人教版八年級數(shù)學下冊專項復習：一次函數(shù)（壓軸題專練）（原卷版）

第十九章一次函數(shù)（壓軸題專練）

目錄

【題型一兩個一次函數(shù)圖象共存問題】.......................................................1

【題型二一次函數(shù)中的規(guī)律探究問題】.......................................................2

【題型三一次函數(shù)與三角形全等問題】.......................................................3

【題型四一次函數(shù)與三角形存在問題】.......................................................4

【題型五一次函數(shù)中折疊問題】.............................................................5

【題型六利用一次函數(shù)解決分配方案問題】...................................................6

【題型七利用一次函數(shù)解決最大利潤問題】...................................................7

【題型八利用一次函數(shù)解決行程問題】.......................................................9

【題型九利用一次函數(shù)解決幾何問題】......................................................10

【題型十一次函數(shù)一一分段函數(shù)】..........................................................11

【題型十一絕對值的一次函數(shù)】............................................................13

【題型十二新定義型一次函數(shù)】...........................................................14

【題型一兩個一次函數(shù)圖象共存問題】

例題：（2023上?陜西西安?八年級統(tǒng)考期末）直線y=-履+左與直線＞=近在同一坐標系中的大致圖象可能

是圖中（）

【變式訓練】

b

1.（2024上?重慶沙坪壩?八年級重慶一中?？计谀┮淮魏瘮?shù)4：y=丘-b與4：y=不X+左在同一平面直角

k

坐標系內(nèi)的圖像可能為（）

2.（2023上?遼寧鐵嶺?八年級統(tǒng)考期末）下列圖形中，表示一次函數(shù)y=〃zx+〃與正比例函數(shù)y=（小

【題型二一次函數(shù)中的規(guī)律探究問題】

例題：（2024上.河北保定.八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A，4,4...都在x軸上，點

AI

B2,員…都在直線y=x上，OA與，AB/A，,△居與4…都是等腰直角三角

形，且。耳=&,則點4的坐標是,點與024的坐標是.

【變式訓練】

1.（2023上?四川成都?八年級?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，AABC,瓦G，△4鳥a,

△A3B3G,……，都是等腰直角三角形，點8,耳，B2,B3,紇都在x軸上，點片與原點重

合，點A,G，C2,C3,C“都在直線/：+1上，點C在y軸上，AB//A.B,//A,B2//■■■//AnBn//y

軸，AC〃AG〃&C?〃…〃4G〃了軸，若點A的橫坐標為-1,則點C4的坐標為,點C?的坐標為

2.（2022上?貴州貴陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，：y=x，過點A（1,。）作x軸的垂線交直線/于點⑸,

以A耳為邊作正方形4耳。4,過點人作X軸的垂線交直線/于點斗，以人不為邊作正方形AB2c24，...,

按此規(guī)律進行，則點C2023的坐標為

【題型三一次函數(shù)與三角形全等問題】

4

例題：（2022?山東威海.七年級期末）如圖，直線y=-§x+4與X軸和y軸分別交于A、3兩點，把射線A8

繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得射線AC,點尸是射線AC上一個動點，點0是彳軸上一個動點.若△尸QA與△AOB

全等，試確定點。的橫坐標.

備用圖

【變式訓練】

1.（2022秋?江蘇常州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線y=-gx+2與x軸、y軸交于A、B兩點，在y軸上

有一點C（0,4）,動點M從A點發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動.當動到△COM與△AO8全等時，

移的時間f是（）

A.2B.4C2或4D2或6

2.(2022春.四川成都?八年級?？茧A段練習)如圖，直線Z：、=履+3與x軸、y軸分別交于兩點，黑=：,

OMVAB,垂足為點M,點尸為直線/上的一個動點(不與A、B重合).

(1)求直線丫=履+3的解析式；

(2)當點尸運動到什么位置時△BO尸的面積是6；

(3)在y軸上是否存在點。，使得以。，P,。為頂點的三角形與AOMP全等，若存在，請求出所有符合條件

的點尸的坐標，若不存在，請說明理由.

【題型四一次函數(shù)與三角形存在問題】

57

例題：(2023秋?廣東梅州?八年級豐順縣豐順中學校考期末)如圖,在平面直角坐標系中，直線AB：y=

44

與尤軸交于點C,且點4(-1,m)，B(n,-2).

(1)點C的坐標為

(2)求原點0到直線AB的距離；

(3)在x軸上是否存在一點尸，使得△ACP是直角三角形?若存在，求出點P的坐標.

【變式訓練】

1.(2023秋?遼寧沈陽?八年級?？计谀?如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+6與％軸和y軸分別交于

點8和點C,與直線相交于點A(4,2),動點M在線段Q4和射線AC上運動.

(1)求點2和點C的坐標.

(2)求AOAC的面積.

(3)是否存在點使AOMC的面積是ACHC面積的!？若存在，求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理

4

由.

【題型五一次函數(shù)中折疊問題】

例題：(2023秋?山東濟南?八年級統(tǒng)考期末)如圖1,在同一平面直角坐標系中，直線A3：y=2尤+6與直

線AC：>=履+3相交于點4m,4).與x軸交于點3(-4,0),直線AC與x軸交于點C.

(1)填空：b=,m=,k=；

(2)如圖2.點O為線段BC上一動點，將AACD沿直線AD翻折得到△A￡D,線段AE交x軸于點廠.

①求線段AE的長度；

②當點E落在，軸上時，求點E的坐標；

③若ADEF為直角三角形，請直接寫出滿足條件的點。的坐標.

【變式訓練】

3

1.(2022?廣東?平洲一中八年級期中)己知：直線y=^x+6與％軸、y軸分別相交于點A和點3,點C在線

段A。上.將△沿BC折疊后，點。恰好落在邊上點。處,

(1)求A點的坐標和3點的坐標

(2)求AB的長？

(3)求出OC的長？

2.(2023秋?山東濟南?八年級統(tǒng)考期末)如圖1,在平面直角坐標系xoy中，點。是坐標原點，直線AB：

丁=h+；與直線AC：>=一2尤+6交于點A,兩直線與x軸分別交于點以-3,0)和C(2,0).

(1)求直線AB和AC的表達式.

⑵點尸是y軸上一點，當上4+PC最小時，求點P的坐標.

(3)如圖2,點。為線段BC上一動點，將AABD沿直線AD翻折得到VADE,線段AE交x軸于點片若J)EF

為直角三角形，求點。坐標.

【題型六利用一次函數(shù)解決分配方案問題】

例題：(2023?全國?九年級專題練習)已知某酒店的三人間和雙人間客房標價為：三人間和雙人間每天都是

600元，為吸引客源，促進旅游，在“十?一”黃金周期間酒店進行優(yōu)惠大酬賓，凡團體入住一律五折優(yōu)惠.-

個50人的旅游團在十月二號到該酒店住宿，租住了一些三人間、雙人間客房，要求租住的房間正好被住滿.

（1）如果一天一共花去住宿費6300元.求租住了三人間、雙人間客房各多少間？

（2）設三人間共住了x人，這個團一天一共花去住宿費y元，請寫出y與x的函數(shù)關系式；

（3）一天6300元的住宿費是否為最低？如果不是，請設計一種方案，并使住宿費用最低，請寫出設計方

案，并求出最低的費用.

【變式訓練】

1.（2021下.廣東廣州.八年級統(tǒng)考期末）為了滿足開展“陽光體育”大課間活動的需求，某學校計劃購買一批

籃球.根據(jù)學校的規(guī)模，需購買A、8兩種不同型號的籃球共300個.已知購買3個A型籃球和2個8型籃

球共需340元，購買2個A型籃球和1個6型籃球共需要210元.

（1）求購買一個A型籃球、一個8型籃球各需多少元？

（2）若該校計劃投入資金W元用于購買這兩種籃球，設購進的A型籃球為f個，求W關于/的函數(shù)關系式；

（3）在（2）的條件下，若購買8型籃球的數(shù)量不超過A型籃球數(shù)量的2倍，則該校至少需要投入資金多少

元？

2.（2020下?甘肅慶陽?八年級?？计谀┠承Q定購買一批羽毛球拍和足球，1副羽毛球拍和2個足球共需

190元；2副羽毛球拍和3個足球共需300元.

（1）求每副羽毛球拍和每個足球各需多少元？

（2）商場搞促銷活動，若購買的足球個數(shù)超過10個，足球就給予九折優(yōu)惠，學校打算購買羽毛球拍和足

球一共50件，設購買足球x個，總費用為w元，寫出卬關于x的函數(shù)關系式；

（3）在（2）的條件下學校要求購買的足球的數(shù)量不少于球拍副數(shù)的一半，本次如何購買，才能使總費用w

最少？最少費用是多少元？

【題型七利用一次函數(shù)解決最大利潤問題】

例題：（2023下?黑龍江雙鴨山?八年級統(tǒng)考期末）某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款自拍桿，進貨價和銷售價

如表：

類別A款自拍桿3款自拍桿

進貨價（元/個）3025

銷售價（元/個）4537

（1）網(wǎng)店第一次用850元購進A、8兩款自拍桿共30個，求這兩款自拍桿分別購進多少個？

（2）第一次購進的自拍桿售完后，該網(wǎng)店計劃再次購進A、B兩款自拍桿共80個（進貨價和銷售價都不變）,

且進貨總價不高于2200元.如何購進A、8兩款自拍桿，才能使所獲得的銷售利潤最大？最大利潤值為多

少？

【變式訓練】

1.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考一模）某超市計劃購進甲、乙兩種水果進行銷售.經(jīng)了解，甲種水果和乙種水果的

進價與售價如下表所示：

水果單價甲乙

進價（元/千克）Xx+4

售價（元/千克）2025

已知用1200元購進甲種水果的重量與用1500元購進乙種水果的重量相同.

（1）求甲、乙兩種水果的進價；

（2）若該超市購進這兩種水果共100千克，其中甲種水果的重量不低于乙種水果重量的3倍，若全部賣完所

購進的這兩種水果，則超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？

2.（2022上?安徽亳州?八年級?？茧A段練習）夏季來臨，某商場準備購進甲、乙兩種空調(diào)，其中甲種空調(diào)比

乙種空調(diào)進價每臺少500元，用40000元購進甲種空調(diào)數(shù)量與用50000元購進乙種空調(diào)數(shù)量相同.該商場

計劃一次性從空調(diào)生產(chǎn)廠家購進甲、乙兩種空調(diào)共100臺，其中乙種空調(diào)的數(shù)量不超過甲種空調(diào)的2倍.若

甲種空調(diào)每臺售價2400元，乙種空調(diào)每臺售價3000元.請解答下列問題：

（1）求甲、乙兩種空調(diào)每臺的進價分別是多少元？

（2）設購進甲種空調(diào)x臺，100臺空調(diào)的銷售總利潤為y元，求出y與x之間的函數(shù)關系式及自變量尤的取值

范圍；

（3）該商店購進甲、乙兩種空調(diào)各多少臺才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？

【題型八利用一次函數(shù)解決行程問題】

例題：（2024上?山西太原?八年級統(tǒng)考期末）某校組織八年級學生進行研學活動，他們沿著同樣的路線從學

校出發(fā)步行前往科技館.甲班比乙班先出發(fā)5分鐘，如圖線段。。表示甲班離開學校的路程》（米）與甲班

步行時間x（分）的函數(shù)圖像；折線。4-AB-BC-CD表示乙班離開學校的路程》（米）與甲班步行時間x

（分）的函數(shù)圖像，圖中軸，AB與如相交于點P.請根據(jù)圖像解答下列問題：

⑴學校到科技館的路程為米；線段對應的函數(shù)表達式為（0<x<50）；

（2）求線段A2對應的函數(shù)表達式（不必寫自變量的取值范圍）；

（3）圖像中線段A3與線段。￡>的交點P的坐標為，點尸坐標表示的實際意義是

【變式訓練】

1.（2024上?四川達州?八年級校考期末）一輛客車與一輛出租車分別從甲、乙兩地同時出發(fā)，相向而行.設

客車離甲地的距離為％千米，出租車離甲地的距離為％千米，兩車行駛的時間為x小時，%、為關于%的

函數(shù)圖像如圖所示:

(1)根據(jù)圖像，直接寫出%、%關于X的函數(shù)圖像關系式;

(2)試計算：何時兩車相距300千米?

2.(2023上?山東青島?八年級統(tǒng)考期中)共享電動車是一種新理念下的交通工具，主要面向3km?10km的

出行市場，現(xiàn)有A3兩種品牌的共享電動車，給出的圖象反映了收費》(元)與騎行時間尤(而可之間的對

應關系，其中A品牌收費方式對應外,8品牌的收費方式對應內(nèi)，且超過十分鐘時，對應的函數(shù)關系式是

y=1.x+4(x>10),請根據(jù)相關信息，解答下列問題：

卜元必

O\1020x/min

(1)求出圖中函數(shù)％,%的圖象交點尸的坐標；

(2)求％關于x的函數(shù)解析式；

(3)①如果小明每天早上需要騎行A品牌或5品牌的共享電動車去工廠上班，已知兩種品牌共享電動車的平

均行駛速度均為300m/min,小明家到工廠的距離為9km,那么小明選擇品牌共享電動車更省

錢.(填“A”或“8”)

②當x為何值時，兩種品牌共享電動車收費相差3元？

【題型九利用一次函數(shù)解決幾何問題】

例題：(2022上?河北邯鄲?八年級校考開學考試)如圖，在平面直角坐標系中，AB〃CD〃x軸，BC//DE//y

軸，且AB=CD=3cm,OA=5cm,DE=2cm,動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度，沿ABC路線向點C

運動；動點。從點。出發(fā)，以每秒2cm的速度，沿O西路線向點。運動.若尸，。兩點同時出發(fā)，其中一點

到達終點時，運動停止.

⑴直接寫出B,C,。三個點的坐標；

⑵當P,。兩點出發(fā)2s時，求△。尸。的面積；

(3)設兩點運動的時間為〃s,用含f的式子表示運動過程中叢OPQ的面積；

(4)在點尸，。運動過程中，點C被包含在△OPQ區(qū)域(包含邊界)的時長是￡

【變式訓練】

1.(2023上?內(nèi)蒙古包頭?八年級包頭市第二十九中學?？计谥?等邊三角形A03的位置如圖所示，等邊三

角形的邊長為2.

⑴求A8點的坐標；

(2)直線y=過點A,求該直線的表達式；

(3)在y軸上找一點Q,使得三角形OA。為等腰三角形，直接寫出點。的坐標；

(4)在(2)的條件下，直線y=-gx+b與x軸交于點。，在該直線上找一點P,使得三角形作尸的面積為

2A/3.

【題型十一次函數(shù)一一分段函數(shù)】

例題：在一次函數(shù)學習中，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，結合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程.小

fx—l(x<3)

紅對函數(shù)y=c,的圖象和性質(zhì)進行了如下探究，請同學們認真閱讀探究過程并解答：

12(x23)

(1)請同學們把小紅所列表格補充完整，并在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象:

X-i0I23456

-2-I0222

y

卜J

L_I-J.」-

（2）根據(jù)函數(shù)圖象，以下判斷該函數(shù)

性質(zhì)的說法，正確的有.

①函數(shù)圖象關于y軸對稱；

②此函數(shù)無最小值；

③當尤<3時，y隨x的增大而增大；當尤N3時，y的值不變.

x—l(x<3)

（3）若直線與函數(shù)y=的圖象只有一個交點，則人=

2(%)3)

【變式訓練】

m1

x------Fl,x<m

2

1.已知函數(shù)y=<，其中加為常數(shù)，該函數(shù)的圖象記為G.

3

-x+—m+l,x>m

2

（I）當相=-2時，若點。（3,〃）在圖象G上，求〃的值；

（2）當3-根時，若函數(shù)最大值與最小值的差為g,求相的值;

（3）已知點A（0,1）,B（0,-2）,C（2,l）,當圖象G與“ABC有兩個公共點時，直接寫出機的取值范圍.

【題型十一絕對值的一次函數(shù)】

例題：(2022?河南?長葛市教學研究室八年級期末)小慧根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù))=卜-1|的圖象與性

下面是小慧的探究過程，請補充完成：

(1)函數(shù)y=卜-］的自變量X的取值范圍是；

(2)列表，找出y與x的幾組對應值.其中，b=；

(3)在平面直角坐標系尤Oy中，描出以上表中各對對應值為坐標的點，并畫出該函數(shù)的圖象;

(4)函數(shù)y的最小值為.

(5)結合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的其他性質(zhì)(一條即可)：.

【變式訓練】

1.(2022.河南漠河.八年級期末)有這樣一個問題：探究函數(shù)y=|x+l|的圖象與性質(zhì).下面是小明的探究過

程，請補充完整：

(1)函數(shù)y=|x+l|的自變量尤的取值范圍是；

(2)下表是x與y的幾組對應值.

X-5-4-3-2-10123

y432m01234

m的值