高中數(shù)學專項復習：垂直問題的證明（原卷版）

第三篇立體幾何

專題02垂直問題的證明

常見考點

考點一線面垂直的判定

典例1.如圖，在正方體瓦G2中，E,尸分別是棱耳G,左8的中點，求證:

CV平面EAB.

變式1-1.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA=PC,判斷直線

AC與平面是否垂直，并說明理由.

變式1-2.如圖，在VABC中，M為邊的中點，沿AM將折起，使點8

在平面ACM外.在什么條件下直線AM垂直于平面BMC?

變式1-3.如圖，在三棱柱ABC-ABC中，V3CC］為正三角形，AC1BC,

4?1=20，40=相=2，尸為B片的中點，證明：CCJ平面AC/.

A

考點二面面垂直的判定

典例2.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，ZABC=60，如，平面ABCD,

且E,M分別為BC,尸￡＞的中點，點尸為棱PC上一動點，證明：平面A￡F,平面尸AD

變式2-1.如圖，正三棱柱ABC-9G中，AB=4,的=3四，M,N分別是棱AG,

AC的中點，E在側棱上，且AE=2EA,求證：平面MEB_L平面8硒；

B

變式2-2.如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，側面MC，底面ABCD,

求證：平面SCDJ_平面S3C.

變式2-3.已知AB是圓的直徑，出垂直圓所在的平面,C是圓上任一點.求證:平面

A3C_L平面PAC.

考點三線面垂直的性質

典例3.如圖，已知P0,平面ABC,AC=BC,。為AB的中點，求證：AB1PC.

變式3-1.如圖所示，尸是邊長為1的正六邊形ABCDE/所在平面外一點，PA=l,P

在平面ABC內的射影為BF的中點0.證明上4，3戶.

變式3-2.如圖，在三棱錐P-ABC中，CDLAB,垂足為D,尸0,底面ABC,垂足

為O,且。在C。上，求證：AB1PC.

變式3-3.如圖，在空間四邊形PABC中，AC=BC,ZACB=90,AP^BP=AB.求

證：PC1AB

考點四面面垂直的性質

典例4.在三棱錐P-ABC中，。,石分別為464。的中點，且C4=CB.

p

⑴證明：〃平面PDE；

⑵若平面PCD，平面ABC,證明：AB1PC.

變式4-1.如圖，在四棱錐P-A3CO中，PA^PD,底面A8CD是矩形，側面

，底面ABC。，E是A。的中點.

4-----------B

(1)求證：AD〃平面PBC；

(2)求證：PAD

變式4-1.如圖所示，△PDC所在的平面與長方形A8CD所在的平面垂直.

D.

(1)求證：BC〃平面尸/M；

(2)求證：BC±PD.

變式4-2.如圖，P是四邊形A3CD所在平面外的一點，四邊形A3CD是ZZMB=60。的

菱形，PA=PD,平面尸AD垂直于底面A3C￡),G為AD邊的中點.求證:

(1)3G,平面PAD-,

(2)AD.LPB.

鞏固練習

練習一線面垂直的判定

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，陰，平面ABCD,AD±CD,AD//BC,陰=AD=CD=2,

PF1

BC=3.E為PD的中點，點E在PC上，＜—求證：CD,平面出D

2.如圖，在四棱錐P—ASCD中，尸3,平面ABC。，AB1BC,AD//BC,AD=2BC,

點E為棱尸。的中點.

⑴求證：CE〃平面融&

(2)求證：AD_L平面B4B

3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3C。是正方形，PDL平面A3CD.

⑴求證：BC〃平面PAD；

(2)求證：AC_L平面PBD

4.如圖，矩形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADLCD,AJBHCD,

AB=AD=2,CD=4,Af為CE的中點.

(1)求證：3A///平面ADEF；

⑵求證：BC_L平面

練習二面面垂直的判定

5.如圖，在四棱錐尸-ABCD中,四邊形ABCD是菱形，尸A=PC,E為尸3的中點.

⑴求證:P。面AEC；

(2)求證:平面AEC±平面PDB.

6.四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，2kPAD為等腰直角三角形，ZAPD=90°,

面PAD上面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分別為PC和BD的中點.

(1)求證：EF〃面PAD；

(2)求證：面PDCJ_面PAB；

7.如圖，在四棱柱ABCD-ABCQ中，平面瓦，底面MCQ,>ZABC=j.

(1)求證：BC〃平面ABC；

(2)求證：平面A平面A4G.

8.如圖所示，在四棱錐P-ASCD中，AD//BC,AD±AB,面ABCD_L面上45.

求證：(1)AD//平面P3C；

(2)平面平面PAB.

練習三線面垂直的性質

9.P為正方形ABCD所在平面外一點，PA±ffiABCD,AE1PB,求證：AE1PC.

10.如圖，已知在正方體A3CZ)-中，E為4G的中點.求證：CELBD.

11.如圖，在三棱錐S-A5c中，AB=AC,SB=SC.求證：SA±BC.

12.如圖，正方體ABC。-ABCR中，求證4CL8D.

練習四面面垂直的性質

13.如圖，在四棱錐P-A3C。中，底面A8CO是直角梯形，S.AD//BC,ABA.BC,

BC^2AD,已知平面平面ABC。，E,尸分別為BC,PC的中點.

p

求證：(1)ABH平面QEV;

(2)BC_L平面QE尸.

14.如圖，矩形ABC。所在平面與半圓弧CO所在平面垂直，”是半圓弧上異于C,

。的點.

/M

Z

J*

HB

(1)證明：直線平面BMC；

(2)在線段AM上是否存在點尸，使得MC//平面P8D?說明理由.

15.如圖，在四棱錐P—A8CD中，AB//CD,AB±AD,CD=2AB,平面出。，底

ffiABCD,PALAD,E和歹分別是CO和PC的中點.求證：

p

(1)出