人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)常見(jiàn)幾何模型解讀與提分訓(xùn)練：三角形中的特殊模型-雙角平分線模型（原卷版）

專題08.三角形中的特殊模型-雙角平分線模型

模型1、雙角平分線模型

1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型

條件：如圖1,在0ABe中，和0AC8的平分線BE,CF交于點(diǎn)G；結(jié)論：ZBGC=90°+1ZA.

圖1圖2圖3

2）兩外角平分線的夾角模型

條件：如圖2,在0ABe中，BO,C。是0ABe的外角平分線；結(jié)論：NO=90。—

3）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型

條件:如圖3,在團(tuán)ABC中,BP平分0ABC,CP平分0AC3的外角,兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：ZP=|zA.

圖4圖5圖6

4）凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型

條件：如圖4,BP、CP平分0ABC、0DCB,兩條角平分線相交于點(diǎn)尸；結(jié)論：2NF=N4+ND

5）兩內(nèi)角平分線的夾角模型

條件：如圖5,BP、。尸平分勖CD、SCDE,兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：2ZP=ZA+ZB+ZE-1800

6）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型（累計(jì)平分線）

條件：如圖6,ZA=a,ZABCZACD的平分線相交于點(diǎn)片，"BC,幺CD的平分線相交于點(diǎn)外，ZP2BC,

的平分線相交于點(diǎn)A......以此類推；結(jié)論：/匕的度數(shù)是.

7）旁心模型

旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)

條件：如圖，2。平分/ABC,C￡＞平分NACB的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)D；結(jié)論：平分/CW

例1.（2023?綿陽(yáng)市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在AABC中，ZABC=80°,ZACB=50°,3P平分/ABC,CP

平分NACB,貝!|ZBPC=.

例2.（2023?河南周口?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，ZA+ZD=d,—ABC的平分線與/BCD

的平分線交于點(diǎn)P,則NP=（）

D.1800--5

2

例3.（2023秋,山西太原?八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，尸是一ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB,PC.

⑴猜想：NBPC與NABP、ZACP、/A存在怎樣的等量關(guān)系？證明你的猜想.⑵若NA=69。，PB、PC分

別是/ABC、—ACB的三等分線，直接利用（1）中結(jié)論，可得/3PC的度數(shù)為

例4.（2023秋?成都市?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在ABC中，ZB=58°,三角形兩外角的角平分線交于點(diǎn)

例5.（2023?綿陽(yáng)市?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知在AABC中，NB、NC的外角平分線相交于點(diǎn)G,若

ZABC=m°,ZACB=n°,求13GC的度數(shù).

(7

例6.（2023春?廣西?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在mABD中，回ABD的平分線與I3ACD的外角平分線交于點(diǎn)E,

0A=8O°,求I3E的度數(shù)

例7.（2023春?山東泰安?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在ABC中，ZA=?,/ABC與/ACD的平分線

交于點(diǎn)4,得幺；NABC與的平分線相交于點(diǎn)兒，得&；L；幺。192c與幺地⑺的平分線相

父于點(diǎn)4020,得//420，則/4020=

例8.（2023?河北?九年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題情境：如圖1,點(diǎn)。是0ABe外的一點(diǎn)，點(diǎn)E在8C邊的延長(zhǎng)線上,

8。平分她8C,C￡）平分0ACE.試探究SD與她的數(shù)量關(guān)系.

⑴特例探究：如圖2,若a42c是等邊三角形，其余條件不變，則ao=；

如圖3,若她BC是等腰三角形，頂角m=100。，其余條件不變，貝崛。=；這兩個(gè)圖中，與她度數(shù)的

比是;（2）猜想證明：如圖1,0ABe為一般三角形，在（1）中獲得的回。與0A的關(guān)系是否還成立?

若成立，利用圖1證明你的結(jié)論；若不成立，說(shuō)明理由.

例9.（2023?重慶?七年級(jí)專題練習(xí)）認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾角的探究片段，完成所提

出的問(wèn)題.

探究1：如圖1,在0ABe中，。是BABC與0AC2的平分線8。和C。的交點(diǎn)，分析發(fā)現(xiàn)/BOC=90。+144,

2

理由如下：回20和C。分別是0ABC、0ACB的角平分線

0Z1=-ZABC,Z2=-ZACB

22

0Z1+Z2=1(ZABC+ZACB)=1(180°一ZA)=90°-1zA

團(tuán)NBOC=180°-(Zl+Z2)=l80°-(90°-1zA)=90°+1zA

（1）探究2：如圖2中，。是fflABC與外角0AC￡）的平分線3。和CO的交點(diǎn)，試分析SBOC與她有怎樣的

關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）探究3：如圖3中，O是外角SD8C與外角SEC8的平分線8。和CO的交點(diǎn)，則與有怎

樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）

（3）拓展：如圖4,在四邊形A8CD中，。是13ABe與國(guó)。CB的平分線80和C。的交點(diǎn)，貝崛80c與0A+I3。

有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論）

（4）運(yùn)用：如圖5,五邊形A8COE中，SBCD.EIEDC的外角分別是跖0G￡）C,CP、0P分別平分跖CD

和回GOC且相交于點(diǎn)P,若0A=14O。，0B=12O°,fflE=90°,貝胞CPQ=度.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，OG平分NMON,點(diǎn)4,3是射線。暇，QV上的點(diǎn)，連接按

以下步驟作圖：

M

①以點(diǎn)8為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交A3于點(diǎn)C,交于點(diǎn)。；

②分別以點(diǎn)C和點(diǎn)。為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E；

③作射線8E,交0G于點(diǎn)尸.若/ASN=140。，NMON=50。,則的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

2.（2023?江蘇?八年級(jí)月考）AABC中，點(diǎn)O是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到AABC三邊的距離相等；ZA=40°,

貝|J/BOC=（）

3.（2023?成都?八年級(jí)月考）如圖，AABC的外角/ACZ）的平分線CP與內(nèi)角NABC的平分線3P交于點(diǎn)尸,

若NBPC=40°,貝!]NCAP=（）

C.50°D.60°

4.（2023?重慶?八年級(jí)專題練習(xí)）已知，如圖，ABC中，ZABC=48°,NACB=84。，點(diǎn)￡）、E分別在54、

BC延長(zhǎng)線上，3P平分/ABC,CP平分/ACE,連接AP,則NPAC的度數(shù)為（）

BCE

A.45°B.48°C.60°D.66°

5.（2023秋?綿陽(yáng)市?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在*ABC中，ZABC=50°,ZACB=60°,點(diǎn)E在8c的延長(zhǎng)

線上，/ABC的平分線3。與—ACE的平分線CZ）相交于點(diǎn)。，連接AZ）,下列結(jié)論中不正確的是（）

A.ZBAC=70。B.ZDOC=90°C.ZBDC=35°D.ZDAC=55°

6.（2022春?重慶黔江?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB〃CD,點(diǎn)E在兩平行線之間，連接BE,CE,NABE

的平分線與/3EC的平分線的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，若/BFE=50°,則NC等于（）.

7.（2022春?北京海淀?七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與y軸在正半軸、x軸正半

軸分別交A、2兩點(diǎn)，點(diǎn)C在2A的延長(zhǎng)線上，AO平分團(tuán)C4O,8。平分0A2。，貝的。的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.55°D.60°

8.（2023?江蘇?八年級(jí)月考）如圖，AASC的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角NABC平分線3P交于點(diǎn)尸,

若NBPC=40。,則N54C的度數(shù)是

9.（2023春?河北?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在IBABC中，回ABC和回ACB的角平分線交于點(diǎn)0,延長(zhǎng)BO與回ACB

的外角平分線交于點(diǎn)D,若回BOC=130。，貝崛D=

10.（2022秋?浙江八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（2018育才單元考）如圖，在0ABe中，/ABC和/ACD的角平分

線交于點(diǎn)A,得/A，NA8C和NACD的角平分線交于點(diǎn)4,得N4,......,N4-BC和/4一。的角平分

線交于點(diǎn)4,得NA.

(1)若ZA=80。，貝!)4=,幺=,幺=

(2)若ZA=/〃o,貝g4oi5=.

11.（2023?浙江杭州?八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，ZA+ZD=m°,/ABC的平分線與/BCD的

平分線交于點(diǎn)尸，則NP=.（用含字母加的代數(shù)式表示）

12.（2023春?河南,七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)M是0ABe兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)N是0ABe兩外角平

分線的交點(diǎn)，如果回CM2：回CA?=3：2,那么回C4B=.

c

13.（2023?甘肅隴南?統(tǒng)考一模）在,ABC中，AB=AC,NA=100。.點(diǎn)M在BC的延長(zhǎng)線上，/A3C的

平分線交AC于點(diǎn)DNMC4的平分線與射線BD交于點(diǎn)E.

⑴依題意補(bǔ)全圖形；用尺規(guī)作圖法作NMC4的平分線；⑵求/BEC的度數(shù).

14.（2023?山東八年級(jí)期中）如圖，在AABC中，角平分線AD、BE、C尸相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)3作3GLCF

于點(diǎn)G,=成立嗎？說(shuō)明理由.

15.（2023?黑龍江八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖（1）所示，已知在中，。為0ABe和0AC2的平分線

BO,C。的交點(diǎn).試猜想SBOC和0A的關(guān)系，并說(shuō)明理由.（2）如圖（2）所示，若。為0ABe的平分線

3。和0ACE的平分線C。的交點(diǎn)，貝崛2。。與0A的關(guān)系又該怎樣？為什么？

圖(2)

16.（2023春?八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，0CBF,0ACG是團(tuán)ABC的外角，0ACG的平分線所在的直線分別與團(tuán)ABC,

EICBF的平分線BD,BE交于點(diǎn)D,E.

（1）若鼬=70。，求（3D的度數(shù)；（2）若回A=a,求既；（3）連接AD,若I3ACB=￡,貝峋ADB=.

E

17.（2023,福建泉州?七年級(jí)階段練習(xí)）在AABC中，已知NA=a.

（1）如圖1,ZABC.NACB的平分線相交于點(diǎn)￡）.①當(dāng)々=80時(shí)，N3DC度數(shù)二度（直接寫出結(jié)果）；

②/3DC的度數(shù)為一（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）如圖2,若/ABC的平分線與/ACE角平分線交于點(diǎn)/，求/BFC的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.

（3）在（2）的條件下，將AEBC以直線BC為對(duì)稱軸翻折得到AGBC,NG3C的角平分線與NGC3的角平

分線交于點(diǎn)M（如圖3）,求的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.

18.（2023,江蘇鹽城?七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，EIABC的角平分線相交于P,0A=mo,（1）若鼬=40。,求EIBPC的

度數(shù)；（2）設(shè)回ABC的外角IBCBD、回BCE的平分線相交于Q,且EIA=m。，求EIBQC的度數(shù)

(3)設(shè)EIABC的外角E1CBD、EIBCE的n等分線相交于R,且OA=m°,13CBR=/l3CBD,EIBCR^EIBCE,求回BRC的

度