廣東省東莞市2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)七校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

東莞市2024—2025學(xué)年第一學(xué)期七校聯(lián)考試卷

高二數(shù)學(xué)

滿分150分，考試時(shí)間120分鐘

一、單選題：共8小題，每小題5分.在每小題只有一項(xiàng)是符合題目要求.

1.在平面直角坐標(biāo)系。町中，直線x-百y-1=0的傾斜角等于（）

a兀c兀-2兀一5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

2.若向量Z=（l,-1,2）,S=（2,l,-3）,則忖+［卜（）

A.V7B.2逝C.3D.372

3.在V/3C中，已知4（3,2,6）,8（5,4,0）,C（0,7,l）,點(diǎn)。為線段的中點(diǎn)，則邊上的

中線CD的長(zhǎng)為（）

A.6B.472C.V42D.7

4.已知圓G：x?+/一2%一4歹一4=0與圓G：x?+/+4x-10y+4=0相交于48兩點(diǎn)，

則兩圓公共弦所在直線的方程為（）

A.3、一3y一4=0B.3x-3y+4=0C.x+y-3=QD.x+j+3=0

-1

5.設(shè)橢圓加產(chǎn)+即2=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，離心率為5,則此橢圓的

方程為（）

A.B會(huì)1B.y2+?=1C.fl+―D./十91

6.3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑

料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙

曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到

的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為6?cm,下底直徑為

9后cm,喉部（中間最細(xì)處）的直徑為8cm,則該塔筒的高為（

A.18cmB.18V2cm

-27n27V2

C.—cmD.------cm

2

7.如圖①，在中，48=28。=6,/48。=90。,￡,尸分別為45,4。上的點(diǎn)，EF//BC,

AE=2EB.如圖②，將△/￡/沿EE折起，當(dāng)四棱錐N-3C在的體積最大時(shí)，點(diǎn)E到平面

NCF的距離為()

4逐B(yǎng),巫

AA.-----

33

C.V6D.—

2

22

8.已知橢圓q邑+與=1(“>6>0)與圓。2：代+歹2=此若在橢圓&上存在點(diǎn)P,過(guò)尸作圓的

ab

切線PZ,PB,切點(diǎn)為Z,8使得乙8尸/=三,則橢圓G的離心率的取值范圍是()

A/八11R「1△、rVsn,AVs

A?(0,-]D.C?r[亍，n1)D?(0,--]

二、多選題：共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.

9.已知圓C：(x-1)2+3-2)2=25,直線/：(2加+l)x+(〃?+l)y-7%-4=0.則以下命題正確的有

()

A.直線/恒過(guò)定點(diǎn)(3,0)B.y軸被圓C截得的弦長(zhǎng)為46

C.直線/與圓C恒相交D.直線/被圓。截得弦長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，/的方程為x+2y-5=0

10.已知耳工為雙曲線C:二-/=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為雙曲線C上任意一點(diǎn)，則()

3

A.|^|-|^|=273B.雙曲線C的離心率為孚

C.雙曲線C的漸近線方程為廣土gxD.阿+麗2卜

11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體N3CD-4耳G2中，M,N分別是48,4D的中點(diǎn)，尸為線

段G2上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.用C一定是異面直線

B.存在點(diǎn)尸，使得MV，尸M

C.直線橋與平面BCC4所成角的正切值的最大值為石

D.過(guò)/,N,尸三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為更

4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量1=(2,1,1),^=(0,-1,-1),若0+宓)//0-二)，則丸=.

13.已知點(diǎn)尸(6,%)在焦點(diǎn)為歹的拋物線C:/=29(夕＞0)上，若戶用=T，則。=.

14.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨

匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)4(入＞0,且401),那么點(diǎn)

P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)P到2(2,0),B(-2,0)的距離比為?,則點(diǎn)P

到直線2：2"%-y-"=0的距離的最大值是.

四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(13分)

已知兩直線4:x+y+2=0和4：3x—2y+l=0的交點(diǎn)為？.

(1)直線/過(guò)點(diǎn)。且與直線x+3y+1=0平行，求直線I的一般式方程；

(2)圓C過(guò)點(diǎn)(1,0)且與4相切于點(diǎn)。，求圓C的一般方程.

16.(15分)

如圖，平行六面體中，CB1BD,NGC￡)=45。，ZQCB=60°,

CC、=CB=BD=\.

⑴以向量｛怎，而,后力為基底表示向量嬴，求對(duì)角線的長(zhǎng)度；

(2)求異面直線與DA所成角的余弦值.

17.(15分)

己知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在X軸上，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2VL

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵過(guò)點(diǎn)M(LO)且斜率為1的直線/與橢圓C交于43兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|/身；

⑶若直線/與橢圓相交于兩點(diǎn)，且弦。的中點(diǎn)為尸1，￡|,求直線/的方程.

18.(17分)

在三棱錐尸-43C中，平面尸平面NBC,AP/C為等腰直角三角形，PAIPC,

ACLBC,BC=2AC=4,〃為的中點(diǎn).

(1)求證：AC1PM；

(2)求平面CPA與平面PAB所成角的余弦值；

PN

(3)在線段所上是否存在點(diǎn)N使得平面CAW，平面P/8?若存在，求出詬的值，若不

存在，說(shuō)明理由.

19.（17分）

22

已知/,5分別是雙曲線C：二-==15>0/>0)的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸(2"n)是雙曲線C

ab

上的一點(diǎn)，直線尸4口的斜率分別為3上2，且左/2=14s1=4.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知過(guò)點(diǎn)(4,0)的直線/:%=叩+4,交C的左，右兩支于。，￡兩點(diǎn)(異于Z,B).

(i)求機(jī)的取值范圍；

(ii)設(shè)直線與直線BE交于點(diǎn)0,求證：點(diǎn)0在定直線上.

東莞市2024—2025學(xué)年第一學(xué)期七校聯(lián)考試卷

高二數(shù)學(xué)試卷答案

選擇題：

題號(hào)1234567891011

答案ADABCDBCCDBDAD

填空題：

12.-113.314.372+2^/3

15【解】（1）直線/與直線x+3y+l=0平行，故設(shè)直線/為x+3y+G=0,（1分）

fx+y+2=0[x--1

聯(lián)立方程組2\1C，（2分）解得,?（3分）

[3x-2y+l=0[_v=-1

直線4:x+y+2=0和：3x-2y+l=0的交點(diǎn)

又直線/過(guò)點(diǎn)P,貝卜1-3+C=0,解得￡=4,（4分）

即直線/的方程為無(wú)+3了+4=0.（5分）

（2）設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-%+（y-b）2"分）

/i：x+y+2=0的斜率為-1,故直線CP的斜率為1,（7分）

1

a=——

（-1-4+（-1-6）2=/6

由題意可得＜（1-4+（0-與2=/,（9分）解得＜b=-y,（11分）

6

叱=1

225

、Q+1r=——

18

故所求圓的方程為（X+：：+]＞+：]=K.（12分）

114

化為一般式：x2+y2+-x+-y--^O.（13分）

16【解】⑴以向量｛3，而，而｝為基底，則有方=方+而+嬴=而+而+五，（2分）

因?yàn)槟?5。=1,CBLBD,以三角形BCD為等腰直角三角形，所以CD=亞，（3分）

又因?yàn)镃G=CB=I，^C.CB=60°,所以三角形GC8為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，（4分）

氤2=（CB+CD+五）2=而2+而2+五2+2而而+2CB-~cc1+2五-CD（5分）

B1B

=1+1+2+2xlxV2x^^+2xlxlx—+2xlxV2x--=9,（6分）

222

所以|相|=3,（7分）所以《41=3,即對(duì)角線C4的長(zhǎng)度為3.（8分）

（2）因?yàn)楹?+而+近，|而|=3,

DA=CB，\DA\=\CB\=1，（9分）

所以嬴-DA=~CAI-CB=（CB+~CD+五）-CB=CB2+~CDCB+CCI-CB（11分）

歷15

=1+V2xlx——+lxlx—=—,（12分）

222

所以cos<而,51>—DA=-（14分）

ICXd.\DA\6

即異面直線C4與D4所成角的余弦值為3.（15分）

O

22

17【解】（1）由題意設(shè)橢圓C的方程為訝+==l（a>6>0）,

因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,1）所以6=1（1分）

又因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為20,a=^2（3分）

丫2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+y=L（4分）

（2）由已知設(shè)直線/的方程為>=xT,設(shè)/?,%）,5（x4,y4）.

丫2

將直線歹=%—1代入土+/=1,（5分）得3——4x=0,（6分）

2

（3）法一：設(shè)。（西,弘）,。（馬,%）,則C。中點(diǎn)是尸,

于是”！=；,21^匹=；,（10分）即匹+/=必+%=1,（11分）

22

由于C,。在橢圓上，故羨+療=1,5+尺=1,（12分）

兩式相減得到生學(xué)+7；-賢=0,即①+@占一%）+（必+%）（%-％）=0，（13分）

22

故支3+（）=0,顯然玉+馬70,于是"2=一1=Q。，（14分）

2占一/2

故直線CD的方程是>-：=一3卜一g],整理得2x+4y-3=0（15分）

丫2

經(jīng)檢驗(yàn)，直線2x+4y-3=0與雙曲線三+/=1有兩個(gè)交點(diǎn)，合乎題意.（未檢驗(yàn)，不扣分）

法二：①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，C。的中點(diǎn)在x軸上，不符合題意.（10分）

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為>-g=k（x-g）,（11分）

設(shè)。區(qū),必）,。區(qū)%）,則CZ）中點(diǎn)是于是五士三=，，即玉+%2=1,（12分）

122yz22

X221

—+V=1

2,化簡(jiǎn)得（2左2+1）——（2左2—2左）x+（g左2—左—g）=o,（13分）

聯(lián)立

T=")

7k21

由于A>0,根據(jù)韋達(dá)定理，V+x=,=1解得k=-7（14分）

1222F+12

故直線CD的方程是=整理得2x+4y-3=0（15分）

18【解】（1）若。為/C中點(diǎn)，連接A?、PD,又M為AB的中點(diǎn)VD//5C,（1分）

由NC_L5C,則MD_LNC,（2分）

又△PNC為等腰直角三角形，

PA1PC,有尸（3分）

由MDcPD=。，貝I|/C_L面尸MD,（4分）

：PA/u面尸MD,AACLPM.（5分）

（2）由（1）可構(gòu)建以。為原點(diǎn)，752,屈，而為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系,

A(l,0,0),5(-1,4,0),C(-l,0,0),P(0,0,1),(6分)

則CP=(1,0,1),4P=(—1,0,1),BP=(1,-4,1),(7分)

若“=（x,y,z）為面尸48的一個(gè)法向量,

AP-n=-x+z=0一1

則,令z=l,即〃=(1,展1)，(8分)

BP-n—x-4y+z-0

若々=（苞,必/1）為面尸4C的一個(gè)法向量,

AP.a=一工］+4=0―

則—?，令必=1，即々=(0,1,0),（9分）

。產(chǎn)?%=玉+4=0

.?Jcos〃”a

則平面CP4與平面尸所成角的余弦值為L(zhǎng)（11分）

3

PN

（3）若存在N使得平面CNM±平面PAB,目...-A0W4W1,

PBf

則2,44,1-㈤,M(0,2,0),(12分)C2V-(1-2,42,1-A),C"=(1,2,0),(13分)

若碗=（a,b,c）是面CNM的一個(gè)法向量,

GV-m=(l-A)fl+42Z>+(l-2)c=0洛^)，(14分)

則,令6=1,則機(jī)=(-2,1,

CM-m=a+2b-G1—X

-----12-621

m-n=-2-\1---------=0,(15分)可得4=一.(16分)

21-29

PN1

，存在N使得平面CMW_L平面尸28,此時(shí)再■=§（17分）

19【解】（1）由題意可知4一/0）,8（。,0）,因?yàn)閨/*=2。=4,所以。=2.（1分）

n_n2_n2

因?yàn)镻（2行,〃），（2分）得為=16，

'2-2A/2+22拒-2-（262_4-4

又因?yàn)槭?立〃）在雙曲線上，則寫匚1=1,（3分）

所以/=16.（4分）

22

所以雙曲線C的方程為工-匕=1.（5分）