2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)19平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算含解析新人教A版必修4

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(十九)(建議用時(shí)：45分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．假如用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2，3)，B(4，2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))可以表示為()A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋jC[eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4i＋2j)－(2i＋3j)＝2i－j.]2．若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，則c等于()A．3a－b B．3a＋bC．－a＋3b D．a(chǎn)＋3bA[令c＝xa＋yb，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝x－y，,2＝x＋y，))解得x＝3，y＝－1，故c＝3a－b.]3．已知a－eq\f(1,2)b＝(1，2)，a＋b＝(4，－10)，則a等于()A．(－2，－2) B．(2，2)C．(－2，2) D．(2，－2)D[由已知得2a－b＝(2，4)，a＋b＝(4，－10)，所以3a＝(6，－6)，a＝(2，－2)．]4．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向線段首尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c等于()A．(1，－1) B．(－1，1)C．(－4，6) D．(4，－6)D[因?yàn)?a，3b－2a，c對(duì)應(yīng)有向線段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．]5．已知點(diǎn)A(1，2)，B(2，4)，C(－3，5)．若eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋meq\o(BC,\s\up6(→))，且點(diǎn)P在y軸上，則m＝()A．－2 B．eq\f(1,5)C．－eq\f(1,5) D．2B[設(shè)P(x，y)，由題意eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1＝－5m，,y－2＝m，))∴P(－5m＋1，m＋2)，又點(diǎn)P在y軸上，∴－5m＋1＝0，m＝eq\f(1,5).]二、填空題6．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在其次象限，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝6，∠x(chóng)OA＝150°，向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)為．(－3eq\r(,3)，3)[設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)，則x＝6cos150°＝－3eq\r(,3)，y＝6sin150°＝3，故向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標(biāo)為(－3eq\r(,3)，3)．]7．已知點(diǎn)A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(5，4)[令B(x，y)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x＋1，y＋5)．又eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a＝(6，9)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝6，,y＋5＝9，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4.))所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，4)．]8.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝．4[以向量a的終點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)的水平和豎直的網(wǎng)格線所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)一個(gè)小正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，則a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋μb，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，則eq\f(λ,μ)＝4.]三、解答題9．已知點(diǎn)A(－1，2)，B(2，8)及eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，求eq\o(CD,\s\up6(→))的坐標(biāo)．[解]因?yàn)锳(－1，2)，B(2，8)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，8)－(－1，2)＝(3，6)，eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－3，－6)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(DA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1，－2)，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，－2)－(1，2)＝(－2，－4)．10．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求滿意a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．[解]由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，∴M(0，20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N(9，2)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．[實(shí)力提升練]1．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為()A．(2，6) B．(－2，6)C．(2，－6) D．(－2，－6)D[由條件可知，d＝－[4a＋4b－2c＋2(a－c)]＝－(6a＋4b－4c)＝(－2，－6)，故d＝(－2，－6)．]2．已知A(－3，0)，B(0，eq\r(,3))，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C在其次象限，且∠AOC＝30°，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ的值為．1[由題意知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－3，0)，eq\o(OB,\s\up