福建省福州某中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級下冊7月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

福州第二中學(xué)2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末考試

高二數(shù)學(xué)

一、單選題

a?1+COS6Z

tan—=2-----------

1.已知2,貝sma的值是（）

41

B.2C.V2D.7

【答案】D

【解析】

【分析】利用二倍角公式和商公式即可得出答案.

a

【詳解】由tan—=2,

2

a

l+2cos2--1cos2——1

,1+cosa

則———22

smac.aa.aatan—2

2sin—cos一sm—cos—2

2222

故選：D

2-i

2.已知復(fù)數(shù)z=（其中i為虛數(shù)單位），則2=（

1+1

13.13.

A.-------1B.—+—1

2222

33.33.

C.-------1D.—+—1

2222

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則、共物復(fù)數(shù)的定義即可得出.

（2-i）（l—i）13.

【詳解】由已知z=>W=7—彳1,

_13.

則nIz=一+—1.

22

故選：B.

3.若。則下列結(jié)論正確的是（）

A.In6/>InZ?B./</C.—<-J-

ab

【答案】D

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【解析】

【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷B,C,利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A,D.

【詳解】因為函數(shù)y=lnx在(O，+s)上單調(diào)遞增，G〈a〈b,所以lnb>lna,A錯誤，

因為0<。<6,由不等式性質(zhì)可得0</<〃，B錯誤，

因為0<a<b,所以a—3<0,ab>Q,所以］—1="女」<0,故一<一,C錯誤，

bababa

因為函數(shù)y=在(0,+s)上單調(diào)遞減，0<a<b,所以［g］，,D正確，

故選：D.

4.已知(3x-l)(x+l)”的展開式中所有項的系數(shù)之和為64,則展開式中含一的項的系數(shù)為()

A.20B.25C.30D.35

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)所有項的系數(shù)之和求解"，寫出(x+1)"的展開式，求3x與二項式中含V的項相乘所得的

項，-1與二項式中含力的項相乘所得的項，兩項相加，即為(3x-l)(x+l)"的展開式中含力的項.

【詳解】所有項的系數(shù)之和為64,.?.(3—1)(1+1)"=64,...〃=5

(3x-l)(x+1)"=(3x-l)(x+1)5,(x+1)5展開式第r+1項&］=C"*,

3334

r=2時，T3=Clx=10x,3X-10X=30X-

4444444

r=l時，T2-C5X=5x,(-l)x5x=-5x,30x-5x=25x>

故選：B.

5.己知函數(shù)/(x)=2sin(°x+0)(o>0)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)/(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是

()

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【答案】D

【解析】

【分析】由圖像得出解析式，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

112TZ*STT

【詳解】根據(jù)函數(shù)/（》）=25池（。、+0）（。＞0）的部分圖像，可得7.7=7?了=飛——五

解得0=2,；.函數(shù)/(x)=2sin(2x+°)

再把||5萬|,2）代入函數(shù)的解析式，可得2sinH+Q）=2

12

+(=

sin~^~P\L，0=—1+24兀Ck€Z),故函數(shù)f(x)=2sinf2x-y

33

令2左萬一工”2x--?2k/r+—,keZ,得左兀一立”x?kit+-,

2321212

1\jr"乃

當(dāng)k=1時，函數(shù)/（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間是五，五

故選：D.

22

6.己知雙曲線。：?一｝=15＞0力＞0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過耳的直線與C的左、右支分

2

別交于點尸、。.若閨。|：\PQ\=1：2,且cosNRQF2=§,則C的離心率為（）

A.3B.2C.V3D.V2

【答案】A

【解析】

【分析】由向量的關(guān)系求出線段之間的關(guān)系，設(shè)IWI=x,貝HP0l=2x,G|=3x,再由雙曲線的定義可

得|%|=2a+x,耳|=3x-2a,再由數(shù)量積為可得直線的垂直，分別在兩個直角三角形中由余弦定理可

得。，。的關(guān)系，可求出離心率.

【詳解】閨尸|：|尸。|=1：2,設(shè)|S|=x,則|尸0|=2x,3|=3x,

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由雙曲線的定義可得|尸耳|=2a+x,|。6|=3x-2a,

2

因為cosNEQg=-,

在中，由余弦定理有閨鳥『=|0周2+|。典2一2回用.1。閶.cos/月Qg,

2

即4c2=(3x>+(3x_2af_2x3x(3x-2a)x-,①

在△尸0g中，由余弦定理有1Pgi2=\pQf+\QF2f-2\PQ\.\QF2\-cosZF^F.,

2

即(2o+x)2=(3x-2a了+(2x)2-2(3x-2a)(2x)x§,②

Q

由②可得x=代入①可得02=9°2,即c=3a.

所以C的離心率為：e=-=3,

a

故選：A.

7.等差數(shù)列…，%(〃eN*),滿足

|%|+同+…+|%|=1%+1|+|?2+1|+??-+1??+1|=1%+2|+|a2+2|+---+|a?+2|

=|oij+3|+102+3|H—+1^+3|=2010,則()

A.n的最大值是50B.n的最小值是50

C.〃的最大值是51D.〃的最小值是51

【答案】A

【解析】

【分析】

___[a,>0

不妨設(shè)4〉0,d<0,由對稱性可得：可得八，%+1+3<0.解得4<—3.可得

[ak+l<0

ak-(a)l+l+ak+21~。2左)=2010,可得左2d=—2010，解出即可得出.

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—_a,>0

【詳解】解：不妨設(shè)4〉o，d<0,由對稱性可得：■^■2*.則〈八，&+i+3<0.

[%<°

ax+(k-\)d>0,ax+kd,aA+kd+3>Q

??d<—3

■■ai+a2+---+ak~[aM+ak+2+---+a2k)=2010,

■-k2d=-20l0,

2010-“"口,一

—記一<—3,斛得：k<J670，

???2A:<27670-■?-2^<50.

■■n的最大值為50.

故選：A.

【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計

算能力，屬于難題.

8.對于曲線C：X-2+y-2=i,給出下列三個命題：

①關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；

②曲線C上任意一點到坐標(biāo)原點的距離不小于2；

③曲線C與曲線|x|+|-v|=3有四個交點.

其中正確的命題個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】分析兩個曲線的對稱性，并結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合，即可判斷①③，利用基本不

等式，即可判斷②.

【詳解】①將曲線。：，2+3<2=1中的》換成一彳，將了換成一了，方程不變，所以曲線關(guān)于原點對稱，并

且關(guān)于X軸和了軸對稱，故①正確;

②設(shè)曲線C上任一點為尸(xj)

(1112222

,2,2=2+4+三22+2.

二+二

xyxy

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當(dāng)q=1,即/=歹2=2時，等號成立,

XJ

所以西+/22,曲線。上任意一點到坐標(biāo)原點的距離不小于2,故②正確;

③曲線國+卜|=3中的x換成-X,將》換成-7,方程不變，所以曲線關(guān)于原點對稱，并且關(guān)于x軸和了

軸對稱，并且將x換成了,了換成x,方程不變，所以曲線也關(guān)于>=x對稱,

曲線。:[+二=1中，必對且將曲線。：[+二=1中的x換成九7換成x,方程不變，所

X2V?X2J2

以曲線c也關(guān)于y=x對稱,

11,

當(dāng)x>0,y>0時，聯(lián)立<%?y2，得x=y=V2，

當(dāng)X>0,y>0時，y=，當(dāng)%>1時，函數(shù)單調(diào)遞減,

因為血+也<3,所以點(J5,、歷)在直線x+y=3的下方，如圖，在第一象限有2個交點,

根據(jù)兩個曲線的對稱性可知，其他象限也是2個交點，則共有8個交點，故③錯誤；

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是③的判斷，判斷的關(guān)鍵是對稱性的判斷，以及將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，判

斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷.

二、多選題

9.已知/(x)=4^,則下列說法正確的有()

x+1

A./(x)奇函數(shù)B./(x)的值域是[—1,1]

C./(x)的遞增區(qū)間是[-1,1]D.Dx)的值域是(一8,—l]U[l,+8)

【答案】ABC

【解析】

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【分析】

對于A,利用奇函數(shù)的定義進行判斷；對于B,D,利用判別式法求其值域；對于C,利用單調(diào)性的定義

進行判斷

2Y2Y

【詳解】對于A,/（力=丁彳，其定義域為R，有/（-x）=-三＜=-/（耳，為奇函數(shù)，A正確；

X十1X十1

對于B,j=——,變形可得與2—2x+y=0,則有A=4—4y2N0,解可得—即函數(shù)的值

X+1

域為［-U］，B正確，

2x

對于C,/（x）=———，任取苞,》2?氏，且苞＜々，則

X+1

，，.、-2西2%2(%—X])(X]X2—1)

J)J\,^2/-2-121—z21、/2，

X]+1x2+1(X]+l)(x2+1)

當(dāng)所以/（%）—/（々）＜0,即/（玉）＜/（々），所以/（X）的遞增區(qū)間是［-M］,所以C正

確，

對于D,由選項B的結(jié)論，D錯誤，

故選：ABC.

10.已知拋物線/=4x的焦點為尸，點尸在準(zhǔn)線上，過點尸作尸尸的垂線且與拋物線交于N,8兩點，則

（）

A.|尸刊最小值為2B.若［尸』=\PB\,則\AB\=2\PF\

C.若［48|=8,則|尸升=2收D.若點尸不在x軸上，則4H必|〉|母f

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合兩點間距離公式、拋物線的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】點尸（1,0）,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=—1,

設(shè)尸（一1,機），|PF|=^［i-（-i）］2+m2=14+蘇＞V4=2，

所以點P在橫軸上時|尸耳有最小值2,所以選項A正確；

若歸幺|=\PB\，根據(jù)拋物線的對稱性可知點P在橫軸上，

把x=l代入/=4x中，得_）；=±2,|/同=2—（―2）=4,此時|產(chǎn)制=2,

于是有|幺a=2|P耳，所以選項B正確；

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因為14sl=8,顯然點尸不在橫軸上，

r”,2

則有kPF=—^kAB=—,

-2m

所以直線4B的方程為y=：（x-1）代入拋物線方程中，得

4%2—4x（2+加2）+4=0,設(shè)，%+々=2+加2

22

|AB\=X1+1+X2+1=8^>2+m+2=8nm=4,

|PF|=A/22+m2=V4+4=272,所以選項C正確，

2

點尸不在x軸上，由上可知：%[+x2=2+m,=1,

22

|F/4|-|F5|=（X]+l）（x2+1）=Xj+x2+X[X2+l=2+m+2=m+4,

而歸殲=4+/，顯然|/訓(xùn).|/碼=|尸外，所以選項D不正確，

故選：ABC

11.已知隨機變量X、Y,且V=3X+1,X的分布列如下：

X12345

1]_3

Pmn

To510

若￡（7）=10,則（）

317

Am=一B.n=—C.E（X）=3D.D（y）=J

105

【答案】AC

【解析】

【分析】由分布列的性質(zhì)和期望公式求出切，〃可判斷ABC；由方差公式可判斷D.

1132

【詳解】由機H---1\-n-\---=1可得：制+〃=一①，

105105

又因為￡（7）=￡（3X+l）=3￡（X）+l=10,解得：E（X）=3,故C正確.

13

所以E（X）=M+2X\+3x—F4〃+5x——3,

510

713

則冽+4〃=歷②，所以由①②可得：〃=億，加=仿，故A正確，B錯誤；

D（X）=（1-3）2X^+（2-3）2X^+（3-3）2X|+（4-3）2X^+（5-3）2X^

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=4x--i-lx--nix--F4X——=——，

101010105

iQ117

Z>（r）=￡>（3X+l）=9D（X）=9xy=^,故D錯誤.

故選：AC.

12.已知數(shù)列｛%,｝滿足4+i=a；—24+2,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)q=；時，1<%B.若數(shù)列｛%｝為常數(shù)列，則％=2

C.若數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，則％〉2D.當(dāng)q=3時，%=2*+1

【答案】AD

【解析】

【分析】令可得〃+1=始，據(jù)此判斷A,令a,=t,由遞推關(guān)系/2/+2求出即可判斷B,

根據(jù)B及條件數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，分類討論求出生<0或%〉2時判斷C,通過對4+1=〃取對數(shù)，構(gòu)

造等比數(shù)列求解即可判斷D.

【詳解】對于A,當(dāng)%=g時，?2=|,令4=%—1,則人向=照，&=；,故0<“<；（〃22）,即

l<a?,A正確；

對于B,若數(shù)列｛4｝為常數(shù)列，令a“=t,貝h=/一2/+2，解得/=1或％=2,二。"=1或%=2,B不

正確；

對于C,令"=%-1,則〃+I=匯,

若數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，則數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，貝Ibn+l-bn=6；—%>0,解得“<0或"〉1.

當(dāng)4<一1時，4=">1，且〃+1=鬣，

:.b2<b,<---<bn<---,bx<b2,此時數(shù)列也｝為遞增數(shù)列，即數(shù)列｛a,,｝為遞增數(shù)列；

當(dāng)—144<0時，0<打<1,且〃+1=斤，

:.b2>b,>--->bn>---,bx<b2,此時數(shù)列也｝不為遞增數(shù)列，即數(shù)列｛%｝不為遞增數(shù)列；

當(dāng)4〉1時，〃+]=bj,

4<&<“此時數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，即數(shù)列｛a?｝為遞增數(shù)列.

綜上，當(dāng)4<一1或4〉1,即%<0或%〉2時，數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，C不正確；

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對于D,令3=4一1,則bn+l=b；,4=2,兩邊同時取以2為底的對數(shù)，得log2&?+1=210g24,

log2^=1,

數(shù)列｛log24｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

10g2/)?=2"T,即4=2*,an=2"+1,D正確.

故選：AD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題所給數(shù)列的遞推關(guān)系并不常見，對學(xué)生的理性思維要求比較高，求解時將已知

條件變?yōu)?+1-1=(4-I)?是非常關(guān)鍵的一步，再根據(jù)每個選項所附加的條件逐一進行判斷，既有求解數(shù)

列的項的取值范圍的問題，又考查了數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列通項的求解，要求學(xué)生具備扎實的邏輯推理能力.

本題難度比較大，起到壓軸的作用.

三、填空題

13.函數(shù)〃x)=lg(x+l)的定義域是

【答案】(T+s)

【解析】

【分析】由真數(shù)大于0和分母不等于0建立不等式組即可求解.

x+1>0

【詳解】解：由〈C八，可得X>-1,

x+2^0

所以函數(shù)/(x)=+的定義域是(—1,+8),

故答案為：(一1,+°°).

14.若一個圓的圓心是拋物線#=4〉的焦點，且該圓與直線J0?相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

［答案］x2+(j-l)2=2

【解析】

【分析】求出圓心和半徑可得答案.

【詳解】拋物線的焦點為(0,1),故圓心為(0,1),

第10頁/共20頁

圓的半徑為R==72,

故圓的方程為：x2+(j-l)2=2.

故答案為：Y+Cv—1)2=2.

15.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域為R,M/(-x)=/(x+6),/(2-x)+g(x)=4,若g(x+l)為奇函

31

數(shù)，/(2)=3,貝！l^g(左)=.

k=\

【答案】-1

【解析】

【分析】由/(X)的對稱性及7(2-x)+g(x)=4得g(x)=g(-2-x),再由g(x+l)為奇函數(shù)得

g(x)=-g(x-4),從而得g(x—8)=g(x),即g(x)是周期為8的周期函數(shù)，再利用周期可得答案.

【詳解】由g(x+l)為奇函數(shù)，得g(-x+l)=_g(x+l),即g(2—x)=—g(x),

由/(-x)=/(x+6),得/(2-》)=/(》+4)=/[2-(一2-明，又“2-x)+g(x)=4,

于是4—g(x)=4—g(—2—x),BPg(x)=g(-2-x),從而g(2—x)=-g(—2—x),

即g(x+4)=-g(x),因此8(X-8)=-8(X-4)=8(力，函數(shù)g(x)的周期為8的周期函數(shù)，

顯然g(D+g(5)=g(2)+g(6)=g(3)+g(7)=g(4)+g⑻=0,又g(32)=g(0)=4-/(2)=1,

318

所以Xg(左)=4￡g(左)一g(32)=4xO-l=-l.

k=\k=\

故答案為：-1

【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)/(X)關(guān)于直線x=a對稱，則有/(a+x)=/(a-x)；函數(shù)/(x)關(guān)于(“泊)中

心對稱，則有/(2a-X)+/(》)=23；函數(shù)/(x)的周期為2a,則有/(x—a)=/(x+a).

四、解答題

n

16.AZBC的內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,且ANBC的面積S=-ac-tanB-

4

⑴求3

3

(2)若a、4c成等差數(shù)列，AABC的面積為一，求6.

2

第11頁/共20頁

TT

【答案】（1）-

6

⑵i+G

【解析】

【分析】（1）由三角形面積公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡已知式子可求得8；

3

（2）由a、b、c成等差數(shù)列，可得/+02=4〃—2ac，再由A4BC的面積為一，可得ac=6,然后利用

2

余弦定理可求得結(jié)果

【小問1詳解】

..1.V3

?Sc——acsinfDi——actandt，

24

sin5

—sinB=——即cosB=——

24cosB2

<B<兀，B=一.

6

【小問2詳解】

???Q、b、c成等差數(shù)列,

/.2b=a+c,兩邊同時平方得：/+，=助2一2公，

7T

又由（1）可知：B=一，

6

1.13

8o=—acsmno=—ac=—,

242

ac=6,a2+c2=462-12.

由余弦定理得，cosB）、。？—?=4/-12-必=人,

2ac1242

解得尸=4+26，

??-Z?=l+V3

17.某工廠進行生產(chǎn)線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產(chǎn)品中隨機抽取150件進

行檢驗，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級合格不合格總

品品品計

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甲車

2624050

間

乙車

70282100

間

總計96522150

（1）填寫如下列聯(lián)表:

優(yōu)級非優(yōu)級

品品

甲車

間

乙車

間

能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級品率存在差異？

（2）已知升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率2=0.5,設(shè)力為升級改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級品率.如果

萬〉p+i&yi-p）,則認為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的is。件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認

為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了？（晌士12.247）

附：片=——皿心立——

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）答案見詳解

（2）答案見詳解

【解析】

第13頁/共20頁

【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算爛，并與臨界值對比分析;

（2）用頻率估計概率可得萬=0.64,根據(jù)題意計算夕+1.65結(jié)合題意分析判斷.

【小問1詳解】

根據(jù)題意可得列聯(lián)表:

優(yōu)級品非優(yōu)級品

甲車間2624

乙車間7030

可得片」5°(26叱°*701=至=46875,

50x100x96x5416

因為3.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握認為甲、乙兩車間產(chǎn)品的優(yōu)級品率存在差異，沒有99%的把握認為甲，乙兩車間產(chǎn)品

的優(yōu)級品率存在差異.

【小問2詳解】

96

由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品的頻率為一=0.64,

150

用頻率估計概率可得7=0.64,

又因為升級改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率。=0.5,

則p+1.65^?=0.5+1.65J空魯30.5+1.65x告之0.568，

可知萬>2+1.65

所以可以認為生產(chǎn)線智能化升級改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級品率提高了.

18.在AASC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知a=c—2acosH.

（1）證明：B=2A；

(2)若a=3,b=2&，求c.

【答案】（1）證明見解析

（2）c=5

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【解析】

【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡。=c-2acosB可得sinN=sin（8-N）,結(jié)合角的范

圍，可證明結(jié)論；

（2）由正弦定理可得吧0=垃，結(jié)合（1）的結(jié)論利用二倍角公式可求出COSN=Y6,繼而求得

sinA33

cos5,結(jié)合已知條件即可求得答案.

【小問1詳解】

由a=c—2acos3及正弦定理得siM=sinC-2sim4cos8,

因為/+5+。=兀，所以sin。=sin（/+B）=siib4cosB+cos/sinS,

所以sin/=cosAsinB-sinAcosB=sin（5-A）.

因為0<4<兀，0<8<兀，所以一兀—4〈兀，

所以=或5-4+4=兀（即8=乃，不合題意，舍去），

所以5=24.

【小問2詳解】

由正弦定理可得吧0=9=2匹，

sinZa3

/7

由（1）知sinS=sin2Z=2sirk4cos幺，代入上式可得cosZ=——，

3

,1

所以（：053=（：0522=2（：05~2-1=—,

3

再由條件可得c=a+2acos5=3+6x』=5.

3

19.雙敗淘汰制是一種競賽形式，與普通的單敗淘汰制輸?shù)粢粓黾幢惶蕴煌瑓①愓咧挥性谳數(shù)魞蓤霰?/p>

賽后才喪失爭奪冠軍的可能.在雙敗淘汰制的比賽中，參賽者的數(shù)量一般是2的次方數(shù)，以保證每一輪都有

偶數(shù)名參賽者.第一輪通過抽簽，兩人一組進行對陣，勝者進入勝者組，敗者進入負者組.之后的每一輪直

到最后一輪之前，勝者組的選手兩人一組相互對陣，勝者進入下一輪，敗者則降到負者組參加本輪負者組

的第二階段對陣；負者組的第一階段，由之前負者組的選手（不包括本輪勝者組落敗的選手）兩人一組相

互對陣，敗者被淘汰（已經(jīng)敗兩場），勝者進入第二階段，分別對陣在本輪由勝者組中降組下來的選手，

勝者進入下一輪，敗者被淘汰.最后一輪，由勝者組最終獲勝的選手（此前從未敗過，記為A）對陣負者組

最終獲勝的選手（敗過一場，記為B）,若A勝則A獲得冠軍，若B勝則雙方再次對陣，勝者獲得冠軍.某

圍棋賽事采用雙敗淘汰制，共有甲、乙、丙等8名選手參賽.第一輪對陣雙方由隨機抽簽產(chǎn)生，之后每一場

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對陣根據(jù)賽事規(guī)程自動產(chǎn)生對陣雙方，每場對陣沒有平局.

(1)設(shè)“在第一輪對陣中，甲、乙、丙都不互為對手”為事件求新的概率；

(2)已知甲對陣其余7名選手獲勝的概率均為解決以下問題：

①求甲恰在對陣三場后被淘汰的概率；

②若甲在第一輪獲勝，設(shè)甲在該項賽事的總對陣場次為隨機變量求J的分布列.

44

【答案】(1)—;(2)①—；②答案見解析.

727

【解析】

【分析】(1)先求出8人平均分成四組的方法數(shù)，再求出甲，乙，丙都不分在同一組的方法數(shù)，從而可求

得答案；

(2)①甲恰在對陣三場后淘汰，有兩種情況：“勝，敗，敗”和“敗，勝，敗”，然后利用互斥事件的概率公

式求解即可

②由題意可得Je{3,4,5,6,7},然后求出各自對應(yīng)的概率，從而可得J的分布列

「2「202「2

(8(6(45

【詳解】(1)8人平均分成四組，共有種方法,

團

其中甲，乙，丙都不分在同一組的方法數(shù)為用,

尸(幺)=,兒，

所以I'c；c；c：c；

_4

~7

(2)①甲恰在對陣三場后淘汰，這三場的結(jié)果依次是“勝，敗，敗”或“敗，勝，敗”，故所求的概率為

211121

—X—X—+—X—X—

333333

4

-27

②若甲在第一輪獲勝，Je{3,4,5,6,7}.

當(dāng)&=3時，表示甲在接下來的兩場對陣都敗，即尸(J=3)=2x==!.

,7339

當(dāng)J=4時，有兩種情況:

2228

(i)甲在接下來的3場比賽都勝，其概率為一x—x—=——；

33327

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(ii)甲4場對陣后被淘汰，表示甲在接下來的3場對陣1勝1敗，且第4場敗,

4

概率為x-—一,

33327

44

Q

一--

所以尸(J=4)=行+279

當(dāng)&=5時，有兩種情況:

2214

(i)甲在接下來的2場對陣都勝，第4場敗，概率為一x—x—=一;

33327

(ii)甲在接下來的2場對陣1勝1敗，第4場勝，第5場敗，

8

概率為—x—x-x-=

-333381

4820

所以尸(J=5)=------1------

27818?

當(dāng)J=6時，有兩種情況:

(i)甲第2場勝，在接下來的3場對陣為“敗，勝，勝”,

甘炯如,21(2\8

其概率為一x—x|—=一；

3381

(ii)甲第2場敗，在接下來的4場對陣為“勝，勝，勝，敗”,

其概率為:

1\z__8—_____

3-243

QQ32

所以產(chǎn)（自=6）=?+—=

''81243243

當(dāng)J=7時，甲在接下來的5場對陣為“敗，勝，勝，勝，勝”，即尸《=7)==蔡

所以J的分布列為:

自34567

j_4203216

P

998?243243

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查互斥事件概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列，解題的關(guān)鍵是正確

理解題意，求出&=3,4,5,6,7對應(yīng)的概率，考查分析問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題

20.在中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且滿足Gsin5+cos(Z+C)=l.

(1)求角3的大??；

(2)若"為的中點，且=求sin/BNC.

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【答案】(1)I

【解析】

【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式及輔助角公式計算可得；

(2)利用余弦定理和正弦定理求出結(jié)果.

【小問1詳解】

解：在AASC中，A+B+C=7i,■.-V3siii8+cos(7i+C)=l,

???V3sia5+cos—8)=1,V3sia5—cosB=1，

2sin^5-^=l,即5由18一個〔=3，

?萬八萬5萬

■Q<B<7r,■■■<B<——)

666

.-.5=-；

663

【小問2詳解】

解：在AASC中，AC2=a~+c2-laccosB=a2+c2~ac>

在AZBAf中，AM2=f—+c2-2x—ccos5=—+c2--ac,

又：AM=AC,

,22421

??ci+c—ac=---