微專題24橢圓中與面積有關(guān)的取值范圍問題

微專題24橢圓中與面積有關(guān)的取值范圍問題范圍問題類似于函數(shù)的值域，解析幾何中幾何量的范圍問題，需要選擇合適的變量構(gòu)建出可解出范圍的函數(shù)，是高中數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)難點(diǎn)．解決橢圓中的面積取值范圍問題，關(guān)鍵在于找到構(gòu)建面積的合理路徑，設(shè)法簡(jiǎn)化表達(dá)式，將問題轉(zhuǎn)化為常見的函數(shù)模型，從而求出取值范圍.例題：如圖，已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F(－1，0)，左準(zhǔn)線方程為x＝－2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若A，B兩點(diǎn)滿足OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求△AOB面積的取值范圍．變式1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：eq\f(x2,2)＋y2＝1，點(diǎn)A是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線AF與橢圓交于B點(diǎn)，直線AO與橢圓交于C點(diǎn)，求△ABC面積的最大值．變式2設(shè)橢圓E：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，P為橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.(1)求eq\f(OQ,OP)的值；(2)求△ABQ面積的最大值．

串講1如圖，已知橢圓C：eq\f(x2,2)＋y2＝1，設(shè)A1，A2分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，S為直線x＝2eq\r(2)上一動(dòng)點(diǎn)(不在x軸上)，直線A1S交橢圓C于點(diǎn)M，直線A2S交橢圓于點(diǎn)N，設(shè)S1，S2分別為△A1SA2，△MSN的面積，求eq\f(S1,S2)的最大值．串講2已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(3),2)，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為eq\f(2\r(3),3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．(2018·廣西初賽改編)已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)P，Q，且直線OP，PQ，OQ的斜率成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍．

(2018·南通泰州一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，兩條準(zhǔn)線之間的距離為4eq\r(2).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M在圓x2＋y2＝eq\f(8,9)上，直線AM與橢圓相交于另一點(diǎn)B，且△AOB的面積是△AOM的面積的2倍，求直線AB的方程．答案：(1)eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1；(2)y＝x＋2y＋2＝0，x－2y＋2＝0.解析：(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意得，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(2a2,c)＝4eq\r(2)，2分解得a＝2，c＝eq\r(2)，所以b＝eq\r(2)，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.4分(2)解法1：因?yàn)镾△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，所以點(diǎn)M為AB的中點(diǎn).6分因?yàn)闄E圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，所以A(－2，0)．設(shè)M(x0，y0)，則B(2x0＋2，2y0)，所以x02＋y02＝eq\f(8,9)，①eq\f(（2x0＋2）2,4)＋eq\f(（2y0）2,2)＝1，②10分由①②，得9x02－18x0－16＝0，解得x0＝－eq\f(2,3)或x0＝eq\f(8,3)(舍去)．把x0＝－eq\f(2,3)代入①，得y0＝±eq\f(2,3)，12分所以kAB＝±eq\f(1,2)，因此，直線AB的方程為y＝±eq\f(1,2)(x＋2)，即x＋2y＋2＝0，x－2y＋2＝0.14分解法2：因?yàn)镾△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，所以點(diǎn)M為AB的中點(diǎn).6分設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，,y＝k（x＋2），))得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，所以(x＋2)[(1＋2k2)x＋4k2－2]＝0，解得xB＝eq\f(2－4k2,1＋2k2)，8分所以xM＝eq\f(xB＋（－2）,2)＝eq\f(－4k2,1＋2k2)，10分yM＝k(xM＋2)＝eq\f(2k,1＋2k2)，代入x2＋y2＝eq\f(8,9)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－4k2,1＋2k2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,1＋2k2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,