高考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練：平面向量（選填壓軸題）含答案及解析

專題16平面向量（選填壓軸題）

目錄

①向量模問題（定值，最值，范圍）...................................1

②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍）...................................3

③向量夾角（定值，最值，范圍）.....................................5

④向量的其它問題....................................................6

①向量模問題（定值，最值，范圍）

1.（2023春?山東范澤?高一山東省東明縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若平面向量入b,入兩兩的夾角相等，

且卜|=1,W=1,H=3,貝!|，+B+c卜（）.

A.2B.4或右C.5D.2或5

jr___2__.

2.（2023春?廣西玉林,高一校聯(lián)考期末）如圖，在AABC中，=而=］福產(chǎn)為8上一點(diǎn)，且滿

^AP=mAC+^AB,^\AC\=2,\AB\=5,則?詞的值為（）

3.（2023春?江西九江?高一德安縣第一中學(xué)?？计谀┮阎橇阆蛄康Z，礪，元，滿足|次|=4,|礪|=2］際|

且3+西?反+/?麗=|反『+次?礪，則|麗|的最小值為（）

A.B.3C.9D.1

33

4.（2023春?江西贛州?高二統(tǒng)考期中）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，42,0）,設(shè)動(dòng)點(diǎn)C滿足|0。42,動(dòng)點(diǎn)P滿足

PAPC=0,則|。尸|的最大值為（）

A.72B.6+\C.2D.272

5.（2023春?陜西西安?高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量。出均為單位向量，且展B=；.向

量4-K與向量5-C的夾角為則區(qū)-石的最大值為（）

6

A.BB.1C.友D.2

23

6.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知平面向量工點(diǎn)工滿足|￡|=由=￡3=2,J.（S-C）-（25-C）=0,則|Z-2"|

的最大值為（）

A."+2B.2A/7+1C.77+1D.26+2

7.（2023秋?上海浦東新?高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、2為平面上兩點(diǎn)，且

OAOB=0>M為線段A3中點(diǎn)，其坐標(biāo)為6）,若臼=伽+6-4|,則閭的最小值為（）

A.好B.空C.昱D.45

553

8.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知薪=：,口+可=2,向量]滿足,二）『二]=0,則,的取值范

圍是（）

A.[L2]B.C.[1,3]D.[0,1]

9.（2023春?四川成都?高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知非零向量Z,b,2滿足忖=4,a-b=2\b\,

~c=^a-c-5,則對(duì)任意實(shí)數(shù)f,R-q的最小值為.

10.（2023春,浙江金華?高二學(xué)業(yè)考試）已知向量同=1,向量石滿足忖-石。+4=4,則W的最小值為.

11.（2023春?湖南邵陽(yáng)?高一邵陽(yáng)市第二中學(xué)校考期末）已知平面向量方,b,c,營(yíng)滿足同=3,同=1,忸-目=1，

<a,e>=^~,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)f,均有&T味忸-2或則k-方|的最小值為.

12.（2023?上海?高三專題練習(xí)）已知非零平面向量G、B、了滿足同=5,2M=向，且（--斗正-「）=0,

則代的最小值是

13.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知平面向量ab,e,其中巨為單位向量，若僅用=e，

則口-方|的取值范圍是.

②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍）

1.（2023春?山東青島?高一校考期中）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊“LBC中，點(diǎn)E為中線8。的三等分點(diǎn)（接

近點(diǎn)8）,點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，則冠.反（）

2.（2023春?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期中）已知向量［與1是兩個(gè)單位向量，且1與4的夾角為60。，若商=1,

b=-e1+e2,則&.b=（）

_1

AV2RV2r￡n

2222

3.（2023春?廣東河源?高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)AABC的內(nèi)角A氏C的對(duì)邊分別為c,S.b2+c2+bc=a2,

若角A的內(nèi)角平分線AD=2,則麗.〃的最小值為（）

A.8B.4C.16D.12

4.（2023春?北京石景山?高一北京市第九中學(xué)?？计谀┤鐖D，A,5是半徑為1的圓。上的兩點(diǎn)，且ZA05==

若。是圓。上的任意一點(diǎn)，則就前的最大值為（）

B.C.D.1

42

5.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，/A=90°,A5=4。=2以3。。為等邊三角形,

當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，碇.礪的最小值為（）

c

\M,

AD

~31

A.-2B.—C.-1D.—

22

6.（2023春?山東棗莊?高一校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，N492=120。，OA=1,OB=2,過

。作垂直AB于點(diǎn)。，點(diǎn)E為線段。。的中點(diǎn)，則歷.麗的值為（）

35-35

A.—B.—C.—D.—

771414

7.（2023春?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期中）八邊形是數(shù)學(xué)中的一種圖形，由八條線段首尾相連圍成的封閉圖形，

它有八條邊、八個(gè)角.八邊形可分為正八邊形和非正八邊形.如圖所示，在邊長(zhǎng)為2正八邊形ABCDEFGH

中，點(diǎn)。為正八邊形的中心，點(diǎn)尸是其內(nèi)部任意一點(diǎn)，則西?麗+礪?麗的取值范圍是（）

C.（-2,4）D.（-4,4）

8.（2023春?江西吉安?高一江西省峽江中學(xué)校考期末）在AABC中，NA=60。，AC=2,而?肥=出網(wǎng)，

設(shè)通=4反CF^AFB（2>0）,則荏.而的最大值為（）

.3—\/3D3+-\/3_3—_3+^/^

A.-----------D.-------------C.-------------U.-----------

2244

9.（2023秋?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）在直角AABC中，AB，AC,AC=石,A8=1,平

面ABC內(nèi)動(dòng)點(diǎn)尸滿足CP=1,則方.喬的最小值為.

10.（2023春?四川涼山?高一統(tǒng)考期末）在AABC中，G為的重心，S慚=96,cosABAC=-,

則說(shuō).%的最大值為.

11.（2023春?山東淄博?高一統(tǒng)考期末）圓。：V+y2=4上有兩定點(diǎn)對(duì)在碼，網(wǎng)一電⑹及兩動(dòng)點(diǎn)c,

D,且配.彷=2,則畫.而+麗?麗的最大值是.

12.（2023春廣東深圳?高一統(tǒng)考期末）四邊形ABCD中，點(diǎn)瓦尸分別是4瓦CD的中點(diǎn)，AB=2,CD=2五,

EF=1,點(diǎn)尸滿足麗.麗=0，則定.而的最大值為.

13.（2023春?福建廈門?高一廈門一中?？茧A段練習(xí)）己知平面向量Z,b，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有

\a-xb\>\a-b\,則見2同的最大值是.

14.（2023春?河北石家莊?高一石家莊二中?？计谀〢ABC中，AB=1,AC=4,ZA=60°,AD是BC邊

上的中線，E,P分別為線段AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，E產(chǎn)交AD于點(diǎn)G.若△碼面積為AABC面積的一半，

則南?麗的最小值為

A

E\-----

BD

③向量夾角（定值，最值，范圍）

1.（2023春?福建福州?高一?？计谀┤魘萬(wàn)|=五，⑸=2且（苕貝京與1的夾角是（）

兀兀兀5

A.—B.—C.—D.—71

64312

2.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）己知。為AABC的外心，RAO=AAB+（1-A）AC.若向量麗在向量加上

的投影向量為〃而，則〃-cosZAOC的最小值為（）

111

A.——B.——C.——D.0

4816

3.（2023春?寧夏吳忠?高一統(tǒng)考期末）若高，&是夾角為90。的單位向量，則Z=2G+&與石=36-a的夾角

為（）

A.15°B.30°D.60。

4.（2023春?江西宜春?高一灰埠中學(xué)?？计谥校┮阎獑挝幌蛄縠1，e2的夾角為60。，向量。=祝1+#2，且

l<x<3,l<y<2,設(shè)向量日與1的夾角為a,貝（Jcose的最大值為（）.

2而

13

5.（2023春?全國(guó)?高一專題練習(xí)）在平面中，已知單位向量q、e2的夾角為60。，向量a=xq+ye2，且1m尤?<4,

l<y2<4,設(shè)向量￡與［的夾角為a,貝Icosa的最大值為（）

5手2手

'~r

6.（2023?海南省直轄縣級(jí)單位?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量￡=函，b=OB，c=OC，滿足

4OC-AC=1-|OA|\4OBCB=1-|OC|2,則向量2-4日與2石所成夾角的最大值是（）

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.--

6336

7.（2023春?江西九江?高一校考期中）設(shè)萬(wàn)石為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，且|引=|5|,若對(duì)于任意實(shí)

-1-

數(shù)x,都有|@+xb|2萬(wàn)+/Z?,則向量商與5的夾角為.

8.（2023春?廣東?高一校聯(lián)考期末）已知益4均是單位向量，若不等式忸+司,,2忸+同對(duì)任意實(shí)數(shù)f都成立，

則4與々的夾角的最小值是.

9.（2023春?四川成都?高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知舊,照是平面內(nèi)一組基底，|2￡+閘=1,

貝UG+B與22+方所成角的最大值為.

10.（2023?北京海淀?高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足同=6,忖=1,則向量Z+五與"_石夾角的最大

值是.

④向量的其它問題

1.（2023?北京西城?統(tǒng)考二模）在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn).點(diǎn)尸從原點(diǎn)出發(fā)，在

坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次跳躍的長(zhǎng)度都是5且落在整點(diǎn)處.則點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)Q（33,33）所跳躍次數(shù)的最小值是

（）

A.9B.10

C.11D.12

2.（2023,河南鄭州,校聯(lián)考二模）在AABC中，AB=1,AC=2,ABAC=60°,尸是AASC的外接圓上的一

點(diǎn)，若存=〃?初+加則〃?+”的最小值是（）

111

A.-1B.——C.——D.——

236

3.（2023?河南安陽(yáng)?安陽(yáng)一中校考模擬預(yù)測(cè)）在"IBC中，設(shè)/2一旃2=2瓦彳.冊(cè)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡

必通過AA6C的（）

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

4.（2023?河南?河南省內(nèi)鄉(xiāng)縣高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知忖=忘,忖=1,2與B的夾角為45。，求使向量

2Z+XB與42+32的夾角是銳角，則4的取值范圍____.

5.(2023?江蘇揚(yáng)州?江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知點(diǎn)A(TO),8(1,0),若圓(x-4+(y-2a)2=l上

存在點(diǎn)尸滿足西?麗=3,則實(shí)數(shù)a的取值的范圍是.

6.(2023?湖南長(zhǎng)沙?周南中學(xué)校考三模)如圖，在〃WC中，點(diǎn)。是邊A3上一點(diǎn)且BD=2A￡>,E是邊BC

BC

的中點(diǎn)，直線AE和直線CD交于點(diǎn)尸，若成是，ABC的平分線，則工=.

專題16平面向量（選填壓軸題）

目錄

①向量模問題（定值，最值，范圍）...................................1

②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍）...................................3

③向量夾角（定值，最值，范圍）.....................................5

④向量的其它問題....................................................6

①向量模問題（定值，最值，范圍）

1.（2023春?山東荷澤?高一山東省東明縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若平面向量Z,b,入兩兩的夾角相等,

且卜|=1,W=1,H=3,貝!|，+B+c卜().

A.2B.4或右C.5D.2或5

【答案】D

【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄縝,工兩兩的夾角相等，所以?shī)A角有兩種情況,

即％,b,"兩兩的夾角為0°或120。,

當(dāng)夾角為0。時(shí)，卜+1=忖+M+忖=1+1+3=5,

當(dāng)夾角為120°時(shí)，|a+J+c|=J(a+B+c)=yja*2+1^+c^+2a-b+2a-c+2b-c

2a-b+2a-c+2b-c

Ji?+T+3?+2xl>lx[-；)+2>lx3><(-；)+2xlx3><[-g)=2,

所以k+B+c|=2或5.

故選：D.

TT--.2--?

2.（2023春?廣西玉林?高一校聯(lián)考期末）如圖，在"RC中，==尸為CD上一點(diǎn)，且滿

足Q=m需+g超，若|*|=2,|而|=5,則|Q|的值為（）

c

【答案】c

JT---?----?

【詳解】在AASC中，由NBAC=§,A￡>=2r>B,P為8上一點(diǎn)，

^^SzAP=mAC+-AB,則Q=?加憶+-國(guó)5,

24

31

又由P、C、。三點(diǎn)共線，則機(jī)+==1,即加=:，

44

因?yàn)閨恁|=2,|南|二5,

,1—.21.1—也111131

貝|J|”|?2=—AC+-ACAB+-AB=—x4+—x2x5x—+—x25=—,

1644164244

則B4的值為斗.

故選：c.

3.（2023春?江西九江?高一德安縣第一中學(xué)校考期末）已知非零向量弧西玩，滿足囪=4,西=2甌|

且3+礪?靈+麗?麗=|困之+礪瓦則|麗|的最小值為（）

A.巫B.3C.正D.1

33

【答案】A

【詳解】設(shè)|詬|=乙則函=2.，取”的中點(diǎn)

由3+麗?元+前?礪=|阿+而而，

gpOA（OC-OB）+OC-（OB-OC）=-3,

BP（OA-OC）（OB-OC）=3,

BPCA-CB=3,

gp（CM+M4）.（GW+MB）=3,

所以的2+m?（必+荻）+妨.礪=3,

,—.1.

^MA=-MB=——AB,

2

即方—［研=3,

所以要使I村最小，口可也最小，

顯然I兩L=|兩H明，此時(shí)0、C、M三點(diǎn)共線，

設(shè)|西=人

貝山亞卜27?^^,麻卜網(wǎng)=J產(chǎn)一3,\pM\=r+t,

因?yàn)閏osAOMA+cosAOMB=0,

所以由余弦定理得OM-+AM2-OA2+OM-+BM2-OB2=0,

即2（r+r）2+2（r-3）-16-4r2=0,

即產(chǎn)-2江+11-2/=0,

由A=4r-401-2/)2O,即產(chǎn)4

所以網(wǎng)=2爐與2半，

所以|畫的最小值為手.

4（2,0）,設(shè)動(dòng)點(diǎn)C滿足|。。42,動(dòng)點(diǎn)尸滿足

PAPC=0,則|。尸|的最大值為（）

A.72B.73+1C.2D.272

【答案】D

【詳解】因?yàn)樗渣c(diǎn)C在圓。:/+丁=4的內(nèi)部或圓周上,

又動(dòng)點(diǎn)尸滿足西.定=0,

所以當(dāng)AC尸三點(diǎn)不重合時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡是以AC為直徑的圓，如圖:

當(dāng)點(diǎn)C在圓0內(nèi)時(shí)，延長(zhǎng)AC交圓。于點(diǎn)。，設(shè)AC的中點(diǎn)為AD的中點(diǎn)為N,

貝!!|M4|=|MP|,ON_LAD,|AM|<|4V],

當(dāng)點(diǎn)C在圓。上時(shí)，兩點(diǎn)重合，CD兩點(diǎn)重合，

所以|AMWAN|,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)c在圓。上時(shí)取等號(hào)，

則\OP\<\OM\+\MF\=\OM\+\AM\,當(dāng)且僅當(dāng)0,M,P三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，

因?yàn)榻?|AMWON|+WW|+|AM|=|ON|+|AN|,當(dāng)且僅當(dāng)跖N重合時(shí)取等號(hào)，因?yàn)镺NLAD,所以

|ON『+|A7VF=|OA|2=4,

所以|ON|+|⑷V|4,2（|ON「+|AV「）=2近,當(dāng)且僅當(dāng)|。叫=|AN|=夜時(shí)取等號(hào)，此時(shí)ODLQ4,

所以2夜，當(dāng)且僅當(dāng)QM,尸三點(diǎn)共線且點(diǎn)C在圓-+9=4與>軸的交點(diǎn)處時(shí)取等號(hào)，

所以10Pl的最大值為20，

故選：D.

5.（2023春?陜西西安?高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量2B均為單位向量，且展B.向

量少與向量5-。的夾角為臺(tái)，則區(qū)-石的最大值為（）

6

A.—B.1C.—D.2

23

【答案】D

【詳解】???向量展5=；，向量々石均為單位向量，

p1f兀

/.lxlxcos<^,Z?>=—,.*.<a,b>=—.

23

如圖，設(shè)西=商，礪=尻詼=乙則4。由是等邊三角形.

??響量量足…與j的夾角為》4cB哈

因?yàn)辄c(diǎn)C在AB外且,ACB為定值，

所以C的軌跡是兩段圓弧,/ACB是弦A8所對(duì)的圓周角.

因此：當(dāng)AC是AB所在圓（上述圓?。┑闹睆綍r(shí)，應(yīng)-可取得最大值|AC|,

在“BC中，由正弦定理可得：

.1萬(wàn)取得最大值2.

故選：D

6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知平面向量Z,瓦工滿足|￡|=出|=75=2,且@-Z)?(2B-")=0,?|a-2c|

的最大值為()

A.77+2B.2夕+1C.幣+1D.2.V7+2

【答案】D

r1rL_fCl'b]—TC

【詳解】由Ia1=1Z?|=a?A=2可知,cos<a?〃>=--------,故<商?/?>=彳，

\a\-\b\23

如圖建立坐標(biāo)系，商=(2,0),很=(1,百)，

設(shè)E=(x,y),由(BV).(25Y)=0可得：

所以1=（無(wú),y）的終點(diǎn)在以為圓心,1為半徑的圓上,

所以|萬(wàn)一2口=23萬(wàn)一^,幾何意義為（x,y）到（1,0）距離的2倍,

\2

3相

由兒何意義可知力-21+1=26+2,

IImax27

故選：D.

7.（2023秋?上海浦東新?高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B為平面上兩點(diǎn)，且

成.麗=0,M為線段中點(diǎn)，其坐標(biāo)為6）,若向=囚+6-4|,則閭的最小值為（）

A.旦B.述C.BD.A/5

553

【答案】B

【詳解】因?yàn)闆r.赤=0,所以土U礪，即以A3為直徑的圓過點(diǎn)O,

因?yàn)镸為線段相中點(diǎn)，坐標(biāo)為?"，45\OM\=\2a+b-4\,

貝10閡」2a菱一文

幾何意義為圓M的半徑與點(diǎn)M到直線2x+y-4=0的距離相等,

即圓M與直線2x+y-4=0相切,

則圓M的半徑最小值為點(diǎn)。到直線2x+y-4=0的距離的一半,

H「=2雄

即

故選：B

8.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知=|?，卜+可=2,向量：滿足（a-c][6-c]=0,則c的取值范

圍是（）

-13"I

A.[L2]B.—C.[1,3]D.[0,1]

【答案】B

【詳解】由題意薪=1，口+6=2得：歸+4=4,即有片+廬],

如圖示，設(shè)04=a,QB=￡cosNA03=—,

4

故不妨設(shè)Z=（0,o）,則|2|=行，出|=變，貝W=（述，巫），

288

->->

設(shè)歷="，則m=而=B-2,因?yàn)閨a-c卜|8-c|=0,故可得m_L麗,

所以C點(diǎn)在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),

=1,42的中點(diǎn)為（*1,嚕），

在AAQB中，|4例=

]_

則以AB為直徑的圓的方程為（尤-

4

即H的取值范圍是1,|

故選：B

9.（2023春?四川成都?高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知非零向量入b,，滿足同=4,a-b=2\b\

c2則對(duì)任意實(shí)數(shù)￡,卜-.的最小值為.

【答案】史—2

2

【詳解】因?yàn)橥?4,Z?石=2忖，貝lJ|Z||B|cos〈成母=24|,而|B|wO,于是cos〈癡〉=g,

又0W〈a,B〉〈兀，貝!）〈。出〉='1,作04=。,08=3,使NAO3=5，如圖,

一23一一—3—0—3——-3——?—__?

由c=—〃?<:—5,得（c一一0）2=4,即|c一一a1=2,令OD=—a,OC=c,則|Z）C|=2,

2444

因此反的終點(diǎn)C在以點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓上，顯然對(duì)SeR,力的終點(diǎn)的軌跡是線段。3確定的直

線/,

于是F-歷|是圓。上的點(diǎn)與直線/上的點(diǎn)的距離，過。作線段于E,交圓。于下,

所以g一回=EF=DE-2=\OD\sin^-2=^-2.

所以用的最小值為殍-2.

故答案為：空一2

2

10.（2023春?浙江金華?高二學(xué)業(yè)考試）已知向量同=1,向量辦滿足*4+忖+囚=4,則W的最小值為.

【答案】舊

【詳解】由向量數(shù)量積公式可得：歸+邛+|￡_邛=（￡+耳+（￡_,

-2———2-2———2/1-12I_J2\

=a+2a-b+b+a-2a-b+b=2網(wǎng)+\b\I,

由基本不等式可得：,邛+卜邛$°+q+卜-磯,當(dāng)僅當(dāng)口+4=卜一斤時(shí)等號(hào)成立，

所以2M同嚇陽(yáng)”叫），即2（1+加4，

所以W2石，所以國(guó)的最小值為

故答案為：百

11.（2023春?湖南邵陽(yáng)?高一邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？计谀┮阎矫嫦蛄糠?b,c,巨滿足同=3,間=1,忸/=1,

<a,e>—,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)f,均有卜一定閆”2a，則上-可的最小值為.

【答案】|

【詳解】如圖作蘇=a，OE=e，

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，次為X的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,

因?yàn)橥?3,<a,e>=^~,同=1,

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0）,點(diǎn)E的坐標(biāo)為

作麗=B，設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)為（x,y）,

因?yàn)閨麗卜|麗一西卜W-@=1,

所以而二3『+y2=l,所以（x_3），y2=i,

所以點(diǎn)8在以（3,0）為圓心，以1為半徑的圓上，

因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)乙均有歸-詞2k-2M，

所以砰引”2司之,又同=1,

所以/-23Z+4J1-420恒成立,

所以（2e-c）-4（4e-c—4）40,

所以（e-c—2）<0,即e-c=2，

作反="設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為,

則一1x'+立y'=2,即無(wú)'一若y'+4=0,

22,

所以點(diǎn)C在直線X-石;/+4=0上，

因?yàn)?|元一礪卜|相

又點(diǎn)8在圓（*-3）2+）?=1上一動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)C在直線7-后了+4=0上一動(dòng)點(diǎn)，

所以點(diǎn)8到點(diǎn)C的最小距離為點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離減去圓的半徑1,

即忸42仔。-1,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)8為線段AC與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，

77

因?yàn)辄c(diǎn)4（3,0）到直線X―石y，+4=0的距離”=擊5=5，

所以點(diǎn)A到點(diǎn)c的距離大于等于g,BP|AC|>|,

所以即閆明-1《，

當(dāng)且僅當(dāng)AC垂直于直線X―后y+4=0且點(diǎn)8為線段AC與圓的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立,

所以卜-砒勺最小值為1

故答案為：—

12.（2023?上海?高三專題練習(xí)）已知非零平面向量花、5、1滿足同=5,24=同，且（力-4（1）=0,

則w的最小值是

【答案】75

__?Irnum「rLIUL

解：如圖女k=M，AD=b>AB=c>貝IJb-a=C。，c-a=CB，

已知(。-4)(c-〃)=o,即CDCB=0,所以CD_LCB,

取題>的中點(diǎn)。，則有0c=519=于1Ir一4n，

而。4=于+4，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知Q4+OC2AC

則乎+4+小一位同=5,所以5+4+「華10,當(dāng)A,O,C三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào),

記瓦乙向量的夾角為夕，貝16+耳=“6+9=也1?+432cos6=Wj5+4cos6，

同理1-c|=|z?p5-4cos^,

由1+,+卜一q210,可得卜1(j5+4cos]+-5-4cos6)>10,

niI|J*|2<10丫100、100「

111j5+4cos6+j5-4cos6U10+2725-16cos26>10+2A/25

當(dāng)cos6=0,即5時(shí)取等號(hào)，

所以Ft石，即忖的最小值是否，

故答案為：6

13.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知平面向量方，b,e,其中巨為單位向量，若伍，?〉=

則W一方|的取值范圍是.

【答案】g，+s]

【詳解】解：建立如圖所示坐標(biāo)系，

不妨設(shè)e=詼=(1,0),萬(wàn)=兩石=礪，

由(。㈤=弓知，點(diǎn)A在直線y=^~x(x>0)或y=-^-x(x>0)上，

由題意=?’可知(5—4乙方一5M=丁,

\43/6'/6

記C(4,0),0(5,0),則回函

由定弦所對(duì)的角為頂角可知點(diǎn)B的軌跡是兩個(gè)關(guān)于x軸對(duì)稱的圓弧,

設(shè)B(x,y),貝I]前=(4一x,-y),BD=(5-x,-y),

/?.DU

因?yàn)?S〈BC,BD)=同園，

目百—(4_%,一”?(Y%,_y)

2J(4-%,+丁.J(5―p)2+/

整理得(%-1)2+(y-今=i(y>o)或(x一1+(y+爭(zhēng)=I”<o),

由對(duì)稱性不妨只考慮第一象限的情況，

因?yàn)椴?閘的幾何意義為：圓弧(x-|)2+(yW)*(y>0)的點(diǎn)到直線y=*x(x>0)上的點(diǎn)的距離,

A/323

故,一同e-,+oo

故答案為：

②向量數(shù)量積（定值，最值，范圍）

1.（2023春?山東青島?高一?？计谥校┤鐖D，在邊長(zhǎng)為2的等邊中，點(diǎn)E為中線8。的三等分點(diǎn)（接

近點(diǎn)8）,點(diǎn)尸為8c的中點(diǎn)，則而.反（）

3

D.

4

【答案】B

【詳解】由己知，|麗|=2,|西=2,ZABC=6O°,

所以麗?配=|明|明|cosNABC=2x2xg=2.

由已知。是AC的中點(diǎn)，所以麗=；（而+而），

BE=^BD=^[BA+BCyBF=^BC.

所以說(shuō)=屜_旃=|（BA+BC）-^BC=1BA-^BC,

6、7263

EC=BC-BE=BC-^BA+BC]=-^BA+^BC,

所以，F(xiàn)E^={-^--BC\\--BA+-B^\=--BA+—BABC--BC

163只66J363618

147c5yl5

=------X4H---x2----x4=—.

3636186

故選：B.

2.（2023春?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期中）已知向量力與晟是兩個(gè)單位向量，且■與晟的夾角為60。，若。=冢+2區(qū),

b——e1+e2,則a?b=（）

A,也B.一變C.D.

2222

【答案】C

【詳解】因?yàn)?1，&是夾角為60。的兩個(gè)單位向量，所以"1=/小/2卜OS<"1,"2>=lxlxg=；,

-2-2

e\=1,02=1,

因?yàn)閝=ei+2/，b=—e\+a，

所以Q?B=(61+2e2)?(一￡1+02)=—61+Cl?02—2勺?02+lei

—*2———?2

=—e\—ei?&+2/

2

=_f_1+2X1=1.

22

故選：C.

22

3.(2023春?廣東河源?高一?？茧A段練習(xí))設(shè)AABC的內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別為a,b,c,+c+bc=a,

若角A的內(nèi)角平分線AD=2,則麗.衣的最小值為()

A.8B.4C.16D.12

【答案】A

【詳解】^b2+c2+bc=a2,所以cosA=2力=4,所以4=§,

'+2bfc23

127r17T17T

由工ABC=S?旗。+SAAC￡），所以/歷Sin可=56?AD?sin§+5c??sin“化簡(jiǎn)得到"?=26+2c,

所以6c=2（b+c）2,則。cN16,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=4時(shí)，等號(hào)成立，

所以麗./=|麗卜園?8$]=；6<?28,則麗.正的最小值為8.

故選：A.

4.（2023春?北京石景山?高一北京市第九中學(xué)?？计谀┤鐖D，A,B是半徑為1的圓。上的兩點(diǎn)，且ZAOB=1.

若C是圓。上的任意一點(diǎn)，則區(qū).就的最大值為（）

【答案】C

【詳解】因?yàn)榫团?就（歷一歷）=礪?南一麗?礪，

Q4-OB=|a4|-|OB|cosZAOB=lxlx^=1,

OAOC=|OA|-|西cosZAOC=cosZAOC,

所以O(shè)ABC=cosZAOC--

2

即當(dāng)cos/AOC取最大值時(shí)，亥而取得最大值.

當(dāng)次與玄同向時(shí)，cos/AOC取得最大值為1,

此時(shí)，正?前取得最大值J.

故選：C.

5.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABC。中，/A=90。,AB=AD=2qBCD為等邊三角形,

當(dāng)點(diǎn)M在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，碇?礪的最小值為（)

3]_

A.-2B.—C.-1D.

22

【答案】B

【詳解】由題意，AB=AD=2,ZABC=Z.ADC=450+60°=105°,

BC=DC=BD=2五,所以△ABC三△ADC,

所以/ACfi=NACD,即AC平分/BCD,

由加=荻+①可得旗?而5=碇.（流+反5）=流"+礪?歷

3

?COS15CT9

2

所以當(dāng)I就卜半_____,3

時(shí),碇?也有最小值為一3

故選：B

6.（2023春?山東棗莊?高一?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)。為AABC內(nèi)一點(diǎn),NAO8=120°,OA=1,OB=2,過

。作。。垂直AB于點(diǎn)。，點(diǎn)E為線段。。的中點(diǎn)，則說(shuō).麗的值為（）

【答案】C

【詳解】由已知可得黑0根=；|。4HoB|.sinZA08=*,AB=y/oA2+OB2-20A-OBcos120°=,根據(jù)等面積法

得OD=@,

7

故選：C

7.（2023春?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期中）八邊形是數(shù)學(xué)中的一種圖形，由八條線段首尾相連圍成的封閉圖形，

它有八條邊、八個(gè)角.八邊形可分為正八邊形和非正八邊形.如圖所示，在邊長(zhǎng)為2正八邊形ABCDEFGH

中，點(diǎn)。為正八邊形的中心，點(diǎn)尸是其內(nèi)部任意一點(diǎn)，則函?麗+礪?麗的取值范圍是（）

A.(-20,4+2立)B.(-4,4+2揚(yáng)

C.(-2,4)D.(-4,4)

【答案】A

【詳解】正八邊形AB8EFGH中，々GH=魚生膽=135。,

8

所以〃OG=丁=45。，4°尸=等><3=135。

連接AF,過點(diǎn)。作OQ，A尸，交GH、8于點(diǎn)M、N,交AF于點(diǎn)Q,

FE

G/t\D

zc

AB

GF=2,設(shè)M=x,由余弦定理得，

△O尸G中，x2+x2-2%-%-cos45°=GF2=4,~^=2（2+夜），

△Q4F中，AF2=X2+X2-2X-X-COS135=/（2+應(yīng)）=2（2+0了=12+8應(yīng)，

所以O(shè)02=O/2-尸02=2（2+0）-：（12+8夜）=1,解得00=1,

OM2=OG2-GM2=2（2+^2）-12=3+242,解得OM=0+1，

所以西.西+歷.麗=（函+礪）?麗=2麗?麗，

當(dāng)P與M重合時(shí)，而在迎上的投影向量為而，此時(shí)麗.麗+市.可取得最小值為

2O2-PA=-2xlx（V2+l-l）=-2V2,

當(dāng)尸與N重合時(shí)，西在詼上的投影向量為而，此時(shí)次.西+礪.而取得最大值為

202.^4=2x1x（72+1+1）=272+4,

因?yàn)辄c(diǎn)尸是其內(nèi)部任意一點(diǎn)，所以ZW方+礪.刀的取值范圍是（-20,4+2血）.

故選：A.

8.（2023春?江西吉安?高一江西省峽江中學(xué)?？计谀┰?/p>