人教版八年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題專練：平方差與完全平方公式壓軸題的四種考法（解析版）

專題07平方差與完全平方公式壓軸題的四種考法

類型一、平方差公式逆運(yùn)算

例1.計算：8x（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=.

732

【答案】—

6

【分析】首先將原式乘以。X（7-1）,利用平方差公式求解，即可求得Jx（732-1）+：,繼而

求得答案.

【詳解】8x（72+1）x（74+1）x（78+1）x（716+1）+1

=1X（7-1）X（7+1）X（72+1）X（74+1）X（78+1）X（716+1）+1

224816

=1X（7-1）X（7+1）X（7+1）X（7+1）X（7+1）+1

8168816

=lx（r-l）x（r+l）x（7+l）x（7+l）4=lx（7-l）x（7+l）x（7+l）4

161632

=1x（7-l）x（7+1）+1=1x（7-1）+1+故答案為：J

6v'v766v7666666

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，本題技巧性較強(qiáng)，所用到的方法是代數(shù)式的湊項變

形，即根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)，通過適當(dāng)?shù)牟?、并、湊等手段，將其轉(zhuǎn)化成所需要的形式.根據(jù)

本題的特征，嘗試將原式的系數(shù)1變形為Jx（7-1）,從而可應(yīng)用平方差公式將原式變形為

O

32

1X（7-1）+1,為解決問題創(chuàng)造了良好的條件.

O7O

2017?=

例2.計算:

2016x2018+1

【答案】1

【分析】根據(jù)平方差公式可以使本題解答比較簡便.

20172

【詳解】解:

2016x2018+1

________2017'________

(2017-1)x(2017+1)+1

2017220172,

-----------------=--------=1

20172-12+120172

【點(diǎn)睛】本題應(yīng)根據(jù)數(shù)字特點(diǎn)，靈活運(yùn)用運(yùn)算定律會或運(yùn)算技巧，靈活簡算.

【變式訓(xùn)練。計算：1012小-21-朗-哥『一

【答案】2023

10122023

=1012+=1012+=1012x=2023

(22023J20231012

故答案為：2023.

【點(diǎn)睛】本題考查利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是將1-3變形為

n

【變式訓(xùn)練2].若4=(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1,則4—2022的末位

數(shù)字是.

【答案】4

【分析】將A乘以(2-1),然后用平方差公式計算，再用列舉法找出2"的個位數(shù)的規(guī)律,

推出A的個位數(shù)，再代入式子計算即可.

【詳解】(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)+1

=(28-1)(28+1)(216+1)+1

=(216-1)(216+1)+1=232-1+1=232；

021=2，2?=4，23=8,24=16，

2=32,26=64,27=128,2:256…;

團(tuán)尾數(shù)是2,4,8,6.........四個一循環(huán)，

0324-4=8,取32的末位數(shù)字是6,

即A的末位數(shù)字是6,則A—2022的末位數(shù)字是4.故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式、數(shù)字規(guī)律等知識點(diǎn)，根據(jù)題意湊出平方差公式以及發(fā)現(xiàn)尾

數(shù)是2,4,8,6,......四個一循環(huán)是解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】閱讀：在計算（*-。卜"+尤1+/2++X+1）的過程中，我們可以先從簡單

的、特殊的情形入手，再到復(fù)雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結(jié)，形成解決一類問

題的一般方法，數(shù)學(xué)中把這樣的過程叫做特殊到一般.如下所示：

【觀察】①（l）（x+l）=f-1；

②（X-1）（尤2+X+1）=尤3-1；

③（X-1）（*3+x2+X+1）=X4-1;

⑴【歸納】由此可得:（尤-。（尤"+4+/2++尤+1）=；

⑵【應(yīng)用】請運(yùn)用上面的結(jié)論，解決下列問題:計算：22023+22022+22021++22+2+1=

⑶計算：22。一2|9+2比一2|7+..-23+22-2+1=;

（4）若9+尤4+犬3+尤2+X+1=0,求X2022的值.

【答案】（1）》向一1；僅4期一：!；⑶;X22jg;⑷婢22=1.

【分析】（1）利用已知得出式子變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案；

（2）利用（2）中變化規(guī)律進(jìn)而得出答案；

（3）W220-219+218-217+-23+22—2+1轉(zhuǎn)化為

（-2）2°+（-2）19+（-2）18+（-2）17++（-2）3+（-2）2+（-2）+1,再利用⑵中變化規(guī)律進(jìn)而得

出答案；

（4）利用（2）中變化規(guī)律得出x的值，進(jìn)而得出答案.

【詳解】（1）解：①（X-1）（X+1）=尤2—1；

②(*—1)(尤2+元+1)=尤3_]；

③(X-1)(丁+彳2+*+])=*4_]；...

國(X-1)(X"+―+產(chǎn)2++X+1)=xB+1-l,

故答案為：y,+l-i；

(2)解：22必+22°"+22021++2。+2+1

=(2-1)(22023+22022+22021++22+2+1)

=22024-1;

(3)解：220-219+218-217+-23+22-2+1

219181732

=(-2)°+(-2)+(-2)+(-2)++(-2)+(-2)+(-2)+1

=Tx[(-2)-1][(-2)20+(-2)'9+(-2)'8+(-2)'7++(-2)3+(-2)2+(-2)+1]

=-^x|-(-2)21-l-l=^-x221--故答案為：^x221；

3L''」3333

(4)解：［3(尤一1)(尤$+x,+尤3+無？+x+1)=無，-1=。,Elx=+1,

團(tuán)尤s+尤4++x2+x+l=O,回xwl,x=-1,

0X2O22=(-1)2O22=1.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方差公式以及數(shù)字變化規(guī)律，正確得出式子之間的變化規(guī)律是解

題關(guān)鍵.

類型二、完全平方公式(換元法)

例.設(shè)a=x-2022,人=x—2024,c^x-2023.^a2+b2=16,則片的值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

［分析］根據(jù)完全平方公式得出ab=6,a-b=2,進(jìn)而根據(jù)已知條件得出，=(0-1)(6+1),

進(jìn)而即可求解.

【詳解】a=x-2O22,b=x-2024,c=x-2023,

.'.a—l=x—2O23=c=b+l,a—b=2,

a2+b2=16,

(a-b)2+2ab=16,

ab—6,

：.c2=(a-l)(Z?+l)

=ab+a—b—1

=6+2-1

=7,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式變形求值，根據(jù)題意得出c2=(a-l)S+l)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】已知(〃一2016)(2019—九)=1,貝IJ(九-2016)2+(〃-2019)2=.

【答案】7

【分析】先設(shè)〃-2016=a,2019-n=b,則("-2016)(2019-“)=1可化為ab=l,

(〃-2016)2+(w-2019)2=〃+)2=(q+6)2-2",再將〃一2016=。，2019-〃=》代入，然后求出

結(jié)果

【詳解】解：設(shè)：?-2016=a,2019-n=b,

貝心〃一2016)(2019—〃)=1可化為：ab=l

0(n-2016)2+(〃-2019>

=(n-2016)2+(2019-n#=a。+=(a-b,-2ab

將〃-2016=〃，2019-n=b,Q〃=l代入上式，

則(n-2016)2+(n-2019)2

=(n-2016+2019-n)-2?1

=32-2

=7

【點(diǎn)睛】本題考查了對完全平方公式的應(yīng)用，能熟記公式，并能設(shè)加2016=*2019-n=b,

然后將原代數(shù)式化簡再求值是解此題的關(guān)鍵，注意：完全平方公式為①

(a+b)2=a2+lab+b2,②(a-b)2=a2-lab+b1.

【變式訓(xùn)練2】已知(2018—。)(，一2。21)=-5,求(a—2018)2+(?！?021尸=.

【答案】19

【分析】設(shè)a-2021=相，則。一2018=m+3；根據(jù)題意，得/+3m=5;再將療+3加=5代

入到代數(shù)式中計算，即可得到答案.

【詳解】團(tuán)(2。18—〃)3—2。21)=—5

團(tuán)3—2018)3—2021)=5

設(shè)〃一2021=相，貝!Ja—2018=帆+3

團(tuán)相(相+3)=5,即機(jī)2+3根=5

團(tuán)(a-2018)2+(々-2021)2

=(m+3)2+m2

=2m2+6m+9

=2(4+3宿+9

=2x5+9

=19

故答案為：19.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式運(yùn)算和代數(shù)式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式乘法、完全平方

公式的性質(zhì)，從而完成求解.

【變式訓(xùn)練3】閱讀理解：

已知a+b=-4,ab=3,求/+〃的值.

解：Ha+b=-4,

團(tuán)(a+b)2=(-4『.

BPa2+2ab+b2—16.

團(tuán)次?=3,

0a2+fe2=10.

參考上述過程解答：

(1)已知a-6=-3,ab--2.求式子(a—b)(a2+b2)的值；

(2)^m-n-p=-10,(m-p)n=-12,求式子(m-p)?+"的值.

【答案】⑴-15(2)76

【分析】(1)利用完全平方公式，先求出(a2+b2)的值，再計算(a-b)(a2+b2)的值；

(2)把m-n-P=-10變形為[(m-p)-n],利用完全平方公式仿照例題計算得結(jié)論.

【詳解】解:(1)因為(a-b)2=(-3)2,

所以a2-2ab+b2=9,

又回ab=-2

0a2+b2=9-4=5,

0(a-b)(a2+b2)=(-3)x5=-15

(2)ffl(m-n-p)2=(-10)2=100,

即[(m-p)-n]2=100,

回(m-p)2-2n(m-p)+n2=100,

E(m-p)2+n2=100+2n(m-p)=100+2(-12)=76.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式乘法的完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的變形是解決本

題的關(guān)鍵.

類型三、完全平方公式變形

例.已知a-b=5,且c—b=10,貝！I/+人2-。匕-歷一。。等于()

A.105B.100C.75D.50

【答案】C

【分析】由已知。-人=5,c-b=\O,兩等式左右兩邊分別相減，可得到a-c=-5,將

a2+b2+c2-ab-bc-ac,利用完全平方公式，變?yōu)?(6-cf+(a-c)],再將上

面的式子的值代入，問題得解.

【詳解】解：Sa-b^5,c-b=10,

團(tuán)Q—c=-5,

即：a2+b2+c2—ab—bc—ac

二;[(〃一萬)2+(b-C)2+(〃-C)2]

=1X[52+(-10)2+(-5)2]

=75,

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，將/+〃+c2一°。一兒一女變?yōu)?/p>

g[("b)2+(6-c)2+(a-c)2]是難點(diǎn).

例2.已知/一3尤+1=0,求/+2=.

【答案】47

【分析】根據(jù)已知等式兩邊同時除以羽得到x+工的值，然后利用完全平方公式求出f+二

XX

的值，最后再利用完全平方公式求犬+二的值即可.

X

【詳解】團(tuán)f—3%+1=0,

回兩邊同時除以x得：％—3d—=0,即XH—=3,

%X

0^x+—12+二=9,即％2H—f=7,

x)xx

"+：—+2+-9,

團(tuán)尤4+[=47.

【點(diǎn)睛】本題考查已知式子的值求代數(shù)式的值，熟練應(yīng)用等式的基本性質(zhì)及完全平方公式是

解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1工已知N=2y+5,y2=2x+5(*y),則的值為___.

【答案】-12

【分析】首先根據(jù)題意得出f-y2=(x+H(x-y)=2(y—力且f+9=2(尤+y)+10,從而

進(jìn)一步得出無+>=-2,由此進(jìn)一步求出孫的值，最后再通過將所求式子分解為

(*+封(/+爐-孫)+2進(jìn)一步計算即可.

【詳解】Ex2=2y+5,y1=2x+5,

團(tuán)—y2=(x+y)(%_y)=2(y—%),+y2=2(X+y)+10,

回"兒而(x+y)(%_y)=2(y_x),

回％+y=-2,

回爐+/=2(x+y)+10=6=(x+y)2-2孫,

團(tuán)孫=一1,

回d+2%2y2_|_,3_(%_|_,乂%2+,2_+2——2x7+2——12,

故答案為：-12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘法公式的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)公式及方法是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2］已知尤2+2》一1=0,貝U尤3一5了+4的值為;爐+!的值為.

【答案】26

【分析】由d+2x—l=0可得犬=-2》+1,/+2"=1,再對V-5x+4進(jìn)行變形即可求解；由

/+2了-1=0可得工-工=-2,然后左右平方，將V+［作為一個整體求解即可.

【詳解】解:團(tuán)丁+2元一1=0,

回尤—2尤+1?+2x==l,

回尤3-5x+4=x(x2-5)+4=x(-2x+l-5)+4

=x(-2x-4)+4=-2x2-4x+4

S1X2+2X-1=0

=

團(tuán)x+2—0fHPx———2

回f_2+4=4,解得：f+4=6.

XX

故答案為：2,6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值、完全平方公式的應(yīng)用等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識對

代數(shù)式進(jìn)行變形成為解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】.如果尤2+4y2-2x-4y+2=0,貝1|(2x-3y)2-(3y+2x),=.

【答案】-12

【分析】已知等式左邊利用完全平方公式變形后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，即可

確定出孫的值.然后將其代入整理后的所求代數(shù)式進(jìn)行求值即可.

【詳解】解：Bx2+4y2-2x-4y+2=0,

團(tuán)(x-1)2+4(y-；)2=0,

Ex-1=0,y-；=0,即x=l,尸3，

則(2x-3y)2-(3y+2x)2=(2x-3y+3y+2x)(2x-3y-3y-2x)

=4x?(-6y)--24xy=-24x；

=-12.

故答案是：-12.

【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

類型四、完全平方公式與幾何綜合

例.兩個邊長分別為。和6的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為1；

若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個邊長為6的小正方形（如圖②），兩個小正方形

疊合部分（陰影）面積為邑.

（1）用含。、6的代數(shù)式分別表示耳、邑；

（2）若〃一人=8,ab=13,求5]+$2的值;

（3）用。、6的代數(shù)式表示邑；并當(dāng)品+邑=34時，求出圖③中陰影部分的面積S3.

22

【答案】（1）S^^-b,S2=2b-ab.（2）77；（3）17

【分析】（1）由圖中正方形和長方形的面積關(guān)系，可得答案；

2221

（2）Sx+S2=a-b+2b-ab=a+b~-ab,將a-b=8,ab=13代入進(jìn)行計算即可；

11

（3）根據(jù)SuM+/-g/a+b）-：/=；（片+62-。6）和Sx+S2=a+b-ab=M,可求

得圖③中陰影部分的面積S3.

2

【詳解】解：（1）由圖可得，S^cr-b-,S2=2b-ab.

（2）a-/?=8,ab=13

2222222

:.St+S2=a-b+2b-ab=a+b-ab=（a-b）+ab=S+13=64+13）=n

所以H+Sz的值為77.

22222

（3）由圖可得：S3=a+b-^b（a+b）-^a=^（a+b-ab）

22

S1+S2=a+b-ab=34

,-.S=1x34=17

32

所以圖③中陰影部分的面積S3為17.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，數(shù)形結(jié)合、恰當(dāng)進(jìn)行代數(shù)式變形是解答本題

的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練1】若x滿足（9-X）（X-4）=4,求（4-X）2+（X-9）2的值.

解:設(shè)9一九=a,x-4=b,則（9一%）（%—4）="=4,。+>=（9—%）+（九-4）=5,

0(9-X)2+(X-4)2=a2+b2=(6/+&)2-2^=52-2X4=17

請仿照上面的方法求解下面問題：

⑴若無滿足(％-10)(x-20)=15,求(x-IO)?+(x-20)2的值；

⑵已知正方形ABC。的邊長為x,E,尸分別是A。，DC上的點(diǎn)，且AE=1,CF=3,長方

形EMFQ的面積是48,分別以。尸作正方形和正方形GEDH,求陰影部分的面

積.

【答案】(1)130；(2)28

【分析】(1)設(shè)x-10=a,x-20=b,仿照例題，根據(jù)完全平方公式的變形計算即可求解；

⑵根據(jù)題意可得：MF=x-l,DF=x-3,S陰=5國腌-限皿=(*-1)2-(x-3)2根據(jù)

(1)的方法，設(shè)x-l=a,x-3=b,進(jìn)而計算即可求解.

【詳解】(1)解：設(shè)入一1。=々，x-20=b9

團(tuán)a,/?=15,。一b=九一10—(%—20)=10,

團(tuán)(無一10)?+(尤一20)2=02+62=(0—b)2+246=102+2x15=130；

(2)解：根據(jù)題意可得：MF=x-1,DF=X-3f

團(tuán)=(x—1)(%—3)=48,S陰=S正"F制—S正GF?！?(x—1)—(x—3),

設(shè)x-l=a,x-3=b,

回〃一/?二x—1—(x—3)=2,(2'b=48,

0(?+&)2=((7-Z7)2+4^=22+4X48=196,

團(tuán)a+b=14,

22

回$陰=SMRN一S正GFDH=(XT)2一(x—3)一=a-b=(a+b)(a-b)=14x2=28.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形求值，讀懂題意，正確的計算是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】如圖1,是一個長為2根，寬為2”的長方形，沿圖中虛線用剪刀將其均分成

四個小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形.

2n

2m

圖1至2

⑴圖2中正方形陰影部分的面積為二

(2)請你用兩種不同的方法分別求圖2中陰影部分的面積，可以得到等式是「

9

⑶若x-y=_4,孫=貝i|x+y=；

4_

⑷若V-y2=3,孫=2,求x-y的值

【答案】(1)(帆-〃)2

(2)(m—n)2=(m+n)2—Amn

⑶±5

(4)±1

【分析】(1)根據(jù)題意可得小正方形的邊長即可得出陰影部分面積；

(2)根據(jù)同一圖形的面積的兩種表示方法，可得答案；

(3)根據(jù)完全平方公式變形即可求解；

(4)根據(jù)完全平方公式與平方差公式變形，設(shè)(x-y)2=f,得出3+4)2=52,根據(jù)平方根

的定義，解方程即可求解.

【詳解】(1)根據(jù)小正方形的邊長(--〃),

團(tuán)圖2中正方形陰影部分的面積為(根-〃)2,

故答案為：(

(2)方法一：(機(jī)-“J；方法二：(機(jī)+〃)~-4小〃；

團(tuán)兩種不同的方法分別求圖2中陰影部分的面積，可以得到等式是=(77/+n)2-4/m

9

(3)解：團(tuán)無一y=T,孫=-

4

回(尤+、J=(無一＞J+4xy-16+9-25,

I3x+y=±5,

故答案為：±5.

(4)解：0x2-y2=3,xy=2,

H(x2-y2)2=9

團(tuán)(尤+,)~(%_))~=9

0^(x-j)2+4xy^|(x-y)2=9

設(shè)(x-?=t,

El(?+8)Z=9

"+8r+16=25

E（r+4）2=52

解得：t=l（負(fù)值舍去）

^\x—y=±1

故答案為：±1.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式與圖形面積，求一個數(shù)的算術(shù)平方根，根據(jù)平方根的定義

解方程，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】【閱讀材料】

"數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法.比如：北師大版七年級下冊教材在學(xué)習(xí)"完全

平方公式”時，通過構(gòu)造幾何圖形，用幾何直觀的方法解釋了完全平方公式：

（“+6）2=/+2"+62（如圖1）.利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問

題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問題.

圖I圖2圖3圖4

【方法應(yīng)用】

根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：

⑴由圖2可得等式：；由圖3可得等式：；

⑵利用圖3得至U的結(jié)論，解決問題:若a+b+c=15,"+ac+bc=35,貝!]a2+b2+c2=;

⑶如圖4,若用其中x張邊長為。的正方形，y張邊長為b的正方形，z張邊長分別為a,b

的長方形紙片拼出一個面積為（2a+3（a+2b）長方形（無空隙、無重疊地拼接）.

①請畫出拼出后的長方形；

②x+y+z=；

⑷如圖4,若有3張邊長為。的正方形紙片，4張邊長分別為a,b的長方形紙片，5張邊長

為匕的正方形紙片.從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張.把取出的這些紙片拼成一

個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為.

【答案】（1）（2a+6）（a+6）=2a2+6。+3血（a+b+cf=a2+1）1+c2+1ab+1ac+2,bc

（2）155

⑶①見解析；②9

（4）a+26

【分析】(1)用兩種不同的方法表示出大長方形的面積，以及大正方形的面積，即可得出結(jié)

論；

(2)利用(1)中的結(jié)論進(jìn)行求解即可；

(3)0(2a+/?)(a+2/>)=2o2+4ab+ab+2b2=2cT+5ab+2b2,得到大長方形是由2

張邊長為a的正方形，2張邊長為b的正方形，5張邊長分別為a、6的長方形紙片拼成，畫

圖即可；②根據(jù)①可知％y，z的值，代入求解即可；

(4)根據(jù)拼接成的是正方形，得到選取的紙片的面積和必須構(gòu)成完全平方式，進(jìn)行討論求

解即可.

【詳解】(1)解：由圖2知，回大長方形的面積=(2a+3(a+A),

大長方形的面積=3個小正方形的面積+3個小長方形的面積

=a~+a2+b2+3ab=2a2+b~+3ab,

E](2a+b)(a+b)=2o2+b2+3ab-

由圖3知，El大正方形的面積=(a+"c)2,

大正方形的面積=3個正方形的面積+2個小長方形的面積+2個小長方形的面積+2個小長方

形的面積=/+/+/+2ab+2ac+2bc,

團(tuán)(a+〃+=12+b2+。2+2ab+2ac+2bc；

2222

故答案為：(2a+Z?)(a+Z?)=2々2+/+3",(^a+b+cj=a+b+c+lab+2ac+2bc.

(2)回由(1)矢口：(a+b+c)=a?+〃+c?+2QZ?+2ac+2bc,

團(tuán)a?+人2+。2=(々+6+0)2-(2aZ?+2ac+2bc),

=(a+Z?+c)2—2^ab+ac+bc),

把a(bǔ)+Z?+c=15,次?+ac+歷=35代入,

片+〃+/=152-2義35=225-70=155.

故答案為：155.

222

(3)①團(tuán)(2a+b)(a+2/?)=2〃2+^ab+ab-\-2b=2a+5ab+2b,

2/+5必+2/可以看成2張邊長為a的正方形,2張邊長為b的正方形,5張邊長分別為〃、

b的長方形紙片拼成的大長方形的面積，

如圖：

aab

b

b

②由①知：x=2,y=2,z=5,0x+y+z=9.故答案為：9.

(4)3張邊長為。的正方形紙片的面積為3a2,4張邊長分別為必的長方形紙片的面積為4曲,

5張邊長為b的正方形紙片的面積為5/，要想從中取出若干張紙片拼成一個正方形(無空

隙、無重疊地拼接)，則選取的紙片的面積和必須構(gòu)成完全平方式，

回可以選取1張邊長為。的正方形紙片、2張邊長分別為°,。的長方形紙片、1張邊長為b

的正方形紙片，此時圍成的正方形面積為片+24+〃=(“+6)2,此時正方形的邊長=“+》，

也可以選取1張邊長為。的正方形紙片、4張邊長分別為他的長方形紙片、4張邊長為6的

正方形紙片，此時圍成的正方形面積為/+4而+462=(a+2Z?y,此時正方形的邊長=。+2》,

回拼成的正方形的邊長最長為a+2b.

故答案為：a+2b.

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景以及多項式乘多項式與幾何圖形的面積.熟練掌

握完全平方公式以及多項式乘以多項式的法則，是解題的關(guān)鍵.

課后訓(xùn)練

1.設(shè)。=x—2017,b=x—2019,c=x-2018.若/+廿=34,則c?的值是()

A.16B.12C.8D.4

【答案】A

【分析】先將a=x-2017,b=x-2019代入"十廿=34,得到(x-2017)2+(x-2019)2=34,再

變形為(x-2018+l)2+(x-2018-l)2=34,然后將(x-2018)作為一個整體，利用完全平方公

司得到一個關(guān)于(x-2018)的一元二次方程即可解答.

【詳解】解：0a=x-2O17,b=x-2019,a2+b2=34,

團(tuán)(x-2017)2+(x-2019)2=34,

0(x-2018+1)2+(x-2018-1)2=34,

0(x-2018)2+2(x-2018)+1+(x-2018)2-2(x-2018)+1=34,

02(x-2018)2=32,

0(x-2018)2=16,

X0c=x-2O18,

0c2=16.

故答案為A.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，對所給條件靈活變形以及正確應(yīng)用整體思想是解答本題

的關(guān)鍵.

4

2.已知〃2—a—2=0,則。2H—^等于()

a

A.3B.5C.-3D.1

【答案】B

74

【分析】根據(jù)方程片-“-2=0可變形為=利用完全平方式將片+三化成

aa

a-^\+4,從而整體代入計算即可.

、a)

22

【詳解】解：由4—〃—2=0方程兩邊同時除以。得。-1——=0,變形為〃——=1,

aa

貝iJa2+：=(a-2]+4=1+4=5,

a\a)

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式化簡求值，利用完全平方公式變形并采用整體思想是解題關(guān)鍵.

3.若。，Z?滿足24+/+2"-4a+4=0,則“+36的值為.

【答案】-4

【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出。，匕的值，代入原式

計算即可得到結(jié)果.

【詳解】解：己知等式變形得：(片+206+/)+(片一4。+4)=。，

即(a+6)~+(a-2)~=0,

0(a+/?)2>0,(a-2)2>0,

^\a+b=Q,a—2=0,

解得：a=2,b=—2,

則a+36=2-6=4

故答案為：—4.

【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的

關(guān)鍵.

4.已知無滿足(%-2020)2+(2022-%)2=10,則(%-2021)2的值是_.

【答案】4

【分析】根據(jù)題意原式可化為[(%-2021)+1]2+[(%-2021)-1]2=10,再應(yīng)用完全平方公

式可化為(%-2021)2+2(x-2021)+1+(%-2021)2-2(%-2021)+1=10,應(yīng)用整體思

想合并同類項，即可得出答案.

2

【詳解】解：團(tuán)(x-2020)2+(x-2022)=10

0[(x-2021)+1]2+[(X-2021)-1]2=10,

E(%-2021)2+2(x-2021)+1+(%-2021)2-2(%-2021)+1=10,

02(X-2021)2+2=10,團(tuán)(%-2021)2=4.故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式：(a士b)2=序±2"+62,熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特

征是解題的關(guān)鍵.

5.如圖1是一個長為4a、寬為6的長方形，沿圖1中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形,

然后用四塊小長方形拼成的一個"回形"正方形(如圖2).

9,

(2)利用(1)中的結(jié)論，若x+y=5,盯=彳，求(無一＞)一的值；

(3)如圖3,點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ACDE和

正方形CBFG,連接EG、BG、BE,當(dāng)BC=1時，3EG的面積記為加，當(dāng)3c=2時，BEG

的面積記為邑「，以此類推，當(dāng)=〃時，SEG的面積記為S“，計算

$50一$49+$48一$47++$2-H的值?

【答案】(l)4q6=(a+6)2-(a-6)2

⑵16

【分析】(1)通過觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，大正方形是由四個矩形與中間的小正方形組成，據(jù)此

進(jìn)一步分析求解即可；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論進(jìn)一步代入計算即可；

(3)連接EC,證明出EC〃3G,再利用BEG的面積與回BGC的面積相等得出S“=一，

2

從而得到Sn-Sn_.=據(jù)此進(jìn)一步計算即可.

【詳解】(1)由圖1和圖2中矩形的面積為等量得：

4ab=(a+bj-(a-bj

故答案為：4〃6=(Q+Z?)2一(]_勾2；

(2)由(1)中公式可得：

(a-=(a+bp-4ab.

同理可得：

(x-?=(x+y)--4孫

=夕-4x2

4

=16；

(3)連接EC,

在正方形ACDE和正方形5CG尸中，ZECD=ZCGB=45°f

S.EC//BG,

團(tuán)ABGE和一BGC的邊BG上的高相等，

…S4BGE~$4BGC?

1秒

當(dāng)BC=1時，S,=—xlxl=—,

22

1?2

當(dāng)5c=2時，S=-x2x2=—,

222

九2

當(dāng)3C=〃時，S'=—

“2

〃+〃一1)(〃一〃+1)n+n-1

■■■s-s_

nnt22

團(tuán)S50—S49+548—S47+...+S2—Sy

=(§50-849)+(848-$47)+??,+(52-Sj

2+1

+…H-------

222

50+49+48+47+...+2+1

2

(1+50)x25

2

1275

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，觀察圖形，找出相應(yīng)的規(guī)律是解題關(guān)鍵.

6.知識生成：我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式.

例如：由圖①可以得到（。+。）2="+2必+。2,基于此，請解答下列問題：

⑴直接應(yīng)用：若孫=5,x+y=1,直接寫出f+y2的值為；

⑵類比應(yīng)用：填空：

①若x(4-x)=2,則_?+(X-4)2=；

②若(x-3)(x-5)=2,則(x-3)2+(x-5)2=；

⑶知識遷移：如圖②，一農(nóng)家樂準(zhǔn)備在原有長方形用地(即長方形ABCD)上進(jìn)行裝修和

擴(kuò)建，先用長為120m的裝飾性籬笆圍起該長方形用地，再以A。，8為邊分別向外擴(kuò)建

正方形ADGH、正方形。CEF的空地，并在這兩塊正方形空地上建造功能性花園，該功能

性花園面積和為2000m2,求原有長方形用地ABC。的面積.

①

【答案】⑴39

⑵①12②8

(3)800m2

【分析】(1)X2+y2=(x+y)2-2xy,即可求解;

(2)①V+5-4>=Y+(4_x)2=卜+(4-引了一2x(4-尤)，即可求解；②可求

(尤-3)(5-x)=-2,(x-3)2+(%-5)2=[(%-3)+(5-x)]2-2(%-3)(5一x)即可求解;

(3)設(shè)AB=xm,BC=ym,可得2(尤+y)=120,可求d+y?=2000,可得

2xy=(x+y)2-(x2+y2),即可求解.

【詳解】(1)解：?+/

=(x+yY-2xy,

=72-2x5=39,

故答案：39.

(2)解：①/+(無一釬

=無2+(4-無丁,

=[x+(4-x)]-2x(4-尤),

=42-2x2=12,

故答案：12；

②因為(x-3)(x-5)=2,

所以-3)(5—x)=-2,

(X-3)2+(X-5)2

=(x-3)2+(5—x)2,

=[(x-3)+(5-x)]2-2(x-3)(5-x),

=22-2X(-2)=8,

故答案：8.

(3)解：設(shè)AB=xm,BC=ym,

則2(元+y)=120,所以x+y=60；

由題意得一+9=2000,

因為(x+y>=x2+2xy+y2,

所以2.=(x+y)2-(x2+y2)

=602-2000=1600.

所以孫=800.

所以原有長方形用地ABC。的面積為8000?.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何應(yīng)用，掌握孫、X+V、#+,2、(》+月2之

間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

7.圖1是一個長為2加，寬為2〃的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后

按圖2的形狀拼成一個正方形.

⑴圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于.

(2)觀察圖2你能寫出下列三個代數(shù)式(小+“『,小n之間的等量關(guān)系

⑶運(yùn)用你所得到的公式，計算若〃第=-2,〃=4,求：

①+的值.

②m4+ri'的值.

⑷用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式Y(jié)+2x+/-4y+9的最小值.

【答案】(1)加一〃

(2)(m-ri)2=(m+n)2-4mn

⑶①8②136

(4)4

【分析】(1)根據(jù)線段的差可得結(jié)論；

(2)方法1,陰影部分的面積等于大正方形的面積減去4個長方形面積，方法2,陰影部分

小正方形的邊長為加-巴即可計算出面積，可得兩次計算的都是陰影部分的面積，即可得出

答案；

(3)分別根據(jù)完全平方公式可解答；.

(4)先把代數(shù)式配方為完全平方公式，利用非負(fù)性解題即可.

【詳解】(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于m-"；

故答案為：：”-〃；

(2)根據(jù)題意，方法1：陰影部分的面積等于大正方形的面積減去4個長方形面積，即

(m+n)2-Amn；

方法2,陰影部分小正方形的邊長為機(jī)-力，則面積為(加-〃)2；

22

0(m—ri)=(jn+n)—4mn；

2

故答案為：(加一")2=(m+n)-4mn；

(3)由(2)矢口：(加一〃尸=(加+〃)2—4機(jī)〃，

=—2,m—n=4,

①(根+—(m—n)2+4mn=42+4x(—2)=16—8=8；

②團(tuán)療+"2=(m—n)2+2mn=42+2x(—2)=16—4=12；

回根4+〃4=(m2+九2)2_2府n2=122—2X(—2>=144—8=136；

(4)X2+2x+y2-4y+9

二(%2+2x+l)+(y2-4y+4)+4

=(x+l)2+(y-2)2+4

0(x+l)2>O,(y—2)220,

回代數(shù)式x2+2x+y2-4y+9的最小值為4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式的幾何背景進(jìn)行

求解是解決本題的關(guān)鍵.

8.圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后

按圖2的形狀拼成一個正方形.

fitn

n

=E3O-

n

圖1圖2

(1)圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于

(2)觀察圖2你能寫出下列三個代數(shù)式(m+n『，(m-n)2,mn之間的等量關(guān)系

(3)運(yùn)用你所得到的公式，計算若mn=-2,m-n=4,求①(m+n)2的值.②m4+n4的值.

(4)用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式x2+2x+y2-4y+7的最小值.

(5)試畫出一個幾何圖形，使它的面積等于3m2+4mn+n2

【答案】(1)m-n；(2)(m+n)2=(m-n)2+4mn,(3)①8②136；(4)2；(5)圖見解

析.

【分析】(1)