廣東省廣州市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷

第1頁/共1頁2024-2025學(xué)年廣東省廣州市部分學(xué)校高二（上）第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出直線的斜率，再由解出傾斜角即可.【詳解】因?yàn)樵撝本€的斜率為，所以它的傾斜角為.故選：A.2.如圖，已知正方體的棱長為1，以D為原點(diǎn)，以為單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個法向量是（）A.1,1,1 B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)法向量的求解方法求解即可.【詳解】由題意，，，，，，設(shè)是平面的一個法向量，則有，令，得，，.故選：A.3.已知向量，，向量在向量上的投影向量為

（

）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及投影向量的公式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A4.圓的圓心和半徑分別是（）A.，1 B.，3 C.，2 D.，2【答案】C【解析】【分析】直接由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心和半徑，即可得到答案．【詳解】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心為，半徑為2.故選：C.5.將直線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線，則的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，由兩直線的斜率之積為（兩直線的斜率均存在時）可求的斜率，且過，由直線的點(diǎn)斜式可得的方程．【詳解】直線的方程為，其斜率為，設(shè)直線的斜率為，，．由題意可知，，，的方程為：，即．故選：B6.空間中有三點(diǎn)，，，則點(diǎn)P到直線MN的距離為（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線距離的向量求法即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以的一個單位方向向量為.因?yàn)?，故?所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：A7.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)、的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，.點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（）A.的方程為B.在上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為3C.在上存在點(diǎn)，使得D.上的點(diǎn)到直線的最小距離為1【答案】C【解析】【分析】對A：設(shè)點(diǎn)Px,y，由兩點(diǎn)的距離公式代入化簡判斷；對B：根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的取值范圍，由此分析判斷；對C：設(shè)點(diǎn)Mx,y，求點(diǎn)M的軌跡方程，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系分析判斷；對D：結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求得C上的點(diǎn)到直線的最大距離，由此分析判斷.【詳解】對A：設(shè)點(diǎn)Px,y∵，則，整理得，故C的方程為，故A正確；對B：的圓心，半徑為，∵點(diǎn)到圓心的距離，則圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的取值范圍為，而，故在C上存在點(diǎn)D，使得D到點(diǎn)的距離為9，故B正確；對C：設(shè)點(diǎn)Mx,y∵，則，整理得，∴點(diǎn)M的軌跡方程為，是以為圓心，半徑的圓，又，則兩圓內(nèi)含，沒有公共點(diǎn)，∴在C上不存在點(diǎn)M，使得，C不正確；對D：∵圓心到直線的距離為，∴C上的點(diǎn)到直線的最小距離為，故D正確；故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來判定B，利用圓與圓的位置關(guān)系來判定C，結(jié)合數(shù)形思想即可.8.已知，是直線上兩動點(diǎn)，且，點(diǎn)，，則的最小值為（）A. B. C. D.12【答案】A【解析】【分析】依題意，設(shè)點(diǎn)，推得點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，利用距離公式表示的幾何意義將其轉(zhuǎn)化成兩定點(diǎn)與一條定直線上的點(diǎn)的距離之和最小問題解決.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，因直線的傾斜角為，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，記，則可將理解為點(diǎn)到的距離之和，即點(diǎn)到直線的距離之和，依題即需求距離之和的最小值.如圖，作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn),則，連接，交直線于點(diǎn),則即的最小值，且,故的最小值為.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，若過定點(diǎn)的動直線：和過定點(diǎn)的動直線：交于點(diǎn)（與，不重合），則以下說法正確的是（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為2,1 B.C. D.的最大值為5【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)直線方程求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩直線垂直的判斷方法，勾股定理，三角函數(shù)輔助角求最值即可得解.【詳解】因?yàn)榭梢赞D(zhuǎn)化為，故直線恒過定點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；又因?yàn)椋?，即恒過定點(diǎn)，由和,滿足，所以,可得,故B選項(xiàng)正確；所以,故C選項(xiàng)正確；因?yàn)?設(shè)為銳角,則,，所以,所以當(dāng)時,取最大值,故選項(xiàng)D錯誤.故選：ABC.10已知圓：，直線：（），則（）A.直線l恒過定點(diǎn)B.當(dāng)時，圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離等于1C.直線與圓有兩個交點(diǎn)D.圓與圓恰有三條公切線【答案】ACD【解析】【分析】A，將直線變形，即可得到直線過定點(diǎn)；B，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，可得到結(jié)果；C，由定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可判斷；D，利用圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系即可判斷.【詳解】對于A，直線，所以，令，解得，所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對于B，當(dāng)時，直線為：，則圓心到直線的距離為，，所以圓上只有2個點(diǎn)到直線的距離為，故B錯誤；對于C，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓有兩個交點(diǎn)，故C正確；對于D，由圓的方程可得，，所以圓心為，半徑為，此時兩圓圓心距為，所以兩圓位置關(guān)系為外切，則兩圓恰有三條公切線，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在平行六面體中，已知，，E為棱上一點(diǎn)，且，則（）A. B.直線與所成角的余弦值為C.平面 D.直線與平面所成角為【答案】ABD【解析】【分析】通過建立空間的一組基底，將相關(guān)直線的方向向量用基向量表示，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求模長判斷A項(xiàng)；利用空間向量的夾角公式計(jì)算判斷B項(xiàng)；利用向量的數(shù)量積是否為0判斷C項(xiàng)；通過求平面的法向量和空間向量的夾角判斷D項(xiàng).【詳解】不妨設(shè)則.對于A，因,故，故，故A正確；對于B，因，,則，，設(shè)直線與所成角為，則故B正確；對于C，因，即與不垂直，故不與平面垂直，故C錯誤；對于D，因，,因，，則有因平面，故平面，即平面的法向量可取為，又，設(shè)直線與平面所成角為，因，，，則，因，故，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知空間向量，，，若，，共面，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由空間向量共面定理列方程組得到，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解出最值即可；【詳解】因?yàn)?，，共面，所以，即，即，解得，所以，所以，所以最小值為，故答案為?13.費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個內(nèi)角均小于時，費(fèi)馬點(diǎn)與三個頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對三角形三邊的張角相等，均為，根據(jù)以上性質(zhì)，已知，為內(nèi)一點(diǎn)，記，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，得到為銳角三角形，得出費(fèi)馬點(diǎn)在線段上，設(shè)，由為頂角是的等腰三角形，求得，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由，可得，且為銳角三角形，所以費(fèi)馬點(diǎn)在線段上，如圖所示，設(shè)，則為頂角是的等腰三角形，可得，又由，則，所以的最小值為.故答案為：.14.已知正三棱柱的底面邊長為，高為2，點(diǎn)是其表面上的動點(diǎn)，該棱柱內(nèi)切球的一條直徑是，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，得出棱柱的內(nèi)切球的半徑為，利用數(shù)量積的運(yùn)算得，再求出范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎庵牡走呴L為，如圖，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以，得到，又正三棱柱的高為2，所以棱柱的內(nèi)切球的半徑為，與上下底面有兩個切點(diǎn)且切點(diǎn)為上下底面的中心，又是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，如圖，取上下底面的兩個切點(diǎn)，設(shè)為，則，又點(diǎn)是正三棱柱表面上的動點(diǎn)，當(dāng)與（或）重合時，的值最小，此時，由對稱性知，當(dāng)為正三棱柱的頂點(diǎn)時，的值最大，連接，并延長交于，則，此時，得到，則的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為線段和長度問題.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知圓，過作直線圓交于點(diǎn)．（1）求證：是定值；（2）若點(diǎn)．求的值．【答案】（1）為定值，證明見解析（2）-1【解析】【分析】（1）易知當(dāng)直線的斜率不存在時；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程和，聯(lián)立圓方程，利用韋達(dá)定理表示，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示化簡計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)兩點(diǎn)表示可得，由（1）知，計(jì)算化簡即可求解.【小問1詳解】若直線的斜率不存在，則，則，所以；若直線的斜率存在，設(shè)，，消去，得，，又，所以.綜上，為定值.【小問2詳解】易知直線的斜率存在，由（1）知，所以，得，由，得，所以.16.如圖，在空間幾何體中，四邊形是邊長為2的正方形，平面，，且∥∥．（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，．【解析】【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，只需證出共面即可得證；（2）利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，所以兩兩垂直，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：根據(jù)題意，得．所以．因?yàn)?，所以共面，又有公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面．【小問2詳解】解：存在，理由如下：，則，設(shè)m=x1則，即，令，得平面的一個法向量為．假設(shè)線段上存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，令，則，設(shè)n=x2,y即，令，得平面一個法向量為．設(shè)平面與平面所成角為，則．化簡整理，得，因?yàn)椋?，所以在線段上存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，此時．17.已知為圓C：上任意一點(diǎn)，（1）求的最大值和最小值；（2）求的最大值和最小值．【答案】（1）最大值為，最小值為（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）設(shè)，得直線，易知Mx,y同時在直線與圓上，所以只需要直線與圓有交點(diǎn)即可；（2），表示兩點(diǎn)間距離的平方，最后利用距離求范圍即可.【小問1詳解】由題可知，設(shè),得直線，該直線與圓有交點(diǎn)即可，所以圓心到直線的距離要小于等于半徑即可，有解得即所以的最大值為，最小值為小問2詳解】顯然表示點(diǎn)Mx,y到點(diǎn)的距離的平方，即已知Mx,y在圓上，所以顯然，所以所以所以所以所以的最大值為，最小值為.18.我國漢代初年成書的《淮南子畢術(shù)》中記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則是四鄰矣.”這是我國古代人民利用平面鏡反射原理的首個實(shí)例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧.而英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利·卡文迪許從鏡面反射現(xiàn)象中得到靈感，設(shè)計(jì)了卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)測量計(jì)算出了地球的質(zhì)量，他從而被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人.已知圓的半徑為3，圓心在直線位于第一象限的部分上，一條光線沿直線入射被軸反射后恰好與圓相切.（1）直接寫出的反射光線所在直線的方程；（2）求圓的方程；（3）點(diǎn)是圓與軸的公共點(diǎn)，一條光線從第一象限入射后與圓相切于點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，其在點(diǎn)處被直線反射后沿著軸負(fù)方向傳播，此時的面積恰好為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用對稱性質(zhì)求出反射光線所在直線的方程.（2）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用切線性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求出圓心坐標(biāo)即得.（3）由（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用直角三角形邊角關(guān)系、切線長定理及三角形面積公式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再借助光的反射性質(zhì)求出直線的方程.【小問1詳解】設(shè)的反射光線所在直線上任意點(diǎn)為，則該點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)在直線上，所以的反射光線所在直線的方程為.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)，而圓與直線相切，且圓半徑為3，則，即，整理得或，又點(diǎn)在第一象限，即，因此，點(diǎn)，所以圓的方程為.【小問3詳解】由（2）知，點(diǎn)到軸距離為3，即軸與圓相切于點(diǎn)，由一條光線從第一象限入射后與圓相切于點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，得點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，設(shè)，則，連接，，，，又，整理得，解得，即點(diǎn)，直線的斜率為，由光的反射性質(zhì)知，，則直線的斜率為，直線的方程為，即.19.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出求線段的長；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在；的長為或【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；（2）