高中數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：幾何概型（解析版）

專題9幾何概型

例1.某人向直角邊長(zhǎng)分別為6和8的一個(gè)直角三角形中投擲一個(gè)點(diǎn)，求此點(diǎn)落在此直角三角形內(nèi)切圓的內(nèi)

部的概率是（）

A兀71

A.—D.

2B-77

【解析】解：由勾股定理可得斜邊長(zhǎng)為，62+82=10,

設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為一，

則由等面積法，可得,（8+6+10）r=1x8x6,貝！Jr=2.

22

1

S——x8x6—24,S圓=?x29=47r.

.?.往該直角三角形中隨機(jī)投擲一個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)落在此三角形內(nèi)切圓內(nèi)的概率為"=工.

246

故選：C.

例2.某游樂(lè)場(chǎng)制作了如圖所示的游戲盤，其中AABC為等腰三角形，A=3，O為3C的中點(diǎn)，分別

3

以A,O為圓心，AB,30為半徑畫弧，交于另一點(diǎn)C.向游戲盤內(nèi)投飛鏢（不考慮投不中的情況），

則飛鏢落入陰影部分的概率為（）

5%+648"+6/36+乃乃+6省

6（%+石）9兀+6#:6（TT+A/3）9"+6A/J

【解析】解：設(shè)AB=2,則30=石，S扇形4方二3/萬(wàn)x2?=與，

以3C為直徑的半圓的面積5=工］（省了:四，

22

舟\=日

故陰影部分的面積為物+&-也=?+&,

236

雪6

乃+6百

故所求概率-----

物+G9萬(wàn)+6代

2

故選：D.

例3.為了估計(jì)無(wú)理數(shù)e的值，采用如下做法:在直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)>的圖象，在x軸上分別取A(l,0),

8(e,0)兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交函數(shù)>=工的圖象于點(diǎn)。，再過(guò)點(diǎn)。作y軸的垂線，與過(guò)點(diǎn)3垂直于x

軸的直線交于點(diǎn)C.然后隨機(jī)地向矩形ABQ內(nèi)投入“粒豆子，若落在曲線丫=!上方有以“〉汕粒豆子,

則無(wú)理數(shù)e的估計(jì)值為(

m-n

m-nn—m

【解析】解：如圖示:

OABX

矩形ABCD的面積S=(e-l)xl=e-l,

11

矩形ABCD內(nèi)曲線y=—的Pe圖象下方的面積9=[-dx=lnx\l=lne-lnl=l,

xx

貝E=」_=匕竺，

Se—1n

n—m

故選：C.

例4.如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,5),函數(shù)八元)=’,若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則

此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()

,1Iriiln310一蛆

A.I------C.I-------D.

IO210

【解析】解：由已知得陰影部分的面積5=10-『!公=10-歷3,

J1X

故此點(diǎn)取自陰影部分的概率為：電二磅=1_蛆

1010

故選：A.

例5.《定理匯編》是一本十分重要的書籍，其中有一些定理是關(guān)于鞋匠刀形的，即由在同一直線上的三個(gè)

半圓圓O,圓。一圓圍成的圖形被阿基米德稱為鞋匠刀形，其半徑分別為R，口以4>4），如圖所示,

在大半圓O內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自陰影部分的概率為1，則二的值為（）

3r2

D.2+73

g萬(wàn)(R*2~r\_々2)

1

【解析】解：由題意得:

-7TR23,

2

彳+4=R

故2助-2r_1的4_1r2-1

故

故選：D.

例6.《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，《易經(jīng)》的博大精深對(duì)今天的幾何學(xué)

和其他學(xué)科仍有深刻的影響.如圖就是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形-八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間

的圓代表陰陽(yáng)太極圖，圖中八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為8根，代表陰陽(yáng)太

極圖的圓的半徑為2m,在正八邊形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）

R(Qi)萬(wàn)(夜-D(丁+1)乃

D.-------------c

64128128

【解析】解：由圖象得，正八邊形分割成8個(gè)全等的等腰三角形,

頂角為幽=45。，設(shè)等腰三角形的腰為

8

a8135°

由正弦定理可得，解得:a—8,\/2sin------,

sin”sin45°2

2

2l-cosl35°

故三角形的面積5=工（8夜sin—）sin45。=32應(yīng)?=16(夜+1),

222

-TTX22

(6-1)兀

故此點(diǎn)取自黑色部分的概率是2

8x16(72+1)64

故選：B.

例7.如圖是數(shù)學(xué)界研究的弓月形的一種，AC,CD,是以AB為直徑的圓的內(nèi)接正六邊形的三條鄰邊,

四個(gè)半圓的直徑分別是AC,CD,DB,在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（

6上一兀6乖1+兀2月6石-2?

A.B.C.D.

6g+37r6a+37r2坦+兀6有+3?

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)AB=4r,貝IJAC=CD=BD=2r,

則整個(gè)圖形的面積5=3x（』仃2）+［（2r+4r）xJlr3萬(wàn)+6百’,

222

陰影部分的面積S，=S-C）2=3萬(wàn)+6、r2_2產(chǎn)=述二生產(chǎn)，

222

故在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率p=-="一”;

S6v3+3乃

故選：A.

例8.歐幾里得是希臘論證幾何學(xué)的集大成者，在其所著的《幾何原本》中命題/.47：在直角三角形中以斜

邊為邊的正方形面積等于以兩直角邊為邊的正方形面積之和（兩直角邊的平方和等于斜邊的平方），這其實(shí)

就是大家熟知的勾股定理，如圖是《幾何原本》中證明的圖示，在RtAABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

若在四邊形ABDL中任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在四邊形BDLM中的概率是（）

ioQ

【解析】解：由題意得：AM=—,BM=~,

55

,,廠1237

故AL—5H——，

55

y37、9

（5+■—）x-

故四邊形ABDL的面積W=——、—=—，

1225

Q

四邊形的面積S2=5x1=9,

設(shè)該點(diǎn)落在四邊形BDML中為事件A,

925

則「（A"棗=五，

25

故選：D.

例9.已知正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)。，則點(diǎn)。取自

AABE內(nèi)部的概率為()

2

D.

3

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,

則正方形的面積為1,AABE的面積為，xlxl=L,

22

.?.在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)0,則點(diǎn)。取自A4BE內(nèi)部的概率尸=：=g,

故選：C.

例10.《周髀算經(jīng)》中提出了“方屬地，圓屬天”，也就是人們常說(shuō)的“天圓地方”.我國(guó)古代銅錢的鑄造也

蘊(yùn)含了這種“外圓內(nèi)方”“天地合一”的哲學(xué)思想.現(xiàn)將銅錢抽象成如圖所示的圖形，其中圓的半徑為廣，

正方形的邊長(zhǎng)為。(0＜。＜廠)，若在圓內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，得到點(diǎn)取自陰影部分的概率是°,則圓周率萬(wàn)的值為(

)

(1-p)r2(1+p)/(1-p)r(1+p)r

【解析】解：圓形錢幣的半徑為小相，面積為S圓=??/；

正方形邊長(zhǎng)為acm,面積為S正方形=".

在圓形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

S圓一S正方形二1一二

S圓"一

則71=

(1—P)/

故選：A.

例1L在區(qū)間已奉上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)、’則事件3發(fā)生的概率為（）

A-iB-1CID-1

【解析】解：在區(qū)間唱亨上，由3小得-科冗

~6

71

則對(duì)應(yīng)的概率尸=￡2)_2

71%3

(一5)

2

故選：c.

例12.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍

成的幾何體為“牟合方蓋”（如圖），劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與“牟合方蓋”的體積之比

應(yīng)為萬(wàn):4.在某一球內(nèi)任意取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自球的一個(gè)內(nèi)接正方體的“牟合方蓋”的概率為（）

「4上

B.-Vz.--------------D.—

239?9

【解析】解：設(shè)球的直徑為耳，則球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為“，正方體的內(nèi)切球的半徑廠=0

2

4a3%接球_兀

正方體的內(nèi)切球的體積/接球=-71-又由己知

T713_3

格Z方蓋_4丁薩=鏟'

.?.此點(diǎn)取自球的內(nèi)接正方體的“牟合方蓋”的概率為3

971'

故選：C.

例13.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，趙爽為《周碑算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱

“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的）.類

比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成

的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)￡F=鉆=2,若在大等邊三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形內(nèi)的概

率是（）

c.I

37

【解析】解：顯然小三角形面積%EF=gxE產(chǎn)sin6（r=乎xE產(chǎn)

M5D中，AB2=(2+2)2+22-2X(2+2)X2XCOS120°=28,

2

SzMvinzjrL=~2AB~sin60°=—4xAB，

SFF241

所以所求概率為P=2=3=2=L,

S鐘?AB287

故選：D.

例14.《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有勾八步，股一~F五步,問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已

知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為8步和15步，問(wèn)其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨

機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率是（）

3兀3萬(wàn)

A.D.-------

To20

【解析】解：直角三角形的斜邊長(zhǎng)為J82+152=17,

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為丁，則8—r+15—廠=17,解得

r=3.

/.內(nèi)切圓的面積為萬(wàn)戶=9兀,

9元37r

.??豆子落在內(nèi)切圓內(nèi)部的概率尸=I=三

1°20

—x8xl5

2

故選：B.

例15.關(guān)于圓周率萬(wàn)，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其

啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)萬(wàn)的值：先請(qǐng)100名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)x,y都小于1

的正實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)加；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)加估

計(jì)萬(wàn)的值，假如某次統(tǒng)計(jì)結(jié)果是根=28,那么本次實(shí)驗(yàn)可以估計(jì)萬(wàn)的值為()

A.烏B?義C.吏D.史

7152517

【解析】解：?.?符合條件的變量需滿足是個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形；

[0<y<1

x+y>l

而滿足構(gòu)成鈍角三角形，則需

x2+y2-l<0,

n1

弓形面積：—

100~4~2

78

71=一

25

例16.圓周率是圓的周長(zhǎng)與直徑的比值，一般用希臘字母乃表示.早在公元480年左右，南北朝時(shí)期的數(shù)

學(xué)家祖沖之就得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的結(jié)果，他是世界上第一個(gè)把圓周率的數(shù)值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后第7位

的人，這比歐洲早了約1000年.生活中，我們也可以通過(guò)如下隨機(jī)模擬試驗(yàn)來(lái)估計(jì)萬(wàn)的值：在區(qū)間(0,1)內(nèi)

隨機(jī)取2加個(gè)數(shù)，構(gòu)成加個(gè)數(shù)對(duì)(x,y),設(shè)x,y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x,y)有〃對(duì)，則通過(guò)隨

機(jī)模擬的方法得到的萬(wàn)的近似值為（）

Am+2n—m+2n2m+4nDm+2n

A.--------B.---------C.

mnmIn

【解析】解：依題意

[0<y<1

試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成以1為邊長(zhǎng)的正方形，其面積為1,

X,y能與1構(gòu)成鈍角三角形時(shí)，

由余弦定理及三角形知識(shí)，得：

ix2+y2<l

［x+y>1

構(gòu)成如圖所求陰影面積，其面積為工—工，

42

711

.?.由幾何概型概率計(jì)算公式得：

m1

2m+4n

解得冗—

m

故選：C.

例17.從區(qū)間［0,1］內(nèi)隨機(jī)抽取2〃個(gè)數(shù)玉，力2，…犬〃，y〃構(gòu)成〃個(gè)數(shù)對(duì)（國(guó),%）,…，（xn,笫），

其中兩數(shù)的平方和不小于1的數(shù)對(duì)共有機(jī)個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到圓周率萬(wàn)的近似值為（）

Am—4mn-m-4（〃—rri）

A.—B.——C.-------D.---------

nnnn

【解析】解：由題意，兩數(shù)的平方和小于1,對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積為工加仔，

4

X99

從區(qū)間［0,1］隨機(jī)抽取2〃個(gè)數(shù)%…，n/，>2，…，yn

構(gòu)成〃個(gè)數(shù)對(duì)（%，%），（%2，區(qū)，%），對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積為V.

-7r42

n-m4

nI2

4(〃-rri)

：.n------------

n

故選：D.

例18.關(guān)于圓周率萬(wàn)，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受

其啟發(fā)，某同學(xué)通過(guò)下面的隨機(jī)模擬方法來(lái)估計(jì)萬(wàn)的值：先用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生2000個(gè)數(shù)對(duì)(x,y),其中x,y都

是區(qū)間(0,1)上的均勻隨機(jī)數(shù)，再統(tǒng)計(jì)x,y能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長(zhǎng)的數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)加；最后根據(jù)

統(tǒng)計(jì)數(shù)加來(lái)估計(jì)萬(wàn)的值.若根=435,則萬(wàn)的估計(jì)值為()

A.3.12B.3.13C.3.14D.3.15

0<X<1.yr、，

【解析】解：由題意知，2000對(duì)都小于/的正實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)滿足八，，面積為1；

0<y<l

兩個(gè)數(shù)能與1構(gòu)成銳角三角形三邊的數(shù)對(duì)(尤廣),

0<X<17C

滿足x2+V>1且,%+y>l,面積為1——；

0<y<14

因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與/構(gòu)成銳角三角形三邊的數(shù)對(duì)(尤,y)的個(gè)數(shù)%=435,

1_￡

由幾何概型的概率知己巨=—生

20001

化簡(jiǎn)得｝黑,

解得%=3.13,

估計(jì)萬(wàn)的近似值為3,13.

故選：B.

例19.關(guān)于圓周率萬(wàn)，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其

啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)萬(wàn)的值：先請(qǐng)120名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)x、y都小于1

的正實(shí)數(shù)對(duì)(尤,y)；再統(tǒng)計(jì)尤、y兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)根；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)

加估計(jì)萬(wàn)的值，假如統(tǒng)計(jì)結(jié)果是祖=35,那么可以估計(jì)》的值約為()

A22R4751n19

715166

【解析】解：根據(jù)題意，200對(duì)都小于/的正實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),即,對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為1的正方形，

[0<y<1

其面積為1,

x2+y2<1

x+y>l

若兩個(gè)正實(shí)數(shù)無(wú)、y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有其面積S=2-2

0<x<142

0<y<1

則有"_=工—,，

12042

變形可得萬(wàn)1=Q"，

6

故選：D.

例20.如圖是一個(gè)圓形射擊靶的示意圖，靶心為圓心O,半徑為2分米.一名運(yùn)動(dòng)員在練習(xí)射擊的時(shí)候，

在靶上畫了一個(gè)標(biāo)志勝利的“V”形軸對(duì)稱圖案AO3C,其中NAOB=60。，點(diǎn)A,6在圓形靶的邊緣上,

點(diǎn)。與靶的邊緣的最短距離為1分米.該運(yùn)動(dòng)員朝靶上任意射擊一次，沒(méi)有脫靶，則命中靶中“V”形圖

案的概率為

A