全套電子課件：數(shù)字信號(hào)處理-第六套

1第一章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)

本章主要內(nèi)容●

離散時(shí)間信號(hào)——序列●

線性時(shí)（移）不變系統(tǒng)●

線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出描述法—線性常系統(tǒng)差分方程●

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣2第一章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)1.1離散時(shí)間信號(hào)——序列

信號(hào)的幅度和時(shí)間可以取連續(xù)值也可以取離散值，據(jù)此信號(hào)可以分為：（1）連續(xù)時(shí)間信號(hào)：時(shí)間和幅度均取連續(xù)值的信號(hào)，也稱為模擬信號(hào)。（2）離散時(shí)間信號(hào)：時(shí)間上取離散值而幅度是連續(xù)變化的信號(hào)。（3）數(shù)字信號(hào)：時(shí)間和幅度均取離散值的信號(hào)。3離散時(shí)間信號(hào)定義一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)是自變量為整數(shù)n的函數(shù)，稱之為序列。表示為：{x(n)}-∞＜n＜∞為簡(jiǎn)便起見，直接寫成x(n)。注意：x(n)僅僅當(dāng)n為整數(shù)時(shí)才有定義。4

序列的變化規(guī)律可用公式表示，也可用圖形來表示。圖1.1.1表示了一個(gè)具體的離散時(shí)間信號(hào)——序列，橫軸為n。

圖1.1.1離散時(shí)間信號(hào)的圖形表示51.1.1幾種常用序列

1.單位采樣序列（單位沖激）

（1.1.1）

類似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)于系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)，但是t=0時(shí)脈寬趨于零、幅值趨于無窮大、面積為的信號(hào)，是極限概念的信號(hào)。而這里在時(shí)取值為1。單位采樣序列如圖1.1.2所示。

圖1.1.2單位采樣序列

62.單位階躍序列

（1.1.2）

它類似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù)。但在t=0時(shí)常不給予定義，而在時(shí)定義為，如圖1.1.3所示。

圖1.1.3單位階躍序列73.矩形序列

（1.1.3）

如圖1.1.4所示。一般N稱為矩陣序列的長(zhǎng)度。

圖1.1.4矩形序列

、、的關(guān)系如下：84.實(shí)指數(shù)序列

為實(shí)數(shù)（1.1.4）如圖1.1.5所示。當(dāng)時(shí)序列是收斂的，而當(dāng)時(shí)序列時(shí)發(fā)散的。

圖1.1.5實(shí)指數(shù)序列

95.復(fù)指數(shù)序列

（1.1.5）式中為數(shù)字域頻率。復(fù)指數(shù)序列也可以用其實(shí)部虛部或者極坐標(biāo)表示：如果，，由于只取整數(shù)，下面等式成立上式表明當(dāng)σ=0時(shí)，復(fù)指數(shù)序列的頻率具有以為周期的周期性。106.正弦序列

其一般形式為（1.1.6）式中A為幅度，為初始相位，為正弦序列的數(shù)字域頻率，單位是弧度，它表示序列變化的速率，或者說表示二個(gè)相鄰序列值之間變化的弧度數(shù)。111.1.2序列的基本運(yùn)算

序列的基本運(yùn)算包括序列的移位、反轉(zhuǎn)、和、積、卷積等。

1.移位序列的移位是指將原序列x(n)逐項(xiàng)依次平移位而得到的一個(gè)新序列。當(dāng)為正時(shí)，為依次左移（超前）位，為依次右移（延時(shí)）位。為負(fù)時(shí)，則相反。例1.1.1,則如圖1.1.6所示。

圖1.1.6序列移位122.反轉(zhuǎn)

反轉(zhuǎn)序列是原序列相對(duì)于縱軸的鏡像。例1.1.2,則，如圖1.1.7所示。

圖1.1.7序列的反轉(zhuǎn)133.和兩序列的和是指它們同序號(hào)（n）的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加而構(gòu)成的一個(gè)新序列。例1.1.3已知二序列如下：則

如圖1.1.8所示。14

圖1.1.8兩序列相加154.積

兩序列之積是指它們同序號(hào)（n）的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘得到的一個(gè)新序列。例1.1.4x(n),y(n)序列，如上例中圖1.1.8所示。則5.序列乘以常數(shù)a

序列乘以常數(shù)a是指序列x(n)的每一序號(hào)的值都乘以常數(shù)a所得到的新序列。166.卷積

設(shè)兩序列為x(n)、h(n)，則它們的卷積定義為

(1.1.7)其中，用“*”來表示卷積。卷積運(yùn)算在圖形表示上可以分為四步：反轉(zhuǎn)、移位、相乘、求和。例1.1.5試計(jì)算圖1.1.9中二序列的卷積

圖1.1.9例1.1.5的兩個(gè)序列

171.1.3序列的周期性如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使x(n)滿足（1.1.8）則稱序列x(n)是周期序列，其周期為N。下面討論正弦序列的周期性由于則若k為整數(shù)時(shí)，則即18

這時(shí)正弦序列就是周期序列，其周期滿足（N,K必須為整數(shù)）。具體可分以下三種情況：（1）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，只要k=1，就為最小正整數(shù)，故正弦序列的周期即為。（2）當(dāng)不是整數(shù)，而是一個(gè)有理數(shù)時(shí)，k值逐步增加，其取值使為最小整數(shù)，這就是正弦序列的周期。此時(shí)，其中k,N是互為素?cái)?shù)的整數(shù)，（3）當(dāng)為無理數(shù)時(shí)，則任何k都不能使為正整數(shù)，此時(shí)正弦序列不是周期序列。這和連續(xù)信號(hào)時(shí)是不一樣的。同樣，指數(shù)為純虛數(shù)的復(fù)指數(shù)序列的周期性與正弦序列的情況相同。19例1.1.6試確定以下序列的周期。(1)(2)1.1.4序列的能量序列x(n)的能量定義為序列各采樣值的平方和，即（1.1.9）

201.2線性時(shí)（移）不變系統(tǒng)一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可由圖1.2.1來表示，即我們研究的是“線性時(shí)（移）不變”的離散時(shí)間系統(tǒng)

圖1.2.1離散時(shí)間系統(tǒng)211.2.1線性系統(tǒng)

輸入分別為和時(shí)，其輸出分別為和，即，,當(dāng)且僅當(dāng)

(1.2.1)時(shí)，該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。式中a和b為任意常數(shù)。221.2.2時(shí)不變系統(tǒng)若系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)，則稱為時(shí)不變系統(tǒng)(或稱移不變系統(tǒng))。即若

則

(1.2.2)

其中為任意整數(shù)23例1.2.1試根據(jù)判斷系統(tǒng)是否線性系統(tǒng)和時(shí)不變系統(tǒng)。解:①判斷系統(tǒng)的線性

因?yàn)樗?/p>

而

因此

所以此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。24②判斷系統(tǒng)的時(shí)不變性

因?yàn)?/p>

而由于二者相等，故此系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。1.2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系假設(shè)系統(tǒng)輸入為一般序列x(n)系統(tǒng)輸出為25根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)又根據(jù)時(shí)不變性質(zhì)（1.2.3）(1.2.3)式說明，線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出序列等于輸入序列和系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)的卷積。

26例1.2.2設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)，，其輸入序列，求輸出序列y(n)。解:根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系，有

對(duì)于

27離散卷積運(yùn)算服從交換律、結(jié)合律和分配律。即281.2.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性1因果性

指系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出只取決于n時(shí)刻以及n時(shí)刻以前的輸入序列，而與n時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān)。線性時(shí)（移）不變系統(tǒng)具有因果性的充要條件是，n<0

(1.2.4)式中h(n)為系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)序列。292穩(wěn)定性指對(duì)于系統(tǒng)有界輸入，系統(tǒng)輸出也是有界的。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)絕對(duì)可和，即

(1.2.5)30例1.2.3已知線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)，式中a是實(shí)常數(shù)，試分析系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：因?yàn)?/p>

所以

故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)

又因?yàn)樗詴r(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)311.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出描述法—線性常系統(tǒng)差分方程1.3.1線性常系數(shù)差分方程

一個(gè)階線性常系數(shù)差分方程形式如下:(1.3.1)

(1.3.2)

或

321.3.2線性常系數(shù)差分方程的求解例1.3.1設(shè)因果系統(tǒng)用一階差分方程描述，求輸入時(shí)系統(tǒng)的輸出y(n)。假設(shè)初始條件為(1)；(2)

。解:(1)當(dāng)初始條件為時(shí)，

n=0n=1n=2

n=n所以

33(2)當(dāng)初始條件為時(shí)，

n=0n=1

n=2n=n所以

34

實(shí)際中的系統(tǒng)都是可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，因此用遞推法求解時(shí)，總是由初始條件開始向n>0方向遞推。如不考慮因果性，由遞推法解差分方程，可由初始條件向n<0方向遞推，此時(shí)得到的是非因果解。例1.3.1中，設(shè)初始條件為y(n)=0，n>0，求輸出y(n)的遞推過程如下:將n-1用n代替，得到

351.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣（a）采樣器的原理（b）實(shí)際采樣

（c）理想采樣圖1.4.1連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣361.4.1理想采樣

采樣過程如圖1.4.1（c）

(l.4.1)理想采樣輸出為(1.4.2)

把（1.4.1）式代人（1.4.2）式，得

(1.4.3)

由于只在t=mT時(shí)不為零，故

(1.4.4)37理想采樣后信號(hào)頻譜的變化

由頻域卷積定理，若各傅里葉變換分別表示為由（1.4.2）式的關(guān)系可知

（1.4.5)

可表示為（1.4.6)38接下來求而系數(shù)則可表示成上面考慮到在的區(qū)間內(nèi)，只有一個(gè)沖激。

39而時(shí)，都在積分區(qū)間之外，且利用了以下關(guān)系

因而

（1.4.7)由此得出由于（1.4.8)所以（1.4.9)40圖1.4.2表示了和。圖1.4.2周期沖激序列與它的傅里葉變換

41將（1.4.9）式代入（l.4.5）式可得（1.4.10）42（1.4.10）式表明，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)過理想采樣后，其頻譜將以采樣頻率為間隔而重復(fù)，這就是頻譜產(chǎn)生周期延拓，如圖1.4.3所示

圖1.4.3連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣后，頻譜的周期延拓(a）原限帶信號(hào)；(b）時(shí)；(c)時(shí)產(chǎn)生頻譜混疊現(xiàn)象43

理想采樣信號(hào)的頻譜，是頻率的周期函數(shù)，其周期為，而頻譜的幅度則為原模擬信號(hào)幅度的。由于T是常數(shù)（不是的函數(shù)），所以除了一個(gè)常數(shù)因子區(qū)別外，每一個(gè)延拓的譜分量都和原頻譜分量相同。因此只要各延拓分量與原頻譜分量不發(fā)生頻率上的交疊，則有可能恢復(fù)出原信號(hào)。也就是說，如果是一個(gè)限帶信號(hào)，其頻譜如圖1.4.3(a）所示。且最高頻譜分量不超過，即（1.4.11）

44

（1）那么原信號(hào)的頻譜和各次延拓分量的譜彼此不重疊，如圖1.4.3(b）所示。這時(shí)采用一個(gè)截止頻率為的理想低通濾波器，可以不失真地還原出原來的連續(xù)信號(hào)。（2）如果信號(hào)的最高頻率超過，則各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜的交疊，稱為混疊現(xiàn)象，如圖1.4.3(c）所示。結(jié)論：要想采樣后能夠不失真的還原出原模擬信號(hào)，則采樣頻率必須大于兩倍信號(hào)譜的最高頻率（），這就是奈奎斯特采樣定理。即（1.4.13)45采樣的恢復(fù)

如果滿足奈奎斯特采樣定理，即信號(hào)譜的最高頻率小于折疊頻率，則采樣后不會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊，由（1.4.10）式知故將通過以下理想低通濾波器（如圖1.4.4所示）：就可得到原信號(hào)頻譜，如圖1.4.5所示，即46所以輸出端即為原模擬信號(hào)圖1.4.4理想低通濾波器特性

圖1.4.5采樣的恢復(fù)圖47下面討論如何由采樣值來恢復(fù)原來的模擬信號(hào)

理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為

48

由與h(t）的卷積積分，即得理想低通濾波器的輸出為

(1.4.15)49

這就是采樣內(nèi)插公式，即由信號(hào)的采樣值經(jīng)此公式而得到連續(xù)信號(hào)，而稱為內(nèi)插函數(shù)，如圖1.4.6所示。在每一個(gè)采樣點(diǎn)上，只有該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)不為零，這使得各采樣點(diǎn)上信號(hào)值不變，而采樣點(diǎn)之間的信號(hào)則由各加權(quán)采樣函數(shù)波形的延伸疊加而成，如圖1.4.7所示。

圖1.4.6內(nèi)插函數(shù)

圖1.4.7采樣的內(nèi)插恢復(fù)

501.4.2實(shí)際采樣

由于p(t)是周期函數(shù)，故可展成傅里葉級(jí)數(shù)，有

(1.4.16)同樣可求出p(t)的傅里葉系數(shù)（注意，p(t)的幅度為l）(1.4.17)

如果，T一定，則隨著k的變化，的幅度將按下式變化，其中51類似推導(dǎo)，可以得到采樣數(shù)據(jù)信號(hào)的頻譜為

(l.4.18)

圖1.4.8實(shí)際采樣時(shí)，頻譜包絡(luò)的變化52由圖可知由于包絡(luò)的第一個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)在這要求所以

由于，因此包絡(luò)的第一個(gè)零出現(xiàn)在k很大的地方。531.4.3正弦信號(hào)的采樣

設(shè)連續(xù)時(shí)間正弦信號(hào)為（1.4.19）

采樣定理要求采樣頻率大于信號(hào)最高頻率的兩倍,能夠無失真地恢復(fù)出原始的正弦信號(hào)圖1.4.9正弦信號(hào)的采樣（）54一些結(jié)論性的歸納：1．對(duì)（1.4.19）式的正弦信號(hào)，當(dāng)采樣頻率時(shí)，當(dāng)時(shí)無法恢復(fù)原信號(hào)x(t)；當(dāng)時(shí)，可以由x(n)重建原信號(hào)；當(dāng)為已知，且時(shí)，則恢復(fù)的不是原信號(hào)，而是，經(jīng)過移位和幅度變換，仍可得到原信號(hào)；如果未知，則根本得不到原信號(hào)。2．對(duì)（1.4.19）式的信號(hào)，由于有三個(gè)未知數(shù)，只要保證在它的一個(gè)周期內(nèi)均勻地采得三個(gè)樣值，即可由x(n)準(zhǔn)確地重建x(t)。553．對(duì)離散周期的正弦信號(hào)，作截?cái)鄷r(shí)，其截?cái)嚅L(zhǎng)度必須為此周期信號(hào)周期的整倍數(shù)，才不會(huì)產(chǎn)生離散頻譜的泄漏。4．正弦信號(hào)的采樣不宜補(bǔ)零，否則將產(chǎn)生頻譜泄漏。5．考慮到做DFT時(shí)，要求數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)N最好為2的整數(shù)冪，因而對(duì)正弦信號(hào)采樣時(shí)，一個(gè)周期內(nèi)最好采4個(gè)點(diǎn)。56第二章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析

本章主要內(nèi)容●

序列的傅里葉變換●

z變換●

z反變換●

變換的基本性質(zhì)與定理●

序列的z變換與連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系●

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)●

全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)57第二章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析2.1序列的傅里葉變換

2.1.1序列傅里葉變換的定義

設(shè)序列x(n)滿足絕對(duì)可和的條件，即

(2.1.1)

定義

(2.1.2)為序列x(n)的傅里葉變換。

58分析(2.1.2)式，由于式中n取整數(shù)，因此一定滿足下式:M取整數(shù)(1)序列的傅里葉變換是W的周期函數(shù)，周期為。(2)定義(2.1.2)式是的傅里葉級(jí)數(shù)形式。的傅里葉反變換為

(2.1.3)(2.1.2)式和(2.1.3)式則組成了序列的傅里葉變換對(duì)。59例2.1.1設(shè)，求x(n)的頻率響應(yīng)。解：

(2.1.4)

將寫成幅度與相角關(guān)系：

=60當(dāng)N=4時(shí)的幅度和相位隨w頻率變化曲線如圖2.1.1所示。圖2.1.1的幅頻特性與相位特性61例2.1.2一個(gè)理想低通濾波器的頻率響應(yīng)是為截止頻率。如圖2.1.2所示。試求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。圖2.1.2理想低通濾波器的頻率響應(yīng)62解：由式(2.1.3)可得該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為：圖2.1.3表示了截止頻率時(shí)的單位沖激響應(yīng)。圖2.1.3時(shí)，理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)

因?yàn)槔硐氲屯V波器的單位沖激響應(yīng)，在時(shí)不為零，所以它是非因果的，并且可以證明其是無界的，因此理想低通濾波器不是因果穩(wěn)定系統(tǒng)。632.1.2序列傅里葉變換的性質(zhì)

1.線性設(shè)

，則

(2.1.5)

式中a,b為常數(shù)。2.時(shí)移與頻移設(shè)

則

(2.1.6)

(2.1.7)643.帕塞瓦（Parseval）定理

設(shè)

則

(2.1.8)

該定理說明信號(hào)在時(shí)域的能量與在頻域表現(xiàn)的能量相等。4.傅里葉變換的對(duì)稱性先介紹共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列設(shè)序列滿足下式：

（2.1.9）

則稱為共軛對(duì)稱序列。65類似地，可定義滿足下式的序列稱為共軛反對(duì)稱序列：

（2.1.10）

一般序列可用共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列之和表示，即（2.1.11）

式中，和可以分別用原序列求出，將（2.1.11）式中的n用-n代替，再取共軛得到（2.1.12）

利用（2.1.11）和（2.1.12）兩式，得到（2.1.13）

（2.1.14）

66

對(duì)于頻域函數(shù)，也有和上面類似的概念和結(jié)論：（2.1.15）

式中，和分別稱為的共軛對(duì)稱部分和共軛反對(duì)稱部分，它們滿足：（2.1.16）

（2.1.17）

67下面從兩個(gè)方面來討論FT的對(duì)稱性:(1)將序列x(n)分成實(shí)部和虛部，即式中與分別是序列的實(shí)部與虛部。將x(n)進(jìn)行傅里葉變換得到式中

68

結(jié)論：序列分成實(shí)部和虛部?jī)刹糠?，其?shí)部對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛對(duì)稱性，其虛部(包括j)對(duì)應(yīng)的傅里葉變換具有共軛反對(duì)稱性。

(2)將序列x(n)表示為共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和，即式中

,因?yàn)?/p>

69如果，則相應(yīng)的傅里葉變換為（2.1.18）

可見，序列的共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量的傅里葉變換分別等于序列傅里葉變換的實(shí)部和j乘虛部。

705.序列卷積的傅里葉變換

設(shè)

序列x(n),h(n),y(n)的傅里葉變換分別為、、。則

(2.1.19)

證明：略71表2.1.1序列傅里葉變換的性質(zhì)72732.2Z變換2.2.1變換的定義

序列x(n)的z變換的定義為(2.2.1)

式中z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為z平面。亦可將x(n)的z變換表示為2.2.2變換的收斂域(2.2.1)式變換存在的條件是級(jí)數(shù)收斂，要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即(2.2.2)74上式可寫成

在x(n)有界時(shí)，為滿足級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，復(fù)數(shù)z的絕對(duì)值|z|必須限制在一定范圍之內(nèi)，這個(gè)范圍可表示成

(2.2.3)

圖2.2.1環(huán)形收斂域752.2.3幾種序列變換的收斂域1.有限長(zhǎng)序列

序列僅在n1~n2區(qū)間內(nèi)具有非零值，它的z變換為（1）當(dāng)，時(shí)，僅當(dāng)時(shí)才趨于，所以X(Z)的收斂域是除去原點(diǎn)以外的整個(gè)z平面，即；（2）當(dāng)，時(shí)，僅當(dāng)時(shí)才趨于，所以收斂域是除去以外的整個(gè)z平面，即；（3）當(dāng)，時(shí)，X(Z)的收斂域是前兩種情況的公共部分，即。76例2.2.1求的z變換

。解：

X(Z)有一個(gè)極點(diǎn)，也有的一個(gè)零點(diǎn)，因此實(shí)際將

的極點(diǎn)對(duì)消。收斂域?yàn)椤?72、右邊序列

序列x(n)的定義區(qū)間是，則

根據(jù)級(jí)數(shù)收斂性的根值判斷法可知，為使此級(jí)數(shù)收斂，必須滿足關(guān)系式即

所以當(dāng)，X(z)的收斂域?yàn)椤?/p>

當(dāng)，X(z)的收斂域?yàn)椤?/p>

78例2.2.2求的z變換X(z)，。解：

收斂域

即

793.左邊序列

序列x(n)的定義區(qū)間為，則當(dāng)滿足

時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，X(z)存在。此時(shí)的收斂域?yàn)槿簦諗坑驗(yàn)?；若，收斂域?yàn)椤?0例2.2.3求的z變換X(z)。解：

若，即時(shí)級(jí)數(shù)收斂814.雙邊序列序列x(n)的定義區(qū)間為，所以z變換為

最后等號(hào)右邊第一部分為左邊序列的z變換，第二部分為右邊序列的z變換，因此X(z)的收斂域是兩個(gè)級(jí)數(shù)收斂域的公共部分，即如果公共部分不存在，則X(z)也不存在。82例2.2.4求序列的z變換。其中a>0，b>0，a<b。解：

收斂域?yàn)?/p>

83收斂時(shí)

零點(diǎn)為

和，極點(diǎn)為

z=a和z=b。如圖2.2.2所示。

圖2.2.2例2.2.4X(Z)收斂域如果a>b，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。

84現(xiàn)將一些常用序列的變換及其收斂域列于表2.2.1中。

85862.3z反變換

已知X(z)和收斂域，求原序列x(n)的過程叫做z反變換，記作(2.3.1)

2.3.1冪級(jí)數(shù)展開法(長(zhǎng)除法)872.3.2部分分式法

設(shè)序列x(n)的z變換用X(Z)表示

(2.3.3)

式中P(z)是M階多項(xiàng)式，Q(z)是N階多項(xiàng)式，對(duì)于因果序列，收斂域包含處，因此必須滿足。如果X(z)只含一階極點(diǎn)，可將X(z)展開為(2.3.4)88最好寫成

式中是的極點(diǎn)，是在極點(diǎn)處的留數(shù)。(2.3.5)

如果X(z)中含有高階極點(diǎn)，設(shè)X(z)除含有l(wèi)個(gè)一階極點(diǎn)，還有一個(gè)s階的極點(diǎn)，X(z)就展成以下形式：

(2.3.6)89例2.3.2已知，，求X(z)的原序列x(n)。解：式中

90因?yàn)閄(z)的收斂域?yàn)?，因此第一部取收斂域，第二部分收斂域?分別對(duì)應(yīng)的序列為，

所以912.3.3圍線積分法

留數(shù)輔助定理

922.4變換的基本性質(zhì)與定理2.4.1線性

設(shè)序列x(n)和y(n)的z變換分別為X(z)和Y(z)，即則

(2.4.1)

式中a,b為任意常數(shù)。932.4.2序列的移位

如果

,則

,(2.4.2)

2.4.3乘以指數(shù)序列如果

,則94（2.4.3）

可見序列x(n)乘以指數(shù)序列等效于z平面上的尺度展縮。2.4.4序列乘以n如果

,則

(2.4.4)952.4.5初值定理如果x(n)為一因果序列，它的初始值可由下式求得

(2.4.5)初值定理表明，可直接由X(z)來求x(n)的初值x(0)，而不必進(jìn)行z反變換。2.4.6終值定理

如果x(n)是因果序列，X(z)除在z=1處有一階極點(diǎn)外，其它極點(diǎn)均在單位圓以內(nèi)，則(2.4.6)962.4.7共軛序列復(fù)序列x(n)的共軛序列為如果

,則

,(2.4.7)

2.4.8反轉(zhuǎn)序列如果

,則

,(2.4.8)972.4.9卷積定理如果

,,,則(2.4.9)

982.4.10復(fù)卷積定理如果

,,則

(2.4.10)W(z)的收斂域上式中v平面上，被積函數(shù)的收斂域?yàn)?92.4.11帕塞瓦（Parseval）定理如果

,,且

則(2.4.11)

100z變換的主要性質(zhì)匯集于表2.4.1中

1011022.5序列的z變換與連續(xù)信號(hào)的拉普拉斯變換、傅里葉變換的關(guān)系2.5.1序列的z變換與理想采樣信號(hào)的拉普拉斯變換的關(guān)系

設(shè)連續(xù)信號(hào)為，理想采樣后的采樣信號(hào)為，它們的拉普拉斯變換分別為則

而

103代入上式可得(2.5.1)

采樣序列的z變換為104

從上面看出，當(dāng)時(shí)，采樣序列的z變換就等于其理想采樣信號(hào)的拉普拉斯變換。(2.5.2)

(2.5.3),復(fù)變量s平面到復(fù)變量z平面的映射關(guān)系為

1052.5.2x(n)的z變換X(z)和的傅里葉變換的關(guān)系將上面兩個(gè)關(guān)系代入到（2.5.2）式可得

(2.5.6)

可以得到采樣序列在單位圓上的z變換，就等于其理想采樣信號(hào)的傅里葉變換。

1062.6離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)2.6.1系統(tǒng)函數(shù)的定義系統(tǒng)函數(shù)

(2.6.1)它是單位沖激響應(yīng)的z變換，

即

(2.6.2)

在單位圓上()的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。1072.6.2系統(tǒng)函數(shù)的收斂域（1）一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓；（2）一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)因果的充要條件是其系統(tǒng)函數(shù)H(z)在處也收斂；（3）一個(gè)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域應(yīng)包含點(diǎn)和單位圓，則其收斂域表示為，也就是說系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。1082.6.3系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用常系數(shù)差分方程來描述，對(duì)上式取z變換可得到因而

(2.6.3)109將上式分解成：(2.6.4)

式中是H(z)的零點(diǎn)，是H(z)的極點(diǎn)，它們都由差分方程的系數(shù)和決定。因此，除了比例常數(shù)k外，系統(tǒng)函數(shù)完全由它的全部零點(diǎn)，極點(diǎn)來確定。

1102.6.4系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

對(duì)h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到(2.6.5)

稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，它表征了系統(tǒng)的頻率特性。1112.7全通系統(tǒng)與最小相位系統(tǒng)2.7.1全通系統(tǒng)

若一個(gè)線性時(shí)不變穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的形式為（2.7.1）

其頻率響應(yīng)可表示為（2.7.2）

112在（2.7.2）式中，，且，所以（2.7.3）

這類系統(tǒng)稱為全通系統(tǒng)。

1132.7.2最小相位系統(tǒng)

(1)一個(gè)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)，如果其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的所有零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則稱其為“最小相位系統(tǒng)”，其系統(tǒng)函數(shù)記為；

(2)如果其所有零點(diǎn)都在單位圓外，則稱其為“最大相位系統(tǒng)”，其系統(tǒng)函數(shù)記為；

(3)如果其在單位圓內(nèi)、外都有零點(diǎn)，則稱其為“混合相位系統(tǒng)”。全通系統(tǒng)就是一個(gè)“最大相位系統(tǒng)”。

114

任何一個(gè)非最小相位系統(tǒng)均可由一個(gè)最小相位系統(tǒng)和一個(gè)全通系統(tǒng)級(jí)聯(lián)而成。該非最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)可表示為（2.7.12）

式中，為最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，為全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。

本章主要內(nèi)容●幾種傅里葉變換的形式●周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)●離散傅里葉變換（DFT）●離散傅里葉變換的性質(zhì)●有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積與線性卷積的關(guān)系第三章離散傅里葉變換(DFT)3.1幾種傅里葉變換的形式3.1.1連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換若x(t)是一個(gè)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)，則其傅里葉變換對(duì)為：正變換：（3.1.1）

逆變換：

（3.1.2）

式中，是模擬角頻率，是一個(gè)非周期的頻譜密度函數(shù)。變換對(duì)示意圖：圖3.1.1連續(xù)的非周期信號(hào)及其非周期、連續(xù)的頻譜密度

從圖中可以看出時(shí)間函數(shù)的連續(xù)性造成頻率函數(shù)的非周期性，而時(shí)域內(nèi)的非周期性造成頻域內(nèi)譜密度函數(shù)的連續(xù)性。3.1.2連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換

設(shè)是一個(gè)周期性連續(xù)時(shí)間函數(shù)，其周期為，若滿足狄里赫利條件，則可將其展成傅里葉級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)的系數(shù)為。是離散頻率的非周期函數(shù)，和組成的變換對(duì)為：正變換：（3.1.3）逆變換：（3.1.4）式中，為離散頻譜相鄰兩譜線的角頻率間隔；k為諧波序號(hào)。

變換對(duì)示意圖：

圖3.1.2連續(xù)的周期信號(hào)及其非周期的離散譜線

可見，時(shí)間函數(shù)的連續(xù)性造成頻率函數(shù)的非周期性，而時(shí)域內(nèi)函數(shù)的周期性造成頻域內(nèi)頻譜的離散性。3.1.3離散時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換——序列的傅里葉變換

即離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換對(duì)。當(dāng)序列x(n)滿足絕對(duì)可和的條件時(shí)，有

正變換：（3.1.6）逆變換：

（3.1.7）如果把序列看成是由模擬信號(hào)采樣而得，且采樣信號(hào)間隔為T，采樣角頻率為，將x(n)=x(nT)及代入以上變換對(duì)，則變換對(duì)可寫成以下形式：（3.1.8）

（3.1.9）該變換對(duì)示意圖：圖3.1.3離散非周期信號(hào)及其周期性的連續(xù)譜密度

3.1.4離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換

為了利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行頻譜分析，要求傅里葉變換對(duì)的時(shí)域函數(shù)和頻域函數(shù)都是離散函數(shù)，而前三種傅里葉變換對(duì)都不能滿足要求。若對(duì)如圖3.1.3所示的頻域函數(shù)進(jìn)行等間隔采樣且采樣間隔足夠小，使頻域采樣所引起的時(shí)域信號(hào)的周期延拓不會(huì)出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。則可得到離散周期的時(shí)間函數(shù)及其周期離散的頻率函數(shù)。如下圖所示：

圖3.1.4離散周期的時(shí)間函數(shù)及其周期離散的頻譜函數(shù)

綜上可得一般規(guī)律：一個(gè)域的離散必然造成另一個(gè)域的周期延拓，一個(gè)域的連續(xù)必定對(duì)應(yīng)另一個(gè)域的非周期。下表歸納了以上四種情況的時(shí)間函數(shù)和頻率函數(shù)的形式和特點(diǎn)：

時(shí)間函數(shù)

頻率函數(shù)連續(xù)、非周期非周期、連續(xù)連續(xù)、周期（Tp）非周期、離散（?0=2π/Tp)離散（T）、非周期周期（?s=2π/T）、連續(xù)離散（T）、周期（Tp）周期（?s=2π/T）離散（?0=2π/Tp)3.2周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)

3.2.1離散傅里葉級(jí)數(shù)的獲得

考慮一個(gè)非周期序列x(n),其傅里葉變換為，現(xiàn)在在頻率處對(duì)進(jìn)行采樣，采樣間隔為，并且用表示采樣得到的序列，于是有

(3.2.1)

由于序列x(n)的傅里葉變換是ω的周期函數(shù)，周期為2π，所以序列是k的周期函數(shù)，周期為N。同樣，因?yàn)樾蛄械母道锶~變換等于其z變換在單位圓上的值，所以也可以由在單位圓的N個(gè)等間隔點(diǎn)上對(duì)其z變換X(z)采樣而得到，這樣有

(3.2.2)下圖表示了N=8時(shí)的采樣點(diǎn)：

圖3.2.1在單位圓上對(duì)X(z)進(jìn)行采樣

從圖中可以看出，這樣得出的樣本序列是周期序列，其周期為N。

由于序列x(n)的傅里葉變換為

因此，對(duì)的采樣就相當(dāng)于把上式加以離散化，可表示為

式中，復(fù)指數(shù)序列是以N為周期的周期函數(shù)，即從上面看出，一個(gè)周期序列雖然是無限長(zhǎng)序列，但只要知道它一個(gè)周期的內(nèi)容，則它的其他內(nèi)容也就都知道了。所以，實(shí)際上只有一個(gè)周期的N個(gè)序列值有信息，其一個(gè)周期的N個(gè)樣本即可代表該周期序列，其余周期均是這N個(gè)樣本的重復(fù)出現(xiàn)。

因此，在下面對(duì)周期序列的相關(guān)推導(dǎo)中，都只取其一個(gè)周期的N個(gè)序列值。

為了求出對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列，將（3.2.3）式兩邊同乘以，然后在的一個(gè)周期求和，得到（3.2.4）

根據(jù)復(fù)指數(shù)序列的正交性可得所以有（3.2.5）

從以上結(jié)果可以看出，頻域周期序列在時(shí)域上對(duì)應(yīng)的就是周期序列，同時(shí)也說明了頻域的離散化造成了時(shí)域信號(hào)的周期延拓。

通常把周期序列中從n=0到N-1的第一個(gè)周期定義為“主值區(qū)間”，而主值區(qū)間上的序列x(n)稱為的“主值序列”。如果把x(n)看作是在n=0，…，N-1上取下來的一個(gè)周期，則x(n)和之間的關(guān)系可以表述為：是x(n)的周期延拓序列，x(n)是的主值序列，如圖3.2.2所示。

實(shí)際上（3.2.5）式就是周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)的形式，這也說明，與連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)一樣，周期序列可用離散傅里葉級(jí)數(shù)來表示。

同時(shí)，從（3.2.5）式也可以看出，時(shí)域周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)在頻域（其系數(shù)）也是一個(gè)周期序列，它們都是只有一個(gè)周期上的N個(gè)樣本值有信息。這里序列x(n)可看成是的主值序列，于是把前面（3.2.3）式中的求和區(qū)間取在的主值區(qū)間，而用代替序列x(n)，這樣的表達(dá)式可寫為

(3.2.6)

（3.2.5）式和（3.2.6）式合在一起就是一個(gè)頻域和時(shí)域間的變換對(duì)，稱為周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）表示式。

為了方便起見，常采用符號(hào)

DFS(DisertetFourierSeries)變換對(duì)可表示為正變換（3.2.7）逆變換（3.2.8）式中，表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換；表示離散傅里葉級(jí)數(shù)逆變換。

例3.2.1

已知周期序列如圖3.2.3所示，其周期N=10，試求其離散傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。

解：由（3.2.7）式得（3.2.9）

圖3.2.4為的幅值示意圖例3.2.2已知序列，求其傅里葉變換，并在頻率處對(duì)進(jìn)行等間隔采樣。解：序列x(n)即是圖3.2.3所示的周期序列的主值序列（n=0,1,…9）,其傅里葉變換為在頻率處對(duì)進(jìn)行等間隔采樣得

圖3.2.5為的幅值示意圖，圖3.2.6表明圖3.2.4中的序列對(duì)應(yīng)圖3.2.5中的采樣值

3.2.2頻域采樣理論

從前面知道，對(duì)一個(gè)絕對(duì)可和的非周期序列x(n)的傅里葉變換進(jìn)行等間隔采樣，得到頻域周期序列，其一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)為N。也可以由在單位圓的N個(gè)間隔點(diǎn)上對(duì)x(n)的z變換進(jìn)行采樣而得到。設(shè)x(n)的z變換為

則（3.2.11）此式與3.2.1小節(jié)中得到的（3.2.3）式完全相同?，F(xiàn)在的問題是，這樣采樣以后，是否能從周期序列恢復(fù)出原序列？

令的離散傅里葉級(jí)數(shù)的逆變換為，有：

將（3.2.11）式代入式可得：由于故有：

這說明由的離散傅里葉級(jí)數(shù)逆變換得到的時(shí)域周期序列是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其時(shí)域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)N。（3.2.12）式與（3.2.5）式是完全一致的?？梢缘贸鼋Y(jié)論如下：

（1）如果x(n)不是有限長(zhǎng)序列，則時(shí)域周期延拓后，必然會(huì)造成混疊現(xiàn)象。當(dāng)n增加時(shí)信號(hào)的衰減越快，或頻域采樣點(diǎn)數(shù)N越多（采樣越密），誤差就越小。（2）如果x(n)是有限長(zhǎng)序列，點(diǎn)數(shù)為M，則當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N不夠多（采樣不夠密），即N<M時(shí)，x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓，就會(huì)產(chǎn)生混疊，從中就不能夠不失真地恢復(fù)出原信號(hào)x(n)。（3）對(duì)于長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列x(n)，只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N≥M時(shí)，才可以由頻域采樣序列或其主值序列X(k)不失真地恢復(fù)出原信號(hào)，此時(shí)可得到

（3.2.13）這就是所謂的頻域采樣定理。同時(shí)，由以上分析知道，長(zhǎng)度為N（或小于N）的有限長(zhǎng)序列，可以用它的z變換在單位圓上的N個(gè)等間隔點(diǎn)上的采樣值精確地表示。

例3.2.3假設(shè)時(shí)域序列x(n)的長(zhǎng)度為M=9（如圖(a)），試分別以N=7，12為周期對(duì)序列x(n)進(jìn)行周期延拓，并畫出延拓后的序列，說明所得結(jié)果有何不同。(a)長(zhǎng)M=9的有限長(zhǎng)序列x(n)(b)將x(n)的傅里葉變換進(jìn)行N=12點(diǎn)采樣對(duì)應(yīng)的周期序列(c)將x(n)的傅里葉變換進(jìn)行N=7點(diǎn)采樣對(duì)應(yīng)的周期序列解：以N=12為周期將x(n)進(jìn)行周期延拓而成的周期序列為

r為任意整數(shù)，周期序列的每個(gè)周期僅僅是x(n)的重復(fù)（如圖(b)）。

以N=7為周期將x(n)進(jìn)行周期延拓而成的周期序列，由于N<M,則會(huì)出現(xiàn)非零樣本之間的重疊和時(shí)間序列波形的畸變（如圖(c)）。

實(shí)際上圖(c)表示的是一種對(duì)傅里葉變換欠采樣的情況，此種情況下產(chǎn)生時(shí)域混疊。

顯然，只要x(n)為有限長(zhǎng)，時(shí)域混疊就可避免，正如信號(hào)的傅里葉變換，只要是帶寬有限，其頻域混疊也可避免。3.2.3離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì)

設(shè)和都是周期為N的周期序列，它們各自的DFS為（1）線性

式中，a、b為任意常數(shù)。所得到的頻域序列也是周期序列。（2）序列的移位

（3）調(diào)制特性

（4）周期卷積

如果，則

圖3.2.8（下頁）用來說明兩個(gè)周期序列（周期N=6）的周期卷積運(yùn)算過程。在進(jìn)行這個(gè)卷積的過程中，一個(gè)周期的某一序列值移出計(jì)算區(qū)間時(shí)，相鄰的一個(gè)周期的同一位置的序列值就移入計(jì)算區(qū)間。同樣如果則

3.3離散傅里葉變換（DFT）——有限長(zhǎng)序列的離散頻域表示

3.3.1從離散傅里葉級(jí)數(shù)到離散傅里葉變換

如果從時(shí)域周期序列中抽取其主值區(qū)間上的N個(gè)樣本，顯然它是有限長(zhǎng)序列x(n)，從頻域周期序列中抽取其主值區(qū)間上的N個(gè)樣本，即可得到有限長(zhǎng)序列X(k)。定義x(n)與X(k)間的變換關(guān)系為有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換（DFT）關(guān)系。設(shè)x(n)為有限長(zhǎng)序列，長(zhǎng)度為N。把序列x(n)看成是周期為N的周期序列的主值序列，有把看成是序列x(n)以N為周期的周期延拓，有

由上面可以看出，對(duì)于不同的r值，所以x(n)與的上述關(guān)系可以寫為

,式中，RN(n)是長(zhǎng)度為N的矩形序列。同樣，有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換的定義

正變換

逆變換

值得注意的是，不是x(n)的頻譜，它只是有限長(zhǎng)序列x(n)的頻譜在一個(gè)周期(0≤ω<2π)上的采樣。同時(shí)，值得強(qiáng)調(diào)的是，長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列和周期為N的周期序列，都是由N個(gè)值定義的。換句話說，離散傅里葉變換隱含著周期性。例3.3.1已知是一個(gè)長(zhǎng)度為N=16的有限長(zhǎng)序列，求它的N點(diǎn)DFT。解：由DFT的定義（3.3.7）式得利用復(fù)指數(shù)序列的正交特性，再考慮k的取值區(qū)間，可得例3.3.2已知，求其10點(diǎn)IDFT。解：可表示為則

3.3.2有限長(zhǎng)序列的DFT與z變換，傅里葉變換的關(guān)系

設(shè)序列x(n)的長(zhǎng)度為N，其DFT、z變換和傅里葉變換分別為

（3.3.11）

（3.3.12）

（3.3.13）

DFT的物理意義：有限長(zhǎng)序列x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換X(k)是x(n)的z變換X(z)在單位圓一周上的N點(diǎn)等間隔采樣值，亦是x(n)的傅里葉變換在一個(gè)周期上的N點(diǎn)等間隔采樣值，如圖3.3.1所示。

(a)在z平面單位圓上對(duì)x(z)進(jìn)行采樣的各采樣點(diǎn)

(b)X(k)與的關(guān)系示意圖

3.3.3由序列的DFT表達(dá)其z變換及傅里葉變換

設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)(0≤n≤N-1)的z變換為

由于將其代入X(z)中，得

由于，故這就是就是用N個(gè)頻率采樣值來表示的內(nèi)插公式。它可以表示為

，式中稱為內(nèi)插函數(shù)。

內(nèi)插函數(shù)的零極點(diǎn)特性:

令其分母，得，即有一個(gè)極點(diǎn);

令其分子，得，即有N個(gè)零點(diǎn)。的零極點(diǎn)都在單位圓上，極點(diǎn)和第k個(gè)零點(diǎn)剛好抵消，因而只在本身采樣點(diǎn)處不為零，在其他N-1個(gè)采樣點(diǎn)上都是零點(diǎn)，共有N-1個(gè)零點(diǎn)。而在z=0處有N-1階極點(diǎn)，如下圖所示。

現(xiàn)在討論用N個(gè)頻率采樣值表示頻率響應(yīng)的問題。由于序列的傅里葉變換（頻率響應(yīng)）就是單位圓上的z變換。將代入（3.3.17）式，可得

，式中，進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得

式中

稱為內(nèi)插函數(shù)所以

圖3.3.3內(nèi)插函數(shù)的幅頻特性和相頻特性

3.3.4補(bǔ)零DFT

如果離散序列長(zhǎng)度為N，則只要計(jì)算N點(diǎn)DFT。這意味這對(duì)序列x(n)的傅里葉變換在區(qū)間[0,2π)只計(jì)算N個(gè)點(diǎn)的值，其頻率采樣間隔為2π/N。若序列長(zhǎng)度N比較小，2π/N就可能太大，以致于不能直觀地說明x(n)的頻率特性。為解決這一問題，可以用足夠小的間隔對(duì)序列的傅里葉變換進(jìn)行采樣。選擇足夠大的頻率采樣點(diǎn)數(shù)L（L為正整數(shù)）。此時(shí)x(n)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度（N點(diǎn)）不等于頻率采樣點(diǎn)數(shù)（L點(diǎn)）。我們可以人為地把原始數(shù)據(jù)x(n)增補(bǔ)L-N個(gè)零值點(diǎn)，形成L點(diǎn)長(zhǎng)的數(shù)據(jù)序列xL(n),即

于是有顯然，可根據(jù)需要選擇補(bǔ)多少個(gè)零值點(diǎn)，以便得到要求的頻率采樣間隔。

例3.3.3已知，分別求x(n)的4點(diǎn)、8點(diǎn)和16點(diǎn)的離散傅里葉變換。解：是一個(gè)4點(diǎn)長(zhǎng)的矩形序列，其4點(diǎn)離散傅里葉變換為：求x(n)的8點(diǎn)DFT時(shí)，變換區(qū)間長(zhǎng)度N=8，其8點(diǎn)DFT為求x(n)的16點(diǎn)DFT時(shí)，變換區(qū)間長(zhǎng)度N=16，其16點(diǎn)DFT為

圖3.3.4(a)-(e)分別給出了有限長(zhǎng)序列的圖形及其傅里葉變換的幅度，N=4點(diǎn)時(shí)的離散傅里葉變換X(k)和N=8，16點(diǎn)時(shí)x(k)的幅度。3.4離散傅里葉變換的性質(zhì)3.4.1線性

設(shè)x1(n)和x2(n)是長(zhǎng)度分別為N1和N2的兩個(gè)有限長(zhǎng)序列，其線性組合為取，且x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT分別為X1(k)和X2(k)，則y(n)的N點(diǎn)DFT為:

3.4.2循環(huán)移位

1.有限長(zhǎng)序列的循環(huán)移位設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，則x(n)的循環(huán)移位定義為可見y(n)仍是一個(gè)長(zhǎng)度為N得有限長(zhǎng)序列。

x(n)及其循環(huán)移位過程如右圖所示：

2.時(shí)域循環(huán)移位特性設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)的循環(huán)移位序列，即則式中

3.頻域循環(huán)移位特性

設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，且，則這就是調(diào)制特性?？芍獣r(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域序列的循環(huán)移位。3.4.3循環(huán)卷積1.時(shí)域循環(huán)卷積定理設(shè)有限長(zhǎng)序列x1(n)和x2(n)長(zhǎng)度分別為N1和N2

，取，x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換分別為若則類似可證，一般稱這一運(yùn)算為循環(huán)卷積。

循環(huán)卷積過程如下圖，可以看出，它和周期卷積的過程是一樣的，只是這里是利用了循環(huán)移位的概念。

兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的循環(huán)卷積的計(jì)算也可利用循環(huán)矩陣的形式來計(jì)算，即例3.4.1設(shè)x1(n)和x2(n)均是長(zhǎng)度為5的矩形序列，求x1(n)和x2(n)的5點(diǎn)循環(huán)卷積

y1(n)=x1(n)⑤x2(n)及10點(diǎn)循環(huán)卷積y1(n)=x1(n)⑩

x2(n)

解：序列x1(n)和x2(n)分別如圖3.4.3(a)(b)所示，其5點(diǎn)DFT為則y1(n)=x1(n)⑤x2(n)=IDFT[y(k)]=結(jié)果如圖3.4.3(c)所示。

y1(n)=x1(n)⑩

x2(n)=

計(jì)算過程及結(jié)果如圖3.4.3(d)、(e)、(f)所示。圖3.4.3例3.4.2設(shè)x1(n)