2025年北師大新版高一數(shù)學(xué)上冊(cè)月考試卷含答案

…………○…………內(nèi)…………○…○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請(qǐng)※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大新版高一數(shù)學(xué)上冊(cè)月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識(shí)點(diǎn)；考試時(shí)間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級(jí)：______考號(hào)：______總分欄題號(hào)一二三四五六總分得分評(píng)卷人得分一、選擇題(共8題，共16分)1、若向量對(duì)任意的成立，則（）A.B.C.D.2、半徑為5cm，面積為25cm2的扇形中；弧所對(duì)的圓心角為（）

A.2°

B.2π弧度。

C.2弧度。

D.4弧度。

3、設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R；M={x|x＞2}，N={x|1＜x＜3}，則圖中陰影部分所表示的集合是（）

A.{x|2＜x＜3}

B.{x|x＜3}

C.{x|1＜x≤2}

D.{x|x≤2}

4、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知?jiǎng)t等于（）A．13B．35C．49D．635、【題文】在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝logax，y＝ax；y＝x＋a的圖象，可能正確的是()．

6、若函數(shù)是冪函數(shù)，則的值為（）A.B.C.D.7、已知遞增等比數(shù)列{an}的第3項(xiàng)，第5項(xiàng)，第7項(xiàng)的積為512，且這三項(xiàng)分別減去1，3，9后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則數(shù)列an的公比為（）A.B.C.D.8、下列計(jì)算正確的是(

)

A.(m鈭?n)2=m鈭?n

B.log23隆脕log25=log215

C.210鈭?29=29

D.(鈭?12527)23=鈭?259

評(píng)卷人得分二、填空題(共9題，共18分)9、直三棱柱ABC-A1B1C1的每一個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，若AC=BC=C1C=1，∠ACB=90°，則A、C兩點(diǎn)間的球面距離為____．10、則_________.11、【題文】關(guān)于函數(shù)給出下列四個(gè)命題：

①時(shí)，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

②時(shí)，是奇函數(shù)；

③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

④函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn).

其中正確的命題序號(hào)為______________.12、【題文】E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，則AC與平面EFGH的位置關(guān)系是____13、【題文】如圖，一個(gè)空間幾何體的主視圖、側(cè)視圖是周長(zhǎng)為4一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形，俯視圖是圓及其圓心，那么這個(gè)幾何體的表面積為____

14、【題文】一個(gè)組合體的三視圖如圖；則其體積為________________．

15、已知函數(shù)f（x）=x|x2﹣3|，x∈[0，m]，其中m∈R，當(dāng)函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2]時(shí)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍____．16、在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)滿足=+則=______．17、若tan婁脕=2

則2sin2婁脕鈭?sin婁脕cos婁脕+cos2婁脕=

______．評(píng)卷人得分三、解答題(共6題，共12分)18、如圖；在△ABC中，AB=10，BC=14，AC=16；

（1）求三角形的外接圓的半徑R；

（2）若AD為∠BAC的內(nèi)角平分線；求AD的長(zhǎng)．

19、20、【題文】（本題滿分12分）

已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）解不等式21、求lg﹣lg25+ln+21+log23的值．22、在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中：（Ⅰ）求證：AC∥平面A1BC1；

（Ⅱ）求證：平面A1BC1⊥平面BB1D1D．

23、已知sin（+）=-cos（+）=--5π＜α＜-2π，-＜β＜求sin（+）的值．評(píng)卷人得分四、作圖題(共2題，共18分)24、如圖A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設(shè)管道費(fèi)用為每千米2000元，請(qǐng)你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省，并求出其費(fèi)用．25、如圖A、B兩個(gè)村子在河CD的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現(xiàn)在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設(shè)管道費(fèi)用為每千米2000元，請(qǐng)你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省，并求出其費(fèi)用．評(píng)卷人得分五、證明題(共2題，共8分)26、初中我們學(xué)過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時(shí)也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據(jù)如圖，設(shè)計(jì)一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設(shè)AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．27、求證：（1）周長(zhǎng)為21的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋．

（2）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長(zhǎng)是2l，不管線圈形狀如何，都可以被個(gè)半徑為的圓紙片所覆蓋．評(píng)卷人得分六、計(jì)算題(共3題，共24分)28、如果，已知：D為△ABC邊AB上一點(diǎn)，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度數(shù)．29、計(jì)算：+sin30°．30、設(shè)cos（α﹣）=﹣sin（﹣β）=且＜α＜π，0＜β＜求cos（）的值．參考答案一、選擇題(共8題，共16分)1、B【分析】【解析】試題分析：兩邊平方得整理得恒成立，考點(diǎn)：向量運(yùn)算及不等式恒成立問題【解析】【答案】B2、C【分析】

因?yàn)榘霃綖?cm，面積為25cm2的扇形；

所以扇形的弧長(zhǎng)：l，25=所以l=10；

所以扇形的圓心角為：=2．

故選C．

【解析】【答案】求出扇形的弧長(zhǎng)；然后求解扇形的圓心角．

3、C【分析】

圖中陰影部分表示的集合中的元素是在集合N中；但不在集合M中．

又M={x|x＞2}；N={x|1＜x＜3}；

∴圖中陰影部分表示的集合是：

（M）∩N={x|x≤2}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x≤2}；

故選：C．

【解析】【答案】先觀察Venn圖；得出圖中陰影部分表示的集合，再結(jié)合已知條件即可求解．

4、C【分析】【解析】

因?yàn)檫xC【解析】【答案】C5、D【分析】【解析】

試題分析：圖A中，由直線方程得則為減函數(shù)；排除A；

圖B中，由直線方程得則為增函數(shù)；排除B；

圖C中，由直線方程得則為增函數(shù)；排除C；

圖D中，由直線方程得則為增函數(shù)；故選D；.

考點(diǎn)：函數(shù)的圖像.【解析】【答案】D6、A【分析】【解答】由題意，得解得．故選A.7、D【分析】【解答】解：設(shè)遞增等比數(shù)列{an}的公比為q；∵第3項(xiàng)，第5項(xiàng)，第7項(xiàng)的積為512，且這三項(xiàng)分別減去1，3，9后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；

∴a3a5a7==512，2（a5﹣3）=a3﹣1+a7﹣9，即2（a5﹣3）=+﹣10；

解得a5=8，2q4﹣5q2+2=0；

q2=或2．

q=

∵數(shù)列{an}為遞增的等比數(shù)列，∴q=．

故選：D．

【分析】利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、單調(diào)性即可得出．8、C【分析】解：A.m<n

時(shí)不成立；不正確；

B.log23隆脕log25=lg3lg2鈰?lg5lg2鈮?log215

不正確．

C.210鈭?29=2?29鈭?29=29

D.(鈭?12527)23=(53)3隆脕23=259

因此不正確．

故選：C

．

利用指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可判斷出正誤．

本題考查了指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【解析】C

二、填空題(共9題，共18分)9、略

【分析】

因?yàn)橹比庵捻旤c(diǎn)在球面上；將直三棱柱補(bǔ)成一個(gè)四棱柱；

則正四棱柱的對(duì)角線為球的直徑；

由4R2=1+1+2=4得R=1；

∴AC=

所以∠AOC=（其中O為球心）

A、C兩點(diǎn)間的球面距離為

故答案為：．

【解析】【答案】因?yàn)橹比庵捻旤c(diǎn)在球面上；將直三棱柱補(bǔ)成一個(gè)四棱柱，四棱柱的對(duì)角線為球的直徑，又因?yàn)榻茿OC為90度，就可以求出A，C兩點(diǎn)間的球面距離．

10、略

【分析】【解析】試題分析：考點(diǎn)：兩角和的正切公式【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

試題分析：①時(shí)，顯然只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

②時(shí)，顯然所以是奇函數(shù)；

③設(shè)是函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)因?yàn)樗渣c(diǎn)也在函數(shù)的圖象上，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；

④取可得有三個(gè)零點(diǎn).

考點(diǎn)：函數(shù)的基本性質(zhì).【解析】【答案】①②③12、略

【分析】【解析】解：利用三角形的中位線平行于底邊，我們可以得到線線平行，再利用線面平行的判定定理得到結(jié)論?！窘馕觥俊敬鸢浮科叫?3、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

試題分析：由已知組合體的視圖可知，該組合體是由下邊為一個(gè)底面直徑為4，高為4的圓柱，上邊為一個(gè)底面直徑為4，高為3的圓錐組成，如圖，所以其體積為：故答案為：．

考點(diǎn)：1.三視圖;2.圓柱和圓錐的體積公式.【解析】【答案】．15、[1，2]【分析】【解答】解：f（x）=x|x2﹣3|=

（1）（x3﹣3x）′=3x2﹣3，∴x3﹣3x在上單調(diào)遞增，令x3﹣3x=2得，x=2，∴x

（2）（3x﹣x3）′=3﹣3x2，∴3x﹣x3在[0，1）單調(diào)遞增，在[1，）上單調(diào)遞減，∴x=1時(shí)3x﹣x3取最大值2，x=0時(shí)，取最小值0，即此時(shí)f（x）∈[0，2]，∴x且x∈[0，1]時(shí)f（x）的值域?yàn)閇0，2]；

∴x∈[0；1]f（x）值域是[0，2]，x∈[0，2]時(shí)f（x）的值域也是[0，2]；

∴m∈[1；2]；

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1；2]．

故答案為：[1；2]．

【分析】先去絕對(duì)值將函數(shù)f（x）變成：f（x）=通過求導(dǎo)判斷函數(shù)x3﹣3x在單調(diào)遞增，并且令x3﹣3x=2得，x=2，因?yàn)閒（x）的值域是[0，2]，所以x≤2；同樣的辦法可判斷函數(shù)3x﹣x3在[0，1]單調(diào)遞增，在（1，）單調(diào)遞減，所以x=1時(shí)該函數(shù)取最大值2，x=0時(shí)取最小值0，所以函數(shù)f（x）在[0，1]上的值域是[0，2]，并且x∈[0，2]時(shí)f（x）的值域也是[0，2]，所以m∈[1，2]．16、略

【分析】解：∵=+

∴=-

=（+）-

=（-）

=

∴==．

故答案為：．

由平面向量的加減運(yùn)算求出即可求出的值．

本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是表示出向量是基礎(chǔ)題．【解析】17、略

【分析】解：根據(jù)題意，原式=2sin2婁脕鈭?sin婁脕cos婁脕+cos2婁脕=2sin2婁脕鈭?sin婁脕cos婁脕+cos2婁脕sin2偽+cos2偽=2tan2婁脕鈭?tan婁脕+1tan2偽+1

而tan婁脕=2

則原式=2隆脕2鈭?2+12+1=5鈭?23

故答案為：5鈭?23

．

根據(jù)題意，將2sin2婁脕鈭?sin婁脕cos婁脕+cos2婁脕

變形可得2tan2婁脕鈭?tan婁脕+1tan2偽+1

將tan婁脕=2

代入其中即可得答案．

本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確化簡(jiǎn)2sin2婁脕鈭?sin婁脕cos婁脕+cos2婁脕.

【解析】5鈭?23

三、解答題(共6題，共12分)18、略

【分析】

（1）在△ABC中，AB=c=10，BC=a=14，AC=b=16；

∴由余弦定理得：cos∠BAC==

∴∠BAC=60°；

設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理得：2R===

∴R=

（2）由S△ABD+S△ADC=S△ABC，得×10×AD×sin30°+×16×AD×sin30°=×10×16×sin60°；

解得：AD=．

【解析】【答案】（1）利用余弦定理表示出cos∠BAC；將三邊長(zhǎng)代入求出cos∠BAC的值，利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠BAC的度數(shù)，再利用正弦定理即可求出外接圓半徑R；

（2）根據(jù)S△ABD+S△ADC=S△ABC；利用三角形面積公式列出關(guān)系式，即可求出AD的長(zhǎng)．

19、略

【分析】根據(jù)同角的基本關(guān)系式，在根據(jù)兩角和的余弦公式，求出【解析】【答案】20、略

【分析】【解析】

試題分析：利用函數(shù)奇偶性；函數(shù)單調(diào)性求解。

（Ⅰ）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以=0，即

又由f（1）=-f（-1）知6分。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知易知在上。

為減函數(shù)。又因是奇函數(shù)，從而不等式：轉(zhuǎn)化為：

所以原不等式的解集為12分。

考點(diǎn)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性；函數(shù)單調(diào)性，考查了分析問題；解決問題的能力，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化能力。

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是理解函數(shù)奇偶性，掌握函數(shù)單調(diào)性，要有較好的運(yùn)算求解能力，難度中等。【解析】【答案】（1）（2）21、解：原式=﹣2lg2﹣2lg5++=﹣2（lg2+lg5）++2×3

=﹣2++6

=【分析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)恒等式即可得出．22、證明：（Ⅰ）因?yàn)锳A1∥CC1，所以四邊形ACC1A1為平行四邊形，所以AC∥A1C1，又A1C1?平面A1BC1，AC?平面A1BC1，AC∥平面A1BC1；

（Ⅱ）易知A1C1⊥B1D1，因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1

因?yàn)锽B1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面BB1D1D；

因?yàn)锳1C1?平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面BB1D1D【分析】【分析】（Ⅰ）證明四邊形ACC1A1為平行四邊形，可得AC∥A1C1，即可證明AC∥平面A1BC1；（Ⅱ）證明A1C1⊥平面BB1D1D，即可證明平面A1BC1⊥平面BB1D1D．23、略

【分析】

根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和誘導(dǎo)公式以及兩角和的余弦公式計(jì)算即可。

本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系和誘導(dǎo)公式以及兩角和的余弦公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題【解析】解：∵-5π＜α＜-2π；

∴-＜＜-

∴-＜+＜0

∴cos（+）＞0；

∴cos（+）=

∵-＜β＜-＜＜

∴0＜+＜π；

∴sin（+）＞0

∴sin（+）=

∵+=（+）+（+）-

∴sin（+）=sin[（+）+（+）-]=-cos[（+）+（+）]；

=-cos（+）cos（+）+sin（+）sin（+）=-×（-）-×=

即sin（+）=．四、作圖題(共2題，共18分)24、略

【分析】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，當(dāng)水廠位置O在線段AA′上時(shí)，鋪設(shè)管道的費(fèi)用最?。窘馕觥俊窘獯稹拷猓鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于河CD的對(duì)稱點(diǎn)A′；連接A′B，交CD與點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為水廠位置，此時(shí)鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度為OA+OB．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于CD對(duì)稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點(diǎn)A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設(shè)管道的最省費(fèi)用為10000元．25、略

【分析】【分析】作點(diǎn)A關(guān)于河CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，當(dāng)水廠位置O在線段AA′上時(shí)，鋪設(shè)管道的費(fèi)用最?。窘馕觥俊窘獯稹拷猓鹤鼽c(diǎn)A關(guān)于河CD的對(duì)稱點(diǎn)A′；連接A′B，交CD與點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為水廠位置，此時(shí)鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度為OA+OB．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于CD對(duì)稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點(diǎn)A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設(shè)管道的最省費(fèi)用為10000元．五、證明題(共2題，共8分)26、略

【分析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；根據(jù)正弦的定義可以表示出CE的長(zhǎng)度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據(jù)S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據(jù)正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉(zhuǎn)化為三角形函數(shù)，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據(jù)題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．27、略

【分析】【分析】（1）關(guān)鍵在于圓心位置；考慮到平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)疊合．

（2）“曲“化“直“．對(duì)比（1），應(yīng)取均分線圈的二點(diǎn)連線段中點(diǎn)作為覆蓋圓圓心．【解析】【解答】

證明：（1）如圖1；設(shè)ABCD的周長(zhǎng)為2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P為周界上任意一點(diǎn)，不妨設(shè)在AB上；

則∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周長(zhǎng)為2l的平行四邊形ABCD可被以O(shè)為圓心；半徑為的圓所覆蓋；命題得證．

（2）如圖2，在線圈上分別取點(diǎn)R，Q，使R、Q將線圈分成等長(zhǎng)兩段，每段各長(zhǎng)l．又設(shè)RQ中點(diǎn)為G，M為線圈上任意一點(diǎn)，連MR、MQ，則GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓紙片可以覆蓋住整個(gè)線圈．六、計(jì)算題(共3題，共24分)28、略

【分析】【分析】過C作CE⊥AB于E，要想求∠BCD的度數(shù)，只需求出∠BCE的度數(shù)即可．設(shè)DE=x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，可求出CE的長(zhǎng)；在Rt△AEC中，可根據(jù)勾股定理列出等式，從而求出x的值，繼而得出BE=CE，求出∠BCE的值．【解析】【解答】解：過C作CE⊥AB于E；

設(shè)DE=x；則AE=2-x；

在Rt△DCE中；∠ADC=60°；

∴CE=x；

在Rt△AEC中；

根據(jù)勾股定理得：AE2+CE2=AC2；

∴（2-x）2+（x）2=（）2；

解得：；

∴BE=CE=；

又∠BEC=9