人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)重難點(diǎn)突破：一元一次方程易錯(cuò)考點(diǎn)強(qiáng)化練（十二大類）

專題03一元一次方程易錯(cuò)考點(diǎn)強(qiáng)化練（十二大類）

學(xué)校：班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：

考點(diǎn)目錄

一、一元一次方程定義的理解。?？迹鹤罡咭淮?，一次系數(shù)不為0.......................1

二、方程的解的理解一逢解代入。..........................................1

三、等式的性質(zhì)的理解。..................................................2

四、解一元一次方程與新定義的融合。.....................................2

五、解一元一次方程一三都原則：去分母，每項(xiàng)都乘，去括號(hào)，都要乘，移動(dòng)項(xiàng),

都變號(hào)。.................................................................3

六、解方程與新定義的融合。..............................................3

七、經(jīng)典考點(diǎn)一解的特征：解相同，互為相反（倒）數(shù)，解為正（負(fù)）整數(shù)。.4

八、列方程解決問題之行程類。............................................5

九、重難考點(diǎn)：列方程解決問題之銷售類。.................................5

十、列方程解決問題之貼近生活的方案設(shè)計(jì)（選擇）類。....................7

十一、列方程解決問題之?dāng)?shù)字類提升。.....................................8

十二、列方程解決問題之水電費(fèi)類一分類討論思想。.........................9

一、一元一次方程定義的理解。常考：最高一次，一次系數(shù)不

為0.

1.下列命題：①若中國(guó)+2尤=6,則尤=2；②若方程（小一1）無(wú)㈤一2=0是關(guān)于X的

一元一次方程，則爪=±1;③若不論x取何值，ax-6-2x=3恒成立，貝!lab=-6；

④使得|x-l|+|x-3|=4成立的尤的值有且僅有兩個(gè).其中正確的是（把所有

正確結(jié)論的序號(hào)都選上）

2.已知（nt?-4）/+（TH-2）久+2=0是一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，若有理數(shù)a滿足

|a|+m<0,則代數(shù)式|a++|a-的值為.

3.若（a-1）久⑷—3=0是關(guān)于英的一元一次方程.

⑴求a的值；

（2）先化簡(jiǎn)，再求40+3a）-2（2a2-a+2）的值.

二、方程的解的理解一逢解代入。

4.已知關(guān)于尤的方程2x+a—7=0的解是久=3,則。的值是.

5.若%=—1是關(guān)于％的一元一次方程a+5%=2的解，貝!—3b+1的值為.

6.已知％=-2是關(guān)于X的方程7-2%=%+/c的解，貝必的值是()

A.13B.9C.5D.2

7.已知％=-8是方程3%+8的解，求〃的值

4

三、等式的性質(zhì)的理解。

8.運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行變形，正確的是()

A.由a=b得到a+c=b—cB.由2%=-4得到％=2

C.由2nl—1=3得到27n=3+1D.由ac=be得到a=b

9.已知等式。=小則下列式子中不成立的是()

A.ci-1=Z)-1B.—=—C.3a=3bD.a-1=Z)+1

33

四、解一元一次方程與新定義的融合。

10.對(duì)于數(shù)a,b,定義一種新的運(yùn)算"O"：aQb-a-b+ab.

⑴求(一4)O3的值；

⑵若(3Ox)。(-2)=5,求尤的值；

(3)小丁說：n)O(-巾)=根。加小丁的說法正確嗎？如果正確，請(qǐng)說明理由；如

果不正確，請(qǐng)舉例說明.

11.我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程ax=b的解為b+a,則稱該方程為“和解方

程”.例如：方程2x=-4的解為比=—2,而—2=—4+2,則方程2%=—4為“和解方

程”.請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：

⑴方程5x=-2"和解方程”(填“是"或"不是')；

(2)若關(guān)于久的一元一次方程6久=k是“和解方程”，求k的值；

(3)若關(guān)于x的一元一次方程-2x=nm+n是“和解方程”，并且它的解是x=n,求犯n的

值.

12.歷史上的數(shù)學(xué)巨人歐拉最先把關(guān)于x的多項(xiàng)式用記號(hào)/(%)來表示.例如/(?=/+

3%-5,把等于某數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的值用/(某數(shù))來表示.例如x=-1時(shí)多項(xiàng)式/+3%-5

的值記為/(—1)=(-1)2+3x(-1)-5=-7.

(1)已知9(久)=-2x2-3x+1,分別求出g(-l)和g(-2)的值.

(2)已知九(久)=ax3+2x2—x—14,九C)—a>求0的值.

試卷第2頁(yè)，共38頁(yè)

五、解一元一次方程一三都原則：去分母，每項(xiàng)都乘，去括號(hào),

都要乘，移動(dòng)項(xiàng)，都變號(hào)。

13.解方程：等一1=2久一一.

14.解方程:

(1)4%-3(20-%)=-4

5x-l

(2)-------r=41

15.解方程:

(1)3(%-1)-2(x+10)=-6

小、2%—6x+18?

(2)---------------=1

、/34

16.解方程：

⑴6(%-1)-2=久+2；

/N2x-l2X+1

(2)1------=

OJ

六、解方程與新定義的融合。

17.把％=。％+6(其中心6是常數(shù)，x是未知數(shù))這樣的方程解為“和合方程”，其中

“和合方程x=ax+6”的解稱為“和合方程”的“和合值”.

例如："和合方程x=2x+l”，其“和合值”為x=-l

(l)x=2是“和合方程x=-2x+k”的“和合值”,求k的值：

(2)“和合方程"x=kx+l(人為常數(shù))存在“和合直鳴？若存在，請(qǐng)求出其“和合值”(用

含左的式子表示)，若不存在，請(qǐng)說明理由：

(3)若關(guān)于x的“和合方程"5久=x+8mn-4m-52的“和合值”是關(guān)于x的方程2x-

|nm=-8m-28)的解，求此時(shí)符合要求的正整數(shù)機(jī)、w的值.

18.如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為1,我們就稱這兩個(gè)方程為“美好方程”，例如：

方程2x-1=3和x+1=0為“美好方程”.

(1)方程4x-(x+5)=1與方程—2y—y=3是“美好方程”嗎？請(qǐng)說明理由；

(2)若關(guān)于久的方程2久-n+3=0與x+5n-1=0是“美好方程”，求n的值.

19.定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解的和為1,我們就稱這兩個(gè)方程為“集團(tuán)方程”，

例如：方程4%=8和久+1=0為“集團(tuán)方程”.

(1)若關(guān)于x的方程3%+m=0與方程4久—1=%+8是“集團(tuán)方程”，求m的值；

⑵若“集團(tuán)方程”的兩個(gè)解的差為6,其中一個(gè)較大的解為力求〃的值；

(3)若關(guān)于x的一元一次方程+3=2%+憶和就+1=0是“集團(tuán)方程”，求關(guān)于y

的一元一次方程+l)+3=2y+2+々的解.

七、經(jīng)典考點(diǎn)一解的特征：解相同，互為相反(倒)數(shù)，解為

正(負(fù))整數(shù)。

20.已知關(guān)于久的方程：2(%-1)+1=%與3(%+m)=m-1有相同的解.

(1)求TH的值

(2)求以y為未知數(shù)的方程手=寧的解.

21.閱讀與理解：已知關(guān)于無(wú)的方程質(zhì)=5-x有正整數(shù)解，求整數(shù)左的值.

解：kx+x=5,(k+l)%=5,久=高因?yàn)殛P(guān)于x的方程kx=5-x,有正整數(shù)解，所

以名為正整數(shù)，因?yàn)樯蠟檎麛?shù)，所以k+l=l或k+l=5,所以k=0或k=4；

k+1

探究與應(yīng)用：應(yīng)用上邊的解題方法，己知關(guān)于x的方程履=6+X有正整數(shù)解，求整數(shù)

k的值.

22.已知關(guān)于無(wú)的方程中，12X一(1=0的解比。+8%=2+4%的解大1,求a的值.

23.當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于x的方程5m+3%=1+x的解比關(guān)于尤的方程2久+m=3nl的

解大2?

24.已知關(guān)于％的一元一次方程(m-5)久+m-3=0,其中加為整數(shù)

(1)當(dāng)瓶=2時(shí)，求方程的解

(2)若該方程有整數(shù)解，求小的值

25.已知關(guān)于x的方程三"=2x+￡與瞪=3x—2的解互為相反數(shù)，求力的值.

26.(1)方程2-3(%+1)=。的解與關(guān)于尤的方程?-3k-2=2%的解互為倒數(shù)，求

左的值.

(2)己知關(guān)于尤的方程2久-a=1與方程等=等-a的解的和為?，求a的值.

(3)當(dāng)％為何值時(shí)，關(guān)于x的方程5m+3x=1+久的解比關(guān)于x的方程2久+m=3nl的

解大2?

試卷第4頁(yè)，共38頁(yè)

八、列方程解決問題之行程類。

27.（1）愛思考的小明將一個(gè)玩具火車放置在數(shù)軸上，他發(fā)現(xiàn)將火車在數(shù)軸上水平移動(dòng)，

當(dāng)A點(diǎn)移動(dòng)到8點(diǎn)時(shí)，8點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為30；當(dāng)8點(diǎn)移動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)為

6（單位：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度）.由此可得點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的數(shù)字是,玩具火車的長(zhǎng)為

個(gè)單位長(zhǎng)度.（直接寫答案）

I~~I,III~~I,

AB（O）CDAB

（2）如果火車力B正前方10個(gè)單位處有一個(gè)“隧道”MN,火車AB從（1）的起始位置出

發(fā)到完全駛離“隧道”恰好用了f秒，已知火車移動(dòng)的速度為0.5個(gè)單位/秒，則可知

“隧道”MN的長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度.（用含f的代數(shù)式直接表示）

（3）他驚喜的發(fā)現(xiàn)，“數(shù)軸”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要的工具，于是他繼續(xù)深入探究：在（1）

條件下的數(shù)軸上放置與大小相同的玩具火車CD,使原點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，兩列玩具火

車分別從點(diǎn)。和點(diǎn)A開始在數(shù)軸上同時(shí)移動(dòng)，已知CD火車速度為2個(gè)單位/秒，AB火車

速度為1個(gè)單位/秒（兩火車均向右運(yùn)動(dòng)），幾秒后兩火車的A處與C處相距2個(gè)單位？

28.某市實(shí)驗(yàn)中學(xué)學(xué)生步行到郊外旅游.七（1）班學(xué)生組成前隊(duì)，步行速度為4千米/

時(shí)，七（2）班學(xué)生組成后隊(duì)，速度為6千米/時(shí).前隊(duì)出發(fā)1小時(shí)后，后隊(duì)才出發(fā)，同

時(shí)后隊(duì)派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊(duì)之間不間斷地來回進(jìn)行聯(lián)絡(luò)，他騎車的速度為12

千米/時(shí).

⑴后隊(duì)追上前隊(duì)需要多長(zhǎng)時(shí)間？

（2）后隊(duì)追上前隊(duì)時(shí)間內(nèi)，聯(lián)絡(luò)員走的路程是多少？

29.如圖，點(diǎn)A、8是數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為一8,A、8兩點(diǎn)之間的距離為10,

動(dòng)點(diǎn)M、N分別從A、8出發(fā)，點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)N以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為＞0）秒.

AB

—1--------------------1------1------?

-80

（1）數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是；

（2）數(shù)軸上點(diǎn)〃表示的數(shù)為，點(diǎn)N表示的數(shù)為（用含r的式子表示）；

⑶若點(diǎn)〃、N同時(shí)出發(fā)，f為何值時(shí)，這兩點(diǎn)相遇？

（4）若點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，f為何值時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)N剛好相距4個(gè)單位長(zhǎng)度？

九、重難考點(diǎn)：列方程解決問題之銷售類。

30.“空氣炸鍋”是近幾年家庭廚房的新寵，某家電品牌在12月初線下門店舉辦了“空氣

炸鍋節(jié)”，以下是該門店的宣傳海報(bào)：

\優(yōu)惠價(jià)限量50臺(tái)，剩余的按原價(jià)打折銷售，洋情請(qǐng)

m**,2CC：＜F12flIH-UH7R.進(jìn)店咨詢，促銷時(shí)間：2022年12月1日—12月7日.

已知一臺(tái)空氣炸鍋原價(jià)400元，店家進(jìn)貨的成本價(jià)為220元，下表是活動(dòng)期間收入?yún)R總

表的部分?jǐn)?shù)據(jù).

日期1日2日3日4日5日6日7日合計(jì)

銷售量(臺(tái))6889560

日利潤(rùn)(元)360a

⑴根據(jù)以上信息，對(duì)于前50臺(tái)，求每臺(tái)的優(yōu)惠價(jià)為多少？

(2)已知3日的銷售量比4日的多4臺(tái)，求這兩天的銷售量分別為多少臺(tái)？

⑶經(jīng)咨詢店員，得知剩余的空氣炸鍋按原價(jià)打“折(0<n<10).

①用含〃的代數(shù)式表示6日當(dāng)天的日利潤(rùn)a(元).

②若要使活動(dòng)期間銷售的60臺(tái)空氣炸鍋的總利潤(rùn)率達(dá)到30%,求n的值.

31.請(qǐng)列方程解決下面的問題：

小明自主創(chuàng)業(yè)開了一家服裝店，因?yàn)檫M(jìn)貨時(shí)沒有進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)查，在換季時(shí)積壓了一類服

裝.為了緩解資金壓力，小張決定將這類服裝打折銷售.若每件服裝按標(biāo)價(jià)的五折出售

將虧90元，而按標(biāo)價(jià)的九折出售將賺30元.

(1)請(qǐng)你算一算每件服裝的標(biāo)價(jià)和進(jìn)價(jià)各是多少元？

⑵該服裝改款后，小張又以同樣的進(jìn)價(jià)進(jìn)貨50件，若標(biāo)價(jià)不變，按標(biāo)價(jià)銷售了30件后，

剩下的服裝進(jìn)行甩賣，為了保證這批服裝總利潤(rùn)率達(dá)到10%,小張最低能打幾折？

32.如今很多品牌服裝店已經(jīng)逐漸形成了線上與線下共同經(jīng)營(yíng)的模式.某品牌服飾在某

購(gòu)物平臺(tái)上開設(shè)旗艦店，開展網(wǎng)絡(luò)銷售.該品牌服飾有兩款加絨褲子，分別是白色款和

黑色款，其中黑色款70元/條，白色款80元/條.10月份該品牌這兩款加絨褲子共銷售

了900條，總營(yíng)業(yè)額為67000元.

(1)求10月份該品牌服飾銷售這兩款加絨褲子各有多少條？

(2)該品牌旗艦店為提高銷量，在11月份將黑色款售價(jià)在10月份的價(jià)格基礎(chǔ)上下調(diào)a

試卷第6頁(yè)，共38頁(yè)

元，白色款售價(jià)在10月份的價(jià)格基礎(chǔ)上下調(diào)2a%.11月份黑色款的銷量為660條，白

色款的銷量為800條，總營(yíng)業(yè)額比10月份的總營(yíng)業(yè)額增加了10a%,請(qǐng)求出a的值.

十、列方程解決問題之貼近生活的方案設(shè)計(jì)（選擇）類。

33.某單位要從商場(chǎng)購(gòu)入力、B兩種物品，預(yù)計(jì)需要花費(fèi)850元，其中2種物品每件4元，

B種物品每件10元，且購(gòu)買4種物品的數(shù)量比B種物品的3倍還多20件.

（1）求購(gòu)買4、B兩種物品各多少件？

（2）實(shí)際購(gòu)買時(shí)正趕上商場(chǎng)搞促銷活動(dòng)，力種物品按8折銷售，B種物品按9折銷售，則該

單位此次購(gòu)買可以省多少錢？

34.為進(jìn)一步加強(qiáng)同學(xué)們“學(xué)黨史、知黨情、跟黨走”的信心，培養(yǎng)學(xué)生的民族精神和愛

國(guó)主義情懷，某學(xué)校組織開展“觀看紅色電影，點(diǎn)燃紅色初心”的教育活動(dòng).

電影票價(jià)格表

1-50張50-100張

購(gòu)票張數(shù)100張以上

（包括50張）（包括100張）

每張票的價(jià)格20元16元免10張門票，其余每張16元

該校七年級(jí)兩個(gè)班共有學(xué)生105人去看電影，其中七（1）班有40多人，不足50人；

七（2）班有°人.

（1汝口果兩個(gè)班聯(lián)合起來作為一個(gè)團(tuán)體購(gòu)票，一共應(yīng)付__________元；如果兩個(gè)班都以

班級(jí)為單位購(gòu)票，一共應(yīng)付元（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）如果兩個(gè)班都以班級(jí)為單位購(gòu)票，一共付了1860元.請(qǐng)你求出七（2）班有多少名學(xué)

生；

（3）在（2）的條件下，如果七（1）班單獨(dú)組織去看電影，作為組織者，你應(yīng)如何購(gòu)票才

最省錢？

35.按照“雙減”政策，為豐富課后托管服務(wù)內(nèi)容，學(xué)校準(zhǔn)備訂購(gòu)一批籃球和跳繩，經(jīng)過

市場(chǎng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)籃球每個(gè)定價(jià)70元，跳繩每條定價(jià)10元.某體育用品商店提供A、B

兩種優(yōu)惠方案：

A方案：買一個(gè)籃球送一條跳繩；

B方案:籃球和跳繩都按定價(jià)的90%付款.

已知要購(gòu)買籃球50個(gè)，跳繩無(wú)條（%>50）

（1）若按A方案購(gòu)買，一共需付款元（用含x的代數(shù)式表示）；若按8方案購(gòu)

買，一共需付款元（用含x的代數(shù)式表示）.

(2)購(gòu)買跳繩條數(shù)為多少時(shí)，兩種方案的收費(fèi)相同？

(3)當(dāng)x=100時(shí)，你能設(shè)計(jì)出一種最省錢的購(gòu)買方案嗎？請(qǐng)寫出你的購(gòu)買方案，并計(jì)算

需付款多少元？

上一、列方程解決問題之?dāng)?shù)字類提升。

36.把幾個(gè)數(shù)用大括號(hào)圍起來，中間用逗號(hào)斷開，如：fl,2,-3/我們稱之為集合，

其中的數(shù)稱其為集合的元素.如果一個(gè)集合滿足：當(dāng)有理數(shù)a是集合的元素時(shí)，有理數(shù)

7-a也必是這個(gè)集合的元素，這樣的集合我們稱為“好的集合”.例如集合｛3,4/就

是一個(gè)“好的集合

(1)請(qǐng)你判斷集合f1,5；,｛-2,2,3.5,5,9)是不是“好的集合”？

(2)寫出只含有一個(gè)元素的“好的集合”.

(3)如果｛一3,x,1,6,2%+5,10)是一個(gè)“好的集合”，求尤的值.

37.如圖，將1,3,5,7…連續(xù)的奇數(shù)按照這樣的樣式排列成一個(gè)數(shù)表，再按照?qǐng)D中

陰影部分的樣式框取五個(gè)數(shù)，這樣任意框出的五個(gè)數(shù)，用a,b,c,d,x表示，并按照

如圖所示排列.

⑴若x=55,則a+b+c+d-.

(2)用x表示a,b,c,d四個(gè)數(shù)的和，貝！|a+b+c+d=.

(3)設(shè)用=4+6+?+&+乃判斷M的值能否等于2024?并說明理由.

38.一個(gè)四位數(shù)，把千位上和百位上的數(shù)字之和記為a,十位上和個(gè)位上的數(shù)字之和記

為6,如果a=b,那么稱這個(gè)四位數(shù)為“和等數(shù)”.例如：3526,a=3+5,b=2+6,

因?yàn)閍=b,所以3526是“和等數(shù)”.

(1)請(qǐng)判斷2864、4537是否是“和等數(shù)”；

(2)如果一個(gè)“和等數(shù)”的個(gè)位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的三倍，且百位上數(shù)字的2倍與十

位上數(shù)字之和是10,請(qǐng)求出所有符合條件的這種“和等數(shù)”.

39.請(qǐng)閱讀下列科普材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

用“鋪地錦”計(jì)算乘法

我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中介紹了一種乘法的計(jì)算方法，稱為“鋪地

錦”.如圖1,是一個(gè)2x2的方格，每個(gè)小方格中都畫有一條對(duì)角線，計(jì)算31x47,首

試卷第8頁(yè)，共38頁(yè)

先把乘數(shù)31和47分別寫在方格的上面和右面，然后以31的每位數(shù)字分別乘47的每位

數(shù)字，將結(jié)果計(jì)入對(duì)應(yīng)格子的三角形中（如3X4=12的12寫在3下面的方格里，十位

數(shù)字1寫在斜線的上面，個(gè)位數(shù)字2寫在斜線的下面；1x4=4的4寫在斜線下面，十

位數(shù)字補(bǔ)。寫在斜線的上面……），再把同一斜線上的數(shù)相加，結(jié)果寫在斜線左下端對(duì)

應(yīng)的方格旁，最后把得數(shù)依次寫下來是1457,即31x47=1457.當(dāng)斜線數(shù)字相加滿

10時(shí)要向前進(jìn)位，如圖2,計(jì)算25x19時(shí)，5+4+8=17,17的個(gè)位數(shù)字7依然寫在

斜線左下端位置,十位數(shù)字向前進(jìn)位,并寫在前一斜線的左下端位置.0+2+1+1=4,

圖1圖2圖3圖4圖5

任務(wù)：

⑴用“鋪地錦”的方法計(jì)算25X71,將算法填在圖3中；

⑵請(qǐng)從A,2兩題中任選一題作答.我選擇題.

A如圖4,用“鋪地錦”的方法計(jì)算兩個(gè)兩位數(shù)相乘，則△表示的數(shù)是（用含a的

代數(shù)式表示），可得小的值為,乘法運(yùn)算的結(jié)果是.

B.如圖5,用“鋪地錦”的方法計(jì)算兩個(gè)兩位數(shù)相乘，則△表示的數(shù)是（用含m

的代數(shù)式表示），可得小的值為，乘法運(yùn)算的結(jié)果是.

十二、列方程解決問題之水電費(fèi)類一分類討論思想。

40.按照《關(guān)于調(diào)整四川電網(wǎng)居民生活用電階梯電價(jià)的通知》（川發(fā)改價(jià)格［2012）560

號(hào)）文件規(guī)定，目前國(guó)網(wǎng)瀘州供電公司供居民用電階梯價(jià)格執(zhí)行如下：

階梯一階梯二階梯三

月用電量在180月用電量在181度至280度部月用電量高于280度部分，在第

度及以下部分，分，在第一檔電價(jià)的基礎(chǔ)上，每一檔電價(jià)的基礎(chǔ)上，每度電加價(jià)

用電價(jià)格為0.52度電加價(jià)0.1元，用電價(jià)格為0.620.3元，用電價(jià)格為0.82元/度，

元/度；元/度，其他按階梯一計(jì)算其他按階梯一、二分別計(jì)算

根據(jù)以上提供的信息解答下列問題：

（1）某戶居民在一個(gè)月內(nèi)用電150度、280度，那么他這個(gè)月應(yīng)繳納電費(fèi)多少元?

(2)如果該居民在一個(gè)月內(nèi)用電。度，那么這個(gè)月他應(yīng)繳納電費(fèi)多少元？

(3)2022年7月，瀘州出現(xiàn)了歷史罕見的高溫?zé)崂颂鞖?李平家7月繳納電費(fèi)213元.則

他這個(gè)月用電多少度？

41.國(guó)慶黃金周，某商場(chǎng)促銷方案規(guī)定：商場(chǎng)內(nèi)所有商品按標(biāo)價(jià)的80%出售，同時(shí)當(dāng)顧

客在商場(chǎng)內(nèi)一次性消費(fèi)滿一定金額后，按下表獲得相應(yīng)的返還金額：

消費(fèi)金額(元)小于或等于500元500—10001000—15001500以上

返還金額(元)060100150

注：500?1000表示消費(fèi)金額大于500元且小于或等于1000元，其他類同.

根據(jù)上述促銷方案，顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可以獲得雙重優(yōu)惠.例如，若購(gòu)買標(biāo)價(jià)為1200

元的商品，則消費(fèi)金額為960元，獲得的優(yōu)惠額為1200x(1-80%)+60=300(元).

(1)購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為1800元的商品，顧客獲得的優(yōu)惠額是多少？

⑵若顧客在該商場(chǎng)購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)x元0>1250)的商品，那么該顧客獲得的優(yōu)惠額為多

少？(用含有x的代數(shù)式表示)

⑶若顧客在該商場(chǎng)第一次購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)x元0>1250)的商品后，第二次又購(gòu)買了一件

標(biāo)價(jià)為800元的商品，兩件商品的優(yōu)惠額共為768元，則這名顧客第一次購(gòu)買商品的標(biāo)

價(jià)是多少？

42.為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市采用階梯價(jià)格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)水

目的，價(jià)目表如下圖.

價(jià)目表

每月用水量單價(jià)

不超過8m3的部分3元/m?

超過8m3不超過12m3的部分47U/m3

超過12m3的部分67U/m3

注：水費(fèi)按月結(jié)算

(1)若某戶居民1月份用水6m3,則水費(fèi)為元.

(2)若某戶居民某月用水比m3Q>12),請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示水費(fèi).

(3)若某戶居民3,4月份共用水26m3,且4月份用水量超過14m3,3月份用水量超過8m3,

共交水費(fèi)94元，則該戶居民3、4月份各用水多少n??

試卷第10頁(yè)，共38頁(yè)

專題03一元一次方程易錯(cuò)考點(diǎn)強(qiáng)化練（十二大類）

學(xué)校：班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：

考點(diǎn)目錄

一、一元一次方程定義的理解。常考：最高一次，一次系數(shù)不為0............11

二、方程的解的理解一逢解代入。.........................................12

三、等式的性質(zhì)的理解。.................................................13

四、解一元一次方程與新定義的融合。....................................14

五、解一元一次方程一三都原則：去分母，每項(xiàng)都乘，去括號(hào)，都要乘，移動(dòng)項(xiàng),

都變號(hào)。................................................................16

六、解方程與新定義的融合。.............................................18

七、經(jīng)典考點(diǎn)一解的特征：解相同，互為相反（倒）數(shù)，解為正（負(fù)）整數(shù)。20

八、列方程解決問題之行程類。..........................................24

九、重難考點(diǎn)：列方程解決問題之銷售類。................................26

十、列方程解決問題之貼近生活的方案設(shè)計(jì)（選擇）類。...................28

十一、列方程解決問題之?dāng)?shù)字類提升。....................................31

十二、列方程解決問題之水電費(fèi)類一分類討論思想。........................35

一、一元一次方程定義的理解。常考：最高一次，一次系數(shù)不

為0.

1.下列命題：①若中|x|+2x=6,則x=2；②若方程-1）久陽(yáng)一2=。是關(guān)于X的

一元一次方程，則爪=±1;③若不論x取何值，ax-6-2x=3恒成立，貝！lab=-6；

④使得|x-l|+|x-3|=4成立的尤的值有且僅有兩個(gè).其中正確的是（把所有

正確結(jié)論的序號(hào)都選上）

【答案】［①③④

【詳解】解：①若|久|+2x=6,貝!|x=2,是真命題；

②若方程（爪-1）/叫_2=0是關(guān)于x的一元一次方程，則爪=-1,是假命題；

③若不論尤取何值，ax-b-2x=3恒成立，則ab=-6,是真命題；

④使得I*-1|+-3|=4成立的x的值有且僅有兩個(gè)，是真命題.

故答案為：①③④

2.已知（根？一4）x2+（m-2）x+2-。是一個(gè)關(guān)于尤的一元一次方程，若有理數(shù)a滿足

\a\+m<0,則代數(shù)式|a++|a-的值為.

【答案】4

【詳解】（m2—4）/+（m—2）%+2=。是一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，

的系數(shù)為0,且無(wú)系數(shù)#0,

:.m2—4=0,zn—2。0,

即m=±2且mH2,

.*.m=—2,

V|a|+m<0,

：.\a\-2<0,即|Q|<2,

**?-2WCLW2,

??一4$a+771=CL—2<0,04a-7n=a+244,

/.|a+m|+|a—m|=—a—m+a—m=—2m=4,

故答案為：4

3.若(a—1)%㈤一3=0是關(guān)于％的一元一次方程.

(1)求a的值；

(2)先化簡(jiǎn)，再求4m2+3a)-2(2a2-a+2)的值.

【答案】(1)。=一1

(2)14a-4,-18

【詳解】(1)解：由題意，得|。|=1,

a=±1,

XVa-1H0,

，aW1,

a=—1；

(2)原式=4a2+12a—4a2+2Q-4=14a—4,

當(dāng)a=-1時(shí)，原式=14x(―1)—4=-18.

二、方程的解的理解一逢解代入。

4.已知關(guān)于無(wú)的方程2x+a—7=0的解是x=3,則。的值是.

【答案】1

【詳解】解：x=3是方程2x+a-7=0的解，

???2x3+a—7=0,

???a=1,

故答案為：1.

5.若乂=—1是關(guān)于久的一元一次方程a+=2的解，貝！|3a—3b+1的值為

【答案】7

【詳解】解：把x=-1代入a+6久=2,得：a-b-2,

試卷第12頁(yè)，共38頁(yè)

3CL—3b+1——3（a—b'）+I=3x2+1=7；

故答案為：7.

6.已知x=-2是關(guān)于x的方程7-2x=久+k的解，貝也的值是（）

A.13B.9C.5D.2

【答案】A

【詳解】解：將％=-2代入方程7-2x=x+k,

得：7+4=-2+k

解得：k=13.

故選：A.

7.已知x=—8是方程3x+8=、—a的解，求a的值

4

【答案】a=14

【詳解】解：：％=-8是方程3%+8=彳—a的解，

4

/?3x（-8）+8=——a,

解得：a=14.

三、等式的性質(zhì)的理解。

8.運(yùn)用等式性質(zhì)進(jìn)行變形，正確的是（）

A.由a=b得到a+c=b—cB.由2%=-4得到％=2

C.由2m—1=3得到2zn=3+1D.由ac=be得到a=b

【答案】C

【詳解】解：A、由a=b兩邊都加c可得Q+c=b+c,因此選項(xiàng)不符合題意；

B、由2%=-4兩邊都除以2可得久=-2,因此選項(xiàng)不符合題意；

C、由27n-1=3兩邊都加1可得2zn=3+1,因此選項(xiàng)符合題意；

D、由ac=be,在cHO時(shí)，兩邊都除以c可得a=b,因此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

9.已知等式。=小則下列式子中不成立的是（）

A.a—1=Z）-1B.—=—C.3a=3bD.a-1=b+1

33

【答案】D

【詳解】解：A,等式的兩邊同時(shí)減1,等式仍成立，因此=成立，故A選

項(xiàng)不合題意；

B,等式的兩邊同時(shí)除以3,等式仍成立，因此g=5成立，故B選項(xiàng)不合題意；

C,等式的兩邊同時(shí)乘以3,等式仍成立，因此3a=3b成立，故C選項(xiàng)不合題意；

D,等式左邊減1,右邊加1,等式不成立，即a-l=6+l不成立，故D選項(xiàng)符合題

忌；

故選D.

四、解一元一次方程與新定義的融合。

10.對(duì)于數(shù)a,b,定義一種新的運(yùn)算"O"：aQb-a-b+ab.

⑴求(一4)O3的值；

⑵若(3。(-2)=5,求尤的值；

(3)小丁說：”(-71)G)(-771)=HlO71.小丁的說法正確嗎？如果正確，請(qǐng)說明理由；如

果不正確，請(qǐng)舉例說明.

【答案】(1)-19；

(2)-3；

(3)小丁的說法正確，理由詳見解析.

【詳解】(1)-4O3=-4-3+(-4)x3--19.

(2)'.'30^-3—x+3x—3+2x,

XV(3+2x)O(-2)=3+2久一(-2)+(3+2x)(-2)

=5+2x—6-4x

=-2x-1,

：.-2x-l=5.

解得x=-3.

(3)小丁的說法正確，理由如下：

,/(―n)O(―m)=(―n)—(―m)+(―n)(—m)=—n+m+nm,

mQn—m—n+mn,

(—n)O(—m)—mQn.

11.我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程ax=b的解為b+a,則稱該方程為“和解方

程例如：方程2x=-4的解為x=—2,而—2=—4+2,則方程2久=—4為“和解方

程”.請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：

⑴方程5x=-2"和解方程”(填“是”或“不是”)；

(2)若關(guān)于x的一元一次方程6x=k是“和解方程”，求k的值；

(3)若關(guān)于X的一元一次方程-2x=mn+也是“和解方程”，并且它的解是x=n,求m,n的

試卷第14頁(yè)，共38頁(yè)

值.

【答案】(1)不是

(2)/c=-y

2

(3)n=-m=—3

【詳解】(1)解：,??5%=-2,

?

??X=一―2,

2

V-2+5=3^-1,

二?方程5汽=-2不是"和解方程”；

故答案為：不是；

(2)???關(guān)于x的一元一次方程6%=k是“和解方程”，

/.x=fc+6,

又，?,方程6%=k的解為％=p

6

k+6=-,

6

解得k=一?；

(3);關(guān)于x的一元一次方程—2%=mn+九是"和解方程”

/.x=mn+九一2

又?方程-2%=mn+幾的解為％=n

:.n=mn+九一2即：mn=2

將％=九和nm=2代入原方程，得：

—2n=2+71解得ri=—|；

又nm=2,

Am=-3.

12.歷史上的數(shù)學(xué)巨人歐拉最先把關(guān)于工的多項(xiàng)式用記號(hào)/(%)來表示.例如/(%)=/+

3%-5,把等于某數(shù)時(shí)多項(xiàng)式的值用/(某數(shù))來表示.例如%=-1時(shí)多項(xiàng)式%2+3x-5

的值記為/(-1)=(-1)2+3X(-1)-5=-7.

(1)已知gQ)=-2x2-3%+1,分別求出g(-1)和g(-2)的值.

(2)已知九(%)=ax3+2x2—%—14,/iG)=。，求〃的值.

【答案】(1)2；—1

(2)a=-16

【詳解】(1)由題意得：g(—1)——2x(―I)2—3x(―1)+1=2,

g(—2)=—2x(—2)2—3x(—2)+1=—1；

(2)由題意得：(a+(—1—14=a,

解得：a=-16.

五、解一元一次方程一三都原則：去分母，每項(xiàng)都乘，去括號(hào),

都要乘，移動(dòng)項(xiàng)，都變號(hào)。

13.解方程：--1=2%--.

24

【答案】X=1

【詳解】學(xué)-l=2x-T，

24

去分母，得2(汽+3)-4=8%-(5-%),

去括號(hào)，得2%+6-4=8x-5+久，

移項(xiàng)，得2%—8%—x——5—6+4,

合并同類項(xiàng)，得-7%=-7,

系數(shù)化為1,得％=L

14.解方程：

(1)4%-3(20-%)=-4

c'2%+15%-1.

(2)-D--------O-=1

【答案】⑴x=8

(2)%=-3

【詳解】(1)解：去括號(hào)，得4x—60+3久=—4,

移項(xiàng)，得4x+3x=-4+60,

合并同類項(xiàng)，得7x=56,

系數(shù)化為1,得尤=8；

(2)解：去分母，得2(2x+1)-(5%-1)=6,

去括號(hào)，得4%+2-5x+1=6,

移項(xiàng)，得4x-5%=6-2-1,

合并同類項(xiàng)，得一%=3,

系數(shù)化為1,解得：x=—3.

15.解方程：

試卷第16頁(yè)，共38頁(yè)

(l)3(x-1)-2(x+10)=-6

(2)---------------=1

v734

【答案】(l)x=17；

(2)x=18；

【詳解】(1)解：去括號(hào)得,

3x—3—2.x—20=-6,

移項(xiàng)得，

3%—2.x——6+3+20,

合并同類項(xiàng)得，

x=17；

(2)解：去分母得，

4(2%—6)-3(%+18)=12,

去括號(hào)得，

8%-24-3x-54=12,

移項(xiàng)得，

8%—3%=12+24+54,

合并同類項(xiàng)得，

5%=90,

系數(shù)化為1得，

x=18；

16.解方程:

(1)6(%-1)-2=%+2；

/X2x—l2x4-1

⑵1r=-

【答案】(1)%=2

(2)%=

6

【詳解】(1)解：6(%-1)-2=%+2,

6%—6—2=%+2,

6%—%=2+6+2,

5%=10,

x=2.

(2)1--=—

63

6-(2%-1)=2(2%+1),

6—2.x+1=4x+2,

—2x—4%=2—6—1,

—6x=-5,

5

X=-.

6

六、解方程與新定義的融合。

17.把久=ax+b(其中.、。是常數(shù)，x是未知數(shù))這樣的方程解為“和合方程”，其中

“和合方程x=ax+6”的解稱為“和合方程”的“和合值”.

例如："和合方程％=2%+1”,其“和合值”為刀=一1

(l)x=2是“和合方程x=-2x+k”的“和合值”，求k的值：

(2)“和合方程”=依+1(左為常數(shù))存在“和合值”嗎？若存在，請(qǐng)求出其“和合值”(用

含上的式子表示)，若不存在，請(qǐng)說明理由：

(3)若關(guān)于x的“和合方程"5久=x+8mn-4m-52的“和合值”是關(guān)于x的方程2x-

|nm=-8m-28)的解，求此時(shí)符合要求的正整數(shù)相、”的值.

【答案】(1)6

Q)存在，~

(3)m=1,n—5或m—2,n=2或m=3,n—1

【詳解】⑴解：=2是“和合方程久=-2x+k”的“和合值”，

**?2=-2x2+/c,

解得：fc=6；

(2)存在，理由如下:

V%=/ex+1,

???(1—fc)x=1,

當(dāng)kK1時(shí)，x=三即為“和合值”；

1-k

當(dāng)k=l時(shí)，%無(wú)解；

nm

(3)5%=%+8mn—4m—52的角星為％=84'52_2nm—m—13,

4

2x—I?7m=|(mn—8m—28)的解為％=mn—2m—7,

??,兩個(gè)方程的解相同，

/.2mn—m—13=mn—2m—7,

試卷第18頁(yè)，共38頁(yè)

.*.m(n+1)=6,

m、71是正整數(shù)，

m=1,n=5或巾=2,n=2或zn=3,n=1.

18.如果兩個(gè)一元一次方程的解之和為1,我們就稱這兩個(gè)方程為“美好方程”，例如：

方程2%—1=3和％+1=0為"美好方程

(1)方程4%-(%+5)=1與方程-2y-y=3是“美好方程”嗎？請(qǐng)說明理由；

(2)若關(guān)于久的方程2%-n+3=0與％+5n-1=。是“美好方程”，求n的值.

【答案】(1)是，理由見詳解

(2)n=

【詳解】(1)方程4x-(x+5)=1與方程-2y-y=3是“美好方程”，理由如下：

由4%-(%+5)=1,解得％=2；

由-2y-y=3,解得y=-1,

???-1+2=1,

???方程4%-(x+5)=1與方程-2y-y=3是“美好方程

(2)由2久一幾+3=0,解得％=-2-；

由X+5n—1=0,解得％=1—5n；

,??關(guān)于》方程2%-九+3=0與％+5n-1=0是“美好方程”，

???巴厘+1—5n=1,

2

解得72=—

19.定義：如果兩個(gè)一元一次方程的解的和為1,我們就稱這兩個(gè)方程為“集團(tuán)方程”，

例如：方程4%=8和%+1=0為“集團(tuán)方程

(1)若關(guān)于x的方程3%+m=0與方程4%—1=%+8是"集團(tuán)方程”，求m的值；

⑵若“集團(tuán)方程”的兩個(gè)解的差為6,其中一個(gè)較大的解為〃，求〃的值；

(3)若關(guān)于x的一元一次方程^+3=2%+女和^+1=0是“集團(tuán)方程”，求關(guān)于y

的一元一次方程毒(y+l)+3=2y+2+k的解.

【答案】(l)m=6

7

(2)n=-

(3)y=2022

【詳解】(1)解：：3x+ni=0,

?4x—1=X+8,

=3.

關(guān)于x的方程3%+zn=0與方程4%—1=x+8是“集團(tuán)方程”，

A--+3=1,

3

Am=6；

(2),「集團(tuán)方程”的兩個(gè)解和為1,

???另一個(gè)方程的解是1-幾，

??,兩個(gè)解的差是6,且〃為較大的解，

.,.n—(1—n)=6,

?

..n7=

2

(3),?*----%+1=0,

2022

/.%=—2022.

:關(guān)于X的一元一次方程募尤+3=2x+k和/X+1=0是“集團(tuán)方程”，

關(guān)于x的一元一次方程康久+3=2x+k的解為：%=1-(-2022)=2023.

:關(guān)于y的一元一次方程/(y+l)+3=2y+2+k可化為：盛(y+1)+3=

2(y+1)+fc,令y+l=x=2023,

.'.y=2022.

七、經(jīng)典考點(diǎn)一解的特征：解相同，互為相反(倒)數(shù)，解為

正(負(fù))整數(shù)。

20.已知關(guān)于久的方程：2(%-1)+1=%與3(%+m)=m-1有相同的解.

(1)求m的值

(2)求以y為未知數(shù)的方程手=吟的解.

【答案】(1)爪=-2

(2)7=后

【詳解】(1)解:2(%—1)+1=%

去括號(hào)，2x—2+1=%

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，x=l

試卷第20頁(yè)，共38頁(yè)

把％=1代入方程3(%+m)=m—1得，3(1+m)=m—1,

Am=-2.

(2)解：%=1,m=-2,

...原方程變?yōu)榈?-1,

去分母,2(3+2y)=-15

去括號(hào)，6+4y=-15

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，4y=-21

系數(shù)化為1,y=—

21.閱讀與理解：已知關(guān)于x的方程入=5-久有正整數(shù)解，求整數(shù)上的值.

解：kx+x-S,(k+l)x=5,x=言因?yàn)殛P(guān)于x的方程for=5-久，有正整數(shù)解，所

以名為正整數(shù)，因?yàn)樽鬄檎麛?shù)，所以k+l=l或k+l=5,所以k=0或k=4；

k+1

探究與應(yīng)用：應(yīng)用上邊的解題方法，已知關(guān)于x的方程依=6+%有正整數(shù)解，求整數(shù)

女的值.

【答案】7或4或3或2

【詳解】解：kx=6+x,

kx—x=6,

(fc—l)x=6,

x=——6,

k-l

因?yàn)殛P(guān)于X的方程依=6+%有正整數(shù)解，

所以已為正整數(shù)，

k-l

因?yàn)槿藶檎麛?shù)，

所以/c—1—6或k—1=3或k—1-2或k-1=1,

解得k=7或k=4或k=3或k=2.

故整數(shù)人的值為7或4或3或2.

22.已知關(guān)于尤的方程中，12x—a=0的解比。+8久=2+4久的解大1,求a的值.

【答案】a=[

【詳解】解；12x-a=0

移項(xiàng)得：12%=a,

系數(shù)化為1得：x=^；

a+8%=2+4支

移項(xiàng)得；8%—4%=2-a,

合并同類項(xiàng)得：4%=2-a,

系數(shù)化為1得：X=早；

4

：12%-a=0的解比a+8%=2+4x的解大1,

?aT2—a.

??1—,

124

???CL—12=3(2—a),

CL—12=6-3Q,

???CL——9.

2

23.當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，關(guān)于x的方程57n+3%=1+%的解比關(guān)于%的方程2%+m