高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修二）第09講413獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系

4.1.3獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系TOC\o"13"\h\u題型1相互獨(dú)立事件的判斷 2題型2相互獨(dú)立事件的概率 9題型3相互獨(dú)立事件與互斥事件 17題型4獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用 22題型5遞推法求概率 28知識點(diǎn)獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系當(dāng)P（B）>0時(shí)，事件A與事件B相互獨(dú)立的充要條件是P（A|B）=P（A）.這就是說，此時(shí)事件A發(fā)生的概率與已知事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的概率相等．也就是事件B的發(fā)生，不會(huì)影響事件A發(fā)生的概率.特別提醒（1）從必修的內(nèi)容中我們已經(jīng)知道，A與B相互獨(dú)立（簡稱為獨(dú)立）的充要條件是P（AB）=P（A）P（B），而且A與B獨(dú)立的直觀理解是，事件A是否發(fā)生不會(huì)影響事件B是否發(fā)生的概率，事件B是否發(fā)生也不會(huì)影響事件A是否發(fā)生的概率；（2）多個(gè)事件之間的相互獨(dú)立也可借助條件概率來理解，“A1，A2，…，An相互獨(dú)立”也可說成“A1，A2，…，An相互不影響”.需要強(qiáng)調(diào)的是，同以前一樣，實(shí)際問題中，我們常常依據(jù)實(shí)際背景去判斷事件之間是否存在相互影響，若可認(rèn)為事件之間沒有影響，則認(rèn)為它們相互獨(dú)立；已知事件相互獨(dú)立時(shí)，根據(jù)每個(gè)事件發(fā)生的概率可以方便地求出它們同時(shí)發(fā)生的概率.題型1相互獨(dú)立事件的判斷【方法總結(jié)】判斷事件是否相互獨(dú)立的方法定義法∶事件A，B相互獨(dú)立→P（A∩B）=P（A）·P（B）；由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響；（3）條件概率法∶當(dāng)P（A）>0時(shí)，可用P（B|A）=P（B）判斷.注意：互斥事件與相互獨(dú)立事件的區(qū)別互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立事件以能夠同時(shí)發(fā)生為前提.【例題11】（2022·全國·高二期中）（多選）已知PA=1A．事件A與事件C相互獨(dú)立B．事件A與事件B相互獨(dú)立C．事件B與事件C相互獨(dú)立D．事件B與事件D相互獨(dú)立【答案】AD【分析】由相互獨(dú)立事件的概率特征判斷即可【詳解】對于B：因?yàn)镻A=所以PAC=PA?對于B：因?yàn)镻A=所以PAB≠PA?對于C：因?yàn)镻B=所以PBC≠PB?對于D：因?yàn)镻B=所以PBD=PB?故選：AD【變式11】1．（2022·甘肅·西北師大附中高二期中）從1，2，3，4，5中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù).(1)寫出此試驗(yàn)的樣本空間；(2)求組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率；(3)判斷事件“組成的兩位數(shù)是偶數(shù)”與事件“組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)”是否獨(dú)立，并說明理由.【答案】(1)12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54(2)25【分析】（1）利用列舉法即可得到此試驗(yàn)的樣本空間；（2）利用公式去求組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率；（3）利用公式去判斷兩事件是否獨(dú)立.【詳解】（1）從1，2，3，4，5中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)則此試驗(yàn)的樣本空間為12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54（2）組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的共有8種情況，樣本空間共有20種情況，則組成的兩位數(shù)是偶數(shù)的概率為8（3）組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的共有8種情況，樣本空間共有20種情況，則組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率為8組成的兩位數(shù)是偶數(shù)且為3的倍數(shù)共有4種情況，樣本空間共有20種情況，則組成的兩位數(shù)是偶數(shù)且為3的倍數(shù)的概率為4記“組成的兩位數(shù)是偶數(shù)”為事件A；記“組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)”為事件B則“組成的兩位數(shù)是偶數(shù)且為3的倍數(shù)”為事件AB則P由25×則事件“組成的兩位數(shù)是偶數(shù)”與事件“組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)”不互相獨(dú)立.【變式11】2．（2022·廣東廣州·高二期中）（多選）A，B兩組各有2名男生、2名女生，從A，B兩組中各隨機(jī)選出1名同學(xué)參加演講比賽．甲表示事件“從A組中選出的是男生小明”，乙表示事件“從B組中選出的是1名男生”，丙表示事件“從A，B兩組中選出的是2名男生”，丁表示事件“從A，B兩組中選出的是1名男生和1名女生”，則（

）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．甲與乙相互獨(dú)立 D．乙與丁相互獨(dú)立【答案】BCD【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式可判斷各選項(xiàng)中的兩個(gè)事件是否獨(dú)立，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】記“從A組中選出的是男生小明”為事件M，“從B組中選出的是1名男生”為事件N，“從A，B兩組中選出的是2名男生”為事件S，從A，B兩組中選出的是1名男生和1名女生”為事件T，則P(M)=P(S)=而P(MS)=P(MT)=P(P(NT)=故選：BCD.【變式11】3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個(gè)口袋中有大小、形狀完全相同的4個(gè)紅球，3個(gè)藍(lán)球，3個(gè)白球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)抽取3個(gè)球．事件甲：3個(gè)球的顏色互不相同；事件乙：恰有2個(gè)紅球；事件丙：至多有1個(gè)藍(lán)球；事件?。?個(gè)球顏色均相同．則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件甲與事件丁為對立事件 B．事件乙的概率是事件丁的6倍C．事件丙和事件丁相互獨(dú)立 D．事件甲與事件丙相互獨(dú)立【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷A，求出事件甲，乙，丙，丁的概率，由此判斷B，結(jié)合獨(dú)立事件的定義判斷C，D.【詳解】事件甲與事件丁為互斥事件，但事件取得的3個(gè)球?yàn)?個(gè)紅球，1個(gè)白球發(fā)生時(shí)，事件甲與事件丁都不發(fā)生，所以事件甲與事件丁不對立，A項(xiàng)錯(cuò)誤；事件甲的概率P1=C41C31C31C10故選：B．【變式11】4．（2022·北京豐臺(tái)·高二期中）如圖，一個(gè)質(zhì)地均勻的正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，設(shè)該數(shù)字為x.若設(shè)事件A=“x為奇數(shù)”，事件B=“x為偶數(shù)”，事件C=“x為3的倍數(shù)”，事件DA．事件A與事件B B．事件B與事件CC．事件A與事件D D．事件C與事件D【答案】B【分析】分別寫出A，B，C，D包含的樣本空間，根據(jù)相互獨(dú)立事件滿足的乘法公式，即可判斷.【詳解】由題意可得A={1，3，5，7}，B={2，4，6，8}，C={3,6}AB=?,由古典概型概率公式可得：PA=所以P(AB)≠PAPB故ACD錯(cuò)誤，B正確．故選：B【變式11】5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列A，B為獨(dú)立事件的是__________________（寫出所有正確選項(xiàng)的序號）．①投擲骰子一次，A：投出點(diǎn)數(shù)為3，B：投出點(diǎn)數(shù)為2；②投擲骰子兩次，A：第一次投出點(diǎn)數(shù)為3，B：第二次投出點(diǎn)數(shù)為5；③從一副52張牌中，隨機(jī)不放回地依次抽取2張，A：第一張抽中7，B：第二張抽中7；④從一副52張牌中，隨機(jī)有放回地依次抽取2張，A：第一張抽中紅桃，B：第二張抽中黑桃．【答案】②④【分析】利用獨(dú)立事件的判定條件P(AB)=P(【詳解】①投擲骰子一次，A：投出點(diǎn)數(shù)為3，B：投出點(diǎn)數(shù)為2則P(A)=16②投擲骰子兩次，A：第一次投出點(diǎn)數(shù)為3，B：第二次投出點(diǎn)數(shù)為5則P(A)=16③從一副52張牌中，隨機(jī)不放回地依次抽取2張，A：第一張抽中7，B：第二張抽中7；則P(則P(AB)≠④從一副52張牌中，隨機(jī)有放回地依次抽取2張，A：第一張抽中紅桃，B：第二張抽中黑桃．則P(則P(AB)=故答案為：②④【變式11】6．（2022·山東青島·高二期中）有6個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字為2”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字為3”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和為8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和為7”，則（

）A．丙與丁相互獨(dú)立 B．甲與丙相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．乙與丁相互獨(dú)立【答案】D【分析】計(jì)算各事件概率，再根據(jù)獨(dú)立事件概率的關(guān)系依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】兩次取出的球的數(shù)字之和為8，有2,6,P丙兩次取出的球的數(shù)字之和為7，有1,6,P丁P甲P丙丁=0≠PP乙丙=1故選：D.【變式11】7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）有兩個(gè)設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)，一個(gè)比較穩(wěn)重，記作C，另一個(gè)具有創(chuàng)新性，記作N．要求他們分別在一個(gè)月內(nèi)做一個(gè)設(shè)計(jì)，從過去的經(jīng)驗(yàn)知道：C的成功概率為23；N的成功概率為12；兩個(gè)團(tuán)隊(duì)中至少有一個(gè)成功的概率為問：從過去的經(jīng)驗(yàn)推斷C的成功及N的成功是否相互獨(dú)立，并說明理由．【答案】C的成功與N的成功不相互獨(dú)立，理由見解析【分析】求出PCN【詳解】C的成功與N的成功不相互獨(dú)立．理由：PC=23，PN從而可得C的成功與N的成功不相互獨(dú)立.【變式11】8．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）投擲一顆骰子一次，定義三事件如下：A={1,2,3}，B={1,4,5}，(1)A、C是否相互獨(dú)立？(2)B、C是否相互獨(dú)立？【答案】(1)A，C不相互獨(dú)立；(2)B，C相互獨(dú)立．【分析】（1）（2）求出P(A)、P(C)、（1）由題意P(A)=12，P所以P(AC)≠P(（2）由題意P(B)=12，P所以P(BC)=P(題型2相互獨(dú)立事件的概率【方法總結(jié)】求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的關(guān)注點(diǎn)條件∶各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們同時(shí)發(fā)生.（2）公式∶P（A1A2…Ai）=P（A1）P（A2）…P（Ai）.【例題2】（2022·河南·修武一中高二開學(xué)考試（理））已知事件A,B相互獨(dú)立，且A．PA=2C．PA+B【答案】C【分析】根據(jù)事件A,B，A,B，【詳解】由題意，事件A,B相互獨(dú)立，則A,B，事件A與事件A為對立事件，且PA=13，則PA=1?PA=1?13事件A,B相互獨(dú)立，事件A+事件A,B，A,所以PA故選：C.【變式21】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））在一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件A為“兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件B為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件B與事件C是對立事件 B．事件A與事件B不是相互獨(dú)立事件C．PA?P【答案】C【分析】根據(jù)對立事件，獨(dú)立事件的概念及古典概型概率公式逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對于A，事件B與事件C是相互獨(dú)立事件，但不是對立事件，故A錯(cuò)誤；對于B，對于事件A與事件B，PA=12,對于C，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，記錄的結(jié)果一共有4×4=16種，其中，事件A發(fā)生，則兩次朝下的點(diǎn)數(shù)為一奇一偶，有2×2+2×2=8種，所以PA因?yàn)閽仈S正四面體向下的數(shù)字為奇數(shù)和偶數(shù)的方法種數(shù)相同，所以PB=2所以PA對于D，事件ABC表示第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)，第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故PABC故選：C．【變式21】2．（2022·湖北·高二期中）（多選）下列描述正確的是（

）A．若事件A，B滿足PAB．若PAB=19，C．?dāng)S兩枚質(zhì)地均勻的骰子，“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是對立事件D．一個(gè)袋子中有2個(gè)紅球，3個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)地取出兩球第二次取到紅球的概率是2【答案】BD【分析】根據(jù)對立事件、相互獨(dú)立事件的定義，結(jié)合古典概型運(yùn)算公式逐一判斷即可.【詳解】A：事件A：擲一枚硬幣，正面朝上；事件B：擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，顯然PA=1顯然A與B不是對立事件，所以本選項(xiàng)不正確；B：因?yàn)镻A=23，所以所以事件A與B相互獨(dú)立，所以本選項(xiàng)正確；C：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)可以同時(shí)出現(xiàn)，故不是對立事件；D：因?yàn)椴捎貌环呕胤绞綇闹幸来坞S機(jī)地取出兩球，所以第二次取到紅球的概率是25故選：BD【變式21】3．（2022·全國·高二期末）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球(球除顏色外，大小質(zhì)地均相同)．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1A2和A3表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①事件A1與A②A1，A2，③P(④PB⑤PA．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】先判斷出A1，A2，A3【詳解】顯然，A1，A2，PA1=55+2+3PA2=25+2+3PBPA故選：C【變式21】4．（2022·湖南·高一期末）目前，新冠還在散發(fā)，防疫任重道遠(yuǎn)，經(jīng)濟(jì)下行，就業(yè)壓力大，為此，國家大力提倡大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè).小李大學(xué)畢業(yè)后在同一城市開了A，B兩家小店，每家店各有2名員工.五一期間，假設(shè)每名員工請假的概率都是12(1)求有員工被調(diào)劑的概率；(2)求至少有一家店停業(yè)的概率.【答案】(1)18(2)【分析】(1)設(shè)事件Ai=“A家小店有i名員工請假”，Bi=“B家小店有(2)記事件D=“至少有1家店停業(yè)”，則D(1)記事件Ai=“A家小店有i名員工請假”，Bi=“B家小店有由題設(shè)知，事件Ai，Bi相互獨(dú)立，且PA1記事件C=“有員工被調(diào)劑”，則C且A0B2，A故有員工被調(diào)劑的概率為18(2)記事件D=“至少有1家店停業(yè)”，則D且A2B1，A1B故至少有一家店停業(yè)的概率為516【變式21】5．（2021·廣東·佛山一中高二期中）射箭是群眾喜聞樂見的運(yùn)動(dòng)形式之一，某項(xiàng)賽事前，甲、乙兩名射箭愛好者各射了一組（72支）箭進(jìn)行賽前熱身訓(xùn)練，下表是箭靶區(qū)域劃分及兩人成績的頻數(shù)記錄信息：箭靶區(qū)域環(huán)外黑環(huán)藍(lán)環(huán)紅環(huán)黃圈區(qū)域顏色白色黑色藍(lán)色紅色黃色環(huán)數(shù)12環(huán)34環(huán)5環(huán)6環(huán)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲成績(頻數(shù))0012363624乙成績(頻數(shù))01246113612用賽前熱身訓(xùn)練的成績估計(jì)兩名運(yùn)動(dòng)員的正式比賽的競技水平，并假設(shè)運(yùn)動(dòng)員競技水平互不影響，運(yùn)動(dòng)員每支箭的成績也互不影響.(1)估計(jì)甲運(yùn)動(dòng)員一箭命中10環(huán)的概率及乙運(yùn)動(dòng)員一箭命中黃圈的概率；(2)甲乙各射出一支箭，求有人命中10環(huán)的概率；(3)甲乙各射出兩支箭，求共有3支箭命中黃圈的概率.【答案】(1)甲：13，乙：23；(2)49【分析】（1）設(shè)A=“甲運(yùn)動(dòng)員一箭命中10環(huán)”，B=“乙運(yùn)動(dòng)員一箭命中黃圈”，根據(jù)古典概型的概率求法即可求出PA（2）設(shè)C=“乙運(yùn)動(dòng)員一箭命中10環(huán)”，D=“有人命中10環(huán)”，根據(jù)古典概型的概率求法求出P(（3）設(shè)Ai=“甲運(yùn)動(dòng)員第i箭命中黃圈”，Bi=“乙運(yùn)動(dòng)員第i箭命中黃圈”，根據(jù)古典概型的概率求法求出P(Ai(1)解：設(shè)A=“甲運(yùn)動(dòng)員一箭命中10環(huán)”，B則PA=24所以甲運(yùn)動(dòng)員一箭命中10環(huán)的概率為13，乙運(yùn)動(dòng)員一箭命中黃圈的概率為2(2)解：設(shè)C=“乙運(yùn)動(dòng)員一箭命中10環(huán)”，D=“有人命中10環(huán)”，則D=A+C，P(A)=∴P所以甲乙各射出一支箭，有人命中10環(huán)的概率為49(3)解：設(shè)Ai=“甲運(yùn)動(dòng)員第i箭命中黃圈”，則P(AiE=又A1,A2,故P=5所以甲乙各射出兩支箭，共有3支箭命中黃圈的概率為3581【變式21】6．（2022·上海·高二單元測試）在某校舉辦的元旦有獎(jiǎng)知識問答中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保知識的問題，已知甲回答對這道題的概率是34，甲、丙兩人都回答錯(cuò)的概率是112，乙、丙兩人都回答對的概率是(1)求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三人同時(shí)回答這道題時(shí)恰有一人答錯(cuò)該題的概率.【答案】(1)乙回答對這道題的概率為38，丙回答對這道題的概率為23；(2)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式可求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果可求甲、乙、丙三人同時(shí)回答這道題時(shí)恰有一人答錯(cuò)該題的概率.（1）設(shè)A為“甲回答對這道題”，B為“乙回答對這道題”，C為“丙回答對這道題”，則P(而P(AC)=1又P(BC)=P(B)（2）“甲、乙、丙三人同時(shí)回答這道題時(shí)恰有一人答錯(cuò)該題”可表示為：ABC+=3【變式21】7．（2022·甘肅·西北師大附中高二期中）（多選）下列四個(gè)命題正確的為（

）A．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則向上點(diǎn)數(shù)之和不小于10的概率為1B．新高考改革實(shí)行“3+1+2”模式，某同學(xué)需要從政治?地理?化學(xué)?生物四個(gè)學(xué)科中任選兩科參加高考，則選出的兩科中含有政治學(xué)科的概率為1C．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是13，那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為D．設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為19，A發(fā)生且B不發(fā)生的概率與B發(fā)生且A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率為【答案】ABD【分析】由古典概型的計(jì)算公式求解可判斷AB；由相互獨(dú)立事件的概率公式求解可判斷CD【詳解】對于A：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，總的基本事件數(shù)為：1,1,3,1,5,1,共36種，其中向上點(diǎn)數(shù)之和不小于10的有，4,6，5,5,則向上點(diǎn)數(shù)之和不小于10的概率為636對于B：某同學(xué)需要從政治?地理?化學(xué)?生物四個(gè)學(xué)科中任選兩科參加高考有C4選出的兩科中含有政治學(xué)科的有C11C對于C：該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈，則前2個(gè)路口不是紅燈，第3個(gè)路口是紅燈，所以該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為1?1對于D：由題意得1?PA1?故選：ABD題型3相互獨(dú)立事件與互斥事件【例題3】（2022·全國·高二）設(shè)A，B是兩個(gè)概率大于0的隨機(jī)事件，則下列論述正確的是（

）A．若A，B是對立事件，則事件A，B滿足P（A）＋P（B）＝1B．事件A，B，C兩兩互斥，則P（A）＋P（B）＋P（C）＝1C．若A和B互斥，則A和B一定相互獨(dú)立D．P（A＋B）＝P（A）＋P（B）【答案】A【分析】A.該選項(xiàng)正確；B.事件A，B，C兩兩互斥，舉例說明該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.若A和B互斥，則A和B一定不相互獨(dú)立，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.只有當(dāng)A和B互斥時(shí)，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】A.若A，B是對立事件，則事件A，B滿足P（A）＋P（B）＝1，所以該選項(xiàng)正確；B.事件A，B，C兩兩互斥，如:投擲一枚均勻的骰子，設(shè)A={向上的點(diǎn)數(shù)是1點(diǎn)}，B={向上的點(diǎn)數(shù)是2點(diǎn)}，C=C.若A和B互斥，則P(D.只有當(dāng)A和B互斥時(shí)，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A【變式31】1．（2022·吉林）（多選）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A=“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B=“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件C=A．A與B互斥 B．C與D互斥 C．A與D獨(dú)立 D．B與C獨(dú)立【答案】BC【分析】對于A，結(jié)合互斥事件的概念舉反例排除即可；對于B，列舉出事件C,對于CD，利用古典概型求出事件A,【詳解】對于A，記x,y表示事件“第一枚點(diǎn)數(shù)為x，第二枚點(diǎn)數(shù)為y”，則事件A包含事件1,2，事件B也包含事件1,2，所以A∩B≠?對于B，事件C包含的基本事件有2,6,3,5,4,4,5,3,6,2共5件，事件D包含的基本事件有對于C，總的基本事件有6×6=36件，事件A的基本事件有3×6=18件，故PA由選項(xiàng)B知PD而事件AD包含的基本事件有3,6,5,4共2件，故所以PAD=PAP對于D，事件B的基本事件有6×3=18件，故PB=18而事件BC包含的基本事件有2,6,4,4,所以PBPC=1故選：BC.【變式31】2．（2022·江蘇·二模）隨著北京冬奧會(huì)的舉辦，中國冰雪運(yùn)動(dòng)的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動(dòng)，號召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動(dòng)體驗(yàn)課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件A=“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件B=“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件A．A與B為對立事件 B．A與C互斥C．A與C相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的概念即可判斷A、B，再根據(jù)古典概型的概率公式求出PA、PB、PC、P【詳解】解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同；故A與B互斥不對立，A與C不互斥，所以PA=C4且PAC=C31?C即A與C相互獨(dú)立，B與C不相互獨(dú)立.故選：C【變式31】3．袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中有放回地摸球，如果“第一次摸得白球”記為事件A，“第二次摸得白球”記為事件B，那么事件A與B，A與B間的關(guān)系是（

）A．A與B，A與B均相互獨(dú)立B．A與B相互獨(dú)立，A與B互斥C．A與B，A與B均互斥D．A與B互斥，A與B相互獨(dú)立【答案】A【分析】結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件直接判斷即可.【詳解】由于是有放回地摸球，事件A的發(fā)生并不影響事件B的發(fā)生，故A與B，A與B均相互獨(dú)立.故選：A【變式31】4．（2022·廣東佛山）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球比賽，采取五場三勝制（先勝三場者獲勝，比賽結(jié)束），根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“客客主主客”，設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.5，客場取勝的概率為0.4，且各場比賽相互獨(dú)立，則甲隊(duì)在0:1落后的情況下最后獲勝的概率為（

）A．0.24 B．0.25C．0.2 D．0.3【答案】A【分析】對甲隊(duì)在后幾場的比賽結(jié)果進(jìn)行分類討論，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知，甲隊(duì)在第一場比賽輸了，若甲隊(duì)在0:1落后的情況下最后獲勝，分以下幾種情況討論：①甲隊(duì)在第二、三、四場比賽都獲勝，概率為P1②甲隊(duì)在第二場比賽輸了，在第三、四、五場比賽獲勝，概率為P2③甲隊(duì)在第二、四、五場比賽獲勝，在第三場比賽輸了，概率為P3④甲隊(duì)在第二、三、五場比賽獲勝，在第四場比賽輸了，概率為P4綜上所述，所求概率為1+0.06+0.04×2=0.24.故選：A.【變式31】5．如圖所示的A，B兩個(gè)電路中，每個(gè)元件接通的概率均為12【答案】2164，【分析】由相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式求解即可【詳解】由題意可知：A電路接通的概率為：1+1C故答案為：2164，【變式31】6．小明家住在衛(wèi)星廣場，每天騎車上學(xué)，已知他從家出發(fā)要經(jīng)過有3個(gè)交通紅綠燈路口（只考慮紅燈和綠燈，黃燈忽略），假設(shè)他在每個(gè)十字路口遇見紅燈的事件是相互獨(dú)立的，且每個(gè)路口遇到紅燈的概率依次為13，12，(1)求小明上學(xué)途中遇見紅燈的概率；(2)設(shè)小明上學(xué)途中遇見的紅燈個(gè)數(shù)為k，則k可以取哪些值？通過計(jì)算判斷，小明上學(xué)途中最有可能遇見幾個(gè)紅燈？【答案】(1)34【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式及對立事件求解即可；（2）由題意可知k=0,1,2,3(1)因?yàn)樾∶髅總€(gè)十字路口遇見紅燈的事件是相互獨(dú)立的，所以小明上學(xué)途中沒有遇見紅燈的概率為P=(1?根據(jù)對立事件的概率知，小明上學(xué)途中遇見紅燈的概率為1?P(2)由題意，k的可能取值為0,1,2,3，P(P(P(P(題型4獨(dú)立事件的實(shí)際應(yīng)用【例題4】（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，兩個(gè)轉(zhuǎn)盤的指針落在每個(gè)數(shù)所在區(qū)域的機(jī)會(huì)均等，如果兩個(gè)轉(zhuǎn)盤互不影響，那么兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是（

）A．49

B．29

C．23

【答案】A【分析】首先根據(jù)轉(zhuǎn)盤分別計(jì)算指針落在奇數(shù)區(qū)域的概率，再根據(jù)獨(dú)立事件乘法公式求解.【詳解】記“左邊轉(zhuǎn)盤指針落在奇數(shù)所在區(qū)域”為事件A，“右邊轉(zhuǎn)盤指針落在奇數(shù)所在區(qū)域”為事件B，則PA=4所以兩個(gè)指針同時(shí)落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率為23故選：A.【變式41】1．（2022·浙江·寧波市奉化區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校）2022年2月6日，中國女足在亞洲杯賽場上以3:2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪冠.之前半決賽中，中國女足通過點(diǎn)球大戰(zhàn)6:5驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足.假設(shè)罰點(diǎn)球的球員等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且即使方向判斷正確也有12A．13 B．16 C．19【答案】B【分析】由相互獨(dú)立事件的概率公式求解即可【詳解】由題意可得門將在第一次射門就撲出點(diǎn)球的概率為13故選：B【變式41】2．（2022·廣東·順德一中）第56屆世界乒乓球錦標(biāo)賽于2022年在中國成都舉辦，國球運(yùn)動(dòng)又一次掀起熱潮.現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得1分.(1)已知在本場比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為1(2)已知某局比賽中雙方比分為8:8，此時(shí)甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為35，乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為12，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，求該局比賽甲以【答案】(1)827(2)【分析】（1）分兩種情況討論，分后三局贏的是乙甲甲和甲乙甲求解即可；（2）說明一共打了四個(gè)球，甲贏3個(gè)，乙贏一個(gè)，分類討論即可求解.【詳解】（1）由題可知，再進(jìn)行三局結(jié)束比賽，則甲必贏兩局，贏的情況分為：乙甲甲和甲乙甲，設(shè)事件A=“只需要再進(jìn)行三局比賽就能結(jié)束本場比賽”，結(jié)合相互獨(dú)立事件公式可得：P（2）若要以11:9獲勝，則四個(gè)球當(dāng)中甲必贏3個(gè)，乙贏一個(gè)，按發(fā)球順序，以甲輸贏為標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)，可分為：①贏贏輸贏；②輸贏贏贏；③贏輸贏贏.設(shè)事件B=“在比分為8:8的條件下甲以11:9則PB【變式41】3．（2022·浙江杭州）為普及抗疫知識、弘揚(yáng)抗疫精神，某學(xué)校組織防疫知識競賽.比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽.已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為35，3(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率.【答案】(1)甲(2)5【分析】（1）利用概率的乘法公式計(jì)算出甲贏得比賽概率為25，乙贏得比賽的概率為3（2）首先利用對立事件概率求得甲和乙各自未贏比賽的概率，再利用正難則反的方法，求出至少一人贏得比賽的概率.【詳解】（1）設(shè)事件A1表示“甲在第一輪比賽中勝出”,事件A事件B1表示“乙在第一輪比賽中勝出”,事件B2表示“乙在第二輪比賽中勝出”,則PA1APB1B（2）設(shè)C表示“甲贏得比賽”,D表示“乙贏得比賽”,由(1)知PP(D)=1?P所以兩人至少一人贏得比賽的概率為58【變式41】4．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)容山中學(xué)）甲、乙、丙三人組成一個(gè)小組參加電視臺(tái)舉辦的聽曲猜歌名活動(dòng)，在每一輪活動(dòng)中，依次播放三首樂曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜錯(cuò)，則活動(dòng)立即結(jié)束；若三人均猜對，則該小組進(jìn)入下一輪，該小組最多參加三輪活動(dòng).已知每一輪甲猜對歌名的概率是34，乙猜對歌名的概率是23，丙猜對歌名的概率是(1)求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率；(2)該小組能進(jìn)入第三輪的概率；(3)乙猜歌曲的次數(shù)不小于2的概率.【答案】(1)34(2)116【分析】（1）該小組未能進(jìn)入第二輪也即甲、乙、丙至少有一人未猜對，根據(jù)對立事件求解；（2）該小組能進(jìn)入第三輪即前兩輪三人都猜對，根據(jù)事件積的概率計(jì)算即可；（3）乙猜歌曲的次數(shù)不小于2即該組過第一輪且甲猜對，據(jù)此求概率即可．【詳解】（1）解：設(shè)該小組未能進(jìn)入第二輪為事件A，則PA故該小組未能進(jìn)入第二輪的概率為34（2）解：設(shè)該小組能進(jìn)入第三輪為事件B，則PB故該小組能進(jìn)入第三輪的概率為116（3）解：設(shè)乙猜歌曲的次數(shù)不小于2為事件C，PC故乙猜歌曲的次數(shù)不小于2的概率為316【變式41】5．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)）某場知識競賽比賽中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是34，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是112，乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是(1)求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；(2)求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率.【答案】(1)P(B)=3【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法原則即可求解；（2）分四種情況相加即可.（1）設(shè)甲、乙、丙家庭回答正確分別為事件A、B、C，根據(jù)題意，則有又P(AC)=112，所以P(所以乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率分別為38和2（2）設(shè)甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題為事件D，則有P(D)=【變式41】6．（2022·江蘇·沭陽縣修遠(yuǎn)中學(xué)）某市為傳播中華文化，舉辦中華文化知識選拔大賽．決賽階段進(jìn)行線上答題．題型分為選擇題和填空題兩種，每次答題相互獨(dú)立.選擇題答對得5分，否則得0分．填空題答對得4分，否則得0分．將得分逐題累加．(1)若小明直接做3道選擇題，他做對這3道選擇題的概率依次為45，34，(2)規(guī)定每人最多答3題，若得分高于7分，則通過決賽，立即停止答題，否則繼續(xù)答題，直到答完3題為止．已知小紅做對每道選擇題的概率均為14，做對每道填空題的概率均為3現(xiàn)有兩種方案方案一：依次做一道選擇題兩道填空題；方案二：做三道填空題．請你推薦一種合理的方式給小紅．【答案】(1)56【分析】（1）由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可；（2）先計(jì)算兩種方案通過決賽的概率，比較大小即可求解（1）記“他得分不低于10分”為事件A，則PA（2）記“方案一通過決賽”為事件B，則PB=14×310所以推薦方案二給小紅．【變式41】7．（2022·福建廈門·高一期末）某學(xué)校組織校園安全知識競賽.在初賽中有兩輪答題，第一輪從A類的5個(gè)問題中任選兩題作答，若兩題都答對，則得40分，否則得0分；第二輪從B類的5個(gè)問題中任選兩題作答，每答對1題得30分，答錯(cuò)得0分若兩輪總積分不低于60分則晉級復(fù)賽.小芳和小明同時(shí)參賽，已知小芳每個(gè)問題答對的概率都為0.5.在A類的5個(gè)問題中，小明只能答對4個(gè)問題；在B類的5個(gè)問題中，小明每個(gè)問題答對的概率都為0.4.他們回答任一問題正確與否互不影響.(1)求小明在第一輪得40分的概率；(2)以晉級復(fù)賽的概率大小為依據(jù)，小芳和小明誰更容易晉級復(fù)賽？【答案】(1)35【分析】（1）對A類的5個(gè)問題進(jìn)行編號：a,b,（2）依題意能夠晉級復(fù)賽，則第一輪答對兩題得40分，第二輪答對一題得30分；或第一輪答對兩題得40分，第二輪答對兩題得60分；或第一輪答錯(cuò)兩題得0分，第二輪答對兩題得60分；或第一輪答對一題得0分，第二輪答對兩題得60分；分別求出小芳和小明晉級復(fù)賽的概率，進(jìn)行比較得出結(jié)論.(1)對A類的5個(gè)問題進(jìn)行編號：a,則有a,b,設(shè)小明只能答對4個(gè)問題的編號為：a,則小明在第一輪得40分，有a,b,則小明在第一輪得40分的概率為：610(2)由（1）知，小明在第一輪得40分的概率為35，則小明在第一輪得0分的概率為：1?依題意，兩人能夠晉級復(fù)賽，即兩輪總積分不低于60分∴當(dāng)?shù)谝惠喆饘深}得40分，第二輪答對一題得30分時(shí)，小芳和小明晉級復(fù)賽的概率分別為：P1P2當(dāng)?shù)谝惠喆饘深}得40分，第二輪答對兩題得60分時(shí)，小芳和小明晉級復(fù)賽的概率分別為：P3=0.5×0.5×0.5×0.5=0.0625；當(dāng)?shù)谝惠喆疱e(cuò)一題得0分，第二輪答對兩題得60分時(shí)，小芳和小明晉級復(fù)賽的概率分別為：P5=[0.5×1?0.5當(dāng)?shù)谝惠喆疱e(cuò)兩題得0分，第二輪答對兩題得60分時(shí)，小芳晉級復(fù)賽的概率分別為：P7∴小芳晉級復(fù)賽的概率為：P1小明晉級復(fù)賽的概率為：P2∵0.448>0.375，∴小明更容易晉級復(fù)賽.題型5遞推法求概率【例題5】某校為推廣籃球運(yùn)動(dòng)，成立了籃球社團(tuán)，社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率為Pn，則PA．316 B．14 C．516【答案】C【分析】要想第n次觸球者是甲，則第（n1）次觸球的人不能是甲，且第（n1）次觸球的人有12的概率將球傳給甲，有Pn=121?Pn?1，設(shè)Pn+λ=?【詳解】解：要想第n次觸球者是甲，則第（n1）次觸球的人不能是甲，且第（n1）次觸球的人有12所以Pn=1設(shè)Pn+λ=?1所以Pn?13是以23為首項(xiàng)，以?所以P6故選：C.【變式51】1．（2022·重慶八中）（多選）設(shè)一個(gè)正三棱柱ABC?A1A．P2=5C．Pn=2【答案】AD【分析】根據(jù)題意假設(shè)螞蟻爬n次仍在上底面的概率為Pn，那么它前一步只有兩種情況：也許本來就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有兩條路，其概率是23Pn?1；也許是上一步在下底面，則第n?1步不在上底面的概率是1?Pn?1，如果爬上來，其概率應(yīng)是1【詳解】解：顯然P1=2螞蟻爬n次仍在上底面的概率為PnA：如果本來就在上底面，再走一步要想不在下底面，只有兩條路，其概率是23B：如果是上一步在下底面，則第n?1步不在上底面的概率是1?PnA，B事件互斥，因此，Pn=2即Pn所以Pn?12為等比數(shù)列，公比為所以Pn=1所以i=1故選：AD.【變式51】2.（2022·江蘇常州·）甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，則5次傳球后球在甲手中的概率為______.【答案】516【分析】設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為pn，求出p1=0，根據(jù)題意求出數(shù)列pn的遞推公式，求出【詳解】設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為pn，當(dāng)n=1時(shí)，設(shè)An=“n次傳球后球在甲手中”，則則PA即pn所以，pn+1?所以，數(shù)列pn?13是以所以pn?1所以5次傳球后球在甲手中的概率為p5故答案為：516【變式51】3．（2022·上?！ぃ┘滓冶讼嗷プ鰝髑蛴?xùn)練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人．則n次傳球后球在甲手中的概率pn【答案】1【分析】記An表示事件“經(jīng)過n次傳球后，球再甲的手中”，設(shè)n次傳球后球再甲手中的概率為pn，得到p1=0,A【詳解】解：記An表示事件“經(jīng)過n設(shè)n次傳球后球再甲手中的概率為pn則有p1所以p=P即pn所以pn+1?所以數(shù)列{pn?13所以pn?1即n次傳球后球在甲手中的概率是13故答案為：13【變式51】4．（2022·江西·吉安一中（理））已知紅箱內(nèi)有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，白箱內(nèi)有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，依次類推，第n+1次從與第n次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去．則第4【答案】313【分析】設(shè)第nn∈N?次取出紅球的概率為Pn，計(jì)算得出P【詳解】設(shè)第nn∈N?次取出紅球的概率為Pn，則取出白球的概率為1?①若第n次取出的球?yàn)榧t球，則第n+1次在紅箱內(nèi)取出紅球的概率為3②若第n次取出的球?yàn)榘浊?，則第n+1次在白箱內(nèi)取出紅球的概率為2所以，Pn+1=所以，P2=1因此，P4故答案為：313625【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用遞推法求概率，關(guān)鍵就是分析出第n+1次與第n【變式51】5．甲、乙兩人輪流擲硬幣，第一局甲先擲，誰先擲出正面誰就勝，上一局的負(fù)者下一局先擲.求：(1)任意一局甲勝的概率；(2)第n局甲勝的概率.【答案】(1)2(2)1【分析】（1）設(shè)甲、乙獲勝的概率分別為P、Q，分析可得P=2（2）設(shè)第n局甲勝的概率為Pn，分析得出Pn+1=2(1)解：因?yàn)榧紫葦S，第一次擲出正面的概率為12如果甲第一次擲出反面，則輪到乙，那么乙第一次擲出正面向上獲勝的概率為12如果乙第一次擲出反面向上，則又輪到甲，那么此時(shí)甲擲出正面向上獲勝的概率為12以此類推，設(shè)甲、乙獲勝的概率分別為P、Q，則P=12所以，P=2QP+Q因此，任意一局甲獲勝的概率為23(2)解：設(shè)第n局甲勝的概率為Pn，則第n①第n局甲贏且第n+1局甲贏；②第n局乙贏且第n所以，Pn+1=所以，Pn+1?故數(shù)列Pn?12是以故Pn?1【變式51】6．（2022·江蘇省濱海中學(xué)模擬預(yù)測）某同學(xué)從兩個(gè)筆筒中抽取使用的筆，藍(lán)色筆筒里有6支藍(lán)筆，4支黑筆，黑色筆筒里有6支黑筆，4支藍(lán)筆.第一次從黑筆筒中取出一支筆并放回，隨后從與上次取出的筆顏色相同的筆筒中再取出一支筆，依此類推.記第n次取出黑筆的概率為Pn，則Pn=【答案】

12(1+【分析】第n次取出黑筆的概率為Pn，則取出藍(lán)筆的概率為1?Pn，進(jìn)而根據(jù)題意建立遞推關(guān)系Pn+1=15Pn+25【詳解】解：第n次取出黑筆的概率為Pn，則取出藍(lán)筆的概率為1?所以第n+1次取出黑筆的概率為Pn+1所以第n+1次取出黑筆的概率為Pn+1=3因?yàn)镻1=35所以數(shù)列Pn?12為等比數(shù)列，公比為所以Pn所以Pn所以1≤===164×綜上，Pn=故答案為：12(1+【變式51】7．（2021·湖北武漢）近年來，國家為了鼓勵(lì)高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，出臺(tái)了許多優(yōu)惠政策，以創(chuàng)業(yè)帶動(dòng)就業(yè)．某高校畢業(yè)生小張自主創(chuàng)業(yè)從事蘋果的種植，并開設(shè)網(wǎng)店進(jìn)行銷售．為了做好蘋果的品控，小張從自己果園的蘋果樹上，隨機(jī)摘取150個(gè)蘋果測重（單位：克），其重量分布在區(qū)間100,400內(nèi)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)得到如圖1所示的頻率分布直方圖．（1）以上述樣本數(shù)據(jù)中頻率作為概率，現(xiàn)一顧客從該果園購買了5個(gè)蘋果，求這5個(gè)蘋果中重