2024-2025學(xué)年陜西省咸陽市高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)階段性檢測試題合集2套（含解析）

2024-2025學(xué)年陜西省咸陽市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段性檢測試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．下列各式正確的是（

）A． B．C． D．2．在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．3．雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小等于（

）A． B． C． D．4．已如向量，，且與互相垂直，則（

）．A． B． C． D．5．若正三棱錐的所有棱長均為3，則該正三棱錐的體積為（

）A．3 B． C． D．6．已知空間中三點(diǎn)，，，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積為（

）A． B． C．3 D．7．在中，，則的長為（

）A． B．4 C． D．58．已知點(diǎn)A，B，C，D，P，Q都在同一個(gè)球面上，為正方形，若直線PQ經(jīng)過球心，且平面.則異面直線所成的角的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)，為隨機(jī)事件，且，是，發(fā)生的概率.，，則下列說法正確的是（

）A．若，互斥，則 B．若，則，相互獨(dú)立C．若，互斥，則，相互獨(dú)立 D．若，獨(dú)立，則10．已知空間三點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．11．函數(shù)y=fx的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，對于任意，，恒滿足，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.下列函數(shù)在定義域上為凸函數(shù)的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知直線過點(diǎn)，且在軸上的截距為在軸上的截距的兩倍，則直線的方程是.13．方程的兩根為，且，則.14．如圖，在正方體中，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則平面截正方體所得截面面積為，動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)二面角的余弦值為.

四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角所對的邊分別為．(1)若，求的值；(2)求面積的最大值．16．已知空間三點(diǎn).(1)求(2)求的面積；17．我們可以用“配方法”和“主元法”等方法證明“二元不等式”：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．(1)證明“三元不等式”：．(2)已知函數(shù)．①解不等式；②對任意x∈0,+∞，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．如圖，四邊形是直角梯形，為的中點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，三棱錐的體積是.

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.19．一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，常用符號表示，，第個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)，常用符號表示.定義：一個(gè)正整數(shù)稱為“漂亮數(shù)”，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)數(shù)列，滿足①②③：①都是正整數(shù)；②；③.(1)寫出最小的“漂亮數(shù)”；(2)當(dāng)時(shí)，求出所有的“漂亮數(shù)”.

答案1．【正確答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算求解.【詳解】對A：原式，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對B：原式，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對C：原式，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對D：顯然，所以原式，所以D選項(xiàng)正確.故選D.2．【正確答案】C【詳解】如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以M為AC中點(diǎn)，所以，所以.故選：C3．【正確答案】B【詳解】雙曲線的兩條漸近線的方程為，由直線的斜率為，可得傾斜角為，的斜率為，可得傾斜角為，所以兩條漸近線的夾角的大小為，故選：B.4．【正確答案】B計(jì)算，根據(jù)向量垂直得到答案.【詳解】，，則，與互相垂直，則，.故選：B.5．【正確答案】C【詳解】如圖，正三棱錐，，取中點(diǎn)，連接，取等邊三角形的中心，連接，由正四面體的性質(zhì)可知，頂點(diǎn)與底面中心連線垂直底面，∴平面即三棱錐的高為，∵，∴，∴，∴，∴.故選：C6．【正確答案】D【分析】依題意求出，，，，即可求出，再由面積公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，則，，，所以，又因?yàn)椋?，則以，為鄰邊的平行四邊形的面積.故選D.7．【正確答案】C【詳解】根據(jù)三角形內(nèi)角和為，所以可知，則，根據(jù)正弦定理可知，代入解之可得.故選：C8．【正確答案】A【詳解】設(shè)球的半徑為，記正方形中心為，因?yàn)闉檎叫?，直線PQ經(jīng)過球心，且平面．所以過點(diǎn)且的中點(diǎn)為球心，設(shè)球心為，以為原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，所以，，所以，所以，，又，即．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，設(shè)直線所成的角為，則，又，所以．故選：A．9．【正確答案】ABD【詳解】對于選項(xiàng)A，若互斥，根據(jù)互斥事件的概率公式，則，所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B，由相互獨(dú)立事件的概念知，若，則事件是相互獨(dú)立事件，所以選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C，若互斥，則不一定相互獨(dú)立，例：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，事件：“正面朝上”，事件：“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，不滿足相互獨(dú)立事件的定義，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對于選項(xiàng)D，由相互獨(dú)立事件的定義知，若，獨(dú)立，則，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.10．【正確答案】AC【詳解】因?yàn)椋?，，所以所以，，所以不共線.故選：AC11．【正確答案】AD【詳解】對A：，，，由在0,+∞上單調(diào)遞增，故其等價(jià)于，化簡可得，故滿足題意，故A正確；對B：，，，取，，可得，，又，故此時(shí)不滿足題意，故B錯(cuò)誤；對C：，，，化簡得恒成立，不滿足題意，故C錯(cuò)誤；對D：，，，左右平方后化簡可得，故滿足題意，故D正確.故選：AD.12．【正確答案】或【詳解】①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，所以直線的方程為；②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為時(shí)，設(shè)直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，則直線的方程為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得：，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或，故y=2x或．13．【正確答案】-3【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求得答案.【詳解】∵方程的兩根為，∴，，由題意得：；，∵，∴，，故，故-3.14．【正確答案】/【詳解】由題意以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

第一空：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，即四點(diǎn)共面，所以平面截正方體所得截面為梯形，由對稱性可知該梯形是等腰梯形，因?yàn)檎襟w棱長為4，所以梯形的上底，下底，梯形的腰長為，所以梯形的高為，故所求截面面積為；第二空：由題意，且，所以，在中，當(dāng)時(shí)，，所以表示經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面，即點(diǎn)在平面上，由以上分析可知，，若要取得最小值，只需最小，此時(shí)，當(dāng)然也有，由題意設(shè)，而，設(shè)平面的法向量為n1=所以，令，解得，所以可取，顯然平面的一個(gè)法向量可以是，二面角的余弦值為.故18，.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理，可得，（2），，由余弦定理可得，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，此時(shí)面積取得最大值16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1），（2）設(shè)向量，的夾角為，由，，，，又三角形中，.17．【正確答案】(1)見解析(2)①；②.【詳解】（1）因?yàn)?，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），同理（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），三式相加可得：，又因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）.（2）①由可得：，所以，即，即，則，所以，解得.②因?yàn)楫?dāng)x∈0,+∞時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，所以當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，，對任意x∈0,+∞，恒成立，則，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面，所以．又因?yàn)?，所以，又平面，所以平面；?）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，即點(diǎn)，則三棱錐的體積，解得，所以，則，設(shè)平面的法向量，由，令，則，即可得平面的一個(gè)法向量，由軸平面，故為平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可知二面角是銳二面角，故二面角的余弦值是．

19．【正確答案】(1)6(2)【詳解】（1）若是“漂亮數(shù)”，設(shè)，滿足，則，所以，即，故，得，則，所以，此時(shí)，假設(shè)，則，又，所以的全部可能取值為，經(jīng)驗(yàn)證，上述的取值都不等于1，不符合題意.所以，又，故6為“漂亮數(shù)”，所以最小的“漂亮數(shù)”是6；（2）若，設(shè)，滿足，則，所以，即，而，所以，即，故，得，即，又，所以，而，故，即.若，則，所以.假設(shè)，則，矛盾.故，所以，得.故，則，得，又，所以.又，矛盾，故或.當(dāng)時(shí)，有，得，則，得，即.由，得，分別代入，使得為正整數(shù)的有，對應(yīng)的分別為.當(dāng)時(shí)，有，得，則，得，即.由，得，分別代入，使得為正整數(shù)的有，對應(yīng)的分別為.綜上，滿足條件的全部為.2024-2025學(xué)年陜西省咸陽市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段性檢測試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．曲線與曲線一定成立的是（

）A．長軸長相等 B．焦距相等 C．離心率相等 D．短軸長相等3．“平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)滿足到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)”是“點(diǎn)的軌跡是橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．既不充分也不必要條件 C．充要條件 D．必要不充分條件4．若直線的截距式方程化為斜截式方程為，化為一般式方程為，則（

）A． B．2 C．6 D．85．圓與圓的公切條數(shù)為（

）A．2條 B．1條 C．3條 D．4條6．已知直線與焦點(diǎn)在軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知，是橢圓：的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．且，這樣的直線有4條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知雙曲線，則（

）A．實(shí)軸長為2B．離心率為C．兩漸近線夾角的正切值不存在D．直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則10．已知直線的方程，則（

）A．恒過定點(diǎn)B．存在實(shí)數(shù)使直線在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)C．直線的斜率一定存在D．點(diǎn)到直線的距離最大值為11．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，則（

）A．與有相同離心率的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一定是B．過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則C．設(shè)，點(diǎn)是橢圓上任意點(diǎn)，則有最大值無最小值D．設(shè)圓，圓上任意點(diǎn)向橢圓引切線，則兩切線互相垂直三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．13．設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)．14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線右支上，則的內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn)橫坐標(biāo)為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離之比為．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為，求所在直線方程．16．已知橢圓的左焦點(diǎn)為是橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為3，最小值為1．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)任做一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求以為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．17．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線右支（且不在坐標(biāo)軸上），(1)若雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且雙曲線過點(diǎn)，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，求的面積．18．設(shè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過的直線與曲線交右支于兩點(diǎn)（在軸上方），曲線與軸左、右交點(diǎn)分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由．19．已知橢圓，左焦點(diǎn).(1)設(shè)直線與橢圓交于，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，證明：；(2)過做兩條互相垂直的直線、，交橢圓于、，交橢圓于、，（?。┯浰倪呅蚊娣e為，求的取值范圍；（ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，直線與直線交于，證明．

答案1．【正確答案】B【詳解】直線方程可整理為，即，所以直線的斜率，設(shè)傾斜角為，則，因?yàn)?，所?故選：B.2．【正確答案】B【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其中，所以長軸長為，短軸長，焦距為，離心率，因?yàn)椋?，曲線表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，其中，，，所以長軸長為，短軸長，焦距為，離心率故長軸長不相等，焦距相等，離心率不相等，短軸長不相等，故ABD錯(cuò)，B對；故選：B3．【正確答案】D【詳解】“點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓”“為常數(shù)”；反之不成立，若常數(shù)兩個(gè)定點(diǎn)的距離，其軌跡不是橢圓．因此“平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)滿足到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)”是“點(diǎn)的軌跡是橢圓”的必要不充分條件．故選：D．4．【正確答案】C【詳解】由方程可知，，即，所以，解得，所以.故選：C5．【正確答案】A【詳解】由是以為圓心，3為半徑的圓.，轉(zhuǎn)換為，即該圓是以為圓心，4為半徑的圓.所以圓心距，所以所以兩圓相交，故公切線的條數(shù)為2，故選：A6．【正確答案】D【分析】先求出直線過的定點(diǎn)，要想直線和橢圓總有公共點(diǎn)，只需定點(diǎn)在橢圓上或內(nèi)部，因?yàn)槎c(diǎn)為，所以直接跟短半軸b比較即可【詳解】由題意，直線恒過定點(diǎn)，要使直線與橢圓總有公共點(diǎn)，則只需點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)，則．又焦點(diǎn)在軸上，所以，所以．故選：D．7．【正確答案】B【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出的范圍，代入即可求出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)椋?，即，結(jié)合可得，所以.故選：B.8．【正確答案】B【詳解】設(shè)，令，則，過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，如果在同一支上，則有，如果在兩支上，則有，因?yàn)檫@樣的直線有4條，所以，解得，故選：B9．【正確答案】ABC【詳解】由雙曲線可得，所以實(shí)軸長為，故A對；離心率為，故B對；令，可得漸近線方程為和，斜率分別為1和-1，所以斜率之積為-1，所以兩直線垂直，其夾角為，故兩漸近線夾角的正切值不存在，故C對；把直線代入雙曲線中，消y，得,當(dāng)時(shí)，即時(shí)，直線與雙曲線相交有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，即，解得，直線與雙曲線相切，有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則或，故D錯(cuò)；故選：ABC10．【正確答案】ABD【詳解】A.聯(lián)立，得，所以點(diǎn)滿足方程，即直線恒過定點(diǎn)，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，得，故B正確；C.直線的方程，當(dāng)，時(shí)，直線的斜率不存在，故C錯(cuò)誤；D.點(diǎn)到直線距離的最大值為點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離，即，故D正確.故選：ABD11．【正確答案】BD【詳解】對于A，橢圓的離心率，若橢圓方程為：，則其離心率也為12，但該方程不是的形式，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)過的直線方程為，Ax1,y聯(lián)立，消去可得，，，，同理，所以，故B正確；對于C，由橢圓的定義可得，所以，當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，，共線時(shí)，所以有最大值，有最小值，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)圓上任意點(diǎn)，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則切線方程為，代入橢圓方程，所以，整理可得，所以，又，所以，當(dāng)斜率不存在時(shí)，顯然垂直，故D正確；故選：BD.12．【正確答案】【詳解】由題意，方程表示橢圓，則滿足，解得且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故13．【正確答案】或【詳解】集合，，且，直線與直線平行，或經(jīng)過點(diǎn)，即或，故1或．14．【正確答案】a【詳解】由題知，設(shè)內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)為，與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為，由雙曲線定義有，得，由圓的切線