函數(shù)的綜合應(yīng)用（學(xué)生版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第18講函數(shù)的綜合應(yīng)用

知識(shí)梳理

1、高考中考查函數(shù)的內(nèi)容主要是以綜合題的形式出現(xiàn)，通常是函數(shù)與數(shù)列的綜合、函

數(shù)與不等式的綜合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合及函數(shù)的開(kāi)放性試題和信息題，求解這些問(wèn)題時(shí)，著

重掌握函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，從而找到解題

的突破口，要求掌握二次函數(shù)圖像、最值和根的分布等基本解法；掌握函數(shù)圖像的各種變換

形式（如對(duì)稱(chēng)變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換等）；了解反函數(shù)的概念與性質(zhì)；掌握

指數(shù)、對(duì)數(shù)式大小比較的常見(jiàn)方法；掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)方程和不等式的解法；掌握導(dǎo)數(shù)的定義、

求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的定義、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求

導(dǎo)法則及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，特別是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等.

2、函數(shù)=的圖象與性質(zhì)

Z=1

分奇、偶兩種情況考慮：

比如圖（1）函數(shù)y（x）=W+|x-[+|x-3|,圖（2）函數(shù)

g（x）=|x|+|x-l|+|x-2|+|.x+1|

⑴當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)=的圖象是一個(gè)“v”型，且在“最中間的點(diǎn)”取

Z=1

最小值；

（2）當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)=的圖象是一個(gè)平底型，且在“最中間水平線

Z=1

段”取最小值;

若4。eN*）為等差數(shù)列的項(xiàng)時(shí)，奇數(shù)的圖象關(guān)于直線x=a中對(duì)稱(chēng)，偶數(shù)的圖象關(guān)于直

線尤左中+x右中對(duì)稱(chēng).

2

3、若〃尤）為［八“］上的連續(xù)單峰函數(shù),且/（相）=為極值點(diǎn),則當(dāng)匕6變化時(shí)，

g（x）=\f（x）-kx-b\的最大值的最小值為>（"）-〃％）|,當(dāng)且僅當(dāng)4=0/=〃“）+〃/）

22

時(shí)取得.

必考題型全歸納

題型一：函數(shù)與數(shù)列的綜合

，

例1.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝,滿足再=1,2xn+l=ln（l+x?）（neN）,

設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S",則以下結(jié)論正確的是（）

x

A.%〃+i>nB.xn-2xn+l<xnxn+1

c.2A7>X“M+1D.SII+5>2

例2.（2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=/-x-l,數(shù)列例"｝的前"項(xiàng)和為

S”,且滿足q向=/（%）,則下列有關(guān)數(shù)列｛外,｝的敘述正確的是（）

A.%<|4〃2-3%|B.。7，，4C.%o〉lD.Si。。〉26

例3.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）="—1—1,數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為

S",且滿足??+1=/（??）,則下列有關(guān)數(shù)列｛七｝的敘述正確的是（）

A.%>—B.〃6<%C.Si。。<26D.4>14%—3%|

變式L（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛?｝滿足：冊(cè)>0,且

^=3<1-2a?+1（neN*）,下列說(shuō)法正確的是（）

n-\

A.若%,貝II>an+\B.若4=2,則21+

Daaa

C.a1+a5<2a3-[%+2-?+l\--\n+\~?\

變式2.（2024.陜西渭南?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)/（x）=sinx+lnx,將〃尤）的所有極值

點(diǎn)按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列｛%｝,對(duì)于V〃eN+，則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.〃兀＜乙＜（幾+1）兀

C.數(shù)列--但"是遞增數(shù)列D.+兀

變式3.（2024?上海楊浦?高三復(fù)旦附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）無(wú)窮數(shù)列｛%｝滿足：

。＜%＜1,且對(duì)任意的正整數(shù)“，均有e"”"=（3-a,）e"",則下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)列｛4｝為嚴(yán)格減數(shù)列B.存在正整數(shù)"，使得％＜。

，、4

C.數(shù)列｛4｝中存在某一項(xiàng)為最大項(xiàng)D.存在正整數(shù)小使得

題型二：函數(shù)與不等式的綜合

例4.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）關(guān)于X的不等式（犬-1）9"9-29999.尤99996+1,解集為

例5.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（U75年~1250年）以兔子繁

殖數(shù)量為例，引人數(shù)列：11,2,3,5,8,,該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，

即%+2=4+1+%?N*）,故此數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，又稱(chēng)“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為

1+6

設(shè)〃是不等式iOg2[（1+75r-（i-百）”]＞I?+5的正整數(shù)

2

解，則"的最小值為.

例6.（2。24?遼寧?高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃上"+…，若不等式

/(川zx+D+fa”-2*)與對(duì)任意的尤>0恒成立，則實(shí)數(shù)加的最小值為.

變式4.(2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(尤)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，

/(2+x)+/(-x)=0,對(duì)任意",x2e[l,+<?)<x2),均有/(xj-已知a,b

(a*6)為關(guān)于x的方程d-2x+產(chǎn)-3=0的兩個(gè)解，則關(guān)于f的不等式

〃。)+/修)+/⑺>0的解集為()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

題型三：函數(shù)中的創(chuàng)新題

例7.(2024.重慶渝中.高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí))帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨

利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)小，"，函數(shù)Ax)在

元=0處的刖，川階帕德近似定義為：7?(幻=?+產(chǎn)+,且滿足：/(0)=7?(0),

1+4％++bnx

尸(O)=R(O),/〃(0)=H〃(0),/⑴+〃)(0)=鄧"+〃)(0).已知/(x)=ln(%+D在X=0處的

口，1]階帕德近似為R(x)=*.注：

1+bx

小)=[f\x)],f"\x)=[rw]\/(4)w=[:"(切’J⑸a)=卜⑷⑴],

(1)求實(shí)數(shù)。，b的值；

(2)求證：(x+b)/]￡|>l；

(3)求不等式[1+!]<6<[1+]「2的解集，其中e=2.71828.

例8.(2024?上海黃浦?上海市敬業(yè)中學(xué)?？既?定義：如果函數(shù)>=/(力和

y=g(x)的圖像上分別存在點(diǎn)M和N關(guān)于％軸對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)函數(shù)y=/(x)和y=g(x)具有c

關(guān)系.

(1)判斷函數(shù)/(X)=log2(8尤2)和g⑺=logp是否具有C關(guān)系；

(2)若函數(shù)f(x)=小心1和g(x)=-x-l不具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)=和8(力="屈11武相＜0)在區(qū)間(0,兀)上具有C關(guān)系，求實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍.

例9.(2024?重慶.高三統(tǒng)考階段練習(xí))懸索橋(如圖)的外觀大漂亮，懸索的形狀是

CXx\

平面幾何中的懸鏈線.1691年萊布尼茲和伯努利推導(dǎo)出某鏈線的方程為y=；,其

)

中。為參數(shù).當(dāng)時(shí)，該方程就是雙曲余弦函數(shù)cosh(x)=g;，類(lèi)似的我們有雙曲正

弦函數(shù)sinh(x)=e-e.

⑴從下列三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)進(jìn)行證明，并求函數(shù)丁=8$11(2力+511*(%)的最小值;

①[cosh(%)]2-[sinh(%)丁=1.

②sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)；

③cosh(2x)=[cosh(x)]2+[sinh(%)丁.

TC

(2)求證：VxG—%'Icosh(cosx)>sinh(sinx).

變式5.（2024.廣東深圳.高三深圳市南山區(qū)華僑城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）布勞威爾不動(dòng)

點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾，簡(jiǎn)

單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)實(shí)函數(shù)/（X）,存在一個(gè)點(diǎn)七,使得/（飛）=不，那么

我們稱(chēng)該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱(chēng)％為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)新定義：若毛滿足

/（x0）=-x0,則稱(chēng)％為〃尤）的次不動(dòng)點(diǎn).

（1）判斷函數(shù)/■（勾=爐-2是否是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，若是，求出其不動(dòng)點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)

明理由

（2）已知函數(shù)g（x）=；x+l,若。是g（x）的次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值：

（3）若函數(shù)Mx）=log工（4'一62'）在[0』上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b

2

的取值范圍.

題型四：最大值的最小值問(wèn)題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）

例10.（2024?浙江紹興?高三浙江省柯橋中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)

/（x）=|x3-6x2+at+Z?|,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a,b,總存在％e[0,3],使得/小絲心成立,

則當(dāng)初取最大值時(shí)，a+b=（）

A.7B.4C.-4D.-7

4

例11.（2024.湖北.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（尤）=x+--取-6,若對(duì)任意的實(shí)數(shù)

X

a,6,總存在x°e[l,3]使得/（飛）2機(jī)成立，則實(shí)數(shù)小的最大值為（）

8-4A/3

A.-1B.0D.1

-3~

,、4

例12.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)-依，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)。，總存在

使得根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.（-oo,0]B.（-81]C.（-oo,2]D.（-8,3]

Y—2

變式6.（2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=---ax-b,若對(duì)任意的實(shí)數(shù)小

x+2

b,總存在%e[T，2],使得成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（一＜?」B.（一00，!C.|D.

變式7.（2024?高一課時(shí)練習(xí)）己知函數(shù)〃x）=辦+；+）（a,beR）,當(dāng)無(wú)e1,2時(shí)，設(shè)

〃尤）的最大值為M（a,6）,則M（a,6）的最小值為（）

變式8.（2024.江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)/（x）=lnx+：-ar-6（a,beR）,且

2

x0e[l,g],滿足lnx°+2=e-l,當(dāng)尤仁|,x0時(shí)，設(shè)函數(shù)的最大值為M（a,b）,則

”（。力）的最小值為（）

3-ee-2

A.B-ID.

變式9.（2024.上海虹口.高三上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鬭、beR,且對(duì)于

OVxVl時(shí)，不等式卜與L勻成立，則實(shí)數(shù)對(duì)（。3）=

題型五：倍值函數(shù)

例13.（2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?。，若滿足：①〃x）在。內(nèi)是單

調(diào)函數(shù)；②存在［。乃仁。使得“X)在［。㈤上的值域?yàn)?，則稱(chēng)函數(shù)“X)為”成功函

數(shù)”.若函數(shù)〃x)=logJ/+2。(其中相>0,且加wl)是“成功函數(shù)”，則實(shí)數(shù)，的取值

范圍為()

114

A.(0,+oo)B.—co—C.

88,4j

例14.(2024?上海金山?高三上海市金山中學(xué)校考期末)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?。，若存?/p>

閉區(qū)間使得/⑶函數(shù)滿足：(1),⑺在々上是單調(diào)函數(shù)；(2)/(x)在

上的值域是［2。,2可，則稱(chēng)區(qū)間”,々是函數(shù)/⑶的“和諧區(qū)間”，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A.函數(shù)/。)=尤2(x20)存在“和諧區(qū)間

B.函數(shù)/(x)=e*(xeR)不存在“和諧區(qū)間”

4x

C.函數(shù)/(X)=F—(X20)存在“和諧區(qū)間”

,r+1

D.函數(shù)/（尤）=log°⑷一a>0,awl)不存在“和諧區(qū)間

例15.(2024?安徽?高三統(tǒng)考期末)函數(shù)了⑶的定義域?yàn)?。，若存在閉區(qū)間勿U。，使得

函數(shù)Ax)滿足：①A?在團(tuán),句內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②/(x)在［a,切上的值域?yàn)椋?a,2句，則稱(chēng)區(qū)

間團(tuán),勿為y=的“倍值區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有

①/「，=v-(x^O)；②/(x)="(xeR)；

③/(*)=、，(xNO)；④/(x)?k>g.(<jr--X<>>0,a*1)

x*+18

A.①②③④B.①②④C.①③④D.①③

變式10.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)/'(x)的定義域?yàn)?。，?duì)給定的正數(shù)%,若存在

閉區(qū)間上句=。，使得函數(shù)〃尤)滿足：①"力在［a例內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②/⑺在［a肉上

的值域?yàn)椋?,姑］,則稱(chēng)區(qū)間目為>=/(》)的七級(jí)“理想?yún)^(qū)間”.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)=f(xeR)存在1級(jí)“理想?yún)^(qū)間”

B.函數(shù)〃x)=e，(xeR)不存在2級(jí)“理想?yún)^(qū)間

A丫

C.函數(shù)=——(xNO)存在3級(jí)“理想?yún)^(qū)間”

x2+l

(TT兀\

D.函數(shù)〃尤)=tanx,了"-萬(wàn)，5)不存在4級(jí)“理想?yún)^(qū)間”

變式11.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若滿足條件：存在可口。,

使/'(尤)在上的值域?yàn)?則稱(chēng)/(%)為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)/(x)=e*+r為“倍縮函

數(shù)”，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是

l+ln21+ln2

A.—00,--------B.—oo,----------

22

l+ln2l+ln2

C.-------,+00D.-----,+co

22

題型六：函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

例16.(2024?廣西柳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(無(wú))=Je'+(e-l)x-a(aeR,e為自然

對(duì)數(shù)的底數(shù))，若曲線y=sinx上存在點(diǎn)(%,%)使/(%)=%成立，則。的取值范圍是

A.[l,2e—2]B.[ee,l]C.[l,e]D.[ee,2e—2]

,0X+1

例17.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃x)=—+x-a(aeR),若曲線y=是

Xe+1

自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上存在點(diǎn)(X。,%)使得/(/(%))=%,則a的取值范圍是

A.(-oo,0]B.(0,e]C.1一8,：D.[0,+oo)

例18.(2024?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí))若存在一個(gè)實(shí)數(shù)乙使得/(>)=/成立，則稱(chēng)f為函數(shù)

f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).設(shè)函數(shù)g(x)=e'+(l-五)x-a(aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，定義在R

上的連續(xù)函數(shù)“力滿足〃-x)+/a)=x2,且當(dāng)尤40時(shí)，/⑺<乂若存在

x0ejx|/(x)+1>/(l-x)+xj,且%為函數(shù)g(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

()

A-HB.孚C.鼻公D.佟,+：

變式12.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=Je*+x-a(“eR,e為自然對(duì)數(shù)的底

數(shù))，若曲線y=*0sinx+嚕cosx上存在點(diǎn)(%%)使得/(%)=%,則“的取值范圍是

A.[^-,1]B.[―,e+1]C.[Le+1]D.[l,e]

ee

變式13.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=e，+2尤-a(aeR),e為自然對(duì)數(shù)的

底數(shù)，若曲線尸$加上存在點(diǎn)(%,%),使得/(/(%))=%,則。的取值范圍是()

A.[-1+e*,l+e]B.[1,1+e]C.[e,e+1]D.[1,e]

題型七：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

例19.(2024.江蘇蘇州.高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí))將函數(shù)f(x)=ln(x+l)(xK))的圖象繞

坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角0(9G(0,a]),得到曲線C,若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角0,曲線C都

仍然是一個(gè)函數(shù)的圖象，則a的最大值為()

一兀一兀一兀

A.7iB.—C.—D.一

234

例20.(2024?上海長(zhǎng)寧?高三上海市延安中學(xué)?？计谥?設(shè)。是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，/(%)

是定義在。上的函數(shù)，若/(尤)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)g后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)

6

中，/⑴的可能取值只能是()

A.73B.?C.也D.0

23

例21.(2024.全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))雙曲線[-丁=1繞坐標(biāo)原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度可以成為

函數(shù)/(x)的圖象，關(guān)于此函數(shù)/(x)有如下四個(gè)命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為()

①f(x)是奇函數(shù)；

②"）的圖象過(guò)點(diǎn)[曰彳[或[等，-3

@f（x）的值域是（-00，-1'D3'+°°}

④函數(shù)y=/（x）—X有兩個(gè)零點(diǎn).

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

變式14.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）將函數(shù)y=2sin^1xe的圖像繞著原點(diǎn)逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)角a得到曲線T,當(dāng)時(shí)都能使T成為某個(gè)函數(shù)的圖像，則。的最大值是

（）

題型八：函數(shù)的伸縮變換問(wèn)題

例22.（2024.河北唐山?高三開(kāi)灤第二中學(xué)?？计谀┒x域?yàn)镽的函數(shù)/（X）滿足

x2—x,xe(0,1)

/(x+2)=2/(x)-l,當(dāng)xe(O,2]時(shí)，/(%)=1[同?若、?。，41時(shí),

—,XG

J

產(chǎn)尤）＜3一恒成立，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是（

A.[U]B.C.D.

例23.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）定義域?yàn)镽的函數(shù)〃力滿足〃x+2）=2/（x）,當(dāng)

x2-x,xe[0,1)

若當(dāng)xe[*2）時(shí)，不等式/（x）4-機(jī)+g恒成

小,2]時(shí),〃x)=<

,xe[l,2)

立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.[2,3]B.[1,3]

C.[1,4]D.[2,4]

例24.（2024.全國(guó).高三專(zhuān)題練習(xí)）已知定義域?yàn)镠的函數(shù)滿足/（力=2〃]+2）,當(dāng)

-X2+x+l,xG[0,1)

|3|

%?0,2)時(shí),/(x)=<設(shè)“X）在[2n-2,In）上的最大值為??（neN*）則

，工￡口,2)

數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S"的值為（）

。5-(r

變式15.（2024?甘肅?高三西北師大附中階段練習(xí)）定義域?yàn)镽的函數(shù)/（尤）滿足

X2（0,1）

/（x+2）=2/（x）-2,當(dāng)xe（O,2]時(shí)，