高中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：二項(xiàng)式定理（原卷版）

專題44二項(xiàng)式定理

【題型歸納目錄】

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)

題型六：求幾個(gè)二(多)項(xiàng)式的和(積)的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題

題型十二：近似計(jì)算問題

題型十三：證明組合恒等式

題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和

題型十五：楊輝三角

【考點(diǎn)預(yù)測】

知識(shí)點(diǎn)1、二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)問題

(1)二項(xiàng)式定理

一般地，對(duì)于任意正整數(shù)"，都有：

(a+by'=C°a"+cy-^b+.■.+C；,a"-rbr+…+C：b"(neN*),

這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a+6)"的二項(xiàng)展開式.

式中的做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用4包表示，即通項(xiàng)為展開式的第廠+1項(xiàng)：

&=C：-

其中的系數(shù)C；(尸0,1,2,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)，

(2)二項(xiàng)式(a+b)"的展開式的特點(diǎn)：

①項(xiàng)數(shù)：共有〃+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；

②二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C：,最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；

③次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的幕指數(shù)字母。降幕排列，次數(shù)由〃到0；字母6

升幕排列，次

數(shù)從。到??，每一項(xiàng)中，a,6次數(shù)和均為〃;

④項(xiàng)的系數(shù)：二項(xiàng)式系數(shù)依次是c；,c：,c；,…，c：,…，a,項(xiàng)的系數(shù)是。與人的系數(shù)

(包括二項(xiàng)式系

數(shù)).

(3)兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：

①(a-b)n=C°a"-C：a"Tb+…+(-iy.C：a?E+…+(-1)"?C?"(〃eN*)

?(\+x)"=l+C>+C；x2+...+CX+...+x,1

(4)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

nrr

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：Tr+l=C；a-b(r=0,1,2,3,

公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是C；;

②字母6的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；

③a與人的次數(shù)之和為w.

注意:①二項(xiàng)式(a+初”的二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)和(b+a)"的二項(xiàng)展開式的第

r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的。和6是不能隨便交換位置的.

②通項(xiàng)是針對(duì)在(。+6,這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(。-6廠的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是

=(-l)'C；ai〃(只需把-6看成6代入二項(xiàng)式定理).

2、二項(xiàng)式展開式中的最值問題

(1)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①每一行兩端都是1,即C：=C:;其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即

_c"—1_|_c"

②對(duì)稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即q=c;-m.

③二項(xiàng)式系數(shù)和令a=b=l,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為c：+c：+c：+…+C：+…+C：=2",

變形式C：+C；+…+C：+…+C：=2:1.

④奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令

a=1,b=—1r

則c；V+c；_《+???+(-i)"c^=(i-iy=o,

從而得到：C°+C；+C：…+C；，+…=C：+C；+…+優(yōu)1+…=g.2"=2"-'.

⑤最大值：

如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)〃是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)(的二項(xiàng)式系數(shù)存最大；

-4-1

2

n—1n+1

如果二項(xiàng)式的累指數(shù)W是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)T?+I的二項(xiàng)式系數(shù)C7,C廣相

————+1

等且最大.

(2)系數(shù)的最大項(xiàng)

求(°+桁)"展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為

A，A，-，4M，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有,從而解出r來.

知識(shí)點(diǎn)3、二項(xiàng)式展開式中系數(shù)和有關(guān)問題

常用賦值舉例：

(1)設(shè)(a+b)”=C^a"+C\an-{b+Cja*。甘+…+C[a"-rbr+.??+C?",

二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式，即對(duì)a,b的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要

靈活選取a,6的值.

①令。=6=1,可得：2"=C；+C：+...+C；

②令a=l,b=l,可得：O=《-C；+C；-C；…+(-1)"6，即：

。：+亡+~+0。；+屐+—+。丁(假設(shè)〃為偶數(shù))，再結(jié)合①可得：

C；+C+…+C=C；+C；+…+C『=2"、

(2)石'f(x)=a?x"+'+a”_2尤”~+?,,++a°，則

①常數(shù)項(xiàng)：令尤=0,得4=/(0).

②各項(xiàng)系數(shù)和：令x=l,得/(1)=4+4+%+…+a“_]+a”.

③奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和

(力當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為%+%+%+-='⑴？(T);

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為0+%+生+…=.⑴/T).

(可簡記為：〃為偶數(shù)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配)

(〃)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為4+%+%+-=；

偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為q+4+%+-=/⑴?'(T).

(可簡記為：〃為奇數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和用“中點(diǎn)公式”，奇偶交錯(cuò)搭配)

2

若/(%)=%+乎1+a2x4----F+anx",同理可得.

注意：常見的賦值為令x=0,x=l或彳=-1,然后通過加減運(yùn)算即可得到相應(yīng)的結(jié)果.

【典例例題】

題型一：求二項(xiàng)展開式中的參數(shù)

例1.(2022.湖南.模擬預(yù)測)已知心+4]的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-160,則實(shí)數(shù)。=()

A.2B.-2C.8D.-8

[ox-展開式中的常數(shù)項(xiàng)為一160,則。=（）

例2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）|

A.-1B.1C.±1D.2

Z、5

例3.（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知二項(xiàng)式卜2+3的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為40,貝小

（）

A.2B.-2C.2或-2D.4

例4.（2022?湖北?高三階段練習(xí)）若（2x+l）〃的展開式中/項(xiàng)的系數(shù)為160,則正整數(shù)〃的值

為（）

A.4B.5C.6D.7

例5.（2022?四川?樂山市教育科學(xué)研究所三模（理））（機(jī)—4展開式中/的系數(shù)為_20,則

rrr=（）

A.2B.1C.3D.72

【方法技巧與總結(jié)】

在形如（依的展開式中求的系數(shù)，關(guān)鍵是利用通項(xiàng)求r,則一竺士.

m-n

題型二：求二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)

例6.（2022?全國?高三階段練習(xí)（理））+展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.160B.120C.90D.60

例7.（2022?浙江?慈溪中學(xué)高三開學(xué)考試）（2苫-白]的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.-60B.60C.64D.120

例8.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））二項(xiàng)式（weN*）的展開式中含有常數(shù)項(xiàng),

7

則”的最小值等于（）

A.2B.3C.4D.5

例9.（2022?全國?模擬預(yù)測）二項(xiàng)式［五一七）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）

A.210B.-210C.252D.-252

【方法技巧與總結(jié)】

寫出通項(xiàng)，令指數(shù)為零，確定廠，代入.

題型三：求二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)

例10.（2022.全國.高三專題練習(xí)）在二項(xiàng)式（應(yīng)+x）”的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的

個(gè)數(shù)是.

例11.（2022?湖南?長郡中學(xué)模擬預(yù)測）已知（6-x）”展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展

開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.

例12.（2022?湖南長沙?模擬預(yù)測）已知（次+而）”（"。*”〃412）的展開式中有且僅有

兩項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)，試寫出符合題意的一個(gè)〃的值_____.

例13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（&x+次P00的展開式中系數(shù)為有理數(shù)項(xiàng)的共有

項(xiàng).

例14.（2022?上海?格致中學(xué)高三階段練習(xí)）在（虛-出廠的展開式中有一項(xiàng)為有理數(shù).

【方法技巧與總結(jié)】

先寫出通項(xiàng)，再根據(jù)數(shù)的整除性確定有理項(xiàng).

題型四：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)系數(shù)

例15.（2022?北京海淀?一模）在（6-4的展開式中，爐的系數(shù)為（）

A.-1B.1C.-4D.4

例16.（2022?云南?高三階段練習(xí)（理））在-的二項(xiàng)展開式中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

是（）

A.20B.-20C.15D.-15

例17.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若（x-2y）"的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相

等，貝獷=（）.

A.9B.10C.11D.12

例18.（2022?甘肅?武威第八中學(xué)高三階段練習(xí)）在的展開式中，x的系數(shù)為（）

A.-10B.-5C.5D.10

【方法技巧與總結(jié)】

寫出通項(xiàng)，確定廠，代入.

題型五：求三項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)

例19.（2022?廣東?高三階段練習(xí)）（3尤2+2x+l）’°的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為.

例20.（2022?廣東?仲元中學(xué)高三階段練習(xí)）（Y+x+y）5的展開式中，丁產(chǎn)的系數(shù)為.

例21.（2022?山西大附中高三階段練習(xí)（理））（一+^-的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.

例22.（2022.廣東?廣州市慶豐實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）（2尤+二-1,的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

尤

.（用數(shù)字填寫正確答案）

例23.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（玉+%+工3+尤4尸的展開式合并前的項(xiàng)數(shù)為（）

A.C；B.《C.D.415

例24.（2022?河北邢臺(tái)?高三期末（理））（*+'-'-工）4的展開式的常數(shù)項(xiàng)為

xy

A.36B.-36C.48D.-48

例25.（2022?四川綿陽?三模（理））在的展開式中，Y項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-50B.-30C.30D.50

例26.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（x+y-2z）5的展開式中，的系數(shù)是（）

A.120B.-120C.60D.30

【方法技巧與總結(jié)】

三項(xiàng)式(a+b+c)"(〃￡N)的展開式：

(a+b+c)n=[(〃+6)+c]〃=?.?+C；(a+b)”"+?.?

=?.?+C：(???+Q_〃〃一…9+???,+???

若令〃-r-q=p,便得到三項(xiàng)式(a+b+c)"(〃￡N)展開式通項(xiàng)公

式：

pqr

C^_rabc(p,q,reN,p+q+r=ii),

其中c；c?=----------5一二=」^叫三項(xiàng)式系數(shù).

rl(n-r)!q\(n—r—q)\p\q\r\

題型六：求幾個(gè)二(多)項(xiàng)式的和(積)的展開式中條件項(xiàng)系數(shù)

例27.(2022?江蘇江蘇?高三階段練習(xí))的展開式中Jy2的系數(shù)為()

A.6B.-9C.-6D.9

例28.(2022?四川.高三開學(xué)考試(理))(x心1乂2龍一句的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(

A.240B.-240C.400D.80

“一：卜+2)6

例29.(2022?云南師大附中高三階段練習(xí))的展開式中d的系數(shù)為(

A.160B.-160C.148D.-148

例30.(2022?新疆克拉瑪依?三模(理))已知(元+'丫尤-工]的展開式中常數(shù)項(xiàng)為40,則機(jī)=

1%八X)

()

A.-3B.3

cD.--

-13

例31.(2022?江蘇南京?三模)(1+x)4(l+2y)a(aGN*)的展開式中，記加項(xiàng)的系

數(shù)為于(m,n).若/(0,1)+/(1,0)=8,則a的值為()

A.0B.1C.2D.3

例32.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在",）卜一的展開式中，含xV的項(xiàng)的系數(shù)是

（）

A.10B.12C.15D.20

【方法技巧與總結(jié)】

分配系數(shù)法

題型七：求二項(xiàng)式系數(shù)最值

例33.（2022?全國?高三專題練習(xí)）在（x+1）"（〃eN*）的展開式中，若第5項(xiàng)為二項(xiàng)式系

數(shù)最大的項(xiàng)，則〃的值不可能是（）

A.7B.8C.9D.10

例34.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（1+2x）7展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（）

A.280x3B.560/C.280x3560x4D.672/和560/

例35.（2022?湖南?高三階段練習(xí)）設(shè)機(jī)為正整數(shù)，（x+y＞加的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大

值為。，（x+y）”用的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為6.若15。=助，則機(jī)的值為（）

A.5B.6C.7D.8

例36.（2022?全國?高三專題練習(xí)）的展開式中x的系數(shù)等于其二項(xiàng)式系數(shù)的最大

值，則a的值為（）

A.2B.3C.4D.-2

例37.（2022?安徽.高三階段練習(xí)（理））在（6-gx）"的展開式中，只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)最大，則展開式中爐的系數(shù)為（）

【方法技巧與總結(jié)】

利用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)中的最大值求解即可.

題型八：求項(xiàng)的系數(shù)最值

例38.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知（1-3x）”的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64,則該展開式

中系數(shù)最大的項(xiàng)為.

例39.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）（x-l）9的展開式中系數(shù)最小項(xiàng)為第項(xiàng).

例40.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若（五+2）〃展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163,則展開

式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.

例41.（2022?江蘇?姜堰中學(xué)高三階段練習(xí)）（〃eN*）展開式中只有第6項(xiàng)系數(shù)

最大，則其常數(shù)項(xiàng)為.

例42.（2022.上海?高三開學(xué)考試）假如（x-g］的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)是-84,則

fx--T二項(xiàng)展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)是.

【方法技巧與總結(jié)】

有兩種類型問題，一是找是否與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)，如有關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)最值

注意：系數(shù)比較大小.

問題；如無關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為解不等式組:Eh,

題型九：求二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和、各項(xiàng)系數(shù)和

例43.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若（1-彳）7=旬+%X+電龍2+…+的/，則

同+同+同4-----=.（用數(shù)字作答）

2

例44.（2022?廣東?高三階段練習(xí)）已知（2+x）"=%+qx+o2x+…+a.x”,若

%+%+%+…+%=81,則自然數(shù)〃等于.

例45.（2022?廣東?廣州大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若（x+?（2x-y+a）5的展開式

中各項(xiàng)系數(shù)的和為256,則該展開式中含字母x且x的次數(shù)為1的項(xiàng)的系數(shù)為.

IJ2ai

例46.（2022,全國-W三專題練習(xí)）設(shè)（1-ox）=aQ+a}x+a2xH------Fa2W,0^°,若

〃1+2%+3。3-1----F2O2O〃2（）2O=2020〃貝非零實(shí)數(shù)〃的值為（）

A.2B.0C.1D.-1

例47.(2022?全國,(W1二專題練習(xí))已知(1+尤)2°21=、0+%尤+〃2%2+〃3%3+…+42021%2021,則

“2020+2“2019+3“2018+^^2017+,,,+2°2°〃]+2021"?！?)

A.2021x22021B.2021x22020

C.2020x22021D.2020x22020

例48.(多選題)(2022?全國?高三專題練習(xí))若

220222022

(l+x)+(l+x)H-----F(1+x)=a0+a1xH-----Fa2022x,貝!J()

A.4=2022B.a2=Cf023

20222022

C.E(-l)”=-lD.￡(-1)皿=1

i=li=l

例49.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)(2*Ll)2°°=%+%x+a2x2+…+股00鏟°，求

(1)展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)的和；

(2)同+同T---卜1aMO|的值.

例50.(2022?全國?高三專題練習(xí))在①只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；②第4項(xiàng)與第6項(xiàng)

的二項(xiàng)式系數(shù)相等；③奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為128；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下

面(橫線處)問題中，解決下面兩個(gè)問題.

已知(2x-l)"=4+%了+。21—Fanx"("GN*),

⑴求…+會(huì)的值：

(2)求q+2a2+34—1~〃〃〃的值.

例51.(2022?全國?高三專題練習(xí))(1-2彳產(chǎn)2=4+平+°2/+-+。2022-"(彳€1<)?求：

(1)〃0+%+。2+???+〃2022；

(2)%+“3+”5…+”2021；

(3)|%|+同+|%|+…+|%022|；

(4)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和以及偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;

(5)求展開式二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？

(6)%+2a2+3a3+,?,+2022。2()22?

例52.(2022?全國?[Wj二專題練習(xí))已知(1—3x)8=%++…

(1)求4+。2T-----卜〃8；

(2)求。2+。4+。6+。8.

【方法技巧與總結(jié)】

二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)和：2〃；奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和相等：2〃T.

系數(shù)和：賦值法，二項(xiàng)展開式的系數(shù)表示式：(OX+。)"=%++...+%尤〃

(%%,a〃是系數(shù))，令％=1,得系數(shù)和:%+q+...+=(a+b)".

題型十：求奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

例53.(2022?浙江?模擬預(yù)測)已知多項(xiàng)式(公一3%+2)4=%+。山+〃2)2+…，則

Q]+%++〃7=，〃]=.

例54.(2022?全國?模擬預(yù)測)若(1+村-依(l+x)9的展開式中，所有無的偶數(shù)次事項(xiàng)的系

數(shù)和為64,則正實(shí)數(shù)a的值為.

例55.(2022?內(nèi)蒙古?海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知

(2+%)2〃=%+%(1_+%)+%(1+%)2+...+〃2〃(1+%)2"9若生+“4+“6+…+〃2〃-2+"2〃=2”—1,則幾=

例56.(2022.湖北武漢.模擬預(yù)測)在(〃+x)(l+x)5展開式中，x的所有奇數(shù)次幕項(xiàng)的系數(shù)之

和為20,貝！JQ=.

IJ9

例57.(2022?全國?W二專題練習(xí))若(兀+2+m)9=4+%(%+1)+。2(%+1)?H-----a9(x+1),

且（4+生^---1■氏）—（q+/H----->■為）=39f則實(shí)數(shù)加的值可以為（）

A.1或一3B.-1C.一1或3D.-3

例58.（2022.江蘇南通.高三開學(xué)考試）在，-京，的二項(xiàng)展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為（）

A.-365B.-364C.364D.365

例59.（2022?全國高三專題練習(xí)）若（2x-球=%■/+cy?+出/++旬，則。0+g+。4=

（）

A.40B.41C.-40D.-41

【方法技巧與總結(jié)】

n2

（ax+b）=a0+axx+a7x+...+anx",令x=l得系數(shù)和：%+q+...+%=（。+6）”①；

令龍=-1得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和減去偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和：

%—q+a,—q…=（g+%+…）—（ai+/+…）②，聯(lián)H①②可求得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和

與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.

題型十一：整數(shù)和余數(shù)問題

例60.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知5=23。+229喧+228瑪+--+2（4。，則S除以10所

得的余數(shù)是（）

A.2B.3C.6D.8

例61.（2022?河南?南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知742°22+。能夠被15整除，則。的一

個(gè)可能取值是（）

A.1B.2C.0D.-1

例62.（2022?陜西?西安中學(xué)一模（理））設(shè)aeZ,且0Va<13,若5儼。22能被13整除，

則。=（）

A.0B.1C.11D.12

23

例63.（2022?全國?高三專題練習(xí)）1-80C：。+80C*-80801a+…+（-1）鋁0&黨+???+801℃；°除

以78的余數(shù)是（）

A.-1B.1C.-87D.87

例64.（2022.全國?高三專題練習(xí)（文））中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對(duì)同余除

法有較深的研究.設(shè)a,b,〃?（加＞。）為整數(shù)，若a和b被根除得的余數(shù)相同，貝U稱。和6

220

對(duì)模相同余，記為a三司（mod%）.^a=C°0+C20-2+C10-2+---+-2,a=￡?（modlO）,

則6的值可以是（）

A.2022B.2021C.2020D.2019

題型十二：近似計(jì)算問題

例65.（2022?山西?應(yīng)縣一中高三開學(xué)考試（理））（1.05）6的計(jì)算結(jié)果精確到0.01的近似值是

例66.（2022?山東?高三階段練習(xí)）某同學(xué)在一個(gè)物理問題計(jì)算過程中遇到了對(duì)數(shù)據(jù)0.981°的

處理，經(jīng)過思考，他決定采用精確到0.01的近似值，則這個(gè)近似值是.

例67.（2022?全國?高三專題練習(xí)）1.957的計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位的近似值為

A.106B.107C.108D.109

題型十三：證明組合恒等式

例68.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）（1）閱讀以下案例，利用此案例的想法化簡

c；c：+c；c：+c；c；+c；c；.

案例：考查恒等式（1+尤）5=（1+尤）2（尤+1）3左右兩邊"的系數(shù).

因?yàn)橛疫叄?+無）2（尤+1）3=（C+C尤+）（Cfx3++C；）,

所以，右邊尤2的系數(shù)為C；c；+c；c；+c；c；,

而左邊X?的系數(shù)為C；,

所以c；c；+c；c；+c；c；=c；.

⑵求證：l（r+1）2（C：）2-=（〃+1）4.

r=0

例69.（多選題）（2022.江蘇.海安市曲塘中學(xué)高三期末）下列關(guān)系式成立的是（）

A.C：+2C；+22C：+23C；+…+2〃C：=3〃

B.2cM+Q+2%+%+…+C機(jī)+2比=3-22/

C.C\-12+Cl-22+Cl-32+...+C：n2=n-2/r7

D.(C)2+(c：)2+(C)2+...+(C：)2=C除

例70.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)weN*,下列恒等式正確的為（）

A.C；+C：+…+C：=2"T

B.1C：+2C；+…+wC：=w-2"T

C.fC：+22戲+...+/2c=7@+1）2"-2

D.Tc；+23Q+…+%3c=（4〃—3）2”T

題型十四：二項(xiàng)式定理與數(shù)列求和

例7L（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界近一

世紀(jì)的“巴賽爾級(jí)數(shù)”難題.當(dāng)"eN*時(shí)，-^―=j"

(-1廣/1

又根據(jù)泰勒展開式可以得至"…**…+

根據(jù)以上兩式可求得

(2?-1)!

1111

--------1-----r???H----

I22232iv

D.

0T4

例72.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，％=1,公比q是1+AJ的

展開式的第二項(xiàng)（按x的降幕排列）.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)％與前”項(xiàng)和S,,；

⑵若4=C5+c況+…+c;：s“，求4.

(4〃+6)a+4/1+10

例73.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足4=a,a,n(neN*).

%+i2n+l

⑴試判斷數(shù)列《弋｝是否為等比數(shù)列？若不是，請(qǐng)說明理由；若是，試求出通項(xiàng)4

2幾十1

⑵如果”1時(shí)，數(shù)列&｝的前〃項(xiàng)和為S“試求出％并證明…+

題型十五：楊輝三角

例74.（2022?山東?高三開學(xué)考試）楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.某

校數(shù)學(xué)興趣小組模仿楊輝三角制作了如下數(shù)表.

123456...

35791113...

81216202428...

該數(shù)表的第一行是數(shù)列{〃},從第二行起每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和，則這個(gè)數(shù)表

中第4行的第5個(gè)數(shù)為,各行的第一個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列1,3,8,…，則該數(shù)列的前

n項(xiàng)和S”=.

例75.（2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)模擬預(yù)測）“楊輝三角”是我國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就,

是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.如圖所示，第〃（“eN*,”22）行的數(shù)字之和為

，去除所有1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…，則此

數(shù)列的前28項(xiàng)和為.

例76.（2022?安徽?合肥市第五中學(xué)模擬預(yù)測（理））楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)

家.他在《詳解九章算法》一書中，畫了一個(gè)由二項(xiàng)式（a+6）"（〃=l,2,3,…）展開式的系數(shù)

構(gòu)成的三角形數(shù)陣，稱作“開方作法本源”，這就是著名的“楊輝三角”.在“楊輝三角”中，從

第2行開始，除1以外，其他每一個(gè)數(shù)值都是它上面的兩個(gè)數(shù)值之和，每一行第

左化ZeN*）個(gè)數(shù)組成的數(shù)列稱為第％斜列.該三角形數(shù)陣前5行如圖所示，則該三角形

數(shù)陣前2022行第七斜列與第Z+1斜列各項(xiàng)之和最大時(shí)，%的值為（）

第1行I1

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

A.1009B.1010C.1011D.1012

例77.（多選題）（2022?全國?高三專題練習(xí)）在1261年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳

解九章算法》中提出了如圖所示的三角形數(shù)表，這就是著名的“楊輝三角”，它是二項(xiàng)式系數(shù)

在三角形中的一種幾何排列.從第1行開始，第w行從左至右的數(shù)字之和記為知,如：

%=1+1=2,%=1+2+1=4,的前”項(xiàng)和記為，依次去掉每一行中所有的1構(gòu)成的

新數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,記為￡,圾｝的前〃項(xiàng)和記為4，則下列

說法正確的有（）

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

A.S9=1022B.的前〃項(xiàng)和為1一一二C.公=66

an+I-l

D.T56=4084

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2022?江蘇?金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）（尤-y）（x+y）8的展開式中的系數(shù)為（）

A.28B.-28C.56D.-56

2.（2022?福建師大附中高三階段練習(xí)）在（2+x-/丫的展開式中，含X，的項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-120B.-40C.-30D.200

‘工-4Tl的展開式中，

3.（2022?福建泉州?模擬預(yù)測）|/的系數(shù)等于（）

、%)

A.-45B.-10C.10D.45

6

4.(2022?湖南益陽?模擬預(yù)測)若(l+2x)(l—2x)5=4+4》+%彳~H----\-a6x,xeR,則出的

值為（）

A.-20B.20C.40D.60

5.（2022?湖南?高三開學(xué)考試）已知卜2+。）卜一￡|的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-3,則該展

開式中x的系數(shù)為（）

A.0B.-120C.120D.-160

6.(2022?北樂房山?|Wl二開學(xué)考試)若(2%—1)4=+%%+〃0,則％=()

A.6B.24C.-6D.-24

7.(2022?江蘇省泰興中學(xué)高三階段練習(xí))設(shè)〃￡N*,

nnn

x=a0+al(x-1)+...+an(x-l)=b0+(x-2)+.??+bn(x-2),貝!J()

A.%—%+A—q+…+—a”=3”—2〃

bbb

B.~+-----\--=2(4+%H-----b)

44%

八、

C.------1---------1----1--a1=----/-(tz+6ZjH-----

2