高考數(shù)學(xué)分類專項訓(xùn)練之三角函數(shù)

高考數(shù)學(xué)分類專項精講精練

三角函數(shù)

目錄

明晰學(xué)考要求...................................................................................1

基礎(chǔ)知識梳理...................................................................................2

考點(diǎn)精講講練...................................................................................8

考點(diǎn)一：任意角.................................................................................8

考點(diǎn)二：弧度制................................................................................10

考點(diǎn)三：三角函數(shù)的概念.......................................................................12

考點(diǎn)四：同角三角函數(shù)基本關(guān)系.................................................................15

考點(diǎn)五：誘導(dǎo)公式..............................................................................17

考點(diǎn)六：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).................................................................20

考點(diǎn)七：三角恒等變換.........................................................................25

考點(diǎn)/I：函數(shù)y=Asin（ox+。）................................................................31

考點(diǎn)九：三角函數(shù)的應(yīng)用.......................................................................36

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練..................................................................................43

明晰學(xué)考要求期

明晰學(xué)考要求

1、了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度制與角度制的互化

2、理解三角函數(shù)的定義，能畫出三角函數(shù)的圖象

3、了解三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大（小）值。

4、理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在［0,2句上的性質(zhì)，正切函數(shù)在［上的性質(zhì)

5、了解函數(shù)丁=人5近（的+0）的實(shí)際意義；能借助圖象理解參數(shù)A的意義,

了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響；

6、理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

7、能運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行簡單的恒等變換；

8、會用三角函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題。

基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理02

1、角的概念

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形

2、角的分類

①正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.

②負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.

,4

③零角:如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個零角.

0---------------A

3、象限角

(1)定義：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么,角的終邊在第

幾象限,就說這個角是第幾象限角.

如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,那么就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限.

(2)象限角的常用表示：

第一象限角(?|360%<tt<360%+90°,^eZ}

第二象限角{a1360%+90°<a<3600%+180°,左GZ}

第三象限角{a1360%+1800<a<360°k+270°,左￡Z}或

{a1360%-180°<a<360%-90°,eZ}

第四象限角{a1360°k+2700<a<360%+360°,左eZ}或

{a1360%—90°<a<360%,上eZ}

4、終邊相同的角的集合

所有與角a終邊相同的角為｛分|萬=k?360。+。，k^z]

5、弧度制

長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作Irad,或1弧度，或1(單位可以省略不寫).

6、角度與弧度的換算

弧度與角度互換公式：180=yrrad

lrat/=f—=57.30。=5718'，丫=三叔

In)180

7,常用的角度與弧度對應(yīng)表

角度制0°30°45"60°90°120°135°150°180°

弧制度071TI71712兀3兀57r71

~677-2T~6

8、扇形中的弧長公式和面積公式

弧長公式：(。是圓心角的弧度數(shù)),

11

扇形面積公式：S=-lr=-\a\r92.

9、任意角的三角函數(shù)定義

(1)單位圓定義法：

如圖，設(shè)a是一個任意角，a^R,它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x,y)

①正弦函數(shù)：把點(diǎn)P的縱坐標(biāo),叫做a的正弦函數(shù),記作sin1，即y=sina

②余弦函數(shù)：把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做a的余弦函數(shù)，記作cosa,即

x=cosa

③正切函數(shù)：把點(diǎn)。的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值上叫做a的正切，記作tan。，即2=tana(xwO)

xx

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)

(2)終邊上任意一點(diǎn)定義法：

在角a終邊上任取一點(diǎn)P(x,y),設(shè)原點(diǎn)到P(x,y)點(diǎn)的距離為

22

r=\OP\=ylx+y

①正弦函數(shù)：sina=)

r

Y

②余弦函數(shù)：COStt=—

③正切函數(shù)：tana=2(xw0)

x

10、三角函數(shù)值在各象限的符號

sina,cosa,tan1在各象限的符號如下：(口訣“一全正，二正弦,三正切，四余弦”)

n、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2or+cos2a=1

cina71

(2)商數(shù)關(guān)系：-----=tancr(a卞k兀+—,左eZ)

cose2

誘導(dǎo)公式一

①sin(?+2左左)=sina(2)cos(cr+2k兀)=cosa

③tan(a+2kjt)=tana其中左eZ.

公式二

sin(乃+a)=—sin2cos(乃+a)=-cosatan(7r+a)=tana

公式三

sin(—a)=-sinacos(—a)=cosatan(-a)=-tana

公式四

sin(;r-a)=sinaCOSQT—a)=—cosatan(?-a)=-tana

公式五

sing-a)=cosacos(^-tz)=sina

公式六

.,7C、/冗\(yùn)?

sin(—+a)=cosacos(—+a)=—sma

公式七

./3?、

sin(-—a)=-cosacos3(R--a)=-sma

公式八

3冗、.

sin(—+a)=-cosacos(-+a)=sincif

12、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中左eZ）

函數(shù)y=sin尤y=cosxy-tanx

二

20V!\2^"

圖象|/-也21r

2c；2

jl

定義域RR{x\x^k7i+—.kZ}

值域[-1,1]RR

周期性2乃Inn

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

71(g,0)

對稱中心（左肛0）也兀+—,0)

7冗

對稱軸方程X=K7T-\——x=kji無

2

7T7T

[2k7l--,2k7T+-],ke[2101—兀,2kl],k'*兀一%,k7i+eZ

遞增區(qū)間22

[2k7r+—,2kji+—],k兀,2k兀+兀],kr7

遞減區(qū)間22無

13、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

①兩角和與差的正弦公式

sin(cr+力)=sinacos(3+cosasm/3

sin(cr—sinacos/?-cosasin/3

②兩角和與差的余弦公式

cos(a+/?)=cosacos/?一sinesinf3

cos(6Z./3)=cosacos￡+sinasin/?

③兩角和與差的正切公式

/c、tana-tanB

tan(6z—伊=----------------

1+tanatan/?

/c、tan67+tan/7

tan(6z+伊=----------------

1-tanatan/?

14、二倍角公式

①sin2a-2sinorcosa

②cos2a=cos2a-sin2a;cos2a=2cos2a-1;cos2a=1-2sin2a

2tana

(3)tan2a------------

1-tana

15、降幕公式

1+cos2a.l-cos2。

cos2a--------------2sina=-------------

22

16、輔助角公式:

______b

〃5111]±人＜：05%=^/^^^5111(%±0)(其中tano=￡)

17、五點(diǎn)法作圖

必備方法：y=Asm（a>x+哈五點(diǎn)法步驟

③

X_9717l~(p3兀2TI-(p

——(P------9

CD2CD2CD

CDG)

①CDX+(p071713%21

T

②y=Asin(G%+0)0A0-A0

對于復(fù)合函數(shù)y=Asin（a）x+。），

jr37r

第一步：將看做一個整體，用五點(diǎn)法作圖列表時，分別令0尤+。等于0,71,咚,27，

22

對應(yīng)的y則取0,A,0,-A,0。，（如上表中，先列出序號①②兩行）

第二步：逆向解出X（如上表中，序號③行。）

713乃0

第三步：得到五個關(guān)鍵點(diǎn)為：（―鄉(xiāng),0）,，萬一0（^^,0）5一夕（^^,0）

CD1，八）（V（，A）①

CDCD

18、三角函數(shù)圖象變換

參數(shù)A,0對函數(shù)y=Asin（@r+。）圖象的影響

1.。對函數(shù)丁=sin（x+。），％cR的圖象的影響

J的圖象J~L0Vo時向右隼也1長度廠.的圖象

A

“左加右港”規(guī)律

2、0（口>0）對函數(shù)y=sin（ox+°）圖象的影響

■(0>1時一縮每一到］-----

y=sin(x+8)的圖象上

周

所有點(diǎn)的橫坐標(biāo).

■(O<Q<1時伸長到卜期

變

1換

原來的3倍,

(y=sin(①x+w)的圖豪｝

縱坐標(biāo)不變

3,A(4>0)對丁=人5111(加+。)的圖象的影響

_——、.鳳儀p［當(dāng)a>i時,」申長到

y二sin(cox+⑼的圖象上v--------------------

伸

、所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)片、方，,一~~7—

--------------------1■(當(dāng)0<4<1時，縮短縮

變

換

(y=4sin(GX+8)的圖斜T原來的4倍卜-------

4、由丁=5111%的圖象變換得到丁=人5111(如；：+。)(A>0,6y>0)的圖象的兩種方法

步

畫出y=sinx的圖象驟

1畫出產(chǎn)sinx的圖象

向左(右)平移M個單位長度橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

步

得至卯=sin(xw)的圖象驟得到產(chǎn)：sinsx的圖象

19、根據(jù)圖象求解析式

形如/(x)=Asin(a)x+(p)+B的解析式求法:

(1)求法：

①觀察法：A代表偏離平衡位置的最大距離；3平衡位置.

［A+B=M

②代數(shù)法：記/(尤)=45足(。％+9)+6的最大值為〃，最小值為加；貝!I：4,八，聯(lián)立求解.

-A+B=m

2兀

(2)切求法：通過觀察圖象，計算周期T,利用公式7=「，求出口.

(3)。求法：最值代入法：通過觀察圖象的最高點(diǎn)(%,加)(或者最低點(diǎn)(%,加))代入解析式

f(x)=Asin(<yx+(p)+B求解.

考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)精講精練03

考點(diǎn)一：任意角

【典型例題】

例題1.（2024北京）在平面直角坐標(biāo)系中，以。為頂點(diǎn)，必為始邊，終邊在了軸上的角的集合為（）

A.{a|a=2kn,k^ZjB.^a\a=kit,keZj

C.=]+左ez}D.1<za=^,k&z|

【答案】C

【知識點(diǎn)】軸線角

【分析】結(jié)合角的定義即可得解.

【詳解】當(dāng)終邊在>軸非負(fù)半軸上時，有，ac=g+2E#eZ，，

當(dāng)終邊在V軸非正半軸上時，有[aa=￡+2E,keZ,,

故終邊在'軸上的角的集合為[ac=]+析#ez}.

故選：C.

例題2.（2023福建）已知角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊與'軸的非負(fù)半軸重合，那么，下列

各角與380。角終邊相同的是（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】A

【知識點(diǎn)】找出終邊相同的角

【分析】利用終邊相同的角的集合逐一對各個選項分析判斷即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榕c380。角終邊相同的角的集合為{6|#=380。+公360*eZ},當(dāng)左=-1時，得到#=20。，又

keZ,所以易知BCD均不符合題意.

故選：A.

例題3.（2023上海）如果a=三7T，那么與角a終邊相同的角的集合可以表示為.

【答案】即。=2左?+?,左￡z1

【知識點(diǎn)】找出終邊相同的角

【分析】根據(jù)終邊相同的角的關(guān)系，寫出與角。終邊相同的角的集合.

【詳解】因?yàn)樗耘c角a終邊相同的角的集合可以表示為［冽〃=24左+

故答案為：1^1>5=2^+|^ezj.

【即時演練】

1.已知。與210。角的終邊關(guān)于x軸對稱，則言是（）

A.第二或第四象限角B.第一或第三象限角

C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角

【答案】B

【知識點(diǎn)】找出終邊相同的角、確定n分角所在象限、確定已知角所在象限

【分析】用終相同的角寫出。角的表示，計算讓整數(shù)左取相鄰的整數(shù)代入確認(rèn).

【詳解】由a與210。角的終邊關(guān)于x軸對稱，可得《=上360。-210。,此2,

a

：.—二H180。一105。入Z,

2

?。?0,1可確定言終邊在第一或第三象限角.

故選：B.

2.-2030。角是第象限角.

【答案】二

【知識點(diǎn)】確定已知角所在象限、找出終邊相同的角

【詳解】-2030°+360°x6=130°,則-2030。與130。是終邊相同角.顯然130。是第二象限角，故-2030。角是

第二象限角.

故答案為：二.

3.與-660。角終邊相同的最小正角是;最大負(fù)角是.

【答案】60°-300。

【知識點(diǎn)】找出終邊相同的角

【分析】根據(jù)與角-660終邊相同的角是-660。+上360。（左eZ）,對左取滿足要求的整數(shù)可得解.

【詳解】因?yàn)榕c角-660。終邊相同的角是-660。+公360。（左eZ）,

所以當(dāng)人=2時，與角-660。終邊相同的最小正角是60°.

當(dāng)左=1時，與角一660。終邊相同的最大負(fù)角是-300。.

故答案為:60°,-300。.

考點(diǎn)二：弧度制

【典型例題】

例題1.（2023安徽）角330。的弧度數(shù)為（）

1171771一5兀

A.---B.—C.D.——

666

【答案】A

【知識點(diǎn)】角度化為弧度

【分析】根據(jù)弧度制與角度值的轉(zhuǎn)化即可.

TT11

【詳解】330°=330x——=—7T.

1806

故選：A.

7T

例題2.（2024浙江）已知半徑為1的扇形AQB的圓心角為則扇形AO3的弧長等于（）

兀

A.-B.兀C.

46

【答案】C

【知識點(diǎn)】弧長的有關(guān)計算

【分析】根據(jù)弧長公式計算即可.

【詳解】由題意，扇形AO3的弧長為mxl=g.

故選：C.

例題3.（2023湖北）沈括的《夢溪筆談》是中國科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”.如

圖，AB是以。為圓心Q4為半徑的圓弧，C是4B的中點(diǎn)，。在48上，且記48的弧長的近似

CD2

值為s,〃會圓術(shù)〃給出了的一種計算公式：s=+若。4=1,4403=90。，則根據(jù)該公式計算

OA

沈括（北宋）

“中國科學(xué)史上的里程碑"之

——鐘瑟（英）

【答案】|/1.5

【知識點(diǎn)】弧長的有關(guān)計算

【分析】連接OC,分別求出AB,OC,CD,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】如圖，連接OC,

因?yàn)镃是的中點(diǎn)，

所以

又COLAS,所以O(shè),C,。三點(diǎn)共線，

即OD=OA=O3=1,

又ZAOB=90°,

所以M,加發(fā)+.=6,

則0C=布發(fā)一Ac?=走,故CD=0D-0C=三",

故答案為：（3

【即時演練】

1.若扇形所對圓心角為2rad,且該扇形面積為1cm2,那么該扇形的弧長為（）

A.1cmB.72cmC.2cmD.2&cm

【答案】C

【知識點(diǎn)】弧長的有關(guān)計算、扇形面積的有關(guān)計算

【分析】求出弧的半徑，即可根據(jù)弧長公式求解.

【詳解】設(shè)扇形半徑為「，弧長為/,圓心角為a,

則扇形面積為s=gtz/=；x2x，=l，故廠=1,

故弧長為/=ar=2.

故選：C.

2.（多選）將下列角度與弧度進(jìn)行互化正確的是（）

A.—n=1530°B.——=一105°

612

C.10°-—D.-855°=-—

184

【答案】BCD

【知識點(diǎn)】角度化為弧度、弧度化為角度

【分析】利用角度與弧度的換算公式計算即可一一判斷.

【詳解】對于A,因"兀=”■xl8O5=1533O。，故A錯誤；

6o

7兀7

對于B,xl80P=-105°,故B正確；

7T7T

對于C,故C正確；

lot）lo

7T1Qjr

對于D,-855°=-855x——=----,故D正確.

1804

故選:BCD.

3.已知扇形的半徑是3,弧長為6,則扇形圓心角的弧度數(shù)是.

【答案】2

【知識點(diǎn)】弧長的有關(guān)計算

【分析】利用扇形的弧長得到關(guān)于圓心角的方程，解之即可得解.

【詳解】依題意，設(shè)扇形的圓心角為&（。＞。）,

因?yàn)樯刃蔚陌霃绞菑S=3,弧長為/=6,

所以由/=W，得6=3a,貝！Ja=g=2.

故答案為：2.

考點(diǎn)三：三角函數(shù)的概念

【典型例題】

例題1.（2024新疆）已知角。的終邊與單位圓交于點(diǎn)尸（-g,岑），貝?。輈osa=（）

]_

V3B.

22

【答案】B

【知識點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可得到答案.

【詳解】由題意得cosa=xp=一：

故選:B.

例題2.（2023湖南）設(shè)角。的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為,貝(Jsine=()

a

1R

A.-D.------D.1

22

【答案】C

【知識點(diǎn)】利用定義求某角的三角函數(shù)值

【分析】由三角函數(shù)的定義求解,

2

【詳解】由題意得sin

13一2，

V4+4

故選：C

例題3.（多選）（2024浙江）已知。且sin*；,則關(guān)于。表述正確的是（

)

C.tanO=^-

D.tan0=6

3

【答案】ABC

【知識點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值

【分析】根據(jù)已知得到。=I=T，由此即可逐一判斷各個選項.

0

【詳解】對于A,因?yàn)?。e,且sin。。，所以8=9,故A正確;

k2272o

對于BCD,因?yàn)椤?2,所以COS6=3,tan0=也，故BC正確，D錯誤.

623

故選：ABC.

【即時演練】

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角。以。x為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn),貝［|cosa()

R6RA/6NA/6

3333

【答案】B

【知識點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值

【分析】直接由三角函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】因?yàn)榻?。以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)(乎,-J),

所以cosa=73

3

故選：B

2.已知角a的終邊上一點(diǎn)P(x,JG),且cosa=-巫，則苫=,

4---------

【答案】-V5

【知識點(diǎn)】由三角函數(shù)值求終邊上的點(diǎn)或參數(shù)

【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求解.

【詳解】因?yàn)镃OS6Z=j:=，

所以尤2=5,解得x=±&,

又因?yàn)閏osa=-巫<0,所以x<0,

4

所以x=-6，

故答案為：-布.

3.已知點(diǎn)尸(-若,-1)是角a終邊上的一點(diǎn)，貝!|cosa+tane=.

【答案】_梟_*

【知識點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值

【分析】先由三角函數(shù)的定義計算出cosa,tana的值，代入所求式子即可求解.

【詳解】因?yàn)椤覆?,-1),所以r=|0尸|='卜或『+(-1)2=2,

所以cosa=石=-，tana=—，

22-733

道卡若V3

所以cosa+tana=

236

故答案為:蘭

考點(diǎn)四：同角三角函數(shù)基本關(guān)系

【典型例題】

/3,”、―.,—.2sina+cosa

例題1.(2024湖北)已知tana=3,則^----------()

sma-2cosa

A.1B.3C.5D.7

【答案】D

【知識點(diǎn)】正、余弦齊次式的計算、三角函數(shù)的化簡、求值一一同角三角函數(shù)基本關(guān)系

【分析】利用三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡原式即可直接得答案.

2sincr+COS6Z

【詳解】將分子分母同除以cos?？傻?

sina—2cosa

2sina+cosa2tana+l2x3+1

=7.

sin。-2cos。tana-23-2

故選：D.

/?4、「八3sina+cosa

例題2.(2023江蘇)已知--------：—=2,貝！Jtana=z()

2cosa-sma

313

B.——C.—D.3

535

【答案】C

【知識點(diǎn)】正、余弦齊次式的計算

【分析】依題意弦化切即可.

?、43sina+cosa3tana+l3

【詳解】依題意有2=2(￡菽="1(7’解得tanan4

故選：c

例題3.（2023山西）已知tana=2,求下列各式的值:

,、3sina—5cosa

⑴----------

cosa+2sina

⑵2sin2a-3cos2a.

【答案】⑴:

(2)1

【知識點(diǎn)】已知弦（切）求切（弦）、正、余弦齊次式的計算

einci

【分析】（1）根據(jù)2*=tancr,分式同除cose可得.

cosa

(2)根據(jù)sina+cosa—1先將2sii?a-3cos2a轉(zhuǎn)化為網(wǎng)M二3c再將分式同除

%可得.

sina+cosa

■、王府,3sin?！?cosa_3tana-5_3x2-5_1

L詳解J(1)T-：=~~~~~~~

cosa+2smal+2tana1+2x25

2sin2a_3cos2a2tan2a_32x22-3

(2)2sin2cr-3cos2a=-----n---------n=-------------=-----------=1

sin2cr+cos,2atan^a+l22+1

【即時演練】

.-i,.5sm?+cos(z

1.已知tana=1,則rai力----------()

2sma-cosa

A.6B.4C.3D.2

【答案】A

【知識點(diǎn)】正、余弦齊次式的計算

【分析】弦化切代入即可得到答案.

5sincr+cosa_5tancr+15x1+1，

【詳解】---------=6.

2sin6r-coscr2tana2x1-1

故選:A.

.八入ficos0

2-若tan"3,則sine+8s。

【答案】那5

【知識點(diǎn)】正、余弦齊次式的計算

【分析】根據(jù)三角函數(shù)值的除法公式直接求解.

cos。

cos。111

【詳解】由已知cos6

sin0+cos0sin"?cos6tan^+13+14'

cos6cos6

故答案為：-

3.在平面直角坐標(biāo)系》分中，點(diǎn)尸（3,T）在角a的終邊上.

⑴求tanc的值;

sina+cosa田欣

⑵求2sMX的值.

【答案】⑴44

嗚

【知識點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、正、余弦齊次式的計算

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求得正確答案.

（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.

【詳解】（1）由于點(diǎn)尸（3,-4）在角々的終邊上，

-4__4

所以tana=

T--3

_:+1

sina+cosa_tancr+1_3_1

2sina-cosa2tan<7-1811,

---------1

3

考點(diǎn)五：誘導(dǎo)公式

【典型例題】

冗

cosa—

例題1.(2022浙江)已知tana=4,則________(2)=()

sin(—a)-2cos(萬+a)

22

A.-B.一一C.2D.-2

33

【答案】D

【知識點(diǎn)】正、余弦齊次式的計算、三角函數(shù)的化簡、求值一一誘導(dǎo)公式

【分析】用誘導(dǎo)公式化簡后由商數(shù)關(guān)系弦化切，代入已知計算.

冗

cosa----

［詳解］_______L_2)_sina_tana_4

sin(-a)-2cos(TT+a)-sina+2cosa-tancr+2-4+2

故選：D.

2sin（7i-a）-cos（兀+a）

例題2.（2024陜西）已知角。終邊上一點(diǎn)尸（L-2）,則/。肅“?。?

U）I2）

【答案】3

【知識點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、正、余弦齊次式的計算、三角函數(shù)的化簡、求值一一誘導(dǎo)

公式

2sin（兀-a）-cos（7i+a）2tana+1

【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡原式="兀兀1+tan(2,由三角函數(shù)定義求出tana=-2,

sin—CL1十cos----1-a

U）12

代入計算即可.

2sin(兀-a)-cos(兀+a)_2sina+cosa2tana+1

［詳解］J+cnsf3兀)cosa+sina1+tancr

12JI2)

因?yàn)榻莂終邊上一點(diǎn)機(jī)-2),所以tana=-2,則含胃=三=3,

2sin（7i-a）-cos（7c+a）

3

所以sin71ag+a

~~+COS

故答案為：3

例題3.(2023上海)已知sina=走，那么sin(?-a)的值是

2'

【答案】叵白五

22

【知識點(diǎn)】誘導(dǎo)公式二、三、四、三角函數(shù)的化簡、求值一一誘導(dǎo)公式

【分析】直接通過誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值即可

【詳解】丫sina，sin(〃-a)=sma=—

2

故答案為：器

【即時演練】

sin（兀一a）+cos（6Z-兀）

1.已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,-3),則si嗎+a）+cos（'。）

【答案】5

【知識點(diǎn)】正、余弦齊次式的計算、三角函數(shù)的化簡、求值一一誘導(dǎo)公式、利用定義求某角的三角函數(shù)值

3

【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義可得tana=-;，再結(jié)合誘導(dǎo)公式及商數(shù)關(guān)系即可求解.

3

【詳解】由角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)尸(2,-3)可知：tana=-],

sin（兀-a）+cos（a-兀）sina-cosatana-1

=5

則$皿/&）+8吟一夕）cos&+sina1+tana

故答案為：5.

cosB?

sina--+tan（7t-a）

2.已知a為第二象限角，“0=l2I2

tan（-tz-71）sin（-a-兀）

⑴化簡

（2）若sina=g,求/'（a）的值.

【答案】⑴-cosa

(2)半

【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的化簡、求值一一同角三角函數(shù)基本關(guān)系、三角函數(shù)的化簡、求值一一誘導(dǎo)公式

【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可化簡得解；

(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.

sin|a--|cos|—+6/|tan(7i-cif)

［詳解］(1)-I2)I2J，)

tan(-6Z-7i)sin(-6Z-K)

-cosasina(-tana)

=---------------------------=-cosa,

-tanasina

(2)若sina=J,a為第二象限角,

所以/(a)=-cosa=Vl-sin2a=~~~

3.如圖，以O(shè)x為始邊作角。與〃［。<￡<3<1<耳，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P，Q，已知點(diǎn)。的

坐標(biāo)為X，

2cos——+/3-5cos(兀一夕)

⑴求——―-——7——7的值；

-3sin(3兀+6)-2sin［；+夕)

(2)若OP，。。，求P的坐標(biāo).

【答案】(1)-12

⑵「行手

【知識點(diǎn)】由終邊或終邊上的點(diǎn)求三角函數(shù)值、三角函數(shù)的化簡、求值一一誘導(dǎo)公式

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tan/?,再根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)關(guān)系化簡求解即可；

(2)由O尸,OQ可得sina=sin［/cos?=cosG+jl利用誘導(dǎo)公式化簡結(jié)合三角函數(shù)的定義即可

求解.

【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)。在單位圓上且。＜￡＜],所以尤＞0且=1,解得x=寺,

由三角函數(shù)定義知，sinQ=好,cos尸=上叵,tan夕=I=!,

55x2

_(x_2sin』+5cos6_2tan夕+5___

i故fr原ts式一3sin4—2cos夕一3tan4—2一乂1°一一,

3X——乙

2

(2)由題意sina=sin［尸+=cos/?=2^,

cosa=cosf77+—^=-sin尸=

故5Y，攣

考點(diǎn)六：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【典型例題】

例題1.（2024云南）函數(shù)y=cos（2x+；J的最小正周期是（）

A.4兀

【答案】C

【知識點(diǎn)】求余弦（型）函數(shù)的最小正周期

【分析】根據(jù)余弦型函數(shù)的最小正周期公式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：函數(shù)y=cos（2x+g]的最小正周期是T=]=兀.

故選：C.

例題2.（2023安徽）下列函數(shù)是奇函數(shù)，且最小正周期為兀的是（）

A.y=siwcB.y=cosx