2025年中圖版九年級數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年中圖版九年級數(shù)學(xué)下冊階段測試試卷221考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共8題，共16分)1、如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，弦AD平分∠BAC，交BC于點E，AB=6，AD=5，則DE的長為（）A.2.2B.2.5C.2D.1.82、某校為舉辦“慶祝建黨90周年”的活動；從全校1400名學(xué)生中隨機調(diào)查了280名學(xué)生，其中有80人希望舉辦文藝演出，據(jù)此估計該學(xué)校希望舉辦文藝演出的學(xué)生人數(shù)為（）

A.1120

B.400

C.280

D.80

3、【題文】在4ⅹ4的正方形的網(wǎng)格中畫出了如圖所示的格點△ABC；則tan∠ABC的值為（）

A.B.C.D.4、（2014春?寧波校級期末）如圖，在△ABC中，∠BAE=30°，∠DEC=x，AB=AC，AD=AE，則x等于（）A.7.5°B.10°C.12.5°D.15°5、下列計算正確的是（）A.+=B.2-=2C.×=D.==6、在“朗讀者”節(jié)目的影響下；某中學(xué)開展了“好書伴我成長”的讀書活動，為了解3

月份七年級300

名學(xué)生讀書情況，隨機調(diào)查了七年級50

個學(xué)生讀書的冊數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：

。冊數(shù)01234人數(shù)41216171關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(

)

A.眾數(shù)是17

B.平均數(shù)是2

C.中位數(shù)是2

D.方差是2

7、用一條寬相等的足夠長的紙條，打一個結(jié)，如圖1所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形ABCDE，則S△ABC：S四邊形ACDE的值為（）

A.1：2B.1：3C.（）：2D.（）：28、下列各式中，計算正確的是（）A.3x+5y=8xyB.x3?x5=x8C.x6÷x3=x2D.（-x3）3=x6評卷人得分二、填空題(共6題，共12分)9、（2014春?建湖縣期末）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E在BD的延長線上，且△EAC是等邊三角形，若AC=8，AB=5，則ED的長等于____．10、（2015?錦州二模）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，則∠DAE的度數(shù)是____．11、如圖，直線y=k1x+b經(jīng)過點A（-1，-2）和點B（-2，0），直線y=k2x經(jīng)過點A，則二元一次方程組的解為____，不等式k2x＜k1x+b＜0的解集為____．12、將兩塊直角三角尺的直角頂點重合為如圖所示的形狀，若∠AOD=127°，則∠BOC=____度．

13、一個三角形的三邊為2、5、x，另一個三角形的三邊為y、2、6，若這兩個三角形全等，則x+y=____．14、反比例函數(shù)圖象上有一點C的坐標(biāo)為（-3，3），一次函數(shù)y=-9x的圖象與這個反比例函數(shù)圖象相交于A，B兩點，那么△ABC的面積為____．

評卷人得分三、判斷題(共5題，共10分)15、三角形一定有內(nèi)切圓____．（判斷對錯）16、如果A、B兩點之間的距離是一個單位長度，那么這兩點表示的數(shù)一定是兩個相鄰的整數(shù)（____）17、半圓是弧，弧是半圓．____．（判斷對錯）18、邊數(shù)不同的多邊形一定不相似．____．（判斷對錯）19、已知y與x成反比例，又知當(dāng)x=2時，y=3，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=評卷人得分四、證明題(共1題，共3分)20、如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交CD于點E，∠ADC的平分線交AB于點F．求證：AF=CE．評卷人得分五、作圖題(共3題，共21分)21、如圖；△ABC與△ADE均是等腰直角三角形，連接BD；CE．

（1）探索BD與CE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；

（2）如果把△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一周；則有哪些具有代表性的圖形，請畫出，并選擇其中一種說明理由．

22、已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．

（1）分別寫出圖中點A和點C的坐標(biāo)；

（2）畫出△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的△AB′C′；

（3）求點C旋轉(zhuǎn)到點C′所經(jīng)過的路線長（結(jié)果保留π）．23、已知，如圖四邊形ABCD和四邊形EFGH關(guān)于點O成中心對稱，請在圖中畫出點O．評卷人得分六、綜合題(共4題，共24分)24、如圖，已知直線y=-x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A；B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）動點C；E從原點O同時出發(fā)，C以每秒1個單位長度的速度沿OB方向運動，E以每秒2個單位長度的速度沿OA方向運動，運動時間是t秒（0＜t＜2）．過E點作DE⊥OA交AB于D，C關(guān)于DE的對稱點為F，連接CD，CE，F(xiàn)D，F(xiàn)E，四邊形CDEF與△ABO重疊部分的面積為S．

①求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)△BCD為直角三角形時，直接寫出t的值．25、已知：Rt△ABC中；∠ACB=90°，∠ABC=60°，將Rt△ABC繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°≤α≤120°），得到Rt△A′BC′，直線CC′和AA′相交于點D．

（1）如圖①；當(dāng)點C′在AB邊上時，判斷線段AD和A′D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）將Rt△A′BC′由圖①的位置旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時；（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（3）將Rt△A′BC′由圖①的位置按順時針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)A；C′、A′三點在一條直線上時，請畫出示意圖，并寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

26、如圖；在矩形ABCD中，E是AB邊的中點，沿EC對折矩形ABCD，使B點落在點P處，折痕為EC，連結(jié)AP并延長AP交CD于F點；

（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；

（2）若△AEP是等邊三角形；連結(jié)BP，求證：△APB≌△EPC；

（3）若矩形ABCD的邊AB=6，BC=4，求△CPF的面積．27、對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M＞0；對于任意的函數(shù)值y，都滿足-M≤y≤M，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值．例如，如圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．

（1）分別判斷函數(shù)y=（x＞0）和y=x+1（-4≤x≤2）是不是有界函數(shù)？若是有界函數(shù)；求其邊界值；

（2）若函數(shù)y=-x+1（a≤x≤b，b＞a）的邊界值是2，且這個函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍；

（3）將函數(shù)y=x2（-1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個單位，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時，滿足≤t≤1？參考答案一、選擇題(共8題，共16分)1、A【分析】【分析】連接BD、CD，由勾股定理先求出BD的長，再利用△ABD∽△BED，得出=，可解得DE的長．【解析】【解答】解：如圖1；連接BD；CD；

∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ADB=90°；

∴BD===；

∵弦AD平分∠BAC；

∴CD=BD=；

∴∠CBD=∠DAB；

在△ABD和△BED中；

∴△ABD∽△BED；

∴，即；

解得DE=．

故選A．2、B【分析】

由題意知從全校1400名學(xué)生中隨機調(diào)查了280名學(xué)生；其中有80人希望舉辦文藝演出；

∴希望舉辦文藝演出的學(xué)生所占的百分比為：80÷280=

∴該學(xué)校希望舉辦文藝演出的學(xué)生人數(shù)為：1400×=400人．

故選B．

【解析】【答案】先求出在隨機調(diào)查的280名學(xué)生中希望舉辦文藝演出的學(xué)生所占的百分比；再用全校的人數(shù)乘以這個百分比數(shù)即可得到答案．

3、D【分析】【解析】

試題分析：依題意設(shè)網(wǎng)格中正方形邊長為1，則AD=2；BD=3/

所以tan∠ABC=

考點：三角函數(shù)。

點評：本題難度較低，主要考查學(xué)生對直角三角形的函數(shù)值的掌握。作直角三角形最直觀?！窘馕觥俊敬鸢浮緿4、D【分析】【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠C=∠B，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠B=∠C=∠AED+x-30°，根據(jù)∠AED=∠ADE=∠C+x，得出等式∠AED=∠AED+x-30°+x，求出即可．【解析】【解答】解：∵AC=AB；

∴∠B=∠C；

∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+30°=∠AED+x；

∴∠B=∠C=∠AED+x-30°；

∵AE=AD；

∴∠AED=∠ADE=∠C+x；

即∠AED=∠AED+x-30°+x；

∴2x=30°；

∴x=15°；

∠DEC=x=15°；

故選D．5、D【分析】解：A、與不能合并；所以A選項錯誤；

B、原式=所以B選項錯誤；

C、原式==所以，C選項錯誤；

D、原式==所以D選項正確．

故選D．

根據(jù)二次根式的加減法對A；B進(jìn)行判斷；

根據(jù)二次根式的乘法法則對C進(jìn)行判斷；

根據(jù)二次根式的除法法則對D進(jìn)行判斷．

本題考查了二次根式的計算：先把各二次根式化為最簡二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運算，然后合并同類二次根式．【解析】【答案】D6、C【分析】解：A3

冊出現(xiàn)了17

次；出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是3

冊，故本選項錯誤；

B；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：(1隆脕12+2隆脕16+3隆脕17+4隆脕1)隆脗50=1.98(

冊)

故本選項錯誤；

C；把這些數(shù)從小到大排列；其中處于中間的兩個數(shù)都是2

故本選項正確；

D、方差是：150[4隆脕(0鈭?1.98)2+12(1鈭?1.98)2+16隆脕(2鈭?1.98)2+17隆脕(3鈭?1.98)2+(4鈭?1.98)2]鈮?2

故本選項錯誤；

故選：C

．

在這組樣本數(shù)據(jù)中；3

出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以求出了眾數(shù)；先根據(jù)表格提示的數(shù)據(jù)得出50

名學(xué)生讀書的冊數(shù)，然后除以50

即可求出平均數(shù)；將這組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中處于中間的兩個數(shù)都是2

從而求出中位數(shù)是2

根據(jù)方差公式即可得出答案．

本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)以及方差的知識，熟練掌握概念及公式是解題的關(guān)鍵．【解析】C

7、D【分析】【分析】連接BD、CE，由于ABCDE是正五邊形，那么首先求出∠BAC、∠BCA的度數(shù)，易知△ABC、△CDE的面積相等，因此只需比較△ABC、△ACE的面積即可；易得AB∥CE，那么△ABC、△ACE同高，則面積比等于底邊的比，上面求得了∠ACE=∠BAC=36°，那么CE、AE的比例關(guān)系即可得出，進(jìn)而求得△ABC與△ACE的面積比，也就得到了△ABC、四邊形ACDE的面積比．【解析】【解答】解：如圖；

由折疊的性質(zhì)知：∠5=∠6；

∵正五邊形ABCDE中；∠1=∠2=∠3=∠4；

∴設(shè)∠1=α；則∠5=∠6=2α；

則在△ABC中：α+α+α+2α=180°；即∠1=α=36°；

同理；∠ACE=∠1=36°；

則AB∥CE，且CE=AE；

∴S△AEC：S△ABC=CE：AE=CE：AB=：1；

設(shè)S△ABC=1，則S△CDE=S△ABC=1，S△AEC=，S四邊形ACDE=S△ACE+S△CDE=；

所以S△ABC：S四邊形ACDE=1：=（3-）：2；

故選D．8、B【分析】解：A；3x+5y；無法計算，故此選項錯誤；

B、x3?x5=x8；故此選項正確；

C、x6÷x3=x3；故此選項錯誤；

D、（-x3）3=-x9；故此選項錯誤；

故選：B．

分別利用同底數(shù)冪的乘除法運算法則以及合并同類項法則；積的乘方運算法則分別計算得出答案．

此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法運算以及合并同類項、積的乘方運算等知識，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【解析】【答案】B二、填空題(共6題，共12分)9、略

【分析】【分析】根據(jù)菱形的對角線互相平分可得AO=CO，BO=DO，再根據(jù)點E在BD的延長線上，且△EAC是等邊三角形可以判定EO⊥AC，并求出EA的長度，然后在Rt△ABO中，利用勾股定理列式求出BO的長度，即DO的長度，在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理列式求出EO的長度，再根據(jù)ED=EO-DO計算即可得解．【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形；

∴AO=CO=AC=×8=4；DO=BO，EO⊥AC；

∵△EAC是等邊三角形；

∴EA=AC=8；

在Rt△ABO中，BO===3；

∴DO=BO=3；

在Rt△EAO中，EO===4．

∴ED=EO-DO=4-3．

故答案為：4-3．10、略

【分析】【分析】連接OD，根據(jù)正多邊形和圓的知識求出正八邊形的中心角的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出∠DAE的度數(shù)．【解析】【解答】解：連接OD；

∠DOE=360°÷8=45°；

∠DAE=∠DOE=22.5°；

故答案為：22.5°．11、略

【分析】【分析】直線l1與直線l2的交點坐標(biāo)就是二元一次方程組的解；直線l2在直線l1下方部分的x的取值范圍即是不等式k2x＜k1x+b＜0的解集．【解析】【解答】解：∵直線y=k1x+b經(jīng)過點A（-1，-2），直線y=k2x經(jīng)過點A；

∴直線l1與直線l2的交點坐標(biāo)是A（-1；-2）；

∴二元一次方程組的解為；

由圖形可知，當(dāng)x＜-1時，直線l2落在直線l1的下方，即k2x＜k1x+b；

所以；不等式的解集是x＜-1．

故答案為；x＜-1．12、略

【分析】

∵∠AOD=∠AOC+∠DOC=∠AOC+90°=127°；

∴∠AOC=37°；

又∵∠AOC+∠BOC=37°+∠BOC=90°；

∴∠BOC=53°．

故答案為53．

【解析】【答案】因為兩直角直角的頂點重合于點O；由∠AOD=127°可求得∠AOC的值，再根據(jù)角與角的關(guān)系轉(zhuǎn)換求解．

13、略

【分析】

∵這兩個三角形全等；兩個三角形中都有2

∴長度為2的是對應(yīng)邊；x應(yīng)是另一個三角形中的邊6．同理可得y=5

∴x+y=11．

故填11．

【解析】【答案】根據(jù)已知條件分清對應(yīng)邊；結(jié)合全的三角形的性質(zhì)可得出答案．

14、略

【分析】

把C（-3，3）代入反比例函數(shù)解析式得k=-9；

∴反比例函數(shù)解析式為y=-

依題意有

解得：．

∴A（-1；9），B（1，-9）；

∴S△ABC=4×18-（×6×2+×12×4+×2×18）

=72-48

=24．

故答案為：24．

【解析】【答案】欲求點A和點B的坐標(biāo)；先求反比例函數(shù)解析式，而k=-3×3=-9；再將反比例函數(shù)和一次函數(shù)聯(lián)立即可求出A，B兩點坐標(biāo)；欲求△ABC的面積，由長方形面積減去三個三角形面積即可求解．

三、判斷題(共5題，共10分)15、√【分析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心的作法容易得出結(jié)論．【解析】【解答】解：∵三角形的三條角平分線交于一點；這個點即為三角形的內(nèi)心，過這個點作一邊的垂線段，以這個點為圓心，垂線段長為半徑的圓即三角形的內(nèi)切圓；

∴三角形一定有內(nèi)切圓；

故答案為：√．16、×【分析】【分析】根據(jù)題意，可通過舉反例的方法即可得出答案．【解析】【解答】解：根據(jù)題意：可設(shè)A點位1.1；B點為2.1；

A；B兩點之間的距離是一個單位長度；但這兩點表示的數(shù)不是兩個相鄰的整數(shù)．

故答案為：×．17、×【分析】【分析】根據(jù)連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓可得答案．【解析】【解答】解：半圓是?。徽f法正確，弧是半圓，說法錯誤；

故答案為：×．18、√【分析】【分析】利用相似多邊形的定義及性質(zhì)解題．【解析】【解答】解：∵相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等；且對應(yīng)角相等；

∴邊數(shù)不同的多邊形一定不相似；正確；

故答案為：√19、√【分析】【解析】試題分析：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式是再把x=2時，y=3代入即可求得結(jié)果.設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式是當(dāng)x=2，y=3時，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=故本題正確.考點：待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式【解析】【答案】對四、證明題(共1題，共3分)20、略

【分析】【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC．證出∠ADF=∠CBE．由ASA證明△ADF≌△CBE（ASA），得出對應(yīng)邊相等即可．【解析】【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形；

∴AD=CB；∠A=∠C，∠ADC=∠ABC．

又∵∠ABC的平分線交CD于點E；∠ADC的平分線交AB于點F；

∴∠ADF=∠ADC，∠CBE=∠ABC；

∴∠ADF=∠CBE．

在△ADF和△CBE中，；

∴△ADF≌△CBE（ASA）．

∴AF=CE．五、作圖題(共3題，共21分)21、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC；AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，于是利用旋轉(zhuǎn)的定義，可把△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到BD=CD，BD⊥CD；

（2）分別畫出點D、點E旋轉(zhuǎn)后落在△ABC的直角邊上的幾種特殊情形．【解析】【解答】解：（1）BD=CD；BD⊥CD．理由如下：

∵△ABC與△ADE均是等腰直角三角形；

∴AB=AC；AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°；

∴△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△ACE；

∴BD=CD；BD⊥CD；

（2）

如圖1；當(dāng)點D在AB上，點E在AC上；

∵△ABC與△ADE均是等腰直角三角形；

∴AB=AC；AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°；

∴BD=CE，BD⊥CE．22、略

【分析】【分析】（1）在直角坐標(biāo)系中讀出A的坐標(biāo)；點C的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后的△A′B′C′；

（3）先根據(jù)勾股定理求出AC的長，然后利用弧長的計算公式求解即可．【解析】【解答】解：（1）點A的坐標(biāo)（2；1），點C的坐標(biāo)（6，0）（2分）

（2）如圖；△AB′C′為所求作的圖形（5分）

（3）AC==；（6分）

點C旋轉(zhuǎn)到點C′所經(jīng)過的路線長：

l==．（8分）23、略

【分析】【分析】根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，連接兩對對應(yīng)點AE、BF，交點即為旋轉(zhuǎn)中心．【解析】【解答】解：如圖；點O即為旋轉(zhuǎn)中心．

六、綜合題(共4題，共24分)24、略

【分析】【分析】（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系；可得A；B點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）①分類討論：0＜t≤時，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；當(dāng)＜t＜2時；根據(jù)面積的和差，可得答案；

②當(dāng)∠BCD=90°時根據(jù)CD的縱坐標(biāo)相等，可得關(guān)于t的方程，根據(jù)解方程，可得答案；當(dāng)∠CDB=90°時，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于t的方程，可得答案．【解析】【解答】解：（1）當(dāng)x=0時；y=2，即B（0，2）；

當(dāng)y=0時；x=4，即A（4，0）．

將A；B點代入拋物線的解析式；得。

，解得；

拋物線的解析式為y=-x2+x+2；

（2）如圖1：

①F（4t；t）；

當(dāng)F在AB上時，t=-×4t+2；

解得t=；

當(dāng)0＜t≤時，S=×4t×（-×2t+2）=-2t2+4t；

當(dāng)＜t＜2時，S=S△CDE+S△IDE；

S△CDE=×（-×2t+2）×2t=-t2+2t．

S△IDE=（-×2t+2）×IH．

∵===2；

∴IH=DE=-×2t+2；

S△IDE=×（-×2t+2）2=t2-2t+2；

S=-t2+2t+t2-2t+2=-t2+2；

②如圖2：

當(dāng)∠BCD=90°時；C；D的縱坐標(biāo)相等，即。

-×2t+2=t；

解得t=1；

當(dāng)∠CDB=90°時，如圖3：

G（2t；2），D（2t，2-t），H（2t，2-2t）；

=，即=；

化簡，得6t2-2t=0；

解得t=；t=0（不符合題意的解要舍去）．

綜上所述：t=1或t=，△BCD為直角三角形．25、略

【分析】【分析】（1）易證△BCC′和△BAA′都是等邊三角形；從而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，進(jìn)而可以證到AD=DC′=A′D．

（2）解答中提供了兩種方法；分別利用相似與全等，證明所得的結(jié)論．

（3）當(dāng)A、C′、A′三點在一條直線上時，有∠AC′B=90°，易證Rt△ACB≌Rt△AC′B（HL），從而可以求出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【解析】【解答】解：（1）AD=A′D．

證明：如圖1；

∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC；

∴BC=BC′；BA=BA′；

∵∠A′BC′=∠ABC=60°；

∴△BCC′和△BAA′都是等邊三角形；

∴∠BAA′=∠BC′C=60°；

∵∠A′C′B=90°；

∴∠DC′A′=30°；

∵∠AC′D=∠BC′C=60°；

∴∠ADC′=60°；

∴∠DA′C′=30°；

∴∠DAC′=∠DC′A；∠DC′A′=∠DA′C′；

∴AD=DC′；DC′=DA′；

∴AD=A′D；

（2）仍然成立：AD=A′D；

證法一：利用相似．如圖2-1：

由旋轉(zhuǎn)可得；BA=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠ABA′；

∵∠1=（180°-∠ABA′），∠3=（180°-∠CBC′）；

∴∠1=∠3；

設(shè)AB；CD交于點O；則∠AOD=∠BOC；

∴△BOC∽△DOA；

∴∠2=∠4，=；

連接BD；

∵∠BOD=∠COA；

∴△BOD∽△COA；

∴∠5=∠6；

∵∠ACB=90°；

∴∠2+∠5=90°；

∴∠4+∠6=90°；即∠ADB=90°；

∵BA=BA′；∠ADB=90°；

∴AD=A′D；

證法二：利用全等．如圖2-2：

過點A作AE∥A′C′；交CD的延長線于點E，則∠1=∠2，∠E=∠3；

由旋轉(zhuǎn)可得；AC=A′C′，BC=BC′；

∴∠4=∠5；

∵∠ACB=∠A′C′B=90°；

∴∠5+∠6=∠3+∠4=90°；

∴∠3=∠6；

∴∠E=∠6；∴AE=AC=A′C′；

在△ADE與△A′DC′中；

；

∴△ADE≌△A′DC′（ASA）；

∴AD=A′D；

（3）當(dāng)A、C′、A′三點在一條直線上時，如圖3，

則有∠AC′B=180°-∠A′C′B=90°；

在Rt△ACB和Rt△AC′B中；

；

∴Rt△ACB≌Rt△AC′B（HL）；

∴∠ABC=∠ABC′=60°；

∴當(dāng)A、C′、A′三點在一條直線上時，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為60°．26、略

【分析】【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得到BE=PE；EC與PB垂直，根據(jù)E為AB中點，得到AE=EB=PE，利用三角形內(nèi)一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形為直角三角形，得到∠APB為90°，進(jìn)而得到AF與EC平行，再由AE與FC平行，利用兩對邊平行的四邊形為平行四邊形即可得證；

（2）根據(jù)三角形AEP為等邊三角形；得到三條邊相等，三內(nèi)角相等，再由折疊的性質(zhì)及鄰補角定義得到一對角相等，根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，再由AP=EB，利用AAS即可得證；

（3）過P作PM⊥CD，在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的長，利用面積法求出BQ的長，根據(jù)BP=2BQ求出BP的長，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP的長，根據(jù)AF-AP求出PF的長，由PM與AD平行，得到三角形PMF與三角形ADF相似，由相似得比例求出PM的長，再由FC=AE=3，求出三角形CPF面積即可．【解析】【解答】（1）證明：