄1+分”（1+感）

15?（2021?西城區(qū)校級(jí)開學(xué)）G+1+-+盛）+（1+：+???+￡）+（1+]+???+六）

z20192019、2020

+...+v-----1-----）H-----.

202020212021

16.（2021?安徽模擬）觀察下列圖形與等式:

(1)1X0+1=12

1x2+2=22

(l+2)x2+3=32

(1+2+3)x2+4=42

(l+2+3+4)x2+5=52

（1）觀察圖形，寫出第（7）個(gè)等式:根據(jù)圖中規(guī)律，寫出第n

個(gè)圖形的規(guī)律:（用含有〃的式子表示）

(2)求出10+11+...+80的值.

17.（2021?瑤海區(qū)二模）將圍棋的白色棋子按如圖所示的方式排列，圖中的白色棋子被折

線隔開分成若干層，第一層有1個(gè)白色棋子，第二層有3個(gè)白色棋子，第三層有5個(gè)白色棋

子，第四層有7個(gè)白色棋子，…，以此類推，請(qǐng)觀察圖形規(guī)律，解答下列問題：

（1）第w層有個(gè)白色棋子，圖中從第一層到第〃層一共有個(gè)白色

棋子；

（2）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：1921+1923+1925+...+2021的和.

18.（2021?揚(yáng)山縣一模）如圖，下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間具有相同的規(guī)律.

（1）第5個(gè)圖中4個(gè)數(shù)的和為.

(2)a=_________

（3）根據(jù)此規(guī)律，第〃個(gè)正方形中，d=2564,則〃的值為

19.（2023秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）德國數(shù)學(xué)家康托爾引入位于一條線段上的一些點(diǎn)的集合,

做如下：

取一條長度為1的線段三等分后，去掉中間段，余下兩條線段，達(dá)到第1階段；

將剩下的兩條線段分別三等分后，各去掉中間段，余下四條線段，達(dá)到第2階段；

再將剩下四條線段分別等三等分后，各去掉中間段，余下八條線段，達(dá)到第3階段；

...>

一直如此操作下去，在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多.

如圖是最初幾個(gè)階段，

（1）當(dāng)達(dá)到第5個(gè)階段時(shí)，余下的線段條數(shù)為；

（2）當(dāng)達(dá)到第"個(gè)階段時(shí)（〃為正整數(shù)），去掉的線段的長度之和為.（用含〃的

式子表示）

20.（2023秋?錦江區(qū)校級(jí)期中）圖1是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，

最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了w層.將圖1倒置后與

原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù).

圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）

（1）當(dāng)圖（1）中小圓圈有10層的時(shí)候小圓圈的個(gè)數(shù)是：:

（2）圖（2）中的小圓圈一共有個(gè)（用含力的代數(shù)式表示）

（3）如果圖（1）中的圓圈共有13層，圖（1）我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖3的方

式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,4,則最底層最左邊第三個(gè)圓圈中的數(shù)是；

（4）我們自上往下，在每個(gè)圓圈中都按圖（4）的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)-23,-22,-

21,....一共填寫13層，求圖（4）中所有圓圈中各數(shù)的絕對(duì)值之和.

專題05規(guī)律探究（壓軸題專項(xiàng)講練）

n典例精析

【典例11觀察下列各式：

,+23=1+8=9,而(1+2)2=9,.\13+23=(1+2)2；

13+23+33=36,而(1+2+3)2=36,.*.13+23+33=(1+2+3)2；

13+23+33+43=100,而(1+2+3+4)2=100,A13+23+33+43=(1+2+3+4)2；

猜想并填空：

(1)13+23+33+43+53=2=2；

根據(jù)以上規(guī)律填空：

(2)l3+23+33+...W=2=2；

(3)求解：163+173+183+193+203.

【思路點(diǎn)撥】

(1)通過觀察材料中算式的計(jì)算規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；

(2)通過觀察材料中算式的計(jì)算規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；

(3)利用(2)中的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算.

【解答過程】

解：(1)由題意可得：

13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2=152,

故答案為：(1+2+3+4+5)；15；

(2)l3+23+33+...W=(I+2+3+...+H)2=［也羅］2,

故答案為：(1+2+3+...+71);廣(:1)］；

(3)原式=(13+23+33+...+163+173+183+193+203)-(13+23+33+...+153)

=(1+2+3+...+20)2-(1+2+3+...+15)2

='OX(l+2O)]2_[15X(1+15)]2

=2102-KO2

=44100-14400

29700.

e.學(xué)霸必刷

a3a6n9n12

1.（2021?昭陽區(qū)校級(jí)模擬）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：-則第n

24816

個(gè)單項(xiàng)式是（）

ia3n

A.(-1)n-121__B.(-1)

2nT2"

心一】）

C.(-1)nD.(-1)

2nT

【思路點(diǎn)撥】

由所給的單項(xiàng)式可看出，分母為2",分子為03",奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，據(jù)此即可作答.

【解答過程】

3,3Xl

解：V-yn=(-1)&號(hào)n,

.6.3X2

A(-i)2x%，

9八3x3

卜n「1）號(hào)n,

“12.3X4

*=「1)4X%,

.?.第"個(gè)單項(xiàng)式為：（一1）”穿.

故選：B.

2.（2021?五華區(qū)二模）列數(shù)81，82,83,84,82022,其中個(gè)位數(shù)字是8的數(shù)有（）

A.672個(gè)B.506個(gè)C.505個(gè)D.252個(gè)

【思路點(diǎn)撥】

前面5個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)分別是8,4,2,6,8,從而發(fā)現(xiàn)這列數(shù)的個(gè)位數(shù)字以8,4,2,6,每

4個(gè)數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，據(jù)此可解答.

【解答過程】

解：:81的個(gè)位數(shù)字是8,

82的個(gè)位數(shù)字是4,

83的個(gè)位數(shù)字是2,

84的個(gè)位數(shù)字是6,

85的個(gè)位數(shù)字是8,

86的個(gè)位數(shù)字是%

這列數(shù)的個(gè)位數(shù)字以8,4,2,6,每4個(gè)數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，

：2022+4=505…2,

...第2021個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)是8,

個(gè)數(shù)數(shù)字是8的個(gè)數(shù)為：505+1=506(個(gè)).

故選：B.

3.(2023秋?天橋區(qū)期末)對(duì)一組數(shù)(x,y)的一次操作變換記為P(x,y),定義變換

法則如下：Pi(x,y)=(尤+y,x-y)；且規(guī)定P”(尤，y)=P\(P?-i(x,y))為大于1

的整數(shù).如Pi(1,2)=(3,-1),P2(1,2)=Pi(Pi(1,2))=Pi(3,-1)=(2,

4),P3(1，2)=P(P2(1,2))=Pi(2,4)=(6,-2),則=尸2021(1，-1)=

()

A.(0,-21010)B.(21010,-21010)

C.(0,21011)D.(21011,21011)

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答過程】

解：根據(jù)題意的數(shù)字變換可知:

Pi(1,-1)=(0,2)，

Pi(1,-1)=(2,-2),

「3(1,-1)=(0,4)，

(1,-1)=(4,-4),

P4

P5（1，-1)=(0,8),

P6(1,-1)=(8,-8)，

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，

n+1

Pn(1,-1)=(0,2~),

???/2021(I，T)=(0,21011),

故選：C.

4.（2021?房縣一模）將正整數(shù)按如圖所示的位置順序排列:

47?8B*C

???i??

1*25*69-?—-*AD->???

根據(jù)排列規(guī)律，則2021應(yīng)在（)

A.A處B.B處C.C處D.。處

【思路點(diǎn)撥】

規(guī)律：在A位置的數(shù)被4除余2,在8位置的數(shù)被4除余3,在C位置的數(shù)被4整除，在。

位置的數(shù)被4除余1；由2021+4=505..」，即可得出結(jié)果.

【解答過程】

解：2021+4=505..」，

.1.2021應(yīng)在1的位置，也就是在D處.

故選：D.

5.（2023秋?巴南區(qū)期末）如圖，古希臘人常用小石子（小黑點(diǎn)）在沙灘上擺成各種圖形

來研究數(shù).例如：圖1表示數(shù)字1,圖2表示數(shù)字5,圖3表示數(shù)字12,圖4表示數(shù)字22,一,

依次規(guī)律，圖6表示數(shù)字（）

D.52

【思路點(diǎn)撥】

由圖形可看出每一條邊的小石子數(shù)是一樣的，從而不難發(fā)現(xiàn)每增加一層，其增加的小石子數(shù)

為3n-2,從而可求解.

【解答過程】

解：觀察圖形發(fā)現(xiàn):

圖1有1個(gè)小石子,

圖2有1+(3x2-2)=5個(gè)小石子,

圖3有1+(3x2-2)+(3x3-2)12個(gè)小石子,

圖4有1+(3x2-2)+(3x3-2)+(3x4-2)=22個(gè)小石子,

圖5有1+(3x2-2)+(3x3-2)+(3x4-2)+(3x5-2)=35個(gè)小石子,

圖6有1+(3x2-2)+(3x3-2)+(3x4-2)+(3x5-2)+(3x6-2)=51個(gè)小石子,

故選：C.

6.（2021?玉林）觀察下列樹枝分杈的規(guī)律圖,若第n個(gè)圖樹枝數(shù)用匕表示，則Y9-以=

()

第個(gè)圖

171=1第2個(gè)圖%=3第3個(gè)圖巧=7第4個(gè)圖%=15

A.15x24B.31x24C.33x24D.63x24

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)已知圖中規(guī)律可得：7?=1+2+22+23+24+25+26+27+―+2?-h相減可得結(jié)論.

【解答過程】

解：由題意得：

第1個(gè)圖：71=1,

第2個(gè)圖：匕=3=1+2,

第3個(gè)圖：匕=7=1+2+22,

第4個(gè)圖：乂=15=1+2+22+23,

???

第9個(gè)圖：%=1+2+22+23+24+25+26+27+28,

45678423444

：.Y9-KI=2+2+2+2+2=2(1+2+2+2+2)=2X(3+4+8+16)=2x31.

故選：B.

7.(2021?北培區(qū)校級(jí)模擬)漢字文化正在走進(jìn)人們的日常消費(fèi)生活.下列圖形都是由同樣

大小的圓點(diǎn)和線段按照一定的規(guī)律排列組成的篆書簡化“漢”字，其中，圖①中共有12個(gè)圓

點(diǎn)，圖②中共有18個(gè)圓點(diǎn)，圖③中共有25個(gè)圓點(diǎn)，圖④中共有33個(gè)圓點(diǎn)…依此規(guī)律則，

圖⑧中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

【思路點(diǎn)撥】

觀察并比較每兩個(gè)相鄰的“漢字”的相同與不同之處，得出每兩個(gè)相鄰的“漢字”中后一個(gè)“漢

字''前半部分與前一個(gè)“漢字”的前半部分圓點(diǎn)數(shù)量相等，后一個(gè)“漢字”的后半部分的圓點(diǎn)數(shù)

總是前一個(gè)“漢字”后半部分頂部加上圖案序號(hào)多2個(gè)的圓點(diǎn)與底部添加兩個(gè)圓點(diǎn)，進(jìn)而解決

該題.

【解答過程】

解：在圖①中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為以=12個(gè).

在圖②中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為竺=刃+2+4=18個(gè).

在圖③中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為乃="+2+5=25個(gè).

在圖④中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為/=》+2+6=33個(gè).

以次類推，在圖⑧中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為丫8=>7+（2+10）="+（2+9）+12

=g+（2+8）+11+12

=%+（2+7）+10+11+12

=33+9+10+11+12

=75.

故選：B.

8.（2021?城中區(qū)四模）觀察下面三行數(shù)：

-3,9,-27,81,-243,...；①

0,12,-24,84,-240,...；②

-1,3,-9,27,-81,...；③

然后在每行中取第6個(gè)數(shù)，則這三個(gè)數(shù)的和為.

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)題目中的數(shù)字，可以寫出每行的第〃個(gè)數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系,

然后寫出每行中的第6個(gè)數(shù)，再相加即可.

【解答過程】

解：：-3,9,-27,81,-243...；①

0,12,-24,84,-240...；②

-1,3,-9,27,-81...；③

第一行的第n個(gè)數(shù)為（-3）",第二行的第n個(gè)數(shù)為（-3）"+3,第三行的第n個(gè)數(shù)為亨,

.??第②行數(shù)與第①行數(shù)的關(guān)系是：第②行數(shù)的數(shù)字等于對(duì)應(yīng)的第①行的數(shù)字加3；

當(dāng)”=6時(shí)，第一行的數(shù)為(-3)6,第二行的數(shù)為(-3)6+3,第三行的數(shù)為等,

(-3)6+[(-3)6+3]+等

=729+(729+3)+—

3

=729+732+243

=1704,

故答案為：1704.

9.(2023秋?天橋區(qū)期末)小剛在做數(shù)學(xué)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)下面有趣的結(jié)果：

第1行：3-2=1

第2行：8+7-6-5=4

第3行：15+14+13-12-11-10=9

第4行：24+23+22+21-20-19-18-17=16

根據(jù)以上規(guī)律，“2021”在第加行，從左往右數(shù)第w個(gè)，那么〃任〃=.

【思路點(diǎn)撥】

根據(jù)左起第一個(gè)數(shù)3,8,15,24…的變化規(guī)律得出第〃行左起第一個(gè)數(shù)為(n+1)2-1,每

一行數(shù)的個(gè)數(shù)為2〃+1,由此估算出2021所在的行數(shù)，以及所在行數(shù)的位置即可.

【解答過程】

解：(43+1)2-1=1935,

(44+1)2-1=2024,

/.2021這個(gè)數(shù)出現(xiàn)在第44行，左起第2024-2021+1=4個(gè)數(shù).

.*.m=44,n=4,

；?m+n=44+4=48,

故答案為48.

10.(2021?蚌埠二模)觀察下列等式：

第1個(gè)等式：12=1；

第2個(gè)等式：(1+2)』P+23；

第3個(gè)等式：(1+2+3)2=13+23+33；

第4個(gè)等式：(1+2+3+4)2=13+23+33+43；

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

(1)寫出第5個(gè)等式：；

(2)寫出第n(n為正整數(shù))個(gè)等式：.(用含n

的等式表示)；

(3)利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求1P+123+133?！?1003值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)題目中給出的等式的特點(diǎn)，可以寫出第5個(gè)等式；

(2)根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫出第〃個(gè)等式；

(3)結(jié)合(2)可以求出所求式子的值.

【解答過程】

解：(1)根據(jù)題意可知：第5個(gè)等式為：(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53；

故答案為：(1+2+3+4+5)2=13+23+33+43+53；

(2)根據(jù)(1)可得:第"(〃為正整數(shù))個(gè)等式為:(l+2+3+4+5+...+n)2=l*M3+33+43+53+...n3；

故答案為：(I+2+3+4+5+...+W)2=13+23+33+43+53+...?3；

(3)113+123+133+...+1003

=13+23+33+43+53+...1003-(13+23+33+43+53+...103)

=(1+2+3+...+100)2-(1+2+3+...+10)2

=50502-552

25499475.

11.（2021春?廬陽區(qū)校級(jí)期末）觀察下列等式:

G111、G11zllx11/11、

①而"x(i-/；②G.Xq-J；③公—x(「)???

根據(jù)上述等式的規(guī)律，解答下列問題:

(1)請(qǐng)寫出第④個(gè)等式:

(2)寫出你猜想的第〃個(gè)等式（用含有w的等式表示），并證明這個(gè)等式.

(3)應(yīng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算:

2

1X3+A3X5+A5X7+—7X9???+——2019x-2021

【思路點(diǎn)撥】

（1）根據(jù)題目中的例子寫出第④個(gè)式子即可;

⑵由所給的例子不難看出第，個(gè)等式為：聲品麗亞島-熹］，把等式右邊進(jìn)

行運(yùn)算即可證明;

（3）所求的式子先提取一個(gè)2出來，再利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算即可.

【解答過程】

解：（1）第④個(gè)等式為：木=->

故答案為:可="（》》；

111

⑵=(l-i）,整理得:■);

(2xl-l)x(2xl+l)2x1-12x1+1

整理得1=iX(-11

(2X2-1)X(2X2+1)2'2；X2-12X2+1

111

③S（曰），整理得:=-x(■）；

(2X3-1)X(2X3+1)2\2X3-12X3+1

11r11I

???第〃個(gè)等式為:"X［罰一

(2九一1)(271+1)

證明：右邊=3乂匕2n+l2n-l

(2n-l)(2n+l)(2n-l)(2n+l)

—_1v_2_n_+__l_-_2_n_+_l_

2(27l—1)(271+1)

=_X-----------

2(2n-l)(2n+l)

_1

一(271—1)(2?1+1)’

.,.左邊=右邊.

,.22222

⑶百+熱+公+兩+…+2019X2021

=2x+—+—+—+---)

1X33X55X77X92019x2021

1/i1.11,11.11,.11、

2335577920192021

=1--

2021

_2020

-2021'

12.(2023秋?福田區(qū)期末)如果我們要計(jì)算l+2+22+23+...+299+2i°°的值，我們可以用如下

的方法：

解：設(shè)1+2+22+23+...+2"+2100式

在等式兩邊同乘以2,則有2s=2+22+23+...+299+21。°+21°1式

式減去式，得25-5=2皿-1

即S=2101-1

BP1+2+22+23+...+2"+2100=2101-1

【理解運(yùn)用】計(jì)算

(1)1+3+32+33+...+3"+3100

(2)1-3+32_33+...-3"+3100.

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用題中的方法求出原式的值即可；

(2)根據(jù)題中的方法利用加法即可.

【解答過程】

解：(1)設(shè)S=l+3+32+33+...+3i°°,①

①式兩邊都乘以3,得35=3+32+33+...+31叫②

②-①得：25=3101-1,BP5=^—^

則原式=

2

(2)設(shè)S=1-3+32-33+...+3i°°,①

①式兩邊都乘以3,得3s=3-32+33-...+3101,②

②+①得：4S=3101+l,即5=①q101上I-1，

13.（2021春?干B江區(qū)校級(jí)期末）（1）填空：21-2°=2<\22-2!=2（\23-22

=2（>、...

（2）探索（1）中式子的規(guī)律，請(qǐng)寫出第"個(gè)等式：；

（3）直接計(jì)算：22°0-2199_2198_...-22-2.；

（4）利用（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：21000+21001+21002+...+22020+22021.

【思路點(diǎn)撥】

（1）通過計(jì)算即可填空；

（2）結(jié)合（1）中式子的規(guī)律，即可寫出第〃個(gè)等式;

（3）根據(jù)（2）中式子的規(guī)律，即可計(jì)算；

（3）利用（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算即可.

【解答過程】

解:(1)2一2°=2°、22-21=2］、23-22=22,

故答案為：0、1、2；

(2)第w個(gè)等式：2"-2"-1=2"一1；

故答案為：2"-2"-1=2"%

(3)2200-2199-2198-...-22-21

=2'"-2198-...-22-21

=2198-...-22-21

=22-21

=2l

=2；

故答案為：2；

(4)21000+21001+21002+-|-22020+22021

(21001-21000)+(21002-21001)+(21003-21002)++(22022-22021)

1003100220222021

—21001_2iooo+2ioo2_21001+2-2++2-2

=22022_2100°

11

14.（2021?西城區(qū)校級(jí)開學(xué)）計(jì)算：逐節(jié)+4+…+2021

【思路點(diǎn)撥】

將各項(xiàng)化簡然后提取2倍，再裂項(xiàng)相消計(jì)算即可.

【解答過程】

3.5+…+_______2021_______

解：原式=+1~4~52022

—X——X—X—--X-X—X...X--------

232342342021

12.12.,12

=-x-+-x-+...+——X-------

344520212022

zl1,11..11、

=2x(-X-+-X-+...+——X——)

344520212022

=2x1+—-A-)

344520212022

=2x

673

1011

15?(2021?西城區(qū)校級(jí)開學(xué))G+1+-+盛)+(|+：+“，+￡)+?+:+???+嘉)

z20192019、2020

+...+[----1----)H----.

202020212021

【思路點(diǎn)撥】

先去括號(hào)通分，然后找規(guī)律計(jì)算即可.

【解答過程】

解：原式=3+詈+1+2+3+1+2+3+4++1+2+3+...+2020

452021

22222

1+2+3+4+…+2020

2

2020X(2020+1)

2

2

=505x2021

=1020605.

16.（2021?安徽模擬）觀察下列圖形與等式:

1x0+1=12

1x2+2=22

(1+2)X2+3=32

(1+2+3)x2+442

(l+2+3+4)x2+5=52

（1）觀察圖形，寫出第（7）個(gè)等式：;根據(jù)圖中規(guī)律,

寫出第n個(gè)圖形的規(guī)律：；（用含有n的式子表示）

（2）求出10+11+...+80的值.

【思路點(diǎn)撥】

（1）觀察圖形的變化可得第（7）個(gè)等式，進(jìn)而可得第n個(gè)圖形的規(guī)律;

（2）根據(jù)（1）中第w個(gè)圖形的規(guī)律即可進(jìn)行計(jì)算.

【解答過程】

解：(1)根據(jù)圖形的變化可知：第(7)個(gè)等式為：(1+2+3+4+5+6)x2+7=72；

所以第w個(gè)圖形的規(guī)律為：(l+2+3+...+w-1)x2+〃=/；

故答案為：(1+2+3+4+5+6)x2+7—72；(1+2+3+…+〃T)X2+H—H2；

(2)因?yàn)?1+2+3+4+...+80)x2+81=812,

(1+2+3+4+..+9)x2+10=102,

1+2+3+4+…+80=丫=3240,

1+2+3+4+...+9=空3=45,

2

所以10+ll+...+80=(1+2+3+4+...+80)-(1+2+3+4+...+9)=3195.

17.(2021?瑤海區(qū)二模)將圍棋的白色棋子按如圖所示的方式排列，圖中的白色棋子被折

線隔開分成若干層，第一層有1個(gè)白色棋子，第二層有3個(gè)白色棋子，第三層有5個(gè)白色棋

子，第四層有7個(gè)白色棋子，…，以此類推，請(qǐng)觀察圖形規(guī)律，解答下列問題：

(1)第w層有個(gè)白色棋子，圖中從第一層到第n層一共有個(gè)白色棋子;

(2)利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：1921+1923+1925+...+2021的和.

oo

_O]OOIOoo

oo|opoO

oooloOO

ooooO0

oooo

oooooo

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可得出每一小層白色棋子個(gè)數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，進(jìn)而得出答案；

(2)利用前面的規(guī)律即可得出答案.

【解答過程】

解：(1)根據(jù)題意得，

第一層有2X1-1=1個(gè)白色棋子，

第二層有2X2-1=3個(gè)白色棋子，

第三層有2X3-1=5個(gè)白色棋子,

第四層有2x4-1=7個(gè)白色棋子,

二第〃層由2〃-1(個(gè))白色棋子；

從第一層到第二層共有1+3=4=22個(gè)白色棋子；

從第一層到第三層共有1+3+5=9=32個(gè)白色棋子；

從第一層到第四層共有1+3+5+7=16=42個(gè)白色棋子;

，圖中從第一層到第〃層一共有1+3+5+7+???+(2H-1)=〃2(個(gè))白色棋子；

故答案為：(2〃-1)；〃2.

(2)1921+1923+1925+...+2021

=(1+3+5+7+-H-2021)-(1+3+5+74--+1919)

=10"2-9602

=100521.

18.(2021?麗山縣一模)如圖，下列各正方形中的四個(gè)數(shù)之間具有相同的規(guī)律.

第1個(gè)圖第2個(gè)圖第3個(gè)圖第4個(gè)圖第也個(gè)圖

根據(jù)此規(guī)律，回答下列問題:

(1)第5個(gè)圖中4個(gè)數(shù)的和為.

(2)a=；c=.

(3)根據(jù)此規(guī)律，第〃個(gè)正方形中，d=2564,則〃的值為

【思路點(diǎn)撥】

(1)觀察圖形可得第5個(gè)圖中4個(gè)數(shù)，相加即可求解；

(2)由已知圖形得出a=(-1)n-2nl,b=2a=(-1)"?2",c=b+4=(-1)"?2"+4,即

可求解；

(3)根據(jù)d=a+/?+c=5x(-1)"?2"-"4=2564求解可得.

【解答過程】

解：(1)第5個(gè)圖形中的4個(gè)數(shù)分別是-16,-32,-28,-76

4個(gè)數(shù)的和為:-16-32-28-76=-152.

(2)a=(-1)

b=2a=(-1)"?2",

c=b+4=(-1),,?2,,+4.

(3)根據(jù)規(guī)律知道，若d=2564>0,

則”為偶數(shù)，

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)。=2"一1,b=2n,c=2"+4,2nl+2n+2"+4=2564,

依題意有2"-1+2"+2"=2560,

解得n=10.

故答案為：-152；(-1)"?2"-1；(-1)"?2"+4；10.

19.(2023秋?海淀區(qū)校級(jí)期中)德國數(shù)學(xué)家康托爾引入位于一條線段上的一些點(diǎn)的集合,

做如下：

取一條長度為1