江蘇省揚(yáng)州市高郵市2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案及解析）

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中學(xué)情調(diào)研測(cè)試

數(shù)學(xué)試題

（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.直線x=tanl0。的傾斜角為（）

A.0°B,10°C.90°D.不存在

2.若直線3x+4y—3=0與直線6x+加7-1=0平行，則它們之間的距離為（）

112

A.1B.—C.—D.一

255

3.直線辦+勿=1與圓1+「=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么點(diǎn)（a,人）與圓一+「=1的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)在圓外B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓上D.不能確定

4.如圖，一座拋物線形拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬16m時(shí)，拱頂距離水面4m,當(dāng)水面下降1m后，橋洞內(nèi)水面

A.4百mB.46mC.8百mD.8V5m

5.已知圓6：/+了2=4和圓。2：必+/一4x—47+7=0,則兩圓的公切線條數(shù)為（）

A1B.2C.3D.4

6.已知拋物線「=4x,則拋物線上一點(diǎn)尸到直線x-.V+5=0的最小距離為（）

A.2A/2B.4C.D.5

2

7.橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個(gè)焦

22

點(diǎn)（如圖）.已知橢圓'=。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/是點(diǎn)尸卜2,述）處的切線，過左焦點(diǎn)寫作/的垂

線，垂足為貝U|（W|=（)

8.已知斜率為半的直線/過雙曲線。：》2—片=1（機(jī)〉0）的左焦點(diǎn)尸，且與C的左，右兩支分別交于A,

3兩點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為的中點(diǎn)，若△OEP是以EP為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率

為（）

A.2B.V2C.3D.V3

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的有（）

A.直線的斜率越大，傾斜角越大

B.直線歹=3x-2在N軸上的截距為—2

C.直線x-回+1=0的斜率為追

D.若直線y=Ax+b經(jīng)過第一、二、四象限，則點(diǎn)（左,?在第二象限

10.已知橢圓G和雙曲線C?具有相同的焦點(diǎn)耳（-1,0）,乙（1,0）,點(diǎn)P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且在圓

X2+/=1±,橢圓G和雙曲線Q的離心率分別為02,且02=限1，則下列說法正確的是（）

B.雙曲線的方程為2/—2產(chǎn)=1

C.△尸￡片的面積為:

D.△尸￡片的周長(zhǎng)為2夜+2

11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線C：V+y2=26國-23就是其中之一，其形狀酷似數(shù)學(xué)符號(hào)“s”

（如圖），對(duì)于此曲線，下列說法正確的是（)

A,曲線C與直線＞=x有3個(gè)公共點(diǎn)

B曲線C與圓/+/=5有4個(gè)公共點(diǎn)

C.曲線C所圍成的圖形的面積為：y-2V3

D.若點(diǎn)尸在曲線。上，點(diǎn)0（0,-2）,線段P0的長(zhǎng)度可能為4

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡中的橫線上.

221

12.已知橢圓土+匕=1的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為—，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為_____.

8m2

13.過點(diǎn)尸（0,2）作直線/,使它被兩條相交直線2=0和x+.y+3=0所截得的線段，恰好被點(diǎn)P

平分，則直線/的方程為.

14.若直線掰：x+島+/=0上存在點(diǎn)0,過點(diǎn)。作圓C:（x—3）?+/=8的兩條切線，切點(diǎn)分別為

E,F,且N￡QE=90°,則實(shí)數(shù)f的取值范圍為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知V4SC的頂點(diǎn)Z（-2,0）,5（4,3）,C（2,-2）.

（1）求N3邊上的高所在直線的方程；

（2）求經(jīng)過點(diǎn)8,且在x軸上的截距是在歹軸上的截距的2倍的直線的方程.

16.已知圓C的圓心。（1力）在第一象限，半徑為石，且經(jīng)過直線x+3y—2=0與直線3x-2y—6=0的

交點(diǎn).

（1）求圓C的方程；

⑵過點(diǎn)P（L-3）作圓C的切線，求切線的方程.

V2

17.已知拋物線G的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F與雙曲線C2：r-y=l的上焦點(diǎn)重合，A,B為拋物線G

上兩點(diǎn).

（I）求拋物線G的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程;

（2）若|4F|+忸制=8,求線段的中點(diǎn)到x軸的距離.

18.已知月（一2,0）,月（2,0）,點(diǎn)尸滿足忸周一|尸聞=2,記點(diǎn)尸的軌跡為￡.

（1）求軌跡￡的方程；

（2）直線/經(jīng)過點(diǎn)2（5,0）,傾斜角為45°,與軌跡E交于兩點(diǎn)（C在4。之間），若就=2訪，

求X的值；

（3）已知點(diǎn)7（-L0）,過點(diǎn)八作直線機(jī)與軌跡￡交于N兩點(diǎn)，記直線刀％7N的斜率分別為左，

左2,試問：勺小2是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

22

19.己知橢圓C：A+A=l（a〉b〉0）的焦距為2,與，￡分別為其左右焦點(diǎn)，。為原點(diǎn)，且點(diǎn)

ab

尸［在橢圓c上.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過左焦點(diǎn)片的直線/與橢圓。交于A,B兩點(diǎn)（異于左右頂點(diǎn)），M為線段力2的中點(diǎn)，

①若乙4。8=90。，求線段的長(zhǎng)度;

②求點(diǎn)A到直線OM的距離d的最小值.

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中學(xué)情調(diào)研測(cè)試

數(shù)學(xué)試題

（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.直線x=tanl0°的傾斜角為（）

A.0°B,10°C.90°D.不存在

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)直線的方程，利用斜率和傾斜角的關(guān)系求解.

【詳解】因?yàn)橹本€》=tan10。的斜率不存在，

所以其斜率為90°.

故選：C.

2.若直線3x+4y—3=0與直線6苫+加了一1=0平行，則它們之間的距離為（）

【答案】B

【解析】

【分析】首先根據(jù)兩直線平行求出機(jī)=8,再利用兩平行線間距離公式求解即可.

【詳解】依題意可得3m—4x6=0,解得機(jī)=8,

則直線方程為6x+8y—1=0,

而方程3x+4y—3=0,即6x+8y—6=0,

,—6+11

所以兩條平行線間的距離為d=l-——L=

Vf62+822

故選：B.

3.直線辦+勿=1與圓=i有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么點(diǎn)⑺⑼與圓一+「=1的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)在圓外B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓上D,不能確定

【答案】A

【解析】

【分析】

|1|,I--------

直線"+如=1與圓/+/=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得I,＜1,即為自力+廿＞1，由此可得點(diǎn)

7a'+b'

與圓的位置關(guān)系.

【詳解】因?yàn)橹本€辦+打=1與圓/+72=1有兩個(gè)公共點(diǎn),

|1\,

所以有/,,<1，

J/+b2

即以+方＞＞

因?yàn)辄c(diǎn)（仇。）與必+「=1的圓心的距離為，0+尸，

圓/+丁=4的半徑為i,所以點(diǎn)尸在圓外.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將直線與圓的位置關(guān)系的判斷式和點(diǎn)與圓的關(guān)系的判斷式聯(lián)系起來.

4.如圖，一座拋物線形拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬161n時(shí)，拱頂距離水面4m,當(dāng)水面下降1m后，橋洞內(nèi)水面

寬為（）

A.4百mB.4#mC.8GmD.8V5m

【答案】D

【解析】

【分析】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為N軸，過原點(diǎn)且垂直于V軸的直線為了軸建立平

面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為/=-2加（夕＞0）,分析可知點(diǎn)（8,-4）在該拋物線上，求出。的值，

可得出拋物線的方程，將y=-5代入拋物線方程，即可得出結(jié)果.

【詳解】以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為歹軸，過原點(diǎn)且垂直于歹軸的直線為x軸建立如

下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

叫

設(shè)拋物線的方程為爐=-2期（夕＞0）,由題意可知點(diǎn)（8,-4）在拋物線上,

所以64=-22x（—4）,可得夕=8,所以拋物線的方程為/=一16^,

當(dāng)水面下降1m后，即當(dāng)y=-5時(shí)，x2=-16x（-5）,可得》=土4指，

因此，當(dāng)水面下降1m后，橋洞內(nèi)水面寬為8訴11.

故選：D.

5.己知圓。］：/+/=4和圓。2：丁+/_4》_4了+7=0,則兩圓的公切線條數(shù)為（）

A1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】首先把圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別求出兩圓圓心與半徑，利用圓心距與半徑和差大小,

判斷兩圓的位置關(guān)系，可得圓的公切線的條數(shù).

【詳解】已知圓=4,圓心G（0,0）,半徑6=2.

圓。2：x?+J?—4x—4y+7=0,即（x—2）+（y—2/=1,

圓心G（2,2）,半徑々=2

所以圓心距=J2?+2?=26，外—2=1/=3,

所以八一々＜|GG|＜（+4，

所以兩圓相交，故公切線的條數(shù)為2.

故選：B.

6.已知拋物線y2=4x,則拋物線上一點(diǎn)P到直線x-v+5=0的最小距離為（）

A.2A/2B.4C.D.5

2

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得當(dāng)點(diǎn)尸為平行于x-y+5=o的直線且與拋物線相切的切點(diǎn)時(shí)，才能取最小值，求出切

線方程，即可得點(diǎn)尸的坐標(biāo)，即可得解.

【詳解】解：由題意可知，當(dāng)平行于x-y+5=0的直線與拋物線相切，

且點(diǎn)p為切點(diǎn)時(shí)，P點(diǎn)到直線X—y+5=0的最小,

設(shè)切線方程為x-y+〃z=O,

即y=x+m,

y=x+m,,

由＜2.,可得-4v+4機(jī)=0,

J=4x

所以A=16—16加=0,解得機(jī)=1,

x=1

所以《

卜=2'

即尸(1,2),

所以點(diǎn)P到直線x-y+5=0的距離d=以要』=2J5.

故選：A.

7.橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個(gè)焦

22

點(diǎn)（如圖）.已知橢圓C："+'=l,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，/是點(diǎn)尸卜2,卡）處的切線，過左焦點(diǎn)片作/的垂

線，垂足為則10M=（）

【答案】c

【解析】

【分析】延長(zhǎng)耳0、F2P交于點(diǎn)、N,由光學(xué)性質(zhì)分析可知，則拉為KN的中點(diǎn)，且|尸國=|尸N],利用中

位線的性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義可求得的值.

22

【詳解】由橢圓C:t+匕=1,則/=16,長(zhǎng)軸長(zhǎng)2。=8.

168

延長(zhǎng)片鳥尸交于點(diǎn)N,連接（W,

由題意可知/與尸M=NNPW,又因?yàn)?/p>

則M為耳N的中點(diǎn),且1m|=|PN|,

所以優(yōu)N|=|尸N|+|%|=|尸片|+|尸周=2a=8,

又因?yàn)椤槠B的中點(diǎn)，則。為△片穹的中位線，

則|（W|=|■優(yōu)N|=gx8=4.

故選：C.

8.己知斜率為半的直線/過雙曲線C：V—片=1（M〉0）的左焦點(diǎn)尸，且與C的左，右兩支分別交于A,

3兩點(diǎn)，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為的中點(diǎn)，若△OEP是以EP為底邊的等腰三角形，則雙曲線的離心率

為（）

A.2B.V2C.3D.V3

【答案】A

【解析】

【分析】由點(diǎn)差法得七0加，由條件知直線。尸的傾斜角為43傾斜角的兩倍，由二倍角公式得直

線48,0尸的斜率，代入兩直線的斜率關(guān)系式生？?人”=機(jī)，求得機(jī)，進(jìn)而得離心率.

2

【詳解】由雙曲線C：/一匕=1（加〉0）,可知/=1萬=加,/=]+加.

m

設(shè)幺（再，%），3（X2，P2），尸（/，及））,

2

由48均在C：x2—2=1上，尸為48的中點(diǎn),

m

22

m+y

得《\,則%（再一%2）（再+〃）=（乃一%）（%+%）,

mx2=m+y2

由48分別在C的左，右兩支，則為一馬70,且石+%。0,

...JlzA.Zi±AAz21.M

m==，??k°p?kAB~m.

xx-x2$+x2再-x22x0

設(shè)直線的傾斜角為a,則后會(huì)=tana=W5，。為銳角,

AB5

???△0不了是以依為底邊的等腰三角形，則/P尸。=/0尸尸二。，

直線OP的傾斜角為2a,則k=tan2a=2tan。

OP1-tana

77.2tan2a

k-k=tana-tan2a----------=m,

0PAB1-tana

由tana-代入得，m-7=3.

5T

所以橢圓的離心率為e=—=Jl+m=2.

a

故選：A.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：中點(diǎn)弦定理：若直線與橢圓（雙曲線）交于4臺(tái)不同兩點(diǎn)，中點(diǎn)為尸（不為原點(diǎn)），

且48,0尸斜率存在，則有3/°P=e2-1,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，e為曲線的離心率.

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要

求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的有（）

A.直線的斜率越大，傾斜角越大

B.直線y=3x-2在N軸上的截距為一2

C.直線x—島+1=0的斜率為追

D.若直線歹=日+6經(jīng)過第一、二、四象限，則點(diǎn)（左力）在第二象限

【答案】BD

【解析】

【分析】A項(xiàng)舉例直線斜率正負(fù)特例即可；B項(xiàng)求與N軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)可得；C項(xiàng)化一般式方程為點(diǎn)斜式可

得；D項(xiàng)結(jié)合圖象判斷左＜0力〉0可得.

【詳解】A項(xiàng)，設(shè)兩條直線斜率分別為勺=1,h=T,k1＞k2,

但斜率為1的直線傾斜角內(nèi)=而斜率為-1的直線傾斜角為=%-，

4＜。2，故A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，直線y=3x—2,令x=0,得y=-2,

即直線在歹軸上的截距為-2,故B正確；

C項(xiàng)，直線x-島+1=0方程可化為y=叱（》+1）,

所以直線的斜率為，故C錯(cuò)誤;

3

D項(xiàng)，若直線＞=依+6經(jīng)過第一、二、四象限，則左＜0,b＞0,

所以點(diǎn)（左力）在第二象限，故D正確.

故選：BD.

io.已知橢圓a和雙曲線c?具有相同的焦點(diǎn)與（-1,0）,6（1,0）,點(diǎn)「是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且在圓

X2+y2=1±,橢圓C］和雙曲線的離心率分別為02,且02=百,，則下列說法正確的是（）

A瓜

A.e1=T

B.雙曲線C2的方程為2/一2了2=1

C.△尸片用的面積為工

-2

D.”岑片的周長(zhǎng)為20+2

【答案】ABC

【解析】

【分析】結(jié)合對(duì)稱性，利用橢圓與雙曲線的定義可得歸胤+|P聞=2%，戶用-|尸周=2%，再由點(diǎn)尸在

圓f+、=i上得忸司2+忸聞2=4。2=4,消去忸用，歸用可得的關(guān)系af+al=2c2,即

—+—=2,聯(lián)立02=限1解得,建2,進(jìn)而可得。1，。2442,再依選項(xiàng)逐個(gè)求解判斷可得.

【詳解】由題意知，設(shè)焦距為2c,則c=l.

設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2%,短軸長(zhǎng)為2々，

雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2%，虛軸長(zhǎng)為2&,

根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)橢圓與雙曲線的交點(diǎn)P在第一象限，

由橢圓的定義知，附|+|尸用=2%,則（附|+|尸典）2=4/

由雙曲線的定義知，I尸用—|P引=2°2，則仍用T尸聞y=4a；

由兩式相加化簡(jiǎn)得|尸片「+|尸7碟=2/+la2,

?.?點(diǎn)P在圓/+/=1上,

222

:.PF}LPF2,.-.|P^|+|P^|=4C=4,

則a；+a；=2c2=2,則二+丁=2,又4=G,,

e\e2

±+±=2

A項(xiàng)，聯(lián)立＜

e2=

解得,=，，e2=42,故A正確;

B項(xiàng)，由A可知，e2T=收,

解得a=如，a=1,

122

則后=c2-af=1-1=1)

所以雙曲線方程為21—2/=1,故B正確；

C項(xiàng)，由|「大|+|尸閭=2巧，|「片卜|尸閭=2出,

則明||%=(附㈤明］(MT*),

所以△尸月片的面積s=J尸用歸聞=；,故C正確；

D項(xiàng)，△尸片片的周長(zhǎng)為

|尸耳|+|尸鳥|+閨鳥|=2%+2c=2x乎+2=遙+2，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線C:f+/=26W-23就是其中之一，其形狀酷似數(shù)學(xué)符號(hào)“8”

（如圖），對(duì)于此曲線，下列說法正確的是（）

A.曲線。與直線＞=》有3個(gè)公共點(diǎn)

B.曲線C與圓/+/=5有4個(gè)公共點(diǎn)

C.曲線C所圍成的圖形的面積為：一-2V3

3

D.若點(diǎn)尸在曲線C上，點(diǎn)。（0,-2）,線段P。的長(zhǎng)度可能為4

【答案】ABD

【解析】

y-x

【分析】對(duì)于A,聯(lián)立12+「=26,卜2回根據(jù)解的個(gè)數(shù)即可判斷；對(duì)于B,聯(lián)立

x2+/=5

可得2百國—2|y|=5,再代入/+/=5,得16|、3一20省m+5=0,由

x2+y2=273|X|-2|J|

判別式及韋達(dá)定理，可得此方程有4個(gè)不同的根，即可判斷；對(duì)于C,求出一個(gè)弓形048的面，則可求出

曲線C所圍成的圖形的面積，即可判斷；對(duì)于D,當(dāng)點(diǎn)尸（26,0）或尸（-2百,0）,滿足題意，即可判斷.

y=x

【詳解】對(duì)于A,由《x2+/=2兩x|-23'可得2x2=2|x|(GT)'

所以一=國(6—1),gp|x|2=|x|(V3-l),

解得|x|=0或國=百-1,

所以x=0或》=百—1或X=l—G，

所以曲線c與直線y=x有3個(gè)公共點(diǎn)，故正確；

x2+y2=5L

對(duì)于B,由可得26卜|_2似=5,

x+y=243閏—2僅|

則有3=兩司-g,平方得J2=3X2-5A/3|X|+^-,

代入/+「=5,得4》2-56|x|+卷=5,

即16|x『-2073|x|+5=0,

因?yàn)锳=400x3—4x16x5=880>0,=地〉oJ_〉o,

16416

所以關(guān)于Ix|的方程161x|2-20^3|x|+5=0有兩個(gè)不同的正根,

從而得％有四個(gè)不同的解，

所以曲線。與圓一+儼=5有4個(gè)公共點(diǎn)，故正確；

x2+y2-2仙x+2j=0,x>0,y>0

x2+y2+2y/3x+2y=O,x(O,y)0

對(duì)于C,d+V=2百國一2M

x2+y2+2y/3x-2y=0,x<0,y<0

x2y2-2y[3x-2y=0,x>0,y<0

如圖所示:

曲線。所圍成的圖形的面積為四個(gè)全等弓形的面積之和,

設(shè)弓形045的面積為，，

因?yàn)榍八趫A的圓心為。(6,-1)，半徑為2,0A=2V3,

4+4-121

在△4。。中，cosZADO=--------=——,乙4DOW(0,TI),

2x2x22

所以N4DO二@，

3

I27r47r

所以扇形幺。。的面積S'=—X22X——=——，

233

S.ADO=1x2V3xl=V3，

所以S1=^—JL

所以曲線C所圍成的圖形的面積為44=號(hào)-4?,故錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)P與2（2括,0）或（―2檔,0）重合時(shí)，

貝I]|P0=J（±2G）2+2?=4,故正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)是對(duì)C選項(xiàng)的判斷，求出一個(gè)弓形04B的面積.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在答題卡中的橫線上.

V221

12.已知橢圓一+乙V=1的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為一，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為______.

8m2

【答案】6

【解析】

【分析】利用橢圓方程中表示的義“c及關(guān)系，即可求得掰的值.

【詳解】由橢圓工+亡=1的焦點(diǎn)在x軸上，可知/=8,〃=能，

8m

所以02=/_/=8-加，

再由離心率e=！，即￡=號(hào)二竺=」，

2/84

解得m=6,

故答案為：6.

13.過點(diǎn)尸（0,2）作直線/,使它被兩條相交直線2x-y-2=0和x+.v+3=0所截得的線段，恰好被點(diǎn)尸

平分，則直線/的方程為.

【答案】2x-3j+6=0

【解析】

【分析】設(shè)出直線/與直線4，4的交點(diǎn)坐標(biāo)小打，月）、8（冷,段），然后根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)的相關(guān)性質(zhì)得出

2x—y.—2—0

%2=—再，%=4-必，再然后根據(jù)A在4上以及5在4上得出<,八，解得A的坐標(biāo)，由直線

的兩點(diǎn)式方程即得.

【詳解】設(shè)直線4：2x—y—2=0,l2;x+y+3=0

設(shè)直線/夾在直線4之間的線段為4B（A在4上，8在4上）,

設(shè)力（久1，%）、8（久2，、2），

因?yàn)?s被點(diǎn)尸（0,2）平分，所以西+%2=0,弘+%=4,

于是=一苞，為=4-%，

2再—Vj—2=0

由于A在4上，8在4上，則＜

x2+_y2+3=0

2M—v，—2=0

即《口+i+3=。解得…，必=4,

即A的坐標(biāo)是（3,4）,則直線/的方程是三|=3,

即2x—3y+6=0.

故答案為：2x—3y+6=0.

14.若直線加：x+島+/=0上存在點(diǎn)。，過點(diǎn)。作圓C:（x—3『+/=8的兩條切線，切點(diǎn)分別為

E,F,且N￡0E=9O。，則實(shí)數(shù)f的取值范圍為.

【答案】[-11,5]

【解析】

【分析】由已知得圓C的圓心及半徑，由條件/￡。尸=90°,根據(jù)圖形結(jié)合直線與圓相切性質(zhì)得

|CQ|=4,可知點(diǎn)。在以C為圓心，4為半徑的圓上，結(jié)合題意將點(diǎn)的存在問題轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)

來解決，再由圓心到直線的距離與半徑關(guān)系得出不等式，求解即可.

【詳解】圓C:(x—3?+/=8,圓心C(3,0),半徑r=2&，

如圖，連接CE,CF,由NE勿=90°,結(jié)合切線的性質(zhì)可得,

\CE\=\CF\=r=2y[2,CEVQE,CFLQF,又QE_LQF,

則平面四邊形EQ7。既是矩形，又是菱形，即為正方形.

所以|C0|=J5|CE|=4,即點(diǎn)0在以。為圓心，4為半徑的圓上.

所在圓的方程為(x—3)2+/=16,

由題意若直線加：x+島+/=0上存在點(diǎn)。，滿足ZEQF=90°,

則直線m:x+y/3y+1=0與圓(x-3)2+「=16有公共點(diǎn)，

所以圓心C(3,0)到直線機(jī)的距離

即|3+/|48,解得—HW/W5,

所以/的取值范圍為[—11,5].

故答案為：[-11,5].

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵在于利用相切性質(zhì)將條件NEQF=900轉(zhuǎn)化為點(diǎn)。在定圓上運(yùn)動(dòng),

進(jìn)而將點(diǎn)的存在問題轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)來解決即可.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知V4SC的頂點(diǎn)2(-2,0),5(4,3),C(2,-2).

(1)求N3邊上的高所在直線的方程；

(2)求經(jīng)過點(diǎn)8,且在x軸上的截距是在N軸上的截距的2倍的直線的方程.

【答案】(1)2X+7-2=0

3

(2)y=或x+2y-10=0

【解析】

【分析】(1)求出直線48斜率，由垂直可得高線CD斜率，由點(diǎn)斜式直線方程可得；

(2)按截距是否為0分類討論.當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)出截距式方程代入點(diǎn)的坐標(biāo)待定系數(shù)可得.

【小問1詳解】

如圖，過C作CD148,垂足為。，

,3-01

由題思知kAB==-,

4-(-Z)Z

則左8=—2,又C(2,—2),

故直線CD的方程為：y+2=-2(x-2),即2x+y_2=0,

即邊上的高所在直線的方程為：2x+y-2=0;

由題意，設(shè)直線在歹軸上的截距為。，則在x軸上的截距為2a,

①當(dāng)a=0時(shí)，由直線過8(4,3),則直線方程為y=1x,

②當(dāng)aw0時(shí)，設(shè)直線方程為：—+=

2aa

A3

代入點(diǎn)8(4,3),得—+—=1,解得。=5,

2aa

則直線方程為彳+^=1，即x+2y—10=0,

3

綜上所述，直線方程為：夕=：X或》+2了-10=0

16.已知圓C的圓心。(1力)在第一象限，半徑為石，且經(jīng)過直線x+3y—2=0與直線3x—2y—6=0的

交點(diǎn).

(1)求圓C的方程；

(2)過點(diǎn)尸(L-3)作圓C的切線，求切線的方程.

【答案】(1)(X-1)2+(J-2)2=5

(2)y=2x_5或y=_2x—l

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意設(shè)圓的方程，求出兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程即可;

(2)分切線的斜率是否存在兩種情況討論，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑即可.

【小問1詳解】

由圓C的圓心C(l,6)在第一象限，半徑為石，

可設(shè)圓C的方程為(x—l『+(y—bp=5,其中6＞0,

x+3y—2=0

聯(lián)立＜，解得兩直線的交點(diǎn)為(2,0),

3x-2y-6=0

由(1—2)2+9—0『=(百『得/=4,又因?yàn)?＞0,

所以6=2,圓心為(1,2),

所以圓C的方程為(x——2)2=5；

【小問2詳解】

①當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線為x=l,

此時(shí)，圓心(1,2)到直線的距離d=0w不，舍去;

②當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為＞+3=左a一1),即日—＞一左一3=0,

..|左一2—左一3|5r

此時(shí)，圓心(1,2)到直線的距離d=----],-=I0=\5,

k"+1\k~+1

解得左=±2,

所以切線方程為y=2x_5或y=_2x_l.

17.已知拋物線G的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其焦點(diǎn)R與雙曲線6：/-3=1的上焦點(diǎn)重合，48為拋物線G

上兩點(diǎn).

(1)求拋物線G的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；

(2)若|幺同+忸戶|=8,求線段43的中點(diǎn)到x軸的距離.

【答案】(1)X2=8v,y=-2

(2)2

【解析】

【分析】（1）利用雙曲線的焦點(diǎn)來求拋物線方程；

（2）利用拋物線定義推導(dǎo)的焦半徑公式為尸尸=%+5,即可求解問題.

【小問1詳解】

由題知雙曲線G：/—\=1,

所以/=1萬=3,所以°2=/+/=1+3=4,即雙曲線的上焦點(diǎn)為（0,2）,

由拋物線的焦點(diǎn)為（0,2）,可設(shè)拋物線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x=2py（p>^,

則］=2,夕=4,

所以拋物線G的標(biāo)準(zhǔn)方程為：X2=8V，

其準(zhǔn)線方程為：y=-2；

【小問2詳解】

設(shè)/（石，7）,B（x2,y2）,線段48的中點(diǎn)記為Af（%,%）,

由|AF|+忸制=8,結(jié)合拋物線的焦半徑公式得：%+2+%+2=8,

即乂+%=4,所以％="=2,

即線段的中點(diǎn)到x軸的距離為2.

18.已知片（-2,0）,月（2,0）,點(diǎn)尸滿足仍用-歸閶|=2,記點(diǎn)尸的軌跡為￡.

（1）求軌跡E的方程；

（2）直線/經(jīng)過點(diǎn)2（5,0）,傾斜角為45°,與軌跡E交于兩點(diǎn)9在4。之間），若k=癡萬，

2eR,求幾的值；

（3）已知點(diǎn)7（-1,0）,過點(diǎn)《作直線機(jī)與軌跡E交于M,N兩點(diǎn),記直線力％7N的斜率分別為占，

左2,試問：仁?左2是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）x2-^=l

3

（2）1

(3)是，—1

【解析】

【分析】(1)利用定義判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，再利用雙曲線中基本量的關(guān)系求解即可.

(2)依據(jù)題意寫出直線方程，聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合給定條件求解即可.

(3)用不同方法設(shè)出直線方程，再利用韋達(dá)定理求解，最后將結(jié)果代入左色中，消去變量，得到定值即可.

【小問1詳解】

因?yàn)闅w周一|尸修=2,所以點(diǎn)尸的軌跡為以片(一2,0),￡(2,0)為焦點(diǎn)的雙曲線，

設(shè)此雙曲線方程為二一勺=1(?！?力〉0),

ab

2。=21a?=1

易知｛c，又由/=/—/=3解得

c=2b2=3

即軌跡E的方程為：x2-^=l；

3

【小問2詳解】

因?yàn)橹本€/經(jīng)過點(diǎn)Z(5,0),傾斜角為45°,

X2_2L=1

所以直線/的方程為y=x-5,聯(lián)立3，

x=2x——7

解得.或,，故得點(diǎn)。(2,-3)和點(diǎn)￡>(—7,-12),

b=-3b=-i2

則就=(-3,-3),而=(-12,-12),

由就=￡15得(-3,-3)=4(-12,-12),解得4=(,

【小問3詳解】

如圖，

法一：由題意得直線機(jī)不可能與X軸重合，

設(shè)為：x=ny+2,四（石,弘），N（x2,y2）,

――4=1得到（3〃2-1）/+12即+9=0,

聯(lián)立

x=ny+2

而3/—1w0,△=144〃2—36（3〃-—=36n2+36>0

—12n

%+%=1~7

3/2-1

由韋達(dá)定理得《

9

372-1

/4=%%==_________JV2_________

12

西+1X2+1（〃%+3）（明+3）〃2%〉2+3心1+%）+9

9

37/—1__________9__________

9〃23〃?（一12〃）9〃2-36/+9（3九2-1）-9

3?2-13?2-1

故尢小2是為定值，且該定值為-1，

法二：①當(dāng)直線加的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=2,

可得Af（2,3）,N（2,-3）,此時(shí)左沌2=-1，

②當(dāng)直線機(jī)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為＞=左卜-2）,

――4=1,得到（3-k2產(chǎn)+4入_4/_3=0

聯(lián)立

y=k（x-2）

而3—父/0,A=16A:4+4（3-^2）（4F+3）=36（^2+1）>0

4k②

由韋達(dá)定理得

4左2+3

12左2_3

左2（石2）（%—2）x^x22左2（X]+%）+42?

所以/?上7

玉+1%+1（再+1）（%2+1）X1X2+（再+12）+1

22

k（4k+3）—2后2?妹2+4后2（r—3）_^2

4-2+3+422+12-3一螃—

故勺?k2是為定值，