2025年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試（八省聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12025年1月普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試適應(yīng)性測試（八省聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】【解析】，選C.2.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的最小正周期，選D.3.（）A.2 B.4 C. D.6【答案】【解析】，選C.4.已知向量，則（）A.2 B.1 C.0 D.-1【答案】B【解析】，選B.5.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】【解析】漸近線：，選C.6.底面直徑和母線長均為2的圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，選A.7.在中，，，，則的面積為（）A.6 B.8 C.24 D.48【答案】【解析】，，，選C.8.已知函數(shù)，若當(dāng)時，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，時，，，時，在上，①，即；②時，恒成立③時，，即，綜上：，選B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是拋物線的焦點，是上的點，為坐標(biāo)原點，則（）A.B.C.以為圓心且過的圓與的準(zhǔn)線相切 D.當(dāng)?shù)拿娣e為【答案】ABC【解析】，則，對.，又，B對.拋物線的定義知到的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，故圓心與準(zhǔn)線相切，對.時，錯，選.10.在人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，單個神經(jīng)元輸入與輸出的函數(shù)關(guān)系可以稱為激勵函數(shù).雙曲正切函數(shù)是一種激勵函數(shù).定義雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)，雙曲正切函數(shù)，則（）A.雙曲正弦函數(shù)是增函數(shù) B.雙曲余弦函數(shù)是增函數(shù)C.雙曲正切函數(shù)是增函數(shù) D.【答案】【解析】，是增函數(shù)，A對.在單調(diào)遞減，單調(diào)解析遞增，B錯.是增函數(shù)，對.，D對，選ACD.11.下面四個繩結(jié)中，不能無損傷地變?yōu)橄聢D中的繩結(jié)的有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】采用實物模型演示.左手三葉結(jié)和右手三葉結(jié)不同痕(不能無損轉(zhuǎn)換)，所以中至少一個不行(因為相當(dāng)于三葉結(jié)變體，它們兩鏡像，所以不能轉(zhuǎn)換)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若，則_____.【答案】e【解析】，.13.有8張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從這8張卡片中隨機抽出3張，則抽出的3張卡片上的數(shù)字之和與其余5張卡片上的數(shù)字之和相等的概率為_____.【答案】【解析】，三張卡片和為18有873，864，765三種情況14.已知曲線，兩條直線均過坐標(biāo)原點和交于兩點，和交于兩點，若的面積為，則的面積為_____.【答案】【解析】，在和單調(diào)遞增，為奇函數(shù)，都是過原點的直線，對應(yīng)的都是奇函數(shù)，則關(guān)于原點對稱，關(guān)于原點對稱則四邊形為平行四邊形，，則.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)為考察某種藥物A對預(yù)防疾病B的效果，進行了動物(單位：只)試驗，得到如下列聯(lián)表：藥物疾病合計未患病患病未服用10080服用15070220合計250400(1)求；(2)記未服用藥物A的動物患疾病B的概率為，給出的估計值；(3)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為藥物A對預(yù)防疾病B有效？附：， 0.0500.0100.001 3.8416.63510.828解：(1)；(2)；(3)零假設(shè)：藥物對預(yù)防疾病無效，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可求得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可充分推斷不成立，在犯錯誤概率不超過0.01的情況下可認(rèn)為藥物對預(yù)防疾病有關(guān).16.(15分)已知數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的通項公式；(3)令，證明：.(1)證明：，成首項為，公比為的解析等比數(shù)列.(2)解：由(1)知，.(3)證明：，顯然關(guān)于單調(diào)遞增，且恒成立，單調(diào)遞減，關(guān)于單調(diào)遞增，且，.17.(15分)已知函數(shù).(1)設(shè)，求曲線的斜率為2的切線方程；(2)若是的極小值點，求的取值范圍.解：(1)，，故切點為，切線方程為.(2)為的極小值點，，，，①當(dāng)時，，令，此時當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，在取得極大值，舍去.②當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，不存在極值，舍去.③當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減此時，在取得極大值，舍去.④當(dāng)時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，此時在取得極小值，符合.綜上：的取值范圍為.18.(17分)已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，.(1)求的方程；(2)已知點，證明：線段的垂直平分線與恰有一個公共點；(3)設(shè)是坐標(biāo)平面上的動點，且線段的垂直平分線與恰有一個公共點，證明的軌跡為圓，并求該圓的方程.(1)解：由題意知，的方程為.(2)證明：設(shè)中點為的中垂線方程為，，的垂直平分線與恰有一個公共點.(3)解：設(shè)，情形一：當(dāng)時，的垂直平分解析線為，此時，或-3；情形二：當(dāng)時，的垂直平分線為：， ，，的垂直平分線與恰有一個公共點，，，，也滿足上式，的軌跡解析方程為，它為一個圓.(3)依題意知的垂直平分線與橢圓相切，設(shè)切點為，則，所以.下面證明在上：如圖，假設(shè)不在上，則與切線有另一個交點，且在橢圓外，則這顯然與兩邊之差大于第三邊矛盾，所以在上.因此，所以的軌跡為圓，方程為.19.(17分)在平面四邊形中，，，，沿翻折至，其中為動點.(1)設(shè)，三棱錐的各個頂點都在球的球面上.(i)證明：平面平面；(ii)求球的半徑；(2)求二面角的余弦值的最小值.(1)(i)證明：，，翻折后同樣有，又，故面面，故面面.(ii)