滬科版九年級數(shù)學常見題型專練：圖形的位似變換、測量與誤差（原卷版）

第09講圖形的位似變換、測量與誤差

O【知識梳理】

一、位似的概念及性質(zhì)

1）兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似

圖形，這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。

相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：1、區(qū)別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似

圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。

2）相似圖形與位似圖形的區(qū)別與聯(lián)系：

區(qū)別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；

②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。

聯(lián)系：位似圖形是特殊的相似圖形。

3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質(zhì)。

L________________________________r4）、位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離比等于相似比。

;位似中心的位置：可能位于兩I

i個圖形之間，也可能位于兩個圖形I

i一側，也可能位于兩圖形內(nèi)。；

i位似中心的確定：根據(jù)"對應i

I點的連線都經(jīng)過位似中心”的特點I

i確定位似中心的位置。i

二、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）

利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1,則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于

1,則通過位似變換把原圖形縮小。

畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關鍵點并延

長）；③根據(jù)相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點，得到圖形。

三、以原點為位似中心的位似變換

在平面直角坐標系中，如果位似變化是以原點為位似中心，相似比為“，那么位似圖形對應點的坐標的比等

于"（對應點在位似中心同側）或者一H對應點在位似中心異側）。即：若設原圖形的某一點的坐標為（根,“），

則其位似圖形對應點的坐標為（Am,如）或（-切z,-也）o

四.相似三角形的應用

（1）利用影長測量物體的高度.①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性

質(zhì)即相似三角形的對應邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決.②測量方法：在同一

時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度.

（2）利用相似測量河的寬度（測量距離）.①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構造“A”

型或“X”型相似圖，三點應在一條直線上.必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構造直角三角

形.②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬度.

（3）借助標桿或直尺測量物體的高度.利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三

角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構建相似三角形，用相似三角形對應邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度.

W【考點剖析】

題型一：位似變換的應用

【解題技巧】掌握畫位似圖形的一般步驟為（先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的

關鍵點；然后根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；最后順次連接上述各點，得到放大或縮小

的圖形）.

例1.平面直角坐標系中，有一條魚，它有六個頂點，貝k）

A.將各點橫坐標乘以2,縱坐標不變，得到的魚與原來的魚位似

B.將各點縱坐標乘以2,橫坐標不變，得到的魚與原來的魚位似

C.將各點橫，縱坐標都乘以2,得到的魚與原來的魚位似

D.將各點橫坐標乘以2,縱坐標乘以工，得到的魚與原來的魚位似

2

【變式1】如圖，一ABC在方格紙中（1）請在方格紙上建立平面直角坐標系，使4（2,3）,C（6,2）,并寫

出3點坐標；（2）以原點。為位似中心，位似比為2,在第一象限內(nèi)將,-A6C放大，畫出放大后的圖形

VAB'C.

【變式2］如圖，在平面直角坐標系中，已知AABC三個頂點的坐標分別為A（-1,2）,B（-3,4）C（-

【變式3】如圖,在平面直角坐標系中，已知AABC的三個頂點的坐標分別為A（T,3）,5（—3,1）,C（—1,3）,

請按下列要求畫圖：（1）將AABC先向右平移4個單位長度、再向下平移5個單位長度，得到AA1與G，畫

出入4,3。1，并寫出點3的坐標；（2）以點A為位似中心將AA5C放大2倍，得到△452c2，畫出八4昆。2

并寫出點B的坐標.

題型二：相似三角形的實際應用

【解題技巧】解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題，利

用相似及方程思想有效解決.

例2.如圖，花叢中有一路燈AB.在燈光下，小明在點D處的影長DE=3m,沿BD方向行走到達點G,

DG=5m,這時小明的影長G〃=5m.如果小明的身高為L7m,求路燈AB的高度.（精確到0.1m）

【變式】為了測量校園水平地面上一棵不可攀的樹的高度，學校數(shù)學興趣小組做了如下探索：根據(jù)光的反射

定律，利用一面鏡子和一根皮尺，設計如下圖所示的測量方案：把一面很小的鏡子水平放置在離B（樹底）

8.4米的點E處，然后沿著直線BE后退到點D,這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A,再用皮尺量得DE=3.2

米，觀察者目高CD=1.6米，求樹AB的高度.

題型三：相似三角形中的動態(tài)問題

例3.如圖，在矩形Q4HC中，OC=8,04=12,3為CH中點，連接A3.動點M從點。出發(fā)沿。4

邊向點A運動，動點N從點A出發(fā)沿A3邊向點3運動，兩個動點同時出發(fā)，速度都是每秒1個單位長度，

連接設運動時間為/(秒)(0<?<10).貝曠=時，AQVW為直角三角形

【變式1】如圖所示，在等腰△/8C中，AB=AC=lQcm,"7=16頌.點，由點力出發(fā)沿四方向向點8勻速

運動，同時點￡由點6出發(fā)沿8。方向向點C勻速運動，它們的速度均為IcWs.連接龐，設運動時間為t

(s)(0<t<10),解答下列問題：(1)當［為何值時，△叱的面積為7.5ck；(2)在點〃，￡的運動中，

是否存在時間t,使得△叱與△/以相似？若存在，請求出對應的時間t；若不存在，請說明理由.

【變式2】如圖，RS48C,/C=90°,/C=10頌,BC=3an.點戶從點。出發(fā)，以2cMs的速度沿。向點

4勻速運動，同時點0從點8出發(fā)，以IcWs的速度沿正向點。勻速運動，當一個點到達終點時，另一個

2

點隨之停止.（1）求經(jīng)過幾秒后，△戶&的面積等于△/8C面積的g?

（2）經(jīng)過幾秒，△戶⑺與AA5c相似?

題型四：相似三角形中的綜合問題

例4.如圖，在aABC中，AB=AC=10,點D是邊BC上一動點（不與B,C重合），ZADE=ZB=a,

4

DE交AC于點E,且cosa=，.下列結論：①△ADES/\ACD；②當BD=6時，ZkABD與4DCE全等；

25

③4DCE為直角三角形時，BD為8或上；④0CCEW6.4.其中正確的結論是.（填序

2

號）

【變式1】已知，如圖1,在勿8（力中，點E是AB中點，連接DE并延長，交CB的延長線于點F.（1）求證：

△ADE^ABFE；（2）如圖2,點G是邊BC上任意一點（點G不與點B、C重合），連接AG交DF于點H,連接

HC,過點A作AK〃HC,交DF于點K.①求證：HC=2AK；②當點G是邊BC中點時，恰有HD=n?HK（n為正整

數(shù)），求n的值.

【變式2】如圖1,在Rt^ABC中，ZC=90°，AC=BC=2,點D、E分別在邊AC、AB上，AD=DE=-AB,連接

2

DE.將4ADE繞點A逆時針方向旋轉，記旋轉角為。.

BEBE

（1）問題發(fā)現(xiàn)①當。=0°時，---=；②當9=180。時，---=.

CDCD

BF

（2）拓展探究試判斷：當0。W0V36O。時，——的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

（3）問題解決①在旋轉過程中，BE的最大值為；②當4ADE旋轉至B、D、E三點共線時，線段CD的

長為.

圖1B圖2

【過關檢測】

一、單選題

1.（2023?安徽淮北?校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，一與位似，位似中心為原點O,

已知點4-1,-1）,C（T,-1）,AC'=6,則點C'的坐標為（）

A.（2,2）B.（4,2）C.（6,2）D.（8,2）

2.（2022秋?安徽滁州?九年級?？茧A段練習）如圖，已知0ABe和aeoc是以點C為位似中心的位似圖形,

且0ABe和回即C的位似比為1：2,SEOC的周長為8,則0ABe的周長是（）

A.2B.4C.8D.16

3.（2021秋?安徽阜陽?九年級?？茧A段練習）如圖，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高18%他在地面上的

影長為2.1m.若小芳身高只有1.2m,則她的影長為（）

A.1.2/77B.1.4mC.1.6mD.1.8m

4.（2023春?安徽合肥?九年級?？茧A段練習）下列說法中，正確的是（）

A.兩個多邊形相似，則它們一定是位似圖形B.兩個位似圖形的位似中心可能不止一個

C.位似圖形一定是相似圖形D.兩個多邊形相似，面積比一定是相似比

5.（2022秋?安徽亳州?九年級統(tǒng)考期末）如圖是趙師傅利用一塊三角形的白鐵皮剪成一塊正方形鐵皮備

用.在a48c中，BC=120,高A￡）=80,正方形E/GH的邊GH在邊8C上，E,尸分別在邊AB,AC上,

則正方形EFGH的邊長為（）

A

BHDGC

A.36B.42C.48D.54

6.（2022秋?安徽合肥?九年級合肥壽春中學?？计谥校┤鐖D，身高為1.6m的小明想測量一下操場邊大樹的

高度，他沿著樹影54由8到A走去，當走到C點時，他的影子頂端正好與樹的影子頂端重合，測得

A.3.2mB.4.8mC.6.4mD.8m

7.（2020?安徽合肥?合肥市第四十二中學?？家荒＃┤鐖D，以點。為位似中心，將五邊形A8CZJE放大后得

到五邊形A'8'C'D'E',已知。4=10cm,OA'=20cm,則五邊形ABCOE的周長與五邊形A'B'C'D'E'的周長比

8.（2022秋?安徽宿州?九年級統(tǒng)考期末）如圖所示，王華晚上由路燈A下的8處走到C處時，測得影子

CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達E處時，測得影子所的長為2米，已知王華的身高是1.5米，那么

路燈A的高度A8等于（）

A

C.7.2米D.8米

9.（2022秋?安徽蚌埠?九年級校考期中）如圖所示，在井口A處立一垂直于井口的木桿AB,從木桿的頂

端B觀測井水水岸，視線班）與井口的直徑C4交于點E,若測得AB=1米，AC=1.6米，AE=0.4米,

則水面以上深度。為（）

A.4米B.3米C.3.2米D.3.4米

10.（2021秋?安徽阜陽?九年級統(tǒng)考階段練習）如圖四個圖中，ABC均與A8C'相似，且對應點交于一

點，貝人.ABC與&AUC'成位似圖形的有（）

圖4

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題

11.（2021秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，一條河流的兩岸互相平行，沿南岸有一排大樹，每隔

4米一棵，沿北岸有一排電線桿，每兩根電線桿之間的距離為80米，一同學站在距南岸9米的點P處，正

好北岸相鄰的兩根電線桿被南岸的5棵樹遮擋住，那么這條河流的寬度是米.

北岸

孑

匕

、

三二

三

三

?三

、

二

、

三

二

二

二

三

三

、三

、

三

二

三

、

；

三

、H

三

、

三

三

二

、

、

一

'、、\//南岸

P

12.（2022秋?安徽馬鞍山?九年級馬鞍山八中?？计谥校W校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置3。繞

。點旋轉到AC位置，已知8。足分別為8,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=lm,則欄桿C

端應下降的垂直距離CD為.

13.（2022秋?安徽宿州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，A8表示一個窗戶的高，AM和表示射入室內(nèi)的光線,

窗戶的下端到地面的距離8c=lm.已知某一時刻BC在地面的影長CN=1.5m,AC在地面的影長CM=

4.5m,則窗戶的高度為m.

14.（2022秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期中）如圖，小明在A時測得垂直于地面的樹的影長為4米，8時又測

得該樹的影長為12米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為米.

15.（2022秋?安徽宣城?九年級統(tǒng)考期末）如圖是小孔成像原理的示意圖，=25cm,OC=10cm,

ABCD.若物體A3的高度為15cm,則像C￡＞的高度是cm.

16.（2021秋?安徽滁州?九年級?？计谥校┤鐖D，某測量工作人員的眼睛A與標桿頂端E鐵塔頂端E在一

條直線上，已知此人眼睛距離地面的高為1.6m,標桿高為3.2m,且BC=lm,CD=5m,則鐵塔的高

DE=m

三、解答題

17.（2023,安徽合肥,合肥市第四十五中學校考模擬預測）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的

網(wǎng)格中，給出了格點.ABC（頂點是網(wǎng)格線的交點）和點。且點。在網(wǎng)格的格點上.

⑴以點D為位似中心，將,ABC在點D上方畫出位似變換且縮小為原來的!得到44瓦G.

⑵將（1）中的△ABC繞點〃順時針旋轉90。得到△入坊Q,畫出鳥

（3）AA,B2C2的面積是.

18.（2022秋?安徽蕪湖?九年級?？茧A段練習）如圖，圖中的小方格是邊長為1的正方形，ABC與

—A8C'是關于點。為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上.

(1)畫出位似中心點。;

(2)求出，至C與一A'3'C'，的位似比；

(3)以點。為位似中心，在圖中畫一個△入鳥G，使它與國C的位似比等于3團2.

19.(2023?安徽亳州?統(tǒng)考一模)已知：ABC三個頂點的坐標分別為42,2),8(4,1),C(l,5).

⑴以點。為位似中心，在第一象限將,.ABC放大為原來的2倍，得到△4片￡,請在網(wǎng)格中畫出

（2）若點尸（無,y）是一ABC內(nèi)任意一點，點尸在△ABC1內(nèi)的對應點為4，則點片的坐標為

⑶請用無刻度直尺將線段AB三等分.

20.（2022秋?安徽滁州?九年級?？茧A段練習）小明利用數(shù)學課所學知識測量學校門口路燈的高度?如圖：

為路燈主桿，AE為路燈的懸臂，。是長為1.8米的標桿?已知路燈懸臂AE與地面3G平行，當標桿豎

立于地面時，主桿頂端A、標桿頂端。和地面上一點G在同一直線上，此時小明發(fā)現(xiàn)路燈E、標桿頂端。

和地面上另一點廠也在同一條直線上（路燈主桿底端3、標桿底端C和及地面上點/、點G在同一水平線

上）.這時小明測得尸G長1.5米，路燈的正下方H距離路燈主桿底端B的距離為3米?請根據(jù)以上信息求出路

燈主桿的高度.

21.（2022秋?安徽蚌埠?九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，嘉嘉同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上

從左往右依次是墻、木板和平面鏡.手電筒的燈泡在點G處，手電