高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修三）第15講813向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

8.1.3向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算TOC\o"13"\h\u題型1向量坐標(biāo)與基底 4題型2用坐標(biāo)表示平面向量 5題型3平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 8題型4由向量線性運(yùn)算求參數(shù) 10題型5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 13◆類型1向量數(shù)量積 13◆類型2向量垂直 16◆類型3向量夾角 19◆類型4利用向量坐標(biāo)求模長 22◆類型5利用數(shù)量積判斷銳角鈍角 25題型6向量平行相關(guān)考點(diǎn) 30◆類型1向量平行的判定 30◆類型2向量共線求參數(shù) 33◆類型3三點(diǎn)共線問題 35◆類型4不共線問題 39題型7用坐標(biāo)解決線段平行問題 42題型8由坐標(biāo)解決線段長度問題 48題型9向量線段的定比分點(diǎn) 50題型10參數(shù)與取值范圍問題 53知識(shí)點(diǎn)一.平面向量的坐標(biāo)表示1.向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x，y），使得a=xi＋yj.我們把有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）稱為向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a=（x，y）.始點(diǎn)為原點(diǎn)的向量坐標(biāo)與其終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系如圖，作OA=a，即有OA=xi＋yj，,則OA的坐標(biāo)（x，y）就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，點(diǎn)A的坐標(biāo)（x，y）就是向量OA的坐標(biāo)。知識(shí)點(diǎn)二.平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示文字表述符號(hào)表示加法兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量坐標(biāo)的和若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，則：a+b=(x1+x2,y1+y2)減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量坐標(biāo)的差若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，則：ab=(x1x2,y1y2)數(shù)乘向量實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)若a=（x1，y1），b=（x2，y2），λ∈R，則：λa=（λx1，λy1）.向量的坐標(biāo)表示一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)若A（x1，y1），B（x2，y2），AB=(x2x1,y2y1)知識(shí)點(diǎn)三.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示條件向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）坐標(biāo)表示ab=x1x2+y1y2文字表述兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和知識(shí)點(diǎn)四.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的結(jié)論條件結(jié)論a=（x，y）|a|=x表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）|向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）a⊥b?ab=0a，b都是非零向量，a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ是a與b的夾角。cos(2)本質(zhì)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其結(jié)論實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的完全代數(shù)化，并將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(3)應(yīng)用：①求向量的模；②求向量的夾角；③判斷兩個(gè)向量垂直.知識(shí)點(diǎn)五.向量平行的坐標(biāo)表示一般地，設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，，則(1)當(dāng)b≠0，a＝λb.(2)x1y2－x2y1＝0.（充要條件）(3)當(dāng)x2y2≠0時(shí)，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例．注意:（1）兩個(gè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，平行的條件x1y2－x2y1＝0.容易寫錯(cuò)，該條件的正確記法為"交叉相乘，差為0"；（2）當(dāng)兩個(gè)非零的共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)同號(hào)或同為零時(shí)，同向；當(dāng)兩個(gè)非零的共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)異號(hào)或同為零時(shí)，反向。題型1向量坐標(biāo)與基底【例題1】在下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A．e1=0,0，e2=C．e1=3,5，e2=【答案】B【分析】根據(jù)基底需為不共線的非零向量，由此依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，e1對(duì)于B，e1與e對(duì)于C，∵e1=對(duì)于D，∵e1=?故選：B.【變式11】1.下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是()e1=0，0，e2=C.e1=3，5，e2【答案】B【解析】A：零向量與任意向量都共線，故不可以作為它們所在平面內(nèi)所有向量的基底；B：(?1)×7?2×5≠0，所以e1=5，7C：3×10?5×6=0，所以e1=3，5D：2×(?34)?(?3)×12【變式11】2.以下四組向量能作為基底的是（）B．C．D．【答案】B【解析】對(duì)于，與共線，不能作為基底；對(duì)于，與不共線，能作為基底；對(duì)于，與共線，不能作為基底；對(duì)于，與共線，不能作為基底，故選B.【變式11】3.已知A(1，－2)、B(2，1)、C(3，2)和D(－2，3)，以eq\o(AB,\s\up13(→))、eq\o(AC,\s\up13(→))為一組基底來表示eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→)).【解析】eq\o(AB,\s\up13(→))＝(1，3)、eq\o(AC,\s\up13(→))＝(2，4)、eq\o(AD,\s\up13(→))＝(－3，5)、eq\o(BD,\s\up13(→))＝(－4，2)、eq\o(CD,\s\up13(→))＝(－5，1)，∴eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．根據(jù)平面向量基本定理，一定存在實(shí)數(shù)m、n使得eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝m·eq\o(AB,\s\up13(→))＋n·eq\o(AC,\s\up13(→))，∴(－12，8)＝m(1，3)＋n(2，4)，也就是(－12，8)＝(m＋2n，3m＋4n)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝－12,3m＋4n＝8))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝32,n＝－22)).∴eq\o(AD,\s\up13(→))＋eq\o(BD,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→))＝32eq\o(AB,\s\up13(→))－22eq\o(AC,\s\up13(→)).題型2用坐標(biāo)表示平面向量【方法總結(jié)】（1）求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)（2）在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)【例題2】如圖，a、b、c的坐標(biāo)分別為______、______、______．【答案】

?4,0；

0,6；

?2,?5.【分析】根據(jù)圖象，得到向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出結(jié)果.【詳解】由圖可得，a=?6,0??2,0=?4,0，b=2,6?【變式21】1.已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，對(duì)坐標(biāo)平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的始點(diǎn)是原點(diǎn)O；④若x，y∈R，a≠0，且a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)，則a＝(x，y)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4【解析】由平面向量基本定理，知①正確；例如，a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄靠梢云揭?，所以a＝(x，y)與a的始點(diǎn)是不是原點(diǎn)無關(guān)，故③錯(cuò)誤；當(dāng)a的終點(diǎn)坐標(biāo)是(x，y)時(shí)，a＝(x，y)是以a的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故④錯(cuò)誤．【變式21】2.（2021·高一單元測(cè)試）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=2,1，有向線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2到OBA．1,?2 B．?1,2 C．?2,1 D．?2,?1【答案】B【分析】設(shè)B的坐標(biāo)為x,y，由已知用坐標(biāo)表示OB及【詳解】設(shè)B的坐標(biāo)為x,y，由有向線段OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π2可知OB=5且OA?OB=0得B點(diǎn)坐標(biāo)是?1,2.故選：B.【變式21】3若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)與eq\o(AB,\s\up6(→))相等，已知A(1，2)、B(3，2)，則x的值為()A．－1B．－1或4C．4D．1或4【答案】A【解析】∵A(1，2)、B(3，2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，0)，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2,x2－3x－4＝0))，∴x＝－1.【變式21】4．（2022春·江蘇淮安·高一?？茧A段練習(xí)）已知A(?1,0)，B(3,0)，C(0,1)，下列點(diǎn)D的坐標(biāo)中不能使點(diǎn)A、B、C、A．D(2，?1) B．D(4,1) C．D(2,3)【答案】C【分析】利用對(duì)邊平行且相等逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，因?yàn)锳C=(1,1),DB=(1,1)，所以AC=DB，所以AC=DB對(duì)于B，因?yàn)锳C=(1,1),BD=(1,1)，所以AC=BD，所以AC=BD對(duì)于C，因?yàn)锳C=(1,1),CD=(2,2)，所以CD=2AC，因?yàn)镃D,AC有公共端點(diǎn)，所以A,C對(duì)于D，因?yàn)锳B=(4,0),DC=(4,0)，所以AB=DC，所以AB=DC故選：C【變式21】5．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知三點(diǎn)A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若AB和CD是相反向量，則D點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A．(1，0) B．(－1，0)C．(1，－1) D．(－1，1)【答案】C【分析】先由已知條件求出CD的坐標(biāo)，再設(shè)D(x，y)，表示出CD的坐標(biāo)，從而可求出D點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】∵AB與CD是相反向量，∴AB＝－CD.又AB＝(1，1)，∴CD＝(－1，－1).設(shè)D(x，y)，則CD＝(x－2，y)＝(－1，－1).從而x＝1，y＝－1，即D(1，－1).故選：C.題型3平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示【例題3】設(shè)向量a、b的坐標(biāo)分別是(－1，2)、(3，－5)，求a＋b，a－b，2a＋3b的坐標(biāo)；【解析】a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－1－3，2＋5)＝(－4，7)；2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(－2＋9，4－15)＝(7，－11)．【變式31】1．（2021春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在?ABCD中，若AD=2,8，ABA．?1,?12 B．?1,12 C．1,?12 D．1,12【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形法則及加法的坐標(biāo)運(yùn)算，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)平行四邊形法則可知，AB+又AD=2,8，∴AC=故選：B.【變式31】2.（2022春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）向量a??，b滿足a+b=(?1??，???5)A．(3??，???4) B．(?3??，???4) C．(3??，??4) D．(?3??，??4)【答案】B【分析】根據(jù)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)閍+b=?1,5，即2b=?6,8故選：B【變式31】3.若點(diǎn)O(0，0)、A(1，2)、B(－1，3)，且eq\o(OA′,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為________．點(diǎn)B′的坐標(biāo)為________，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的坐標(biāo)為________．【答案】(2，4)(－3，9)(－5，5)【解析】∵O(0，0)，A(1，2)，B(－1，3)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1，3)，eq\o(OA′,\s\up6(→))＝2×(1，2)＝(2，4)，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝3×(－1，3)＝(－3，9)．∴A′(2，4)，B′(－3，9)，eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝(－3－2，9－4)＝(－5，5)．【變式31】4．已知a=3,?2，b=?4,?3，(1)m；(2)m；(3)m的單位向量m0【答案】(1)?5,5(2)52(3)【分析】（1）由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.（2）由平面向量的模長的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解（3）由單位向量的定義和坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閍=3,?2，b=所以m=2（2）由（1）知，m=?5,5，所以（3）m0【變式31】5．在四邊形ABCD中，A?2,0,B?1,3,C3,4A．4,2 B．?4,?2 C．8,4 D．?8,?4【答案】A【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及向量的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)锳?2,0,B?1,3,所以E?32故選：A.題型4由向量線性運(yùn)算求參數(shù)【例題4】已知OA、OB滿足OA?OB=0，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30°，設(shè)A．63 B．4 C．23 【答案】C【分析】由OA?OB=0【詳解】根據(jù)題意可作出如圖所示的幾何圖形，∵OA?OB=0，∴OA⊥OB.∵OC=mOA+nOB，故可分別作向量OC在OA,OB方向上的分向量EC，DC，其中EC=mOA,【變式41】1．已知向量a，b滿足2a?b=0,3，aA．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】設(shè)出向量a，b的坐標(biāo)，根據(jù)條件列出坐標(biāo)方程，即可解出坐標(biāo)，即可進(jìn)一步列出含參數(shù)的坐標(biāo)方程，從而解出參數(shù)【詳解】設(shè)a=x1,y1，b=x2,y2，所以2x1?x2=02故選：B【變式41】2．正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，若AC=λAMA．65 B．85 C．2 【答案】B【分析】以AB，AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，由AC=【詳解】以AB，AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)正方形邊長為1，則AM=1,12，BN=?12,1，AC故選：B．【變式41】3．已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=λa+μ【答案】1【分析】根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.【詳解】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，

記小正方形的邊長為1，則c=3,2，a=1,1，所以3=λ+μ故答案為：13題型5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算◆類型1向量數(shù)量積【例題51】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量a=1,2，b=【答案】?2【分析】利用平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄縜=1,2，所以a?故答案為：?2【變式51】1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量a=?3,4，b=2,5，c=3,?2，則【答案】≠【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算法則和線性運(yùn)算法則計(jì)算出a?b?【詳解】a?b=b?c=故a?故答案為：≠【變式51】2．（2022·四川樂山·統(tǒng)考一模）向量a=1,2,【答案】?5【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)閍=所以2b所以a故答案為：?5【變式51】3.（2023秋·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，向量a,b滿足a=【答案】0【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)的線性運(yùn)算求出b，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閍=1,1,2所以b=(?1,1)，所以a故答案為：0【變式51】4．（2023秋·山西太原·統(tǒng)考階段練習(xí)）在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,點(diǎn)EA．?14 B．14 C．?16 D．?14【答案】A【分析】根據(jù)題意建立合適的平面直角坐標(biāo)系,找到各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)2DE=3DC,求出E【詳解】解:由題不妨以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD方向分別為則A所以DC=23因?yàn)?設(shè)Ex所以2x解得E3所以AE=所以AE?故選:A【變式51】5．（2022春·河南鄭州·高一校考階段練習(xí)）在Rt△ABC中，兩直角邊AB=6，AC=4A．?10 B．?20 C．10 D．20【答案】C【分析】建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，分別表示出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入到BF+【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A0,0，B6,0，C0,4，則EBF=?6,2，CE=則BF+故選：C【變式51】6.（2022秋·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P2,4,Q1,6，向量EF=A．12 B．?12 【答案】D【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)表示及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即得.【詳解】由P2,4,Q1,6可得所以PQ?所以λ=1故選：D．◆類型2向量垂直【例題52】（2023·遼寧沈陽·高二學(xué)業(yè)考試）已知平面向量a=(?2y,1)，b【答案】34##【分析】直接由a⊥b得到【詳解】由已知平面向量a=(?2y,1)，b∴a解得y=故答案為：34【變式52】1.（2022春·北京·高一期末）設(shè)向量a=(3,3)，b=(1,?1)，如果(a+λA．2 B．3 C．3 D．9【答案】C【分析】根據(jù)向量的垂直關(guān)系得到向量的數(shù)量積為0，再將a+λb，a【詳解】因?yàn)閍+所以a+因?yàn)閍=所以a+所以9?λ所以λ=±3又λ>0所以λ故選：C【變式52】2．（2022秋·江西撫州·金溪一中?？茧A段練習(xí)）已知向量m=2,?3，n=1,1，若A．?12 B．12 C．2【答案】D【分析】根據(jù)(λm?【詳解】解：由題意得，λm∵(λ∴2λ∴λ=?2故選：D．【變式52】3.（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校┮阎蛄縜=1,2，b=?1,1，若【答案】4【分析】利用向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示，結(jié)合向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄縜=1,2，所以λa+μ又因?yàn)棣薬所以λa+μb?所以μλ的值為4故答案為：4.【變式52】4.（多選）（2023秋·廣東·校聯(lián)考期末）已知向量a=A．b=2,?3 B．向量aC．a(chǎn)+12b=7 【答案】BD【分析】根據(jù)向量的加法求出a+b，由兩個(gè)向量垂直，數(shù)量積為零，求出y，然后逐一判斷各選項(xiàng)，a在b方向上的投影向量為【詳解】已知a=1,3,∵a+b⊥a，∴3×1+3×cosa,b=a∵a+12ba在b方向上的投影向量為a?故選：BD.◆類型3向量夾角【例題53】（2023秋·廣東·統(tǒng)考期末）已知平面向量a,b滿足a=(1,?1),|b|=1,|A．π6 B．π4 C．π3【答案】D【分析】由已知求出a?b=?1【詳解】解：∵a∴(∴a?a+2b=a故選：D.【變式53】1.(2016·北京)已知向量a＝(1，eq\r(3))，b＝(eq\r(3)，1)，則a與b夾角的大小為________．【答案】eq\f(π,6)【解析】設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1×\r(3)＋1×\r(3),\r(12＋\r(3)2)·\r(12＋\r(3)2))＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2)，又因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).【變式53】2．（2023·全國·專題練習(xí)）已知向量a=3,1，b=2，且2aA．π6 B．π4 C．π3【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.【詳解】依題意有2a∴a?b=0，a又a?b?所以a?b與b的夾角為故選:D．【變式53】3．（2023春·甘肅蘭州·?？奸_學(xué)考試）已知|a|=1，b=1,3，(【答案】2π【分析】根據(jù)給定條件，求出a?【詳解】由b=1,3，得|b|=因此(b+a則cos?a,b?=a所以向量a與向量b的夾角為2π3故答案為：2π【變式53】4．（2023秋·山東東營·東營市第一中學(xué)?？计谀┮阎橇阆蛄縨,n滿足m=(?1,3)，m【答案】2π【分析】由已知得m=2，根據(jù)m?(m?n)=5可推出m?【詳解】設(shè)向量m,由已知可得，m=所以m?(m?又n⊥(m+n)則m?又m?n=?1又0≤θ≤π，所以θ=2π3故答案為：2π3【變式53】5．（2022春·貴州銅仁·統(tǒng)考期末）已知平面向量a=(1+x,x?3),A．π3 B．π4 C．2π【答案】D【分析】先利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解x，再利用夾角公式求解夾角.【詳解】因?yàn)閍=(1+x,x?3),所以a=(2,?2),b=(0,2)cos?a,b所以a與b的夾角為3π故選：D.◆類型4利用向量坐標(biāo)求模長【例題54】（2020春·江蘇南京·高一南京市大廠高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）設(shè)向量BA=(3,?2)，AC=(0,6)，則A．26 B．5 C．26 【答案】B【解析】根據(jù)BA=(3,?2)，AC=(0,6)，結(jié)合向量加法的三角形法則BC=BA【詳解】由BA=(3,?2)，AC=(0,6)∴BC故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合向量加法法則求向量的?！咀兪?4】1.（2022春·山東東營·高一統(tǒng)考期中）已知向量a=(2,3)，b=(3,2)，則A．2 B．2 C．17 D．5【答案】C【分析】求出2a【詳解】∵a=(2,3)，b=(3,2)，∴∴|2a故選：C.【變式54】2.（2022春·廣東廣州·高一執(zhí)信中學(xué)?？计谥校┮阎蛄縜,b滿足a=5，b=(3,4)，A．5 B．52 C．10 D．【答案】B【分析】由題意求得b=5，結(jié)合a【詳解】由向量b=(3,4)，可得b因?yàn)閍=5且a?b故選：B.【變式54】3.（2022春·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以線段AB，AC為鄰邊作平行四邊形，兩條對(duì)角線中較長的對(duì)角線長為____【答案】17【分析】根據(jù)A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，得到AB=【詳解】解：因?yàn)锳(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，所以AB=所以AB+則AB+所以以線段AB，AC為鄰邊作平行四邊形，兩條對(duì)角線中較長的對(duì)角線長為17，故答案為：17【變式54】4.（多選）（2020秋·江蘇南通·高一校聯(lián)考期末）如圖，4×6的方格紙（小正方形的邊長為1）中有一個(gè)向量OA（以圖中的格點(diǎn)O為起點(diǎn)，格點(diǎn)A為終點(diǎn)），則（

）A．分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與OA是相反向量的共有11個(gè)B．滿足OA?OB=C．存在格點(diǎn)B，C，使得OAD．滿足OA?OB=1【答案】BCD【分析】根據(jù)向量的定義及運(yùn)算逐個(gè)分析選項(xiàng)，確定結(jié)果．【詳解】解：分別以圖中的格點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與OA是相反向量的共有18個(gè)，故A錯(cuò)，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A1,2設(shè)B(m,所以(1?m)2+(2?n)2=得B(0,?1)，(2,?1)，(?2,1)共三個(gè)，故B當(dāng)B(1,0)，C(0,2)時(shí)，使得OA=若OA?OB=1，則m+2n=1，(?3?m得B(1,0)，(3,?1)，(?1,1)，(?3,2)共4個(gè)，故D故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題考查向量的定義，坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．◆類型5利用數(shù)量積判斷銳角鈍角【方法總結(jié)】由于0≤θ≤π，利用cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)來判斷角θ時(shí)，要注意cosθ<0有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ＝π；cosθ>0有兩種情況：一是θ是銳角，二是θ＝0.【例題55】（2022·全國·高一假期作業(yè)）已知向量a=(2,1),b=(1,?1)，且a與a【答案】?∞,?5【分析】由兩向量夾角為鈍角得到數(shù)量積小于0，且不反向共線，列出不等式，求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍.【詳解】a+因?yàn)閍與a+所以a?a+且a與a+即21?λ?綜上：λ<?5故答案為：?∞,?5.【變式55】1．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量a=(1,?2)，b=(?1,λ)，若【答案】?【分析】已知?a,b【詳解】解：已知?a所以a?若為相反向量,則兩向量共線，有1?1∴λ所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ>?12故答案為：?1【變式55】2．（2023·全國·專題練習(xí)）已知向量a=1,2，b=2,λ，且a【答案】λ>?1且【分析】利用平面向量夾角為銳角的充要條件，列出不等式求解作答.【詳解】因向量a=1,2，b=2,λ，且a與b的夾角為銳角，于是得a因此，2+2λ>0且λ?4≠0，解得λ所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ>?1且λ故答案為：λ>?1且【變式55】3．（2022秋·北京海淀·人大附中?？计谀┮阎蛄縜=x?1,2,b=2,4A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先求a與b夾角為銳角時(shí)，x的取值范圍，再根據(jù)集合的包含關(guān)系，判斷選項(xiàng).【詳解】當(dāng)a?b=2且當(dāng)a//b時(shí)，4x所以“a與b夾角為銳角時(shí)，x的取值范圍是x>?3且x所以“a與b夾角為銳角”是“x>?3故選：A【變式55】4．（2023秋·浙江·浙江省永康市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知向量a=?1,0，b=x,1?x，則A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．必要不充分條件 D．充分不必要條件【答案】C【分析】若向量a，b夾角為鈍角，則滿足a?b<0【詳解】∵又因?yàn)橄蛄縜，b夾角為鈍角所以滿足a所以x>0且因?yàn)閤>0推不出x>0且又因?yàn)閤>0且x≠1能推出所以x>0是向量a，b故選：C【變式55】5．（2022春·河南信陽·高一信陽高中?？茧A段練習(xí)）下面給出的幾個(gè)關(guān)于向量問題的結(jié)論中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（

）①a?②a?③若a?b<0，則a與b的夾角θ④已知a=λ,2，b=?3,5，若aA．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的計(jì)算公式分別計(jì)算判斷各結(jié)論.【詳解】結(jié)論①：a?b=a?b?cos結(jié)論②：a?b2結(jié)論③：當(dāng)a?b=a?結(jié)論④：若a與b夾角是銳角，則a?b>0，且a，b不共線，即?3λ+5×2>05λ故選：D.【變式55】6..已知A，B，C是平面上三個(gè)不同的點(diǎn)，則“AB?充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件【解析】D.A,B,C可能共線，當(dāng)∠A=180°，ABAC<0,當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)，∠A【變式55】7．（2022春·上海長寧·高一上海市第三女子中學(xué)?？计谀?）已知點(diǎn)A(2,4),B(?1,?6)，點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)，且|AP（2）已知|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為120°,m=2【答案】（1）P的坐標(biāo)為1,23或3,【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得AP,AB，由|AP（2）向量m與n夾角為銳角等價(jià)于m?n>0且m不平行于n【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y得AP=(因?yàn)辄c(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)，且|AP所以AP=13即(或(x解得x=1y=23或x=3y（2）因?yàn)閨a|=2,|b|=1,a所以a?m=?2t因?yàn)閙與n的夾角為銳角，所以m?n>0解得12<t<7，又當(dāng)m與n共線時(shí)有2t綜上，實(shí)數(shù)t的取值范圍是12【變式55】8．（2022秋·上海楊浦·統(tǒng)考期中）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA(1)若A、B、C三點(diǎn)共線，求x的值；(2)若AB與OC夾角為鈍角，求x的取值范圖.【答案】(1)2(2)(?∞,?6)∪【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合a∥【詳解】（1）AB=∵A、B、C則2×1+(x?4)=0，解得（2）由（1）知AB=(2,?1)∵AB與OC夾角為鈍角，可得AB?OC若AB與OC平行，則2×3??1x=0若AB與OC不平行，則x≠?6∴x的取值范圍是(?∞,?6)∪題型6向量平行相關(guān)考點(diǎn)◆類型1向量平行的判定【方法總結(jié)】向量共線的判定方法：(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0直接求解．【例題61】（2022春·湖南張家界·高一統(tǒng)考期末）已知向量a=(?1,2)，b=(2,?4)，則a與A．平行且同向 B．平行且反向 C．垂直 D．不垂直也不平行【答案】B【分析】由兩個(gè)向量的坐標(biāo)得到他們之間的倍數(shù)關(guān)系，進(jìn)而判斷答案.【詳解】根據(jù)題意可知，b→=?2a故選：B.【變式61】1.（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·高一?？计谥校┫铝懈鹘M的兩個(gè)向量，共線的是（

）A．a(chǎn)1=?2,3，b1=C．a(chǎn)3=1,?2，b3=【答案】C【分析】根據(jù)向量的共線的坐標(biāo)表示，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由a1=?2,3，b對(duì)于B中，由a2=2,3，b對(duì)于C中，由a3=1,?2，b對(duì)于D中，由a4=?3,2，b故選：C.【變式61】2.若向量a=(1，2)，b=(2，3)，則與a+b共線的向量可以是（

）A．(2，1) B．(6，10)C．(－1，2) D．(－6，10)【答案】B【分析】求出a+【詳解】由已知a+b=(3,5)，只有(6,10)=2(3,5)，即只有(6,10)故選：B．【變式61】3.（2023·高一單元測(cè)試）兩個(gè)非零向量a=a1A．a(chǎn)a=bC．a(chǎn)?b=【答案】D【分析】由向量平行的條件，結(jié)合充要條件的判定，逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】aa表示a方向上的單位向量，bb表示b方向上的單位向量，兩個(gè)非零向量a，b平行的充要條件是aa非零向量b=b1,b2，b1兩個(gè)非零向量a，b平行，夾角可能是0°也可能是180°，所以a?若兩個(gè)非零向量a，b平行，則存在非零實(shí)數(shù)k，使a=kb，反之，兩個(gè)非零向量a，b，若存在非零實(shí)數(shù)k，使a=k故選：D【變式61】4．（多選）（2022春·江蘇徐州·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量a=(1,?2),A．a(chǎn)//b B．a(chǎn)與C．a(chǎn)+b=0 D．【答案】BD【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，共線向量定理和平面向量基本定理逐項(xiàng)分析即得.【詳解】由題意，向量a=(1,?2),b=(?1,2)所以a//又由a+因?yàn)閎?a=(?2,4)，所以b?a故選：BD.◆類型2向量共線求參數(shù)【方法總結(jié)】利用向量共線求參數(shù)值：向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由向量平行求參數(shù)值.當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解【例題62】（2022春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考期末）已知向量a=2,4，b=1,xA．2 B．?2 C．8 D．?8【答案】A【分析】由平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得x的值.【詳解】由已知可得2x=4，解得故選：A.【變式62】1.已知向量a=1,t，b=3,?6A．?12 B．?2 C．12【答案】B【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于t的等式，即可解得t的值.【詳解】因?yàn)橄蛄縜=1,t，b=3,?6，且a故選：B.【變式62】2.已知向量a=1,1，b=?1,3，c=A．6 B．16 C．7 D．【答案】D【分析】求出向量a?λb【詳解】由已知a?λb=1+λ,1?3故選：D.【變式62】3．已知向量a=(3,1),b=(0,?1),c=(【答案】1【分析】根據(jù)a?2b與【詳解】解：因?yàn)橄蛄縜=(所以a?2又因?yàn)閍?2b與所以3k解得k=1故答案為：1【變式62】4．a(chǎn)=(1,2)，b=(m,1)，若【答案】12【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，即可求得m的值.【詳解】a+2b=(2因?yàn)?a+2b)∥(2a故答案為：1【變式62】5.已知平面向量a，b滿足a=1,3，(1)若b?//a(2)若2a+b【答案】(1)b=1(2)3【分析】（1）運(yùn)用向量的共線定理表示出b，再根據(jù)模長公式建立方程求解即可；（2）根據(jù)向量垂直的等價(jià)形式求出a·(1)由題意設(shè)b=λ1,3，b=λ12(2)∵2a+b即2a2?9故a·b=所以3a◆類型3三點(diǎn)共線問題【方法總結(jié)】1.向量三點(diǎn)共線定理：若OC=λOA2.利用向量共線定理.共線向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示為a∥b，任意一組平行向量都可移到同一直線上，所以稱為共線向量.【例題63】（2021春·江蘇徐州·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量AB=(?2,1?x)，BCA．2 B．1 C．2或1 D．2或1【答案】C【解析】由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得x．【詳解】∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴AB,BC共線，∴?2=x(1?x故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于簡單題．【變式63】1.（2022春·江蘇宿遷·高一泗陽縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知AB=(?1,3),【答案】?【分析】由AB?【詳解】AB?則有5(a+1)+3×2a故答案為：?【變式63】2.已知AB=?1,cosα，BC=2,0，CD=2,2sinA．?2 B．?12 C．1【答案】A【分析】先利用向量共線的坐標(biāo)表示列出關(guān)系式，得到正弦和余弦的關(guān)系，再求正切即可.【詳解】由題意得BD=BC+又A，B，D三點(diǎn)共線，所以AB//BD，即4cosα?2sinα故選：A.【變式63】3.（多選）已知向量a,b不共線，且PQ=a?sinα?A．π6 B．5π6 C．7【答案】CD【分析】三點(diǎn)共線即向量共線，由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得α值再判斷．【詳解】P?Q?R三點(diǎn)共線，即PQ,即a?sin又a,b不共線，所以1=2k?sinα=k，sin故選：CD．【變式63】4.若三點(diǎn)A2,2，Ba,0，C【答案】8【分析】由三點(diǎn)共線得出a,【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)A2,2，Ba,0，C0,b所以BA與CA共線，所以(2?a)(2?b因?yàn)?(a+b又a>0,b>0，故解得a+b故答案為：8．【變式63】5．已知a=(1,0)，b(1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka+b(2)若AB=a+3b，BC=【答案】(1)k=?1【分析】（1）由已知求得ka+b（2）由已知求得AB,【詳解】（1）解：∵a=(1,0)，b=(2,1)，∴k又ka+b與a?2b（2）解：AB=a+3∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴?7m?3(1?2【變式63】6.（2021·高一單元測(cè)試）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，A1,3，B2,1，C（1）若OA⊥BC，求實(shí)數(shù)（2）若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】（1）13；（2）?3【分析】(1)先求出向量OA，BC的坐標(biāo)，再利用向量垂直的坐標(biāo)表示求值；(2)先求出向量AB，BC的坐標(biāo)，由A，B，C三點(diǎn)共線得向量AB與BC共線，再由向量共線的坐標(biāo)表示求值.【詳解】(1)由題知，OA=1,3，若OA⊥BC，則2+3m(2)由題知，AB=1,?2，若A，B，C三點(diǎn)共線，則向量AB與BC共線，有1×m?1?【變式63】7．（2022·高一單元測(cè)試）已知向量OA=3,?4，OB=(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若∠ABC為銳角，求實(shí)數(shù)m【答案】(1)1(2)?【分析】（1）根據(jù)向量運(yùn)算得AB=3,1，（2）結(jié)合題意得BA?BC>0且BA【詳解】（1）解：因?yàn)镺A=3,?4，OB=所以AB=OB?因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以AB與BC共線，所以?3m+m所以實(shí)數(shù)m的值1（2）解：因?yàn)橄蛄縊A=3,?4，OB=所以BA=OA?因?yàn)椤螦BC所以BA?BC>0且BA與BC不共線，即3m+3+所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是?◆類型4不共線問題【例題64】（2022春·江蘇泰州·高一?？茧A段練習(xí)）下列向量組中，能作為基底的是（

）A．e1=(0,0),eC．e1=(3,5),e【答案】B【分析】能作基底的兩個(gè)向量不共線，判斷各選項(xiàng)中的兩個(gè)向量是否共線即可得解.【詳解】對(duì)于A，因e1=0，則有e1//對(duì)于B，因e1=(?1,2),e2=(5,7)，?1?7?2?5≠0，則有e1與對(duì)于C，因e1=(3,5),e2=(6,10)，則有e對(duì)于D，因e1=(2,?3),e2=(12故選：B【變式64】1.（多選）（2022春·河北邯鄲·高一校聯(lián)考期中）下列兩個(gè)向量，不能作為平面中一組基底的是（

）A．e1=1,2，e2=C．e1=1,2，e2=【答案】BC【分析】判斷兩向量是否平行，如平行則不可以作為基底；【詳解】解：A，D選項(xiàng)，e1，eB選項(xiàng)，零向量和任意向量平行，所以e1，eC選項(xiàng)，2e1=e2故選：BC.【變式64】2.（多選）（2022·江蘇·高一專題練習(xí)）（多選題）已知向量OA＝（1，－3），OB＝（2，－1），OC＝（m＋1，m－2），若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是（）A．－2 B．12 C．1 【答案】ABD【分析】先求AB與AC，使之共線并求出m的值，則A，B，C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形，因此m取共線之外的值即可．【詳解】因?yàn)锳B=AC=假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，則A，B，C三點(diǎn)即可構(gòu)成三角形.故選：ABD．【變式64】3.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)OA→=2,?1，OB→=3,0，【答案】m【分析】由題知A,B,C三點(diǎn)不共線，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為【詳解】∵A,∴AB→，AC又∵AB→=1,1∴1×4?1×(m?2)≠0.解得∴m的取值范圍是mm故答案為：m【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于由已知將問題轉(zhuǎn)化為A,B,C三點(diǎn)不共線，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為【變式64】4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若A1,2，B5,?4，【答案】?10【分析】由題設(shè)知三點(diǎn)共線，結(jié)合AB=λAC【詳解】由三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，即三點(diǎn)共線，且AB=(4,?6)，AC所以AB=λAC且λ∈R，則故答案為：?10題型7用坐標(biāo)解決線段平行問題【例題7】（2022春·湖北·高一洪湖市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）順次連接點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(4,0)A．等腰梯形 B．平行四邊形 C．菱形 D．矩形【答案】B【分析】由題可得AB=(1,2),【詳解】因?yàn)锳(1,1)，B(2,3)，C(4,0)所以AB=(1,2),DC=(1,2),∴AB∥DC,AB=DC，且所以四邊形ABCD是平行四邊形.故選：B.【變式71】1．（多選）（2022春·廣東廣州·高一廣州科學(xué)城中學(xué)校考期中）已知A3,2，B5,4，C6,7，則以A，B，CA．4,5 B．8,9 C．2,?1 D．3,?1【答案】ABC【分析】D點(diǎn)位置不確定，分為平行四邊形ABCD，平行四邊形ABDC，平行四邊形ACBD三種情況討論【詳解】設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為Dx若是平行四邊形ABCD，則有AB=可得5?3,4?2=6?x,7?故所求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為D4,5所以A正確若是平行四邊形ABDC，則有AB=可得5?3,4?2=x?6,y故所求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為D8,9所以B正確若是平行四邊形ACBD，則有AC=可得6?3,7?2=5?x,4?y故所求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為D2,?1所以C正確故選：ABC【變式71】2．（2020·高一課時(shí)練習(xí)）已知A(?2,4),C(?3,?4)【答案】(0,20)【解析】設(shè)M(x,【詳解】∵CA=(?2+3,4+4)=(1,8),∴CM設(shè)M(x,y)所以M(0,20)故答案為：(0,20)【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量，根據(jù)向量關(guān)系求解未知點(diǎn)的坐標(biāo).【變式71】3．（2019·高一課時(shí)練習(xí)）已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三點(diǎn)，直線CD⊥AB，且CB∥AD，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是__________【答案】(0,1)【分析】設(shè)D（x，y），由CD⊥AB,得CD?AB＝0，又由CB∥AD得【詳解】根據(jù)題意，設(shè)D（x，y），則CD＝（x﹣3，y）AB＝（1，3），CB＝（1，2），AD＝（x﹣1，y+1）；若CD⊥AB，則CD?AB＝（x﹣3）若CB∥AD，則CB∥由①②得x＝0，y＝1；所以D的坐標(biāo)為（0，1）；故答案為：（0，1）．【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算，也考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.【變式71】4．（2022春·廣西欽州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，|OA|=2|AB|=2，(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求證：OC//【答案】(1)5(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)∠OAB=2π3（2）先求得OC=32【詳解】（1）由題意，因?yàn)椤螼AB=2π3，|AB（2）由題意，OC=OB+BC=52,【變式71】5．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB,AB=2求證：（1）DE//（2）D，M，B三點(diǎn)共線.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，證明四邊形AECD為正方形，分別寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用向量共線證明即可；（2）用向量證明MD//MB，結(jié)合MD與【詳解】以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖.令|AD|=1，則|CD|=1,|AB所以四邊形AECD為正方形，所以各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0),（1）因?yàn)镋D=(?1,1)?(0,0)=(?1,1)，BC所以ED=BC，即（2）因?yàn)镸為EC的中點(diǎn)，所以M0,所以MD=(?1,1)?0,1所以MD=?MB，所以又MD與MB有公共點(diǎn)，所以D，M，B三點(diǎn)共線.【變式71】6．（2022春·江蘇常州·高一華羅庚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA=2AB=4，（1）求點(diǎn)B,（2）求證：四邊形OABC為等腰梯形．【答案】（1）B5,3；【分析】（1）先根據(jù)OA=2AB=4，∠（2）利用向量的坐標(biāo)可得OC//AB,計(jì)算?？傻谩驹斀狻拷猓海?）設(shè)Bx,yy=∴B∴OC∴C（2）證明：連接OC,∵OC=3,3∴OC=3AB，∴又OA=4，BC∴OA∴四邊形OABC為等腰梯形.【變式71】7．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)O(0,0）,A(1,2),（1）若點(diǎn)P在第二象限，求t的取值范圍,（2）四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）?1<t<?【詳解】試題分析：（1）首先寫出向量OP的坐標(biāo)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在第二象限，列不等式求t的取值范圍；（2）若是平行四邊形，只需滿足OP=AB，驗(yàn)證是否存在試題解析：(1)OP=由題意得2t+1<02(2)若四邊形OABP要是平行四邊形，只要OP=而AB=(2,2)，OP=(2t所以四邊形OABP不可能是平行四邊形.題型8由坐標(biāo)解決線段長度問題【例題8】設(shè)OA=1,1，OB=3,0，【答案】5【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)求出向量的模，發(fā)現(xiàn)向量的模之間滿足勾股定理即可進(jìn)一步得解.【詳解】OA=1,1所以AB=所以AB=同理AC=22所以AB2所以△ABC所以S△故答案為：5.【變式81】1．已知點(diǎn)A1,?2，若向量AB與a=2,3同向，AB=213，則點(diǎn)【答案】（5，4）【分析】設(shè)Bx,y，則AB=λa，λ>0【詳解】設(shè)Bx,y，則AB=λa，AB=λa=λ故答案為：5,4.【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行，向量的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.【變式81】2．已知平面內(nèi)的點(diǎn)A2,0，Bx,y，C1,3，若四邊形OABC【答案】3【分析】由OB=【詳解】由向量的平行四邊形法則知，OB=∴|OB故答案為：32【點(diǎn)睛】本題考查了向量的模和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于容易題.【變式81】3．已知向量a=2,?1，b=(1)2a(2)3a(3)b?2【答案】(1)（?2,16）(2)3(3)?【分析】（1）由向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示計(jì)算；（2）求出3a（3）求出b?2(1)2(2)因?yàn)?a?2(3)因?yàn)閎?2c=?5,10，所以【變式81】4．平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),（1）求滿足a=（2）若(a（3）設(shè)d=(x,y)滿足(【答案】（1）m=59,n=8【解析】(1)根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.(2)分別求得(a(3)根據(jù)平行與模長的公式列式求解d=(【詳解】（1）∵a=mb+nc（2）∵(a+k解得k=?（3）∵d?c=(∴4(x?4)?2(y?1)=0,∴d=20+5【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量坐標(biāo)的運(yùn)算以及平行的與模長的公式,屬于中等題型.題型9向量線段的定比分點(diǎn)【方法總結(jié)】線段定比分點(diǎn)的定義：如圖所示，設(shè)點(diǎn)P(x，y)是線段P1P2上不同于P1，P2的點(diǎn)，且滿足P1PPλ叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段P(2)定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示：設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－x1＝λx2－x，,y－y1＝λy2－y，))當(dāng)λ≠－1時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋λx2,1＋λ)，,y＝\f(y1＋λy2,1＋λ).))則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).特別地，①當(dāng)λ＝1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，這就是線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式；②若λ<0，則點(diǎn)P在P1P2的延長線或其反向延長線上，由向量共線的坐標(biāo)表示及平行向量基本定理同樣可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).【特例】已知點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是線段P1P2的中點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；若P是線段P1P2上距P1較近的三等分點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x1＋x2,3)，\f(2y1＋y2,3)))；若P是線段P1P2上距P2較近的三等分點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋2x2,3)，\f(y1＋2y2,3))).【例題9】線段M1M2的端點(diǎn)M1，M2的坐標(biāo)分別為(1，5)，(2，3)，且M1M=?2A．(3，8)B．(1，3)C．(3，1)D．(－3，－1)【答案】C設(shè)M(x，y)，利用線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式，得x＝eq\f(1＋－2×2,1＋－2)＝3，y＝eq\f(5＋－2×3,1＋－2)＝1.【變式91】1.已知兩點(diǎn)P1(3，2)，P2(－8，3)，點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y))滿足eq\o(P1P,\s\up16(→))＝λeq\o(PP2,\s\up16(→))，求λ及y的值．【解析】解法一：因?yàn)閑q\o(P1P,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－3，y－2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，y－2))，eq\o(PP2,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8－\f(1,2)，3－y))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,2)，3－y))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，y－2))＝λ－eq\f(17,2)，3－y)．，根據(jù)向量相等，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)＝－\f(17,2)λ，,y－2＝λ3－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(5,17)，,y＝\f(49,22).))解法二：因?yàn)镻1(3，2)，P2(－8，3)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，y))，所以點(diǎn)P分eq\o(P1P2,\s\up16(→))所成的比λ＝eq\f(\f(1,2)－3,－8－\f(1,2))＝eq\f(5,17).由定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式得y＝eq\f(2＋\f(5,17)×3,1＋\f(5,17))＝eq\f(49,22).【變式91】2.設(shè)點(diǎn)A(2，0)、B(4，2)，點(diǎn)P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【答案】(3，1)或(1，－1)【解析】∵點(diǎn)P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，當(dāng)點(diǎn)P在線段