滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型專練：比例線段（5種題型）（原卷版）

第06講比例線段（5種題型）

O【知識(shí)梳理】

相似圖形

（1）相似圖形

我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形.

（2）相似圖形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛，對(duì)于相似圖形，應(yīng)注意：

①相似圖形的形狀必須完全相同；

②相似圖形的大小不一定相同；

③兩個(gè)物體形狀相同、大小相同時(shí)它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況.

（3）相似三角形

對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形.

二.比例的性質(zhì)

（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng).兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做

比例的內(nèi)項(xiàng).

（2）常用的性質(zhì)有：

①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積.若包=￡,則ad=bc.

bd

②合比性質(zhì).若旦=q,則至曳=￡曳.

bdbd

③分比性質(zhì).若旦=2，則生空=￡9.

bdbd

④合分比性質(zhì).若2=2,則生曳=￡生.

bda-bc-d

⑤等比性質(zhì).若旦叫（"d+…+〃WO）,則a+c+.=旦

bdnb+d+...+nn

三.比例線段

⑴對(duì)于四條線段服從c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如ab

=cd（即〃=兒），我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之

比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無(wú)關(guān)系.

四.黃金分割

（1）黃金分割的定義：&cB

如圖所示，把線段分成兩條線段AC和3c（AOBC）,且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（BPAB：AC

=AC：BC）,叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn).

其中AC=^~1AB^0.618AB,并且線段A3的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè).

2

（2）黃金三角形：黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值.

黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個(gè)底角為72°,頂角為36°.這樣的三角形的底與一腰之長(zhǎng)之比為

黃金比：近二1；②等腰三角形，兩個(gè)底角為36°,頂角為108。；這種三角形一腰與底邊之長(zhǎng)之比為黃金

2

比：疾T.

2

（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比確切值為退士.

2

五.平行線分線段成比例

（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平

行于三角形的第三邊.

（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的

三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.

W【考點(diǎn)剖析】

一.相似圖形（共2小題）

1.（2022秋?埔橋區(qū)期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.任意兩個(gè)正方形B.任意兩個(gè)平行四邊形

C.任意兩個(gè)菱形D.任意兩個(gè)矩形

2.（2022秋?泗縣期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.兩個(gè)矩形B.兩個(gè)菱形

C.兩個(gè)等腰三角形D.兩個(gè)正方形

二.比例的性質(zhì)（共8小題）

3.（2023?無(wú)為市一模）若3a=46（?W0）,則下列比例式成立的是（)

A.包』B.包上C.包/D.包W

4334b44b

4.（2022秋?蒙城縣期末）已知工旦邑，求工的值.

23x

5.（2022秋?寧國(guó)市期末）已知：上工三,求x+y+z的值.

2342x

6.（2023?合肥一模）若包也?小，那么電的值等于（）

a4a

A.AB.5c.-2D.--

4252

則里里=

7.（2022秋?安徽期中）若三=工,:()

25X

A.1B.12c.9D.—

2552

8.（2022秋?迎江區(qū)期中）已知線段a、b、c滿足包上一■,且a+26+c=26.

326

（1）求。、8、c的值；

（2）若線段冗是線段。、b的比例中項(xiàng)，求x.

9.（2022秋?金安區(qū)校級(jí)月考）已知包=￡=且=2,且。+d十尸0.

bdf

（1）求也包的值；

b+d+f

(2)若b-2d+3f=5,求a-2c+3e的值.

10.(2022秋?宣州區(qū)期末)(1)若三求x-v+z的值;

357x+y-z

(2)若上^￡1^,且2a-b+3c=21,求a：b：c.

346

三.比例線段（共7小題）

11.（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）已知線段a=9,6=4,則線段a和匕的比例中項(xiàng)為.

12.（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）已知三條線段a、b、c,其中a=la",b=4cm,c是a、b的比例中項(xiàng)，則c

13.（2022秋?金安區(qū)校級(jí)月考）已知線段a,b,c滿足a：b：c=2：3：4,且a+6-c=3.

（1）求線段a,b,c的長(zhǎng).

（2）若線段機(jī)是線段a,b的比例中項(xiàng)，求線段機(jī)的長(zhǎng).

14.（2022秋?宣城月考）若a：b=\-2,且。是a,c的比例中項(xiàng)，則b：c等于（）

A.1：3B.1：2C.2：3D.2：1

15.（2023?亳州模擬）如圖，點(diǎn)尸把線段A2分成兩部分，且2尸為A尸與的比例中項(xiàng).如果AB=2,那

么AP

APB

16.（2022秋?埔橋區(qū)期中）求證：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.

17.（2022秋?無(wú)為市期中）（1）已知包上一_,且a+b-2c=6,求a的值.

654

（2）已知線段a=4cm,線段6=9c%,線段c是線段a,b的比例中項(xiàng)，求線段c的長(zhǎng).

四.黃金分割（共7小題）

18.（2023?灘溪縣模擬）如圖，在△ABC中,D為BC上一點(diǎn),若AB=AC=CO=2,ZADB=108°,則

AD的值為（）

A.V5-1B.3-遍C.返D.后

2

19.（2022秋?安徽期中）若線段MN的長(zhǎng)為2cm,點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，則最短的線段的長(zhǎng)

為（）

3Mm

A.(,^5-1)cmB.一]cmC.(3-A/5)cmD.

22

20.（2022秋?宣城期末）如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AOBC）,那么下列結(jié)論正確的為（）

兒ACV5-12

^=0,168B.C.BC2=ACABD.AC=BCAB

BC2

21.（2022秋?埔橋區(qū)期中）若線段AB=2cm,C是A3的黃金分割點(diǎn)，且BOAC,則BC的長(zhǎng)為（）

A.+]cmB.(遮-l)cmC.75TcmD.(V5+l)cm

22

22.（2023?雨山區(qū)一模）數(shù)學(xué)中，把近二1這個(gè)比例稱為黃金分割比例.鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半

2

徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如圖，P是A8的黃金分割點(diǎn)CAP>BP\若線段AB

的長(zhǎng)為8cm,貝！JBP的長(zhǎng)為______________________cm.

23.（2022秋?霍邱縣期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)尸是線

段ABCAP>BP）上一點(diǎn)，若滿足延至NL11,則稱點(diǎn)P是AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn).黃金分割在日

APAB2

常生活中處處可見(jiàn)，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺(jué)最好.若

舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)點(diǎn)B進(jìn)入，則他至少走多少米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上？（結(jié)果

保留根號(hào)）

APB

24.（2023?合肥一模）設(shè)點(diǎn)C是長(zhǎng)度為8cm的線段AB的黃金分割點(diǎn)CAOBC）,則AC的長(zhǎng)為

cm.

五.平行線分線段成比例（共8小題）

25.（2023?鏡湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，如圖，在△ABC中，D、￡分別在邊AB,AC上，DE//BC,坦星,

DB2

AE=9,則EC的長(zhǎng)度為（）

A

B.6C.12D.15

26.（2023?蕭縣一模）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,

則線段5C的長(zhǎng)是（)

7D.3

5

27.（2022秋?霍邱縣期中）如圖，a//b//c,直線機(jī)，〃與a,b,c分別相交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)。，E,F.若

求E廠的長(zhǎng).

28.（2022秋?潛山市月考）如圖，點(diǎn)AD、￡■分別在△ABC的邊A3、AC上，已知FE//CD,

AF=3,AD=5,求AB的長(zhǎng).

A

已知AB〃CD〃ER那么下列結(jié)論正確的是（）

CAD_BEnADBC

CBDFADCE'AF"BCDFCE

30.（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，在△ABC中,ZACB=90°,角平分線BE與中線CO交于點(diǎn)E若AC=

16,BC=n,則型的值為（）

BF

9

c.1D.

325

31.（2022秋?固鎮(zhèn)縣校級(jí)期中）如圖，AB//CD//EF,AF與BE相交于點(diǎn)G,且AG=4、GD=2、DF=8,

求BC：CE的值.

A'B

32.(2023?固鎮(zhèn)縣一模)如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD,其中AB=30米，AD

=20米.現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)三角形花園AP。，要求P在射線AM上，。在射線加V上，且尸。經(jīng)過(guò)點(diǎn)

C.

(1)。0=10米時(shí)，求△APQ的面積.

(2)當(dāng)。。的長(zhǎng)為多少米時(shí)，△AP。的面積為1600平方米.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.（2022秋?安徽六安?九年級(jí)統(tǒng)考期末）生活中到處可見(jiàn)黃金分割的美，如上圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)：使雕

像的腰部以下a與全身6的高度比值接近0.618,可以增加視覺(jué)美感，若圖中6為2米，則。約為（）.

A.1.52米B.1.38米C.1.42米D.1.24米

2.（2023春?安徽安慶?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知:=三=:=-3,則I+?=（）

bdfa-c+2e

11

A.—3B.3C.—D.—

33

h

3.（2023春?安徽合肥?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若5。=6人。0,則一的值是（）

a

5611

A.—B.—C.—D.一

6556

4.（2023?安徽蚌埠?校聯(lián)考一模）主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺(jué)最

好.若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上（BP長(zhǎng)為

x）,則x滿足的方程是（）

III

APB

A.（20-x）2=20xB.x2=20（20-x）

C.%（20-x）=202D.以上都不對(duì)

5.（2022秋?安徽滁州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）若線段AB=2,點(diǎn)尸是線段A3的黃金分割點(diǎn)，且鏟＞3P,則

AP的長(zhǎng)為（）

A.3一也B.C.3-如D.75-1

22

6.（2022秋?安徽六安,九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，4〃4〃4,兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)4

B、C和。、E、F.已知==彳，則=的值為（）

nC2Dr

ADj

叱_____A^_/3

3223

A.—B.-C.—[）.-

2355

7.（2023秋?安徽池州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A?〃CJD〃￡F,那么下列結(jié)論正確的是（）

CDADDFBCADBLsADBC

A-----=------R-----=-----C-----=----_D.-----=-----

CBDF?ADCE?AFBC；DFCE

8.（2022秋?安徽宿州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組線段中,成比例的是（）

A.2cm,3cm,4cm,5cmB.2cm,4crn,6cm,8cm

C.3cm,6cm,8cm,12cmD.leiTI,3cm,5cm,15cm

9.（2022秋?安徽蕪湖?九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線/1〃/2〃，3,若A3等于2,BC=4,DE=3,則線

段EF的長(zhǎng)為（）

彳h1A

a

A.5B.6C.7D.8

AT）7

10.（2022秋?安徽滁州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖,,在△ABC中，DE//BC,——若AC=8,則

DB3

EC=（）

16,一8r32

B.—C.—D.——

555

二、填空題

11.（2022秋?安徽宿州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）若a=4cm,b=9cm,則線段a,b的比例中項(xiàng)是cm.

12.（2023?安徽滁州,?？家荒＃┮阎龡l線段b、c,其中a=1cm,6=4cm,c是a、匕的比例中

項(xiàng)，貝1|c=cm.

13.（2023春?安徽合肥?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若線段。、b、c、d成比例，其中。=3cm,b=6cm,

c-2cm,貝!]d=.

14.（2023春?安徽淮北?九年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若‘一=J,則巳=________.

a+b4a

15.（2023秋?安徽池州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）若m=5〃（相片0）,貝吟=.

16.（2023?安徽安慶?統(tǒng)考二模）如圖，在AABC中，3D平分/ABC,DE〃AB交BC于點(diǎn)、E,若

AB=9,BC=6,則CE：BC為.

17.（2023?安徽合肥??？家荒＃┰O(shè)點(diǎn)C是長(zhǎng)度為8cm的線段A