2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)巴彥淖爾市高三上冊(cè)第三次學(xué)業(yè)診斷（10月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古自治區(qū)巴彥淖爾市高三上學(xué)期第三次學(xué)業(yè)診斷（10月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，則的非空子集個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．8 C．15 D．163．已知拋物線的焦點(diǎn)為F、點(diǎn)M在拋物線上，MN垂直y軸于點(diǎn)N，若，則的面積為（

）A．8 B． C． D．4．某公司的兩名同事計(jì)劃今年國(guó)慶節(jié)期間從大理、麗江、洱海、玉龍雪山、藍(lán)月谷這個(gè)著名旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)游玩.若在兩人中至少有一人選擇大理的條件下，求兩人選擇的景點(diǎn)不同的概率為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的圖像與直線相切，則的值為（

）A． B． C． D．6．在數(shù)列中，已知對(duì)任意正整數(shù)n，有，則（

）A． B． C． D．7．如圖，在正四面體中，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，若角的內(nèi)角平分線，則的最小值為（

）A．8 B．4 C．16 D．12二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9．下列命題為真命題的是（

）A．“”是“”的充分不必要條件B．命題“”的否定是“”C．若，則D．若，且，則的最小值為910．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的有（

）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到11．已知直線和圓，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線恒過點(diǎn)B．圓與圓有三條公切線C．直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D．當(dāng)時(shí)，圓上存在無數(shù)對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．設(shè)函數(shù)，則使得成立的的解集是．13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為.14．已知，則.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．（本小題滿分13分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.(1)求角；(2)若外接圓的面積是，求面積的最大值.16．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，，底面為正方形，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．17．（本小題滿分15分）已知函數(shù)在處取得極值.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（本小題滿分17分）在神舟十五號(hào)載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功的背景下．某學(xué)校高一年級(jí)利用高考放假期間組織1200名學(xué)生參加線上航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競(jìng)賽成績(jī)并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請(qǐng)回答下列問題：

(1)若從成績(jī)不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人，求10人中成績(jī)不高于50分的人數(shù)；(2)求的值，并以樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)以及中位數(shù)；(3)由首輪競(jìng)賽成績(jī)確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級(jí)互不影響，求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率．19．（本小題滿分17分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，且數(shù)列滿足．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和；(3)若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。答案題號(hào)12345678910答案AACBBDAAADAB題號(hào)11答案ACD13．14．15．(1)(2)【詳解】（1）由，得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所?（2）設(shè)外接圓的半徑為，則，所以，又，所以，所以，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，即面積的最大值為.16．(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）證明：因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，故平面；（2）由于平面，所以平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則,1,，,1,，,0,，,0,，,0,，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為；（3）因?yàn)?，又平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為．17．(1)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．(2)【詳解】（1）由題意知，，由，解得，此時(shí)，，令，得，令，得，故是函數(shù)的極值點(diǎn)，故符合要求，進(jìn)而函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）由恒成立可得恒成立，令則，令，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，且時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，因此18．(1)4(2)；平均數(shù)為71；中位數(shù)為(3)【詳解】（1）從圖中可知組距為，則的頻率分別為,從成績(jī)不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人時(shí),成績(jī)不高于50分的人數(shù)為（人）.（2）由圖可知，解得.使用組中值與頻率可估計(jì)平均數(shù)為.因?yàn)榍?，所以中位?shù)在內(nèi)，設(shè)估計(jì)的中位數(shù)為，則，得.（3）記甲、乙、丙獲優(yōu)秀等級(jí)分別為事件、、，則三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級(jí)的概率等于.19．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)