北京市朝陽區(qū)【知識精研】高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

北京市朝陽區(qū)2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)試卷2025.1（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題50分和非選擇題100分第一部分（選擇題共50分）一?選擇題共10小題，每小題分，共50分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】用點(diǎn)斜式直線方程即可求出結(jié)果.【詳解】由直線傾斜角為可知斜率為，再因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，由點(diǎn)斜式直線方程得：，整理得：，故選：B.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的雙曲線方程，直接求出其漸近線方程.【詳解】雙曲線的漸近線方程為.故選：C3.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】據(jù)函數(shù)乘法求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.4.已知是等比數(shù)列，，則（）A.5 B.12 C.20 D.50【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，設(shè)公比為，由題意得，所以，故選：D5.如圖，在三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn).設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)幾何體，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】.故選：A6.圓心為且與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，由圓與直線相切得到圓的半徑，然后寫出直線方程.【詳解】點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)閳A與直線相切，所以圓的半徑，所以圓的方程為.故選：B7.已知是直線的方向向量，是平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.1 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系的向量法判斷，再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，即，解得：.故選：A8.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，由，得，不能判斷的正負(fù)，所以不能判斷,的大小，故不能確定是否遞增數(shù)列；但由為遞增數(shù)列，能得到進(jìn)而即得.【詳解】由是等差數(shù)列，，得，所以，，不能判斷的正負(fù)，所以不能判斷,的大小，所以不能確定是否遞增數(shù)列；若為遞增數(shù)列，則，即時(shí)，所以，，所以，所以是為遞增數(shù)列的必要不充分條件.故選：B9.建設(shè)大型水庫可實(shí)現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會經(jīng)濟(jì)效益.已知一段時(shí)間內(nèi)，甲，乙兩個(gè)水庫的蓄水量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.下列敘述中正確的是（）A.在這段時(shí)間內(nèi)，甲，乙兩個(gè)水庫蓄水量的平均變化率均大于0B.在這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率大于乙水庫蓄水量的平均變化率C.甲水庫在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率D.乙水庫在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率【答案】D【解析】【分析】結(jié)合瞬時(shí)變化率與平均變化率變化率結(jié)合圖象分析即可得.【詳解】對A：由圖可知，在這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率小于，乙水庫的蓄水量的平均變化率大于，故A錯(cuò)誤；對B：由圖可知，在這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫蓄水量的平均變化率小于，乙水庫的蓄水量的平均變化率大于，故甲水庫蓄水量的平均變化率小于乙水庫蓄水量的平均變化率，故B錯(cuò)誤；對C：由圖可知，甲水庫在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于，乙水庫在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于，故甲水庫在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于乙水庫在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，故C錯(cuò)誤；對D：由圖可知，乙水庫在時(shí)刻蓄水量上升比在時(shí)刻蓄水量上升快，故乙水庫在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫在時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，故D正確.故選：D.10.已知數(shù)列滿足，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可通過列舉一些項(xiàng)，進(jìn)而根據(jù)規(guī)律猜想得，即可求解.【詳解】由可得，由得，由此猜想：，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，滿足，故，因此故選：A第二部分（非選擇題共100分）二?填空題共6小題，每小題5分，共30分.11.已知空間向量，則___________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，來求向量的模.【詳解】由，故答案為：.12.設(shè)直線，若，則實(shí)數(shù)___________.【答案】##-0.5【解析】【分析】由兩直線垂直的充要條件求解即可.【詳解】直線，若，則，所以，故答案為：13.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則___________；點(diǎn)在拋物線上，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以有；設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，該拋物線的準(zhǔn)線方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以根據(jù)拋物線的定義，由，故答案為：；14.某校計(jì)劃新建一個(gè)容納個(gè)座位的階梯教室，若設(shè)置排座位，且從第二排起每一排都比前一排多個(gè)座位，則第一排需設(shè)置的座位數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)第排的座位數(shù)為，由題意可知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)第排的座位數(shù)為，由題意可知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，由題意可得，解得.故答案為：.15.已知曲線且.若為雙曲線，則的一個(gè)取值為___________；若為橢圓，則的所有可能取值為___________.【答案】①.3（答案不唯一）②.【解析】【分析】由雙曲線和橢圓的方程性質(zhì)結(jié)合題意列不等式組可得；【詳解】若為雙曲線，則，解得或，又，所以的一個(gè)取值可能為3；若為橢圓，則，解得且，又，所以的所有可能取值為；故答案為：3（答案不唯一）；.16.在長方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合），在直線上的點(diǎn)滿足.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②為定值；③存在點(diǎn)，使得平面平面；④存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為2.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.【答案】①④【解析】【分析】根據(jù)給定的長方體，建立空間直角坐標(biāo)系，由確定點(diǎn)的豎坐標(biāo)關(guān)系，再利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷①③；利用向量夾角公式求解判斷②；利用點(diǎn)到平面距離的向量求法求解判斷④即可得解.【詳解】在長方體中，，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，由，得，解得，對于①，，，因此，①正確；對于②，，不是常數(shù)，因此不為定值，②錯(cuò)誤；對于③，由平面，得平面，即平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，即不垂直，因此不存在點(diǎn)，使得平面平面，③錯(cuò)誤；對于④，點(diǎn)到平面的距離，若，則，整理得，解得，因此存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為2，④正確，所以所有正確結(jié)論的序號是①④.故答案為：①④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解是解決問題的關(guān)鍵.三?解答題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.17.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）．（2）單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是．【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算導(dǎo)數(shù)得切線斜率，再求得后由點(diǎn)斜式得切線方程并整理成一般式；（2）由得增區(qū)間，由得減區(qū)間．【小問1詳解】，，又，所以切線方程為，即．【小問2詳解】，定義域是，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是．18.已知是公比大于1的等比數(shù)列，，且成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若是等差數(shù)列，且.設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列公比為，由可得關(guān)于的方程，據(jù)此可得答案；（2）由題可得的通項(xiàng)公式，然后由分組求和法可得答案.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，因成等差數(shù)列，則.則；小問2詳解】設(shè)公差為d，因，則，得.則，故.19.如圖，在六面體中，為的中點(diǎn)，四邊形為矩形，且，.（1）求證：平面；（2）再從條件①，條件②，條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求平面與平面的夾角的余弦值.條件①：；條件②：的面積為；條件③：六面體的體積為16.注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)，結(jié)合線面垂直判定證明即可；（2）首先根據(jù)已知條件求出相關(guān)線段的長度，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用向量的夾角公式求出二面角的余弦值即可.【小問1詳解】已知四邊形為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，鄰邊相互垂直，所以，又，并且，平面，所以平面.【小問2詳解】選擇條件①：，因?yàn)槠矫?，所?在中，根據(jù)勾股定理，已知，，則.因?yàn)?，，所以兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系，得到，，，，.進(jìn)而得到，.設(shè)平面的法向量為，由，即，令，則，，于是.因?yàn)槠矫?，所以是平面的法向?設(shè)平面與平面的夾角為，則.選擇條件②：的面積為，因?yàn)?，，所?由的面積為，可得，即.以下同選擇條件①的計(jì)算過程求出平面與平面的夾角余弦值為.選擇條件③：六面體的體積為16，在中，，為的中點(diǎn)，所以，.且，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，平?所以平面.六面體的體積，根據(jù)體積公式，已知，可得.又因?yàn)?，，所?以下同選擇條件①的計(jì)算過程求出平面與平面的夾角余弦值為.20.已知橢圓的右頂點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).在軸上是否存在點(diǎn)使得直線與直線的斜率之和為0？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在.說明理由.【答案】（1）（2）存在，.【解析】【分析】（1）由右頂點(diǎn)及離心率可得a，c，然后可得橢圓方程.（2）設(shè)直線l，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可化簡直線與直線的斜率之和的表達(dá)式，即可得答案.【小問1詳解】因橢圓右頂點(diǎn)為，離心率為，則，故橢圓方程為：；【小問2詳解】由題，設(shè)直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得因直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，則.設(shè)，由韋達(dá)定理.又設(shè)，則，又，則.則.故軸上存在點(diǎn)使得直線與直線的斜率之和為0.21.給定正整數(shù)，設(shè)數(shù)列、、、滿足.對于正數(shù)，定義，其中表示數(shù)集中最大的數(shù).記某合，設(shè)的元素個(gè)數(shù)為.（1）寫出集合、；（2）若，求的所有可能取值；（3）證明：存在無窮多個(gè)使得.【答案】（1），（2）、、、（3）證明見解析【解析】【分析】（1）寫出數(shù)列、，根據(jù)題中定義可得出集合、；（2）由題意可得，由（1）可知，或不合乎題意，可得出，推導(dǎo)出，求出的可能取值，然后逐一檢驗(yàn)即可得解；（3）討論，和，兩種情況，結(jié)合題中的定義，求出、，即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】因?yàn)閿?shù)列，，，則，數(shù)列，，，，則.【小問2詳解】由題意可得.由（1）可知，當(dāng)或時(shí)，，不合乎題意，所以，，對于給定的，因?yàn)椋?，，即，?dāng)時(shí)，且，所以，，，因?yàn)?，所以，，所以，，即，又因?yàn)?，解得、、、或，?dāng)時(shí)，，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，，不合乎題意.綜上所述，的所有可能取值有、、、.【小問3詳解】當(dāng)，時(shí)，若，因?yàn)?，所以，或，所以，、、、中不同的值為、、、、，共個(gè)，若，因?yàn)?，所以，、、、各不相等?/p>