北外附屬海南外校2005屆第三次月考數(shù)學(xué)解析

第1頁/共1頁高三數(shù)學(xué)1.設(shè)，則z的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得答案；【詳解】，，故選：A.2.命題“或”的否定形式是（）A.且 B.或C.且 D.或【答案】A【解析】【分析】對(duì)原命題“改量詞，否結(jié)論”，即可求得結(jié)果.【詳解】命題“或的否定形式是且.故選：A3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.【詳解】指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即；冪函?shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，即，即，綜上：，故選：D.4..已知cosα+π6=A.-18 B .-14C.18解析因?yàn)閏osα+π6=345.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sm?2=20，Sm=44，A.26B.24 C.37 D.44【答案】A

根據(jù)題干條件得到2a【解答】

解：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sm?2得到SSm=44，S可得：d=1，a由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式得到a聯(lián)立兩個(gè)方程消去a1，可得：m解得：m=4或m=22．所以m的所有取值的和等于26，故選：A6.如圖所示的是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著的一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為榮的發(fā)現(xiàn).設(shè)圓柱的體積與球的體積之比為，圓柱的表面積與球的表面積之比為，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）A. B. C.15 D.20【答案】C【解析】【分析】設(shè)球的半徑為，分別表達(dá)出球，圓柱的體積和表面積，求出，利用二項(xiàng)式定理得到通項(xiàng)公式，求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的體積為，圓柱的底面積為，高為，故圓柱的體積為，故，球的表面積為，圓柱的表面積為，故，故，展開式中的通項(xiàng)公式為，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.故選：C7.設(shè)，滿足.若函數(shù)存在零點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)判斷定理判斷選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且均為單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)是增函數(shù)，由于，故，滿足，說明中有1個(gè)是負(fù)數(shù)一定是，兩個(gè)正數(shù)或3個(gè)負(fù)數(shù)，由于存在零點(diǎn)，故．故選：C．8.函數(shù)f(x)=cos(x+a)+sin(x+b)，則(

)A.若a+b=0，則f(x)為奇函數(shù) B.若a+b=π2，則f(x)為偶函數(shù)

C.若b?a=π2，則f(x)為偶函數(shù) D.若【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=cos(x+a)+sin(x+b)，其定義域?yàn)镽，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)A：若a+b=0，f(x)=cos(x+a)+sin(x?a)，若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0，而f(0)=cosa?sina=0不恒成立，故f(x)不是奇函數(shù)；

對(duì)B：若a+b=π2，f(x)=cos(x+a)+sin(x+π2?a)=cos(x+a)+cos(x?a)，

f(?x)=cos(?x+a)+cos(?x?a)=cos(x?a)+cos(x+a)=f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，B正確；

對(duì)C：若b?a=π2，f(x)=cos(x+a)+sin(x+π2+a)=2cos(x+a)，f(?x)=2cos(?x+a)≠f(x)，故f(x)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：若a?b=π，f(x)=cos(x+b+π)+sin(x+b)=?cos(x+b)+sin(x+b)，

若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0，而f(0)=?cosb+sinb=0不恒成立，故f(x)不是奇函數(shù)．

故選：B．

根據(jù)選項(xiàng)中a，b的關(guān)系，代入9.已知一組數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為B.該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)不可能是77C.若該組數(shù)據(jù)的極差為10，則或78D.若，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為70【答案】BCD【解析】【分析】利用百分位數(shù)、極差和平均數(shù)的定義即可判斷.【詳解】對(duì)于A：因，當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；故A錯(cuò)誤.對(duì)于B：因，當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為；當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為.故該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)不可能是.故B正確.對(duì)于C：由極差的定義，當(dāng)時(shí)，則，即；當(dāng)時(shí)，則，即.故C正確.對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故D正確.故選：BCD10.已知拋物線，過的焦點(diǎn)作直線，若與交于兩點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.或D.線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】【分析】由直線，可知焦點(diǎn)F1,0，得的值和拋物線方程，可判斷A選項(xiàng)；直線方程代入拋物線方程，由韋達(dá)定理結(jié)合，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)和的值，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式判斷選項(xiàng)BCD.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)在軸上，過作直線，可知F1,0，則，得，A選項(xiàng)正確；拋物線方程為，直線的方程代入拋物線方程，得.設(shè)Ax1,y1，B，得，解得或，，則或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；則，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，D選項(xiàng)正確；，，B選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，對(duì)任意的x、y∈R，恒有f(x+y)+f(x?y)=2f(x)f(y)，則下列說法正確的是(

)A.f(0)=1 B.f′(x)是偶函數(shù)

C.f(x)+f(0)≥0 D.若f(1)=12【答案】CD

【解析】解：對(duì)于A，令x=y=0，

則由f(x+y)+f(x?y)=2f(x)f(y)，

可得2f(0)=2f2(0)，

即2f(0)[f(0)?1]=0，

解得f(0)=0或f(0)=1，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，當(dāng)f(0)=0時(shí)，

令y=0，則f(x+0)+f(x)=2f(x)f(0)=0，

則f(x)=0，故f′(x)=0，函數(shù)f′(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；

當(dāng)f(0)=1時(shí)，令x=0，則f(y)+f(?y)=2f(0)f(y)=2f(y)，

所以f(?y)=f(y)，則?f′(?y)=f′(y)，

即f′(?y)=?f′(y)，f′(?x)=?f′(x)，

則f′(x)為奇函數(shù)．

綜合以上可知f′(x)必為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，令y=x，則f(2x)+f(0)=2f2(x)，故f(2x)+f(0)≥0．

由于0∈R，令t=2x(t∈R)，即f(t)+f(0)≥0，

即有f(x)+f(0)≥0，C正確；

對(duì)于D，因?yàn)閒(1)=12，令x=1，y=0，

則f(1)+f(1)=2f(1)f(0)，

即有2f(1)=f(0)，所以f(0)=1；

令x=y=1，則f(2)+f(0)=2f2(1)，即f(2)+1=12，所以f(2)=?12；

令x=2，y=1，則f(3)+f(1)=2f(2)f(1)，即f(3)+12=?12，所以f(3)=?1；

令x=3，y=1，則f(4)+f(2)=2f(3)f(1)，即f(4)?12=?1，所以f(4)=?12；

令x=4，y=1，則f(5)+f(3)=2f(4)f(1)，即f(5)?1=?12，所以f(5)=12；

令x=5，y=1，則f(6)+f(4)=2f(5)f(1)，即f(6)?12=12，所以f(6)=1；

令x=6，y=1，則f(7)+f(5)=2f(6)f(1)，即f(7)+12=1，所以f(7)=12；

令x=7，y=1，則f(8)+f(6)=2f(7)f(1)，即f(8)+1=12，所以f(8)=?12；

??

由此可得f(n)，n∈N?的值有周期性，且6個(gè)為一周期，

且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)12.已知向量a=(3,2)，b=(4,x)，若a⊥b，則【答案】?6

【解析】解：因?yàn)閍=(3,2)，b=(4,x)，且a⊥b，

所以a?b=3×4+2x=0，解得x=?6．

13.小明新買的儲(chǔ)蓄罐有5位密碼，他決定在“斐波那契數(shù)列”的前6項(xiàng)中隨機(jī)抽取5個(gè)數(shù)字設(shè)置為儲(chǔ)蓄罐的密碼，且密碼的第3位是偶數(shù)，已知“斐波那契數(shù)列”的前6項(xiàng)依次為“1、1、2、3、5、8”，則可以設(shè)置的不同密碼個(gè)數(shù)為【答案】120【解析】【分析】分選取的數(shù)字只有一個(gè)1和有兩個(gè)1兩種情況討論，即可得解.【詳解】若選的數(shù)字只有一個(gè)1，此時(shí)有兩個(gè)偶數(shù)，則不同的排列方法有種；若選的數(shù)字有兩個(gè)1，則不同的排列方法有種.故共有種不同的設(shè)置方法.故選：120對(duì)于非空數(shù)集，，定義，將稱為“與的笛卡爾積”.記非空數(shù)集的元素個(gè)數(shù)為,若，是兩個(gè)非空數(shù)集，則的最小值是【答案】415.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，.（1）求的面積；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理得到，從而得到，再由面積公式計(jì)算可得；（2）由余弦定理得到，從而得到，再由正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理可得，所以，所以；【小?詳解】因?yàn)椋郑?，所以，所以，則，由正弦定理可得，又，所以，顯然，所以，則，又，所以.16.如圖，四棱錐的底面是正方形，且，.四棱錐的體積為.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，即可得到，設(shè)到平面的距離為，根據(jù)錐體的體積公式求出，即可得到平面，從而得證；（2）取的中點(diǎn)，連接，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，又四棱錐的底面是正方形，所以，設(shè)到平面的距離為，則，所以，所以，即平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，即，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,1，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.2024屆中國(guó)國(guó)際大學(xué)生創(chuàng)新大賽總決賽現(xiàn)場(chǎng)賽在上海交通大學(xué)舉行.在本次大賽中，我省高校共斬獲14金10銀50銅，獎(jiǎng)牌總數(shù)74枚，金牌數(shù)和獲獎(jiǎng)總數(shù)均創(chuàng)我省歷史新高，位居全國(guó)前列.已知A校有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，校有丙、丁兩個(gè)項(xiàng)目參加這一屆大學(xué)生創(chuàng)新大賽，且甲、乙、丙、丁項(xiàng)目獲獎(jiǎng)的概率分別.（1）在A校有項(xiàng)目獲獎(jiǎng)情況下，求甲項(xiàng)目獲獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)這兩個(gè)學(xué)校中有項(xiàng)目獲獎(jiǎng)的學(xué)校的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析；.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率公式求值.（2）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列的求法列出分布列，并求期望.【小問1詳解】設(shè)事件為A校有項(xiàng)目獲獎(jiǎng)，事件為甲項(xiàng)目獲獎(jiǎng)，在A校有項(xiàng)目獲獎(jiǎng)的情況下，甲項(xiàng)目獲獎(jiǎng)的概率為：.【小問2詳解】可知：的值可以為：0,1,2且，，.所以的分布列為：012所以.18.(17分)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是，離心率.過且斜率不為0的直線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）過分別作的切線，兩條切線交于點(diǎn)，①求證：點(diǎn)在定直線上；②求的面積的最小值.【答案】（1）（2）點(diǎn)在定直線上，證明見解析；【解析】【分析】（1）如圖，由題意可得，即，結(jié)合離心率求出b，即可求解；（2）先求出切線、方程.①設(shè)，則直線的方程為，將代入計(jì)算即可證明；②由①知直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示，根據(jù)弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，結(jié)合換元法和導(dǎo)數(shù)求出即可.【小問1詳解】如圖，連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，則，又，即，所以，即，解得.又，所以，則，故橢圓E的方程為；小問2詳解】設(shè)，由題意知過A點(diǎn)的E的切線斜率存在，設(shè)過A點(diǎn)的切線方程為，即，由，得，，即，因?yàn)锳x1,y1在橢圓E所以，即，得，所以，即，即切線方程為，同理切線方程為. ①證明：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)P在切線、上，故、，即點(diǎn)均在直線，所以直線的方程為，過點(diǎn)，所以，解得，所以點(diǎn)P在定直線上.②解：由①知直線的方程，由，得，所以，所以，點(diǎn)P到直線的距離為，所以的面積為，令，則，得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.19.如圖，曲線下有一系列正三角形，設(shè)第n個(gè)正三角形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的邊長(zhǎng)為．（1）求的值；（2）求出an（3）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，求證：．【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，用表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入曲線方程，計(jì)算作答.（2）令為數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用與表示出點(diǎn)的坐