高考數(shù)學二輪復習典例分析及重難突破：平面向量

專題四平面向量

高考數(shù)學二輪復習典例分析及重難突破

?典例分析

考查方式

平面向量在高考中更注重基礎，時有創(chuàng)新.平面向量以選擇題、填空題為主，主要考查平

面向量的基本概念、線性運算、數(shù)量積，其中平面向量的線性運算、數(shù)量積、向量共線、向量

垂直、向量的模及向量的夾角問題是重點和熱點，平面向量大多單獨考查，有時也出現(xiàn)平面向

量與其他知識的交匯問題，或以平面向量為載體的綜合探究題.

高考真題

1.[2022年新高考H卷]已知向量a=(3,4),b=(1,0),c—a+tb,若〈a,c〉=〈瓦c〉，則/=()

A.-6B.-5C.5D.6

2.[2024年新課標H卷]已知向量a,b滿足|a|=l,|a+2萬|=2,^.(b-2a)±b,貝！!網(wǎng)=()

A.-B.—C.—D.l

222

3.[2022年新高考I卷]在△回(3中，點。在邊A3上，5。=2八4.記。4=加，CD=〃，則=

()

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.[2024年新課標I卷]已知向量a=(0,1),5=(2,x),若〃，(萬―4a),則x=()

A.-2B.-lC.lD.2

5.[2023年新課標I卷]已知向量a=(1,1),5=(1,—1).若(a+砌，(a+W)，則()

A.X+〃=lB.2+//=—1C.X/z=1D.2//=—1

6.[2023年新課標H卷]已知向量a,〃滿足|a-切=后，\a+b\=\2a-b\,

參考答案

1.答案：C

解析：c=(3+f,4),cos〈a,c〉=cos〈〃,c〉，BP9+3r+163+r解得=5,故選c.

51cl|c|

2.答案：B

解析：由S—2?)_L，,得(b—2a)b=b2—2ab=0,所以?=2?.人將|a+2)|=2的兩邊同時平

方，得/+4?小+4)2=4,即1+2/+4/=1+6防|2=4,解得|〃F=g,所以|。|=乎，故選

B.

3.答案：B

解析：如圖，因為點。在邊A3上，BD=2DA,所以

CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=-2m+3n,故選B.

解析：解法一：因為ss-4a),所以4s—4a)=0,即必=4a2.因為a=(0,1),b=(2,x),

所以〃=4+%2,ab=x,得4+/=4X,所以(x-2)2=0,解得％=2,故選D.

解法二：因為a=(0,l),b=(2,x),所以8—4a=(2,%)—4(0,1)=(2,%)—(0,4)=(2,%—4).因為

bl(b-4a),所以—4a)=0,所以2x2+x(x—4)=0,所以(x—2)2=0,解得％=2,故選

D.

5.答案：D

解析：因為a=(1,1),b=(1,-1)；所以a+Ab—(1+A,l—A),a+/nb=(1+//,1—//),因為

(a+2^)1(a+//￡>),所以++=0,所以(l+4)(l+〃)+(l—2)(1—4)=0,整理得

初=-1.故選D.

6.答案：V3

解析：由|a—切=百，得2a1+》2=3,即2a小="+"—3①.由卜+同=|2a—引，得

a2+2ab+b2=4a2-4ab+b2,整理得，3a2-6ab=0,結合①，得3a?—3（片+/—3）=0,

整理得，白=3,所以|。|=百.

?重難突破

1.在矩形ABCD中，卜母=豆，pc|=l,則向量AB+AP+AC的長度等于()

A.4B.2月C.3D.2

2.已知向量a=(m,3),8=(1,m).若a與方反向共線，則|a-島|的值為()

A.OB.48C.44D.3V6

3.在△ABC中，點P在上，且BP=2PC，點Q是AC的中點，若PA=(4,3)，PQ=(1,5)，

則3C等于()

A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)

4.已知向量a,b滿足|a|=l,|a+2川=2,且(A—2a)，5,則|〃|=()

A.-B.—C.—D.l

222

5.已知點4(2,3),5(5,4),C(7,10),若AP=AB+2AC(/lwR),點當尸在第一、三象限的角

平分線上時，2的值為()

A.lB.2C.-D.-

32

f—、府

6.已知向量訪力滿足|a|=l,|a+2W=J7,|a—切=三，則〈風力=()

A.-B.—C.-D.—

2433

AnAr

7.已知43,C是平面內不共線的三個點.若AB+AC=2——，4e(0,+oo),則△ABC

[\AB\\AC\J

一定是()

A.直角(非等腰)三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.銳角(非等腰)三角形

8.若｛a,6｝是一組基底，向量/=xa+y/(x,yeR),則稱(x,y)為向量〉在基底｛a/｝下的坐

標.現(xiàn)已知向量a在基底p=(1,-1)，g=(2,1)下的坐標為(-2,2),則a在另一組基底m,

〃=(1,2)下的坐標為()

A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)

9.在△AB。中，M是5C的中點，AM=1，點P在AM上且滿足AP=2PM，則P4(P3+PC)

等于()

A.--B.--C.-D.-

9339

10.我國東漢末年數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后

人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，

如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若BC=a,BA=b,BE=3EF,則3尸=()

11.在△ABC中，ZBAC,ZABC,ZACB所對的邊分別為a,4°,若8=c=4,ZBAC=120°,

且。是邊上的動點（不含端點），則（。4+。3）.（￡>4+￡>。）的取值范圍是（）

A.[-8,10）B.[-16,40）C.[-8,40）D.[-16,48）

12.已知△ABC中，AB=AC=2超,BQ=2QA,\AB+ABC\=3（2eR）,

IImin

i2.

AP=2〃A3+(1—〃)AC,-<//<-,貝U|PQ|的最小值為()

A.3B.5C.^^~D.

3

13.（多選）設a,力是兩個非零向量.若方，（a-㈤，則下列結論正確的是（）

A.ab=\b\2B.\aHa-2b\

C.a在8上的投影向量為〃D.cos〈a,力=—

㈤

14.(多選)已知AB=(2,1),AC=(-1,1),AD=(1,//),則()

A.CB+DC=(2-1,1-//)

B.若AB//AD,則2=2,u=-

2

C.若點A是3。的中點，則3,C兩點重合

D.若點3,C,。共線，則〃=1

15.（多選）如圖，在△ABC中，BD=-BC,AE=-AC,AD與BE交于點R則下列說法

32

正確的是（）

A.AD=-AB+-ACB.\BF\=^\BE\

33

jc"vABFD?^qAAFE=_i,-.3”D.AF+2BF+CF=0

16.已知m=(—1,32+2),w=(-2,-1-22),若加//〃，則實數(shù)2的值為.

17.設點。在△ABC的內部，D,E分別為邊AC,3c的中點，且|20E|=1,則

\pA+2OB+3QC卜.

18.如圖，A,B,C,。為平面內的四個點，BC=AB+AD>E為線段3c的中點，若

DE=ADA+RDC，則/I+〃=

19.已知平面單位向量6],e2,滿足—e?|<0.設。=e1+e?,b^3ex+e2,向量a,的夾角

為，，則cos?。的最小值是,

20.如圖，在矩形ABC。中，M,N分別為線段5C,的中點，若MN/AM+&BN,4,

&eR,則4+4的值為.

21.已知在平面直角坐標系中，點A(0,2),B(Z,l)(?>0),\AB\=45.

(1)求才的值；

(2)若點P,。滿足3P=(3,2),OQ=xOA+[^-^OP,。為坐標原點，求的最小值.

22.如圖，在平行四邊形ABCD中，AP±BD,垂足為P.

(1)若APAC=8,求AP的長；

(2)設|AB|=6，|AC|=8,ZBAC=~,AP=xAB+yAC,求y—x的值.

23.已知向量(2根+〃)〃+(加+〃?以｛，勺｝為基底的分解式為2“+02，其中a=ex+e2,

b=el-e2.

(1)求加，n的值；

(2)若c=(2加+〃)〃+(相+〃)力，且?！?“+必)，求實數(shù)上的值.

24.如圖，在△ABC中，AD是3c邊上的中線.

(1)取3。的中點試用A3和AC表示AM.

(2)若G是AD上一點，且AG=2GD,直線ER過點G,交A3于點E,交AC于點R若AE=AAB,

AF=/nAC(2>0,〃>0),求2+〃的最小值.

25.如圖，在矩形ABCD中，E是的中點，點R在邊CD上.

(1)若AB=5C=2,R是邊CD上靠近C的三等分點，求AE-EF的值;

⑵若AB=&BC=2,當=O時，求CT的長.

答案以及解析

1.答案：A

解析：在矩形ABC。中，由網(wǎng)=百，岡=1可得國卜2,又因為AB+AD=AC,故

AB+AD+AC=2AC,故1AB+AD+A?=4,故選：A.

2.答案：C

解析：由題意得M=3,解得根=+y/3，又a■與b反向共線,故加=-A/3,此時a-y/3b=(-2^/3,6),

故|a-其1=46.故選C.

3.答案：B

解析：點。是AC的中點，,PQ=^PA+PO，:.PC=2PQ-PA^PA=(4,3)-PQ=(1,5)，

.-.PC=(-2,7)-BP=2PC，.-.56=3^0=(-6,21).

4.答案：B

解析：由S—2土)得S—2a)b=/—2ab=0,所以?=2a6.將|a+2川=2的兩邊同時平

方，得/+4?小+4/=4,即1+2/+4/=1+6|加2=4,解得=所以|切=乎，故選

B.

5.答案：D

解析：設點P的坐標為(x,y),則AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),

AP=AB+2AC=[(5,4)-(2,3)]+2[(7,10)-(2,3)]=(3+52,1+72),

/-2=3+5X=x=5+54又點。在第一、三象限的角平分線上，%即5+52=4+72，

y-3=1+74=4+7Z,

解得;l=L故選：D.

2

6.答案：D

解析：由題可得|a+2肝=a2+4a必+4/=l+4a?〃+4歷|2=7①，

\a-b\^=a2-2ab+b2=l-2ab+\b\1=—@,①②兩式聯(lián)立得a?5=—二，\b\=-,

442

d.I)1271、

...cos〈a,b)=p-7|—?=——，而〈a,〃〉￡[0,兀]，(a,b)=一.故選D.

m\b\23

7.答案：B

解析：設AP=AB+AC,則根據(jù)平行四邊形法則知，點P在邊上的中線所在的直線上.設

AE=/竺，=￡，它們都是單位向量.由平行四邊形法則，知點P也在NA的平分線上，

\AB\|AC|

所以AABC一定是等腰三角形，不能確定是等邊三角形.故選B.

8.答案：D

解析：因為a在基底｛p,g｝下的坐標為(-2,2),所以a=—2p+2q=—2(1,-1)+2(2,1)=(2,4).

^a=xm+yn=(-%+y,x+2y),所以J'解得<'所以a在基底｛〃〃｝下的坐標為

%+2y=4,[y=2,

(0,2).

9.答案：A

解析：因為M是5c的中點，所以P5+PC=2PM，

又因為點P在74A/上且滿足AP=2PM，AA/=1,所以|PA|=g，1PM=g，

r\-tA

所以PA?(P5+PC)=2PA.PM=2|PA,PMkos7i=—2><§X3=—3.

故選：A.

10.答案:B

解析：因為“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，且

33

BC=a,BA=b,BE=3EF,所以3尸=3C+CF=3C+—EA=3C+—(E3+?)

44

^BC+-\--BF+BA]^BC--BF+-BA,^-^BF=—BC+—BA,所以3/=史.+竺瓦

4(4)16425252525

故選B.

n.答案：c

解析：以3C所在直線為x軸，3c的中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,

設D(x,0),xw(-26,26),

則ZM=(—x,2),DB=(-2y/3-x,0),DC=(273-x,0),

所以(ZM+DB)(DA+DC)=(―2百-2x,2)?(20-2x,2)=4/—8,

因為xe(—2620),所以_8e[-8,40),所以(DA+DB)(DA+DC)的取值范圍是[-8,40).

故選C.

12.答案：C

解析：設點。為3c上的一點，令=^\\AB+ABC=AB+BO=AO,當時,

|AO|取最小值3,此時根據(jù)勾股定理可得50=OC=6，由此可知△ABC為等邊三角形，當

點。為3C的中點時建立如圖所示的平面直角坐標系,

則有A(0,3),B(-A/3,0),C(V3,0),所以AB=(-G,—3),AC=(V3,-3),所以

2〃AB=(-2?,-6〃)，(1-〃)AC=(?-)),所以

AP=24AB+(1-AC=(若-3島,-3〃-3),故P(#)-3島,-3〃).

因為3Q=2QA,所以Q-—,2,則PQ=、%—迪,3〃+2,

、3J13?

IPQ\=卜?-畏+(3〃+工=(6①：］.

因為:<〃<|,所以當〃=；時|PQ|取最小值，|「°京=用.故選?.

13.答案：ABC

解析:因為：所以》?("+》)=?。一"=0,所以e〃=Z>2=防|2,所以選項A正確；

因為如》=|〃『，所以/=1-4°?萬+4",所以|”|=卜-2可，所以選項B正確；a在8上的投

影向量為回空也2力=R〃=人所以選項c正確；由向量數(shù)量積的定義可知，

a-b=\a\\b\cos(a,b)=|b|2所以cos〈a,Z?〉=牌，所以選項D錯誤.故選ABC.

14.答案：ACD

解析：因為AB=(/M),AC=(-1,1),A￡>=(1,〃)，所以

CB+DC=DB=AB-AD=(2,l)-(l，x/)=(2-l,l-//),A正確;

因為A5//AD,所以切―1=0,所以〃/=1,取2=3,貝1]〃=；,

B不正確；

因為點A是的中點，所以A3+A￡>=(4l)+(l,〃)=(0,0),即2=—1,〃=—1,從而有

BC=AC-AB=(-1,1)-(-1,1)=(0,0),所以3,C兩點重合，C正確；

因為點3,C,。共線，所以存在實數(shù)/,使得

AD=(1,/z)=tAB+(1—?)AC=Z(A,1)+(1—?)(—1,1)=(^tA+Z—1,1),所以〃=1,D正確.

綜上所述，正確選項為ACD.

15.答案:BCD

_________1_____1_____2__.1_.

解析：AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,故A錯誤；

因為3,F,E三點共線，所以存在實數(shù)2WAF=2AB+(1-2)AE=2AB+-^AC,

因為A,E。三點共線，所以存在實數(shù)〃使得4尸=〃4￡>=生45+夕4?,從而有<

33fl1-A

.丁丁"

09___,]_]___.1

解得12即AE=—A3+—AE,所以R為BE的中點，從而有|3尸|=—|3E|,故B正確;

3222

C_C_C_J_V_J_C_AQ_J_C=1S

°4BFD~0AABD°AABF--30AABC40AABC一合△ABC

c—Av_Ax__J_v

94NFE~2AASE_22AASC_4AASC

所以SABFO：￡AFE=1：3，故C正確；取A3的中點G,3c的中點“，連接GH,如圖，則G,

F,H三點共線,

所以AF+2BF+C戶=(AF+BF)+(BF+CF)

=-[(FA+FB)+(FB+FC)]=-(2FG+2FH)=—(EA+5C)=0,故D正確.故選BCD.

16.答案：-1或-1

3

解析：因為m=(—1,32+2),w=(-2,-1-22),mlIn.

所以22+l+〃3；l+2)=0,即3%+42+1=0,解得；[=_1或X=.故實數(shù)九的值為/或—1.

33

17.答案：2

解析：如圖所示，易知

|OA+2OB+3OC\=\OA+OC+2(OB+OC)\=^OD+40￡卜2口。+20q=2.

A

C

BE

18.答案：-/1.25

4

解析：因為BC=AB+A。，即AC—A8=AB+AD，所以2A3=DC?

又石為線段的中點，所以

1111

DE^-DC+-DB=~DC+~(DA+AB]=-DC+-DA+-|-DC|=-DC+-DA,所以X=L

2222、'2222422

//=■—?則2+〃=1+』=工

4244

故答案為：-

4

19.答案：—

29

b-a

a=6+電，

解析：由題可知＜

b=Be1+e23a-b

2

b-a

=1,

\b-a\=2,2a5+/=4,①

3a-b

從而＜=1,0<\3a-b\=2,9a2-6aC+/=4,②

2

J3b-5a|<27225a2—30?！?9/<8,③

3b-5a<72

-2-

ab=2a2,?

由①②可得＜

b2=4+3a2,?

代入③可得/之工,

2

ab_2a2_2|a|_

從而cos02

1。1傳1\a\\b\|b|4+3|a|229

—7+3

\a\~

所以cos?。、當，故cos?。的最小值為”.

2929

20.答案：j

解析：因為M,N分別為線段BC,CD的中點,

所以政V=LBD=L(AD—AB\=-AD--AB,

22、'22

—.1

AM=AB+BM=AB+-AD,

2

BN=BC+CN=AD--AB,

2

AD--AB\

2)

4AB+'q+4卜D

.1,1

4------42=-------一1

所以2_2,解得.

—4+%二一

[2"22

132

所以4+4=_g+g=g

所以4+4的值為

故答案為：

21.答案：（1）t=2

G5而

\Z7--------------

26

解析：（1）由題意得A3=C-1）,則|他|=5產(chǎn)+（—1）2=逐

解得，=±2.因為，＞0,所以/=2.

(2)由題意得BP=OP—。3,則。。=BP+QB=(3,2)+(2,1)=(5,3),

所以OQ=xOA+[g—x)OP=(0,2x)+[g—5x，m—3x)=[g—5x,|—x

貝1J|OQ『=g—5x]+gT=26f—28x+-=26(x—曰+||>||,

所以|OQ|2第6,

26

即|。。|的最小值為號.

22.答案:(1)2

⑵-

7

解析：(1)在平行四邊形ABCD中，AP±BD,垂足為P,

AP-AC=AP-2AO=2AP-^AP+PO^=2AP-AP+0=8,

.-.(AP)2=|AP|2=4,

解得網(wǎng)=2,故”長為2.

(2)AP=xAB+yAC=xAB+2yAO,且3,P,。三點共線，

x+2y=1①，

又網(wǎng)=6,|AC|=8,ZBAC=|,

則AB.A。=AB'ACcos/BAC=12,

2

由AP,BD可知APBO=^AB+2yAO^AO-AB^=0,

-2-2.

展開2yAO-xAB+(%-2y)A-AO=0,化簡得到y(tǒng)=3x②，

聯(lián)立①②解得X=Ly,故y-%=2.

777

m=1,

23.答案：(1)1

n=——

[2

⑵k=-

3

解析：(1)由題得(2zn+〃)a+(zn+〃)力=(2:+〃)(與+?2)+(加+九)(6一十)

=(3m+2〃)C]+me2=2e1+e2,

m=

nlf3m+2n=2,_ZB\^

則彳斛得(1

m=l,n-——.

II2

3i

(2)由(1)=(2m+n)a+(m+n)b=—a+—b.