直線與平面垂直 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

直線與平面垂直1.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理；(重點(diǎn))2.能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡單問題；(難點(diǎn))3.了解直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系.

【情境探究】1.觀察圖中書脊所在直線與桌面的位置關(guān)系.

問:書脊所在直線與桌面的位置關(guān)系是什么?提示:垂直.必備知識生成2.如圖,直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線a,b,c,…都垂直,直線l與平面α一定垂直嗎?為什么?

提示:不一定.當(dāng)平面α內(nèi)的無數(shù)條直線a,b,c,…都互相平行時(shí),直線l在保證與直線a,b,c,…都垂直的條件下,與平面α可能垂直也可能斜交或平行.3.請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片,我們一起來做如圖所示的試驗(yàn):過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸).(1)問:折痕AD與桌面垂直嗎?如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平面α垂直?

提示:從試驗(yàn)可知:當(dāng)AD與BC不垂直時(shí),翻折后的紙片豎起放置在桌面上,折痕AD與桌面不垂直;當(dāng)AD與BC垂直時(shí),翻折后的紙片豎起放置在桌面上折痕AD與桌面垂直.(2)由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直關(guān)系不變,即AD⊥CD,AD⊥BD,你能得到什么結(jié)論?提示:若一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直,則該直線垂直這個(gè)平面.4.直線與平面所成的角θ的取值范圍是什么?提示:一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角等于90°;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角等于0°.因此,直線與平面所成的角α的范圍是0°≤α≤90°.一、直線與平面垂直的定義與表示2.畫法：畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示.二、點(diǎn)到平面的距離過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.知識點(diǎn)三

直線與平面垂直的判定定理1.文字語言:如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的

垂直,那么該直線與此平面垂直.

2.符號語言:若l⊥m,l⊥n,m∩n=B,m?α,n?α,則

.

3.圖形語言:如圖8-6-9所示.圖8-6-9兩條相交直線l⊥α【診斷分析】1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)線面垂直的判定定理中,平面內(nèi)兩條相交直線和已知直線l必須有公共點(diǎn).(

)(2)如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線垂直,那么該直線與此平面垂直.(

)(3)若一條直線與一個(gè)三角形的兩條邊垂直,則此直線與該三角形所在平面垂直.(

)×[解析]它們可以有公共點(diǎn),也可以沒有公共點(diǎn).×[解析]在線面垂直判定定理中,要求平面內(nèi)的兩條直線必須相交.√[解析]因?yàn)槿切蔚娜我鈨蓷l邊都相交,所以根據(jù)直線與平面垂直的判定定理知,此直線與該三角形所在平面垂直.2.若一條直線與一個(gè)平行四邊形的兩條邊垂直,則此直線與該平行四邊形所在平面垂直嗎?解:當(dāng)一條直線垂直于平行四邊形的兩條鄰邊時(shí),此直線與該平行四邊形所在平面垂直;當(dāng)一條直線垂直于平行四邊形的兩條對邊時(shí),因?yàn)檫@兩條對邊平行,所以此直線與該平行四邊形所在平面不一定垂直.四.直線與平面垂直的定義？垂線垂足垂面1.直線與平面垂直的判定定理？2.如何理解點(diǎn)到平面的距離？平面的斜線斜足斜線在平面上的射影斜線與平面所成的角平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．線面角

注：平面的斜線與平面內(nèi)所有直線所成

的角中，斜線與平面所成的角最?。?/p>

BDCA1B1C1D1AOCAMB

求斜線和平面所成的角的一般步驟：

作：在斜線上選擇恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)點(diǎn)，作平面的垂線，確定垂足，連接斜足

和垂足，得到斜線在平面內(nèi)的射影，斜線和其射影所成的角，即為

斜線和平面所成的角；

證：證明(1)中所作出的角就是所求直線與平面所成的角；

（注：關(guān)鍵證明線面垂直，即證得斜線在面內(nèi)的射影）

求：通過解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大?。R點(diǎn)五

直線和平面所成的角1.斜線、

射影的定義(1)斜線:一條直線l與一個(gè)平面α相交,但不與這個(gè)平面垂直,這條直線叫作這個(gè)平面的

,斜線和平面的交點(diǎn)A叫作斜足,如圖8-6-10.

圖8-6-10斜線(2)射影:過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫作斜線在這個(gè)平面上的

.

這里要注意兩點(diǎn):一是點(diǎn)P具有任意性,可通過取不同的點(diǎn)來說明;二是斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線,而不是線段.課前預(yù)習(xí)圖8-6-10射影2.直線和平面所成的角定義:平面的一條斜線和它在平面上的

所成的角叫作這條直線和這個(gè)平面所成的角.如圖8-6-10所示,

就是斜線AB和平面α所成的角.特別地,一條直線垂直于平面,它們所成的角是

;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),它們所成的角是

.因此,直線和平面所成的角的取值范圍為

.

射影∠PAO(θ)圖8-6-1090°0°0°≤θ≤90°【診斷分析】1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面的一條斜線和平面所成角的取值范圍是[0°,90°]. (

)(2)平面的一條斜線和平面內(nèi)一條直線所成的角叫作這條直線和這個(gè)平面所成的角. (

)×[解析]平面的一條斜線和平面所成角的取值范圍是(0°,90°),任意一條直線和平面所成角的取值范圍才是[0°,90°].×[解析]平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角叫作這條直線和這個(gè)平面所成的角.

2.證明:平面的斜線和平面所成的角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)任意一條直線所成的角中最小的角.1.直線與平面垂直概念的理解(1)定義中強(qiáng)調(diào)的是垂直于平面內(nèi)的任意一條直線(即所有直線),而不能用垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線來代替.(2)若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直,則這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直.(3)直線與平面垂直的定義既可用作線面垂直的判定,也可作為線面垂直的性質(zhì).2.線面垂直的判定定理解讀(1)線面垂直的判定定理可簡述為“若線線垂直,則線面垂直”.(2)利用線面垂直的判定定理時(shí),一定要注意這條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,而不是任意的兩條直線(一交一內(nèi)一垂直).3.確定點(diǎn)(或線)在平面內(nèi)射影位置的常用方法(1)如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角兩邊的距離相等,那么這一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線所在直線上.(2)經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線,如果斜線與這個(gè)角的兩邊的夾角相等,那么斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影是這個(gè)角的平分線所在直線.(3)在三棱錐A-BCD中,有下列結(jié)論:①若AB=AC=AD,則點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影為△BCD的外心;②若點(diǎn)A到BC,CD,BD的距離相等,則點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影為△BCD的內(nèi)心;③若AB⊥CD,AC⊥BD,則點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影為△BCD的垂心.

1234方法總結(jié)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)核心知識