全國版2017版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)幾何證明選講2直線與圓位置關(guān)系課件理選修4-1

節(jié)直線與圓的位置關(guān)系【知識梳理】1.圓周角、圓心角、弦切角定理(1)圓周角定理:①內(nèi)容:圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的_____.一半②推論:推論1:同弧或等弧所對的圓周角_____;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也_____.推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是_____;90°的圓周角所對的弦是_____.相等相等直角直徑(2)圓心角定理:圓心角的度數(shù)等于它_______的度數(shù).(3)弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧所對的_______.所對弧圓周角2.圓內(nèi)接四邊形及圓的切線的判定及性質(zhì)定理圓內(nèi)接四邊形判定定理定理:如果一個四邊形的對角_____,那么這個四邊形的四個頂點共圓推論:如果四邊形的一個外角等于它的____________,那么這個四邊形的四個頂點共圓性質(zhì)定理(1)圓的內(nèi)接四邊形的對角_____(2)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的___________互補(bǔ)內(nèi)角的對角互補(bǔ)內(nèi)角的對角圓的切線判定定理經(jīng)過半徑的外端并且_____于這條半徑的直線是圓的切線性質(zhì)定理定理:圓的切線_____于經(jīng)過切點的半徑推論:(1)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_____(2)經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過_____垂直垂直切點圓心3.與圓有關(guān)的比例線段定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用相交弦定理弦AB,CD相交于圓內(nèi)點PPA·PB=PC·PD(1)在PA,PB,PC,PD四線段中知三求一(2)求弦長及角定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用割線定理PAB,PCD是☉O的割線PA·PB=PC·PD(1)求線段PA,PB,PC,PD及AB,CD(2)應(yīng)用相似求AC,BD定理名稱基本圖形條件結(jié)論應(yīng)用切割線定理PA切☉O于點A,PBC是☉O的割線PA2=PB·PC(1)PA,PB,PC中知二可求一(2)求解AB,AC切線長定理PA,PB是☉O的切線PA=PB(1)證線段相等,已知PA求PB(2)求角【特別提醒】1.圓周角定理與弦切角定理多用于證明角的關(guān)系,從而證明三角形相似或全等.2.利用圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)定理解決四點共圓問題時,要弄清四邊形的外角和它的內(nèi)對角的位置.3.利用相交弦定理、切割線定理解決與圓有關(guān)的比例線段的計算與證明問題時,要注意相似三角形的知識及相關(guān)圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用.考向一圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形【典例1】如圖,CD為△ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線CD于點D,點E,F分別為弦AB與弦AC上的點,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四點共圓.(1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑.(2)若DB=BE=EA,求過B,E,F,C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)圓的性質(zhì)及相似知識證得∠CBA=90°,可得CA是△ABC外接圓的直徑.(2)連接CE,利用圓的性質(zhì),尋求過B,E,F,C四點的圓的直徑長的平方與△ABC外接圓的直徑長的平方的比值,從而確立圓的面積之比.【規(guī)范解答】(1)因為CD為△ABC外接圓的切線,所以∠DCB=∠A,由題設(shè)知故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因為B,E,F,C四點共圓,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°,所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑.(2)連接CE,因為∠CBE=90°,所以過B,E,F,C四點的圓的直徑為CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC2=DB·BA=2DB2,所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.而DC2=DB·DA=3DB2,故過B,E,F,C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為.【規(guī)律方法】1.圓周角定理常用的轉(zhuǎn)化(1)圓周角與圓周角之間的轉(zhuǎn)化.(2)圓周角與圓心角之間的轉(zhuǎn)化.(3)弧的度數(shù)與圓心角和圓周角之間的轉(zhuǎn)化.(4)圓內(nèi)接四邊形的外角與其相對的內(nèi)角的轉(zhuǎn)化.2.證明四點共圓的常用方法(1)四點到一定點的距離相等.(2)四邊形的一組對角互補(bǔ).(3)四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角.(4)如果兩個三角形有公共邊,公共邊所對的角相等且在公共邊的同側(cè),那么這兩個三角形的四個頂點共圓.【變式訓(xùn)練】(2016·梧州模擬)如圖,已知AB是☉O的直徑,CD是☉O的切線,點C為切點,連接AC,過點A作AD⊥CD于點D,交☉O于點E.(1)證明:∠AOC=2∠ACD.(2)證明:AB·CD=AC·CE.【證明】(1)連接BC,因為CD是☉O的切線,C為切點,所以∠ACD=∠ABC.因為OB=OC,所以∠OCB=∠ABC.又因為∠AOC=∠OCB+∠OBC,所以∠AOC=2∠ACD.(2)因為AB是☉O的直徑,所以∠ACB=90°.又因為AD⊥CD于點D,所以∠ADC=90°.因為CD是☉O的切線,C為切點,OC為半徑,所以O(shè)C⊥CD,所以O(shè)C∥AD,又因為OC=OA,所以∠OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD,所以Rt△ABC∽Rt△CED,所以所以AB·CD=AC·CE.【加固訓(xùn)練】

1.(2016·河南八校模擬)已知AB為半圓O的直徑,AB=4,C為半圓上一點,過點C作半圓的切線CD,過點A作AD⊥CD于點D,交半圓于點E,DE=1.

(1)求證:AC平分∠BAD.

(2)求BC的長.【解析】(1)連接OC.

因為OA=OC,所以∠OAC=∠OCA.

因為CD為半圓的切線,所以O(shè)C⊥CD.

因為AD⊥CD,OC∥AD,所以∠OCA=∠CAD,

所以∠OAC=∠CAD,所以AC平分∠BAD.(2)連接CE,由(1)得∠OAC=∠CAD,

所以BC=CE.

因為A,B,C,E四點共圓,所以∠CED=∠ABC.

因為AB是圓O的直徑,所以∠ACB是直角,

所以Rt△CDE∽Rt△ACB,

所以,所以,所以BC=2.2.(2014·全國卷Ⅰ)如圖,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,AB的延長線與DC的延長線交于點E,且CB=CE.(1)證明:∠D=∠E.

(2)設(shè)AD不是☉O的直徑,AD的中點為M,且MB=MC,證明:△ADE為等邊三角形.【證明】(1)由題設(shè)知,A,B,C,D四點共圓,所以∠D=∠CBE,由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.

(2)設(shè)BC的中點為N,連接MN,由MB=MC知MN⊥BC,故O在直線MN上.又AD不是☉O的直徑,AD的中點為M,故OM⊥AD,

所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.

又∠CBE=∠E,故∠A=∠E,

由(1)知,∠D=∠E,所以△ADE為等邊三角形.考向二圓的切線性質(zhì)與判定定理、弦切角定理【典例2】(2015·全國卷Ⅰ)如圖,AB是☉O的直徑,AC是☉O的切線,BC交☉O于點E.(1)若D為AC的中點,證明:DE是☉O的切線.(2)若OA=CE,求∠ACB的大小.【解題導(dǎo)引】(1)連接OE后證明∠OED是直角.(2)設(shè)出CE,AE的長度,在Rt△CAB中應(yīng)用射影定理求出AE的長度,可得∠ACB的大小.【規(guī)范解答】(1)連接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△ABC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.連接OE,則∠OBE=∠OEB.又∠ACE+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,所以∠OED=90°,所以DE是☉O的切線.(2)設(shè)CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=,由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=,即x4+x2-12=0.可得x=,所以∠ACB=60°.【母題變式】1.在例題(1)的條件下,證明:△CDE∽△AOE.【證明】由(1)知,∠DAO+∠DEO=180°,所以D,A,O,E四點共圓,所以∠CDE=∠AOE,又DC=DE,OA=OE,所以△CDE∽△AOE.2.在(2)的條件下,求的值.【解析】由(2)知,∠ACB=60°.所以∠CAE=∠ABC=30°,所以CB=2CA=4CE,即又O為AB的中點,所以【規(guī)律方法】1.判定切線的三種常用方法(1)和圓有唯一公共點的直線是圓的切線.(2)到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線.(3)過半徑外端點且和半徑垂直的直線是圓的切線.2.弦切角問題的求解思路轉(zhuǎn)化為求同弧上的圓周角.3.切線長問題的求解思路一般利用切線長定理和切割線定理.易錯提醒:利用弦切角定理時,一定要注意弦切角與同弧上的圓周角相等.【變式訓(xùn)練】(2015·全國卷Ⅱ)如圖,O是等腰三角形ABC內(nèi)一點,圓O與△ABC的底邊BC交于M,N兩點,與底邊上的高交于點G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點.(1)證明:EF∥BC.(2)若AG等于圓O的半徑,且AE=MN=2,求四邊形EBCF的面積.【解析】(1)由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分線,又因為☉O分別與AB,AC相切于點E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF,從而EF∥BC.(2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分線,又EF為☉O的弦,所以圓心O在AD上.連接OE,OM,則OE⊥AE.由AG等于☉O的半徑得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等邊三角形.因為AE=2,所以AO=4,OE=2.因為OM=OE=2,DM=MN=,所以O(shè)D=1.于是AD=5,AB=所以四邊形EBCF的面積為【加固訓(xùn)練】

1.如圖,直線PB與圓O相切于點B,點D是弦AC上的點,∠PBA=∠DBA.若AD=m,AC=n,求AB的長度.【解析】因為PB切☉O于點B,

所以∠PBA=∠ACB.

又∠PBA=∠DBA,

所以∠DBA=∠ACB,

又∠A是公共角,

所以△ABD∽△ACB.所以

所以AB2=AD·AC=mn,

所以AB=2.如圖,AB,AC是☉O的切線,ADE是☉O的割線,求證:BE·CD=BD·CE.【證明】因為AB是☉O的切線,

所以∠ABD=∠AEB.

又因為∠BAD=∠EAB,

所以△BAD∽△EAB.

所以同理

因為AB,AC是☉O的切線,

所以AB=AC.

因此

即BE·CD=BD·CE.考向三與圓有關(guān)的比例線段【典例3】(2016·南陽模擬)如圖所示,已知PA與☉O相切,A為切點,過點P的割線交圓于B,C兩點,弦CD∥AP,AD,BC相交于點E,點F為CE上一點,且DE2=EF·EC.(1)求證:CE·EB=EF·EP.(2)若CE∶BE=3∶2,DE=3,EF=2,求PA的長.【解題導(dǎo)引】(1)由已知可得△DEF∽△CED,得到∠EDF=∠C,由平行線的性質(zhì)可得∠P=∠C,于是得到∠EDF=∠P,再利用對頂角的性質(zhì)即可證明△EDF∽△EPA.于是得到EA·ED=EF·EP.利用相交弦定理可得EA·ED=CE·EB,進(jìn)而證明結(jié)論.(2)利用(1)的結(jié)論可得BP=,再利用切割線定理可得PA2=PB·PC,即可得出PA.【規(guī)范解答】(1)因為DE2=EF·EC,∠DEF=∠CED,所以△DEF∽△CED,所以∠EDF=∠C.又因為CD∥AP,所以∠P=∠C,所以∠EDF=∠P,又因為∠DEF=∠PEA,所以△EDF∽△EPA,所以,所以EA·ED=EF·EP.又因為EA·ED=CE·EB,所以CE·EB=EF·EP.(2)因為DE2=EF·EC,DE=3,EF=2,所以32=2EC,所以CE=.因為CE∶BE=3∶2,所以BE=3.由(1)可知:CE·EB=EF·EP,所以×3=2EP,解得EP=所以BP=EP-EB=因為PA是☉O的切線,所以PA2=PB·PC,所以PA2=,解得PA=【規(guī)律方法】1.與圓有關(guān)的比例線段解題思路(1)見到圓的兩條相交弦就要想到相交弦定理.(2)見到圓的兩條割線就要想到割線定理.(3)見到圓的切線和割線就要想到切割線定理.2.應(yīng)用相交弦定理時的注意點相交弦定理為圓中證明等積式和有關(guān)計算提供了有力的方法和工具,應(yīng)用時要注意:(1)要熟記定理的等積式的結(jié)構(gòu)特征.(2)當(dāng)與定理相關(guān)的圖形不完整時,要用輔助線補(bǔ)齊相應(yīng)部分.【變式訓(xùn)練】(2014·全國卷Ⅱ)如圖,點P是☉O外一點,PA是切線,點A為切點,割線PBC與☉O相交于點B,C,PC=2PA,點D為PC的中點,AD的延長線交☉O于點E.證明:(1)BE=EC.(2)AD·DE=2PB2.【證明】(1)因為PC=2PA,PD=DC,所以PA=PD,△PAD為等腰三角形.連接AB,則∠PAB=∠DEB=β,∠BCE=∠BAE=α.因為∠PAB+∠BCE=∠PAB+∠BAD=∠PAD=∠PDA=∠DEB+∠DBE,所以β+α=β+∠DBE,所以α=∠DBE,即∠BCE=∠DBE,所以BE=EC.(2)因為AD·DE=BD·DC,PA2=PB·PC,PD=DC=PA,