三角形中的重要模型之面積模型-2025中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（含答案）

三角形中的重要模型之面積模型-2025中考數(shù)學(xué)

三角形中的重要模型之面積模型

三角形面積問題在中考數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中占據(jù)舉足輕重的地位，而等積變形作為中學(xué)幾何的一個(gè)核

心理念，其重要性不言而喻。它衍生出的五大模型——蝴蝶（或風(fēng)箏）模型、燕尾模型、鳥頭模型、沙漏模

型以及金字塔模型，不僅體現(xiàn)了等積變形的精髓,也是學(xué)生們必須精通的關(guān)鍵知識點(diǎn)。

本專題將深入剖析這些等積模型，通過系統(tǒng)的梳理和詳盡的試題分析，旨在幫助學(xué)生全面掌握這一

重要內(nèi)容。無論是蝴蝶模型中優(yōu)雅的對稱之美，燕尾模型中巧妙的面積分割，鳥頭模型中復(fù)雜的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)

換，沙漏模型中面積的流轉(zhuǎn)變化,還是金字塔模型中立體與平面的巧妙結(jié)合，我們都將——揭開它們的

神秘面紗。

通過本專題的學(xué)習(xí)，學(xué)生們不僅能夠加深對等積變形思想的理解，還能提高解決復(fù)雜幾何問題的能

力，為中考數(shù)學(xué)幾何模塊打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

-----------------------°°------------------------

例題講模型...............................................................................1

模型1.等積變換基礎(chǔ)模型..................................................................1

模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型....................................................................4

模型3.燕尾（定理）模型....................................................................6

模型4.鳥頭定理（共角定理）模型...........................................................9

模型5.金字塔與沙漏模型.................................................................12

習(xí)題練模型..............................................................................13

例題講模型

模型L等積變換基礎(chǔ)模型

模型解讀

模型1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

1

如圖1,當(dāng)48〃。。,則$08=5^8；反之，如果5AAe0=538,則可知直線AB〃GD。

模型2）兩個(gè)三角形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個(gè)三角形底相等,面積比等于它們的高之比。

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則SAABD：S*=BD：DC。

如圖3,當(dāng)點(diǎn)。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BE，A。，CF，40時(shí)，則S^ABD：S^ADC=BE：CF。

證明:模型1）如圖1，過點(diǎn)A作AE，CD、過點(diǎn)B作口F，CD。'：ABIICD,：.AE=BF.

.：S.ACD=^CD.AE；S^BCU=-CD-BF;：.S―8=反之R］理可證。

模型2）如圖2,過點(diǎn)A作AH±BC。

VS^BD=^BD-AH；SMCD=^CD-AH；SAABD：S^DC=BD：DC.

如圖3,過點(diǎn)。作CF，AD、過點(diǎn)B作BE，AD。

1.（24-25八年級上?山東德州?階段練習(xí)）如圖，若點(diǎn)。是邊8c上的點(diǎn)，且BD-.CD=3:2，則△4BD與

△ACD的面積之比為（）

A

A.3:2B.9:4C.2:3D.4:9

2.（23-24八年級下.河北滄州.期中）如圖，E,尸分別是￡7ABC?的邊AB,CD上的點(diǎn)，A尸與OE相交

于點(diǎn)與CE相交于點(diǎn)Q,若△人尸。的面積為2,ABQC的面積為4,64BCD的面積為26,則陰

影部是的面積為.

3.（2024?上海浦東新?一模）如圖，在△ABC中，4口=4,AC=6,E為中點(diǎn)，AD為△ABC的角平分

線,/\ABC的面積記為Si，/XADE的面積記為S2，則.

4.（23-24七年級下.江蘇鎮(zhèn)江?期中）【探究】

如圖1,AD是AABC中BC邊上的中線，△ABD與AACD的面積相等嗎？請說明理由，

【應(yīng)用】如圖2,點(diǎn)4口、C分別是BD、CE、A尸的中點(diǎn)，且S△的=4,則圖2中陰影部分的面積為

MS

【拓展】⑴如圖3,△ABC中，延長C4至點(diǎn)使得人斤=C4,延長AB至點(diǎn)。，使得BD=2AB,延長

至點(diǎn)瓦使得CE=3CB,連接EF、FD、如果S^ABC=3,那么S^EF為.

（2）如圖4,△4BC中，48=12,4?=16,點(diǎn)。、后是BC、邊上的中點(diǎn)，40、跳；交于點(diǎn)?若

△4BC的面積為S,則四邊形。CE斤面積為（用含S的代數(shù)式表示）；四邊形DCEF的面積存在

最大值，這個(gè)值為

圖3

5.（23—24八年級下.浙江寧波?期中）規(guī)律：如圖1,直線m〃n，B,。為直線n上的點(diǎn)，A,P為直線m上

的點(diǎn).如果A,。為三個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線巾上移動(dòng)，那么無論點(diǎn)P移動(dòng)到何位置，△ABC與

△PBC的面積始終相等，其理由是.

應(yīng)用：

⑴如圖2,口、。三點(diǎn)在同一條直線上，△ABC與都是等邊三角形，連結(jié)BE,AE.若CD=

2,BC=2CE>,求△4BE的面積.（2）如圖3,已知E,F,G,H是矩形4BCD邊上的點(diǎn)，且即〃4D,

GH//48,連結(jié)GB交EF于點(diǎn)M,連結(jié)交GH于點(diǎn)N,連結(jié)DN交EF于點(diǎn)、P,連結(jié)GP,若四邊形

ABOG的面積等于5,求四邊形GMNP的面積.

MS

模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型

模型解讀

蝴蝶模型（定理）提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑。通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊

形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系;另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。

模型證明

1)任意四邊形的蝴蝶定理：

如圖1,結(jié)論:①=S4：Ss或&xS3=S2XS4；②AO-.OC=⑸+S2)：網(wǎng)+S3)。

證明:由基礎(chǔ)模型2)知：Sr&=DO-.BO-,S4：S3=DO-.BO；即故5島=S4：S3；即SixS3=S2xS4。

由基礎(chǔ)模型2)知：S4ABD：S.D=OA-QC；即AO-.OC^(8+$2)：($4+8)。

2)梯形蝴蝶定理：

如圖2,結(jié)論:①Si&=d2:b2；②SrS.S*.S.S,CD=a2:b2:ab:ab:(a+6)2?

證明：；四邊形ABCD為梯形，.?.人?！?。，.?.易證△AOD?△COB,.?.Si：S3=a2：〃。

1i

同理可證得：Si.S3.S2-Si-.SABCD—d".l):ab-.ab-\a+b'fa

模型運(yùn)用

6.（23—24八年級上.浙江.階段練習(xí)）如圖，任意四邊形ABCD中，47和BD相交于點(diǎn)O,把△水汨、

△49。、△COD、ABOC的面積分別記作Si、S2、S3、S4,則下列各式成立的是（）

A.S+S3=S2+S4B.S3-S2=Si-S1C.SvS&=S『S3D.S1-S3=S2-S4

7.（23-24九年級上?上海松江?期中）如圖，已知在梯形ABCD中，AB〃CD,24B=3CD,如果對角線

AC與相交于點(diǎn)O,/\AOD,ABOA、△COB、△DOC的面積分別記作S、、S2、S3,S4,那么下列結(jié)論

中，不正確的是（）

MS

A.2s2=3SIB.2s2=3$4C.Si=$3D.Si-S3=S2-Si

8.（2024?四川成都?校考一模）如圖，梯形的兩條對角線與兩底所圍成的兩個(gè)三角形的面積分別為

p\q2,則梯形的面積為.

9.（2024?山西??？家荒＃╅喿x與探究

請閱讀下列材料,完成相應(yīng)的任務(wù)：

凸四邊形的性質(zhì)研究

如果把某個(gè)四邊形的任何一邊向兩端延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做

凸四邊形.凸四邊形是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的圖形,它有一個(gè)非常有趣的性質(zhì):任意凸四邊形被對角

線分成的兩對對頂三角形的面積之積相等.

例如，在圖1中，凸四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)。，且AC，RD,△AOB,ABOC,

g-^OB-OA

△COD,AA。。的面積分別為Si,S2,S3,S4,則有S/S3=S2?S4,證明過程如下：---------=

3j-OD-OA

OB

~OD

任務(wù)：（1）請將材料中的證明過程補(bǔ)充完整；（2）如圖2,任意凸四邊形的對角線/C,相交于

點(diǎn)O,分別記△AOB,ABOC,/\COD,△AQD的面積為S1,$263,54,求證$163=82-S.

：

⑶如圖3,在四邊形ABCD中,對角線/C,8。相交于點(diǎn)。O,SHOD=4，S^BOC=6,SMOB：S/\COD~1

3，則四邊形ABCD的面積為.

???

模型3.燕尾（定理）模型

條件:如圖，在△4BC中，E分別是上的點(diǎn)，G在4E上一點(diǎn)。

結(jié)論:S、S=S3：S4=(Si+S3MS2+SJ=BE-.ECo

證明:由基礎(chǔ)模型2)知：S364=BE-.EC；S-曲$4ABe=BE-.EC；故所祝=BE-.EC；

即=S3-.S4=⑸+S3MS2+SJ=BE-.EC.

模型運(yùn)用

10.（23-24七年級下.江蘇宿遷.期末）（數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)）三角形的中線能將三角形分成面積相等的兩部分.

（經(jīng)驗(yàn)發(fā)展）（1）面積比和線段比的聯(lián)系:如果兩個(gè)三角形的高相同，則它們的面積比等于對應(yīng)底邊的

比，如圖1,AABC的邊上有一點(diǎn)/，請證明：務(wù)”=韶；

（結(jié)論應(yīng)用）⑵如圖2,ACDE的面積為1,第=；，然=4,求AABC的面積;

AC4Cr>o???

（拓展延伸）（3）如圖3,A4bC的邊Ab上有一點(diǎn)河，。為CM■上任意一點(diǎn)，請利用上述結(jié)論,證明：

S^ADC4時(shí).

S/\BDCBM

（遷移應(yīng)用）⑷如圖4,/\ABC中，M?是AB的三等分點(diǎn)（4W=《AB）,N是的中點(diǎn)，若/\ABC的

面積是1,請直接寫出四邊形BMDN的面積:.

11.（23—24七年級下?寧夏銀川?期末）【問題情境】如圖1,AD是△ABC的中線，△ABC與△AB。的面積

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高AE,根據(jù)中線的定義可知m=co.因?yàn)楦?/p>

AE相同，所以S^ABD=S^ACD，于是SMBC=2sAABD

據(jù)此可得結(jié)論:三角形的一條中線平分該三角形的面積.

（1）【深入探究】如圖2,點(diǎn)。在4ABC的邊上，點(diǎn)P在人。上.

①若AD是AABC的中線,請判斷S^PB與S*的大小關(guān)系,并說明理由.

②若BD=3DC，則SMPB-SAAPC.

⑵【拓展延伸】如圖3,分別延長四邊形ABCD的各邊，使得4B,C,。分別為。以，AE,砂\CG的

中點(diǎn)，依次連接E,F,G,H得四邊形即GH.直接寫出SWG，S.BE與S四邊形之間的等量關(guān)系；

MS

12.（23—24七年級下.浙江杭州?期中）已知。是A4BC的BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)4D,此時(shí)有結(jié)論今迪=

b'ACD

縹，請解答下列問題：（1）當(dāng)。是邊上的中點(diǎn)時(shí)，AABD的面積AACD的面積（填

C/1-Z

或"="）.

（2）如圖1,點(diǎn)。、E分別為4B,47邊上的點(diǎn),連結(jié)CD,BE交于點(diǎn)。，若ABO。、ACOE、ABOC的面

積分別為5,8,10,則AADE的面積是（直接寫出結(jié)論）.

⑶如圖2,若點(diǎn)。，后分別是^ABC的AB,AC邊上的中點(diǎn)，且SRABC=60,求四邊形ADOE的面積.

可以用如下方法:連結(jié)AO9由AD=DB得S、ADO~S^BDO,問理：S、CEO~^\AEO9設(shè)^\BDO~X9S^CEO=

y，則S'ADO=x9=y，由題意得SkABE~Sbgj~30,SbADC~SbABC=30,可列方程組為：

x

解得+y=20,可得四邊形ADOE的面積為20.解答下面問題：

如圖3,。，尸是AB的三等分點(diǎn)，瓦G是C4的三等分點(diǎn)，CD與BE交于O,且S*=60，請計(jì)算四

邊形ADOE的面積，并說明理由.

MS

模型4.鳥頭定理（共角定理）模型

模型解讀

共角三角形:兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。

共角定理:共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。

（等角型）條件:如圖1，在三角形ABC中，。、目分別是AB,AC上的點(diǎn)，結(jié)論：》DE=絲?世

S》BCAB-AC

（互補(bǔ)型）條件:如圖2,已知/R4C+4DAE=180°,結(jié)論：斗%=空,需。

^△ABCAB-AC

證明：（等角型）如圖1，分別過點(diǎn)E,。作EG，AB于點(diǎn)G,CZUAB于點(diǎn)F,

,:WAGE=/AFU,又/A=&GAE?/\FAC,：.空=4^-。

CFAC

P..SAADE±AD-EGS^DEAD-EGADAE0nS^EADAE

S^ABC^-AB*CFS^ABCABtCFABACS^ABCABAC

（互補(bǔ)型）如圖2,過點(diǎn)。作。G,AB于G,過點(diǎn)石作石尸，DA交DA延長線于R,

??.ZEFA=ACGA=90°,VZBAC+/DAE=180°,/DAE+NEAF=180°,

NCAG=NEAF,；.&CAG?MAF,SWAE：占DA?EF,S"BC=鼻AB?CG,

AEAC22

.=±DA-EF=DA-EF=DA-AE

；

"S^ABC~^AB-CG~^B-CG~AB-AC

模型運(yùn)用

MS

13.如圖，在三角形ABC中，O、E是AB,47上的點(diǎn)，且AD：48=2:5,AE：AC=4；7,三角形4DE的面

積是16平方厘米，則ABC的面積為

14.（2023?山西晉中?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀理解

如果兩個(gè)三角形中有一組對應(yīng)角相等或互補(bǔ),那么這兩個(gè)三角形叫做共角三角形，共角三角形的面積

比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比，

例:在圖1中，點(diǎn)。，E分別在人口和AC上，△4DE和AABC是共角三角形，則跳%=絲書

SAAB。AJD,AC

證明:分別過點(diǎn)E,。作國7,48于點(diǎn)3,。歹，48于點(diǎn)干,得到圖2,

AAGE=ZAFC,又ZA=ZA,/./\GAE?^FAC,：.弟=叫

CFAC

又..S^DE_~^AD'EG.S?DE__AD-EG=AD_AE_即S#；=AD_AE

'S^ABC~^AB-CF"S^ABC~AB-CF~~AB'~^C~~AB'~AC

圖3

任務(wù)：（1）如圖3,已知ABAC+NN4E=180°,請你參照材料的證明方法,求證：「沁絲=筆筆

SAAB。AJD*AC

（2）在（1）的條件下，若學(xué)膽=4,務(wù)=；,AB=9,則AE=

b^ABCbAO4

???

15.(2023?重慶?九年級專題練習(xí))問題提出：如圖1,。、E分別在AABC的邊AB、AC±.,連接。及已知線

段AD=a,OB=b,AE=c,EC=d，則S^ADE,和a,b,c,d之間會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

卻,"圖2CB圖3

圖4圖1備用圖圖5

圖6圖7

問題解決:探究一：⑴看到這個(gè)問題后，我們可以考慮先從特例入手,找出其中的規(guī)律.如圖2,若DE

〃8C,貝I]且/人=乙4,所以△ADE?△ABC,可得比例式：而根據(jù)相似三

a+bc+d

角形面積之比等于相似比的平方.可得52=上三.根據(jù)上述這兩個(gè)式子，可以推出：微2

b/\ABC(a+b)b^ABC

_Q2_a.a_Q.c______ac_____

(a+b)?a+ba+ba+bc+d(a+b)(c+d)

(2)如圖3,若/C,上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程;著不成立,請說明理由.

探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結(jié)論：|^=-—77—-?方法

b^ABC(a+b)(c+d)

回顧:兩個(gè)三角形面積之比,不僅可以在相似的條件下求得,當(dāng)兩個(gè)三角形的底成高具有一定的關(guān)系

SJBD,AHor)

時(shí),也可以解決.如圖4,。在4ABC的邊上，做于H,可得：詈迺=J------------=~.

'MDC^DC-AHDC

借用這個(gè)結(jié)論,請你解決最初的問題.

延伸探究：⑴如圖5,。、E分別在△ABC的邊48、AC反向延長線上，連接已知線段AD=a,

AE=c,AC=d，則余型=.（2）如圖6,E在△ABC的邊AC上，。在AB反向延

b叢ABC

長線上，連接DE,已知線段AD=a,AB=b,AE=c,AC=d,愛膽=

b^ABC

結(jié)論應(yīng)用：如圖7,在平行四邊形ABCD中，G是邊上的中點(diǎn)，延長GA到瓦連接DE交BA的延長

線于尸，若AB=5,AG=4,4E=2,DABCD的面積為30,則△AEF的面積是.

模型5.金字塔與沙漏模型

金字塔模型沙漏模型

模型證明

22

條件:如圖所示，。后〃;結(jié)論:①嘿=嚕=等=疆;②S.DE：S4ABe=AF-.AG。

A"ACA(_T

證明：???DE〃石。；易證：LADE?△ABC；/\ADF?/\ABG；/\AFE-AAGC；

?幺。一AE—DE—/■F5.a—AD2,AB2~AF2,AG2

??AR_4c_BC~AG，Q^ADE?QAABCau.Z1Q—O

模型運(yùn)用

16.（2023秋?遼寧沈陽?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)。、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且△ADE?

△4BC,面積比為1：9,AGLBC交OE于點(diǎn)R.則AF：AG=（）

A.1：3B.3:1C.1：9D.9：1

17.（2023?江蘇揚(yáng)州?二模）如圖，。、E分別是△4BC的邊48、4。上的點(diǎn)，且。E〃BC,BE、CD相交于

點(diǎn)0,若△OOE的面積與△COB的面積的比為4:25,則40:08等于（）

MS

A

C.3:5D.4:25

18.（2023?福建龍巖?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，。后〃8。，8石與CD相交于點(diǎn)F.如果。尸:

FC—1:3,那么S^ADE'.S^ABC等于（

A.1:9B.1:3C.2:3D.1:8

19.（2023春?北京海淀?九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，△48。是等邊三角形，被一矩形所截，被截成三等

分，若圖中陰影部分的面積是6,則四邊形BCG尸的面積為（）

C.10D.11

c1習(xí)題練模型）

20.（2024?貴州??？家荒＃┤鐖D,梯形ABCD被對角線分成4個(gè)小三角形，已知A4O8與△BOC的面積分

別為25M2和35m2.那么梯形的面積是（）總

DC??

A.144B.140C.160D.無法確定

21.（24-25八年級上?山東德州?階段練習(xí)）如圖所示，△ABC中，點(diǎn)E、F分別在三邊上，后是AC的中

點(diǎn)，交于一點(diǎn)3,80=2。。，$如￡。=3,5根小=4,則△48。的面積是（）

C.35D.40

22.（22-23七年級下?江蘇揚(yáng)州?期中）如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H依次是AB,BC,CD,中

點(diǎn)，O是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，若四邊形AEOH■、四邊形BFOE、四邊形CGO尸的面積分別為8、11、13,四

邊形DHOG面積為（）

23.（24-25八年級上?四川德陽?階段練習(xí)）如圖，若△ABC的面積為a,且點(diǎn)A,B,C分別是EC、人尸、

的中點(diǎn)，則求陰影部分的面積（用含a的式子表示），（）

F

A.6aB.6.5aC.5.5aD.5a

24.（24—25八年級上?湖北武漢?階段練習(xí)）如圖，在4ABC中，入。是ABAC的平分線，延長人。至及使

4"=小‘連接班,△曲的面積為10,A4BC的面積是13,則妥的值為（）

E

AB???

R13

B-loC.3D.2

25.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，4。是BC邊上的高線，CE是邊上的中線，若CD

=4。=4,則2\。您的面積是（）

26.（2023?江蘇?模擬預(yù)測）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,。是網(wǎng)格線交點(diǎn)，AC與相交于

點(diǎn)O,則的面積與△CDO的面積的比為（）

27.（23-24八年級上?天津河?xùn)|?期中）如圖，△ABC的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)O,已知△ABO的面積

為4,八8。河的面積為2,則四邊形MCNO的面積為（）

A.2B.3C.4D.3.5

28.（2024.甘肅酒泉二模）如圖,在平行四邊形ABCD中，如果點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，4Wr與相交于點(diǎn)M

右已知S盤）MN=4,那么SAADN等于（??

B

C.12D.16

29.（23-24九年級?重慶?課后作業(yè)）如圖，AB為半圓O的直徑,弦8。相交于點(diǎn)P,如果CD=3,AB

=4,那么$注℃：5//84等于（）

A.16:9B.3：4C.4：3D.9：16

30.（22-23七年級下?江蘇南京?期末）如圖，在△/反7中，D是邊的中點(diǎn)，夙F分別是邊47上的三

等分點(diǎn)，連接BE、89分別交CD于G、H點(diǎn)，若△4BC的面積為90,則四邊形EFHG的面積為

31.（2024?上海?校考一模）如圖，梯形ABCD中，AD"BC,BC=2AD,點(diǎn)F在BC的延長線上,AF與BD

相交于點(diǎn)瓦與CD邊相交于點(diǎn)G.如果AD=2CF1,那么XDEG與ACFG的面積之比等于.

32.如圖1,點(diǎn)。在4ABC邊BC上,我們知道若年■=?，則跳電=?；反之亦然.如圖2,跳;是

CDbSMCDb

△46。的中線，點(diǎn)F在邊AB上，BE、。戶相交于點(diǎn)O,若票=小,則祟=

JDrCJr）???

A

33.（23-24九年級上?福建泉州?階段練習(xí)）已知AABC中，4D是邊上的中線，點(diǎn)G為ZVIBC重心,

GE//AC,若AABC的面積為12，則△BGE的面積是.

34.（2024?河南鄭州?九年級?？计谥校┤鐖D，矩形即G8內(nèi)接于△ABC（矩形各頂點(diǎn)在三角形邊上），E,F

在上，H,G分別在AB,AC上，且8c于點(diǎn)。，交HG于點(diǎn)N.

（1）求證:4AHG?AABC（2）若AD=3,BC=9,設(shè)班r=①，則當(dāng)力取何值時(shí),矩形EFGH的面積最

大？最大面積是多少？

MS

35.（23—24八年級下?湖南永州?期末）課題學(xué)習(xí)：平行線間三角形的面積問題中“等底等高轉(zhuǎn)化”的應(yīng)用

閱讀理解:如圖1,已知直線a〃b,直線a,b的距離為h，則三角形ABC的面積為S3c=^xABxh.

圖3圖4

（1）【問題探究】如圖2,若點(diǎn)。平移到點(diǎn)。，求證：SAAOC=SgoD；

（2）【深化拓展】如圖3,記S^AOC=Si、S八ROD—S?、S^cOD=S3、S.OA=S4,根據(jù)圖形特征，試證明：Six

S2=S3XS4；

（3）【靈活運(yùn)用】如圖4,在平行四邊形4BCD中，點(diǎn)E是線段AO上的一點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)。，已

知$4詆=10,且EO-.EB=2:5,求四邊形CDEO的面積?

?M

36.（23—24八年級下.山東青島.期末）問題解決：如圖1,△ABC中，A尸為邊上的中線，則S^ABF=

___SbABC*

問題探究：⑴如圖2,CD,BE分別是△ABC的中線，SA加0與S四邊形"。石相等嗎？

解：/\ABC中，由問題解決的結(jié)論可得，SABCD=ySMBC，S.=￡S'ABC，

??S^BCD=S'ABE??S、BCD-S"OD~S^ABE~S、BOD艮口S?BOC~S四邊形4。。石.

（2）圖2中，仿照（1）的方法，試說明S、BOD=SACOE-

（3）如圖3,CD,BE,A尸分別是△ABC的中線，則S^oc=S\ABC，S\AOE=

問題拓展：⑴如圖4,E、F分別為四邊形ABCD的邊A。、的中點(diǎn)，請直接寫出陰影部分的面積與

四邊形ABCD的面積之間的數(shù)量關(guān)系：S陰影=S四邊形相⑺.

⑵如圖5,E、尸、G、”分別為四邊形ABCD的邊AD、BC、48、CD的中點(diǎn);請直接寫出陰影部分的

面積與四邊形ABCD的面積之間的數(shù)量關(guān)系：S陰影=S四邊形ABCD

MS

37.（24-25九年級上?廣東深圳?期中）閱讀理解:兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ),我們稱這兩個(gè)三角形

是共角三角形,這個(gè)角稱為對應(yīng)角.根據(jù)上述定義,判斷下列結(jié)論,正確的打“V”,錯(cuò)誤的打“X”.

（1）三角形一條中線分成的兩個(gè)三角形是共角三角形.（）

（2）兩個(gè)等腰三角形是共角三角形.（）

問題提出：小明在研究圖1的時(shí)發(fā)現(xiàn),因?yàn)辄c(diǎn)。，后分別在48和AC上，所以和△ABC是共角

三角形，并且還發(fā)現(xiàn)穹斗膽=嘿學(xué).以下是小明的證明思路，請幫小明完善證明過程.

SAAB。AJD'AU

證明:分別過點(diǎn)瓦。作EG，于點(diǎn)G,CF,AB于點(diǎn)尸，得到圖2,

?.?乙4GE=/4FC,又?.?乙4=//,.?.△GAE~(),.?.第~絆——

---------CF(_②)

.._5AD.EG.S/^DE_AD*EG_AD.AE即S^DE.=AD-AE

'S/一，-S^ABC-ABCF一方.左'-AB-AC-

延伸探究:如圖3,已知ABAC+NDAE=180°，請你參照小明的證明方法,求證：以上=縹變

結(jié)論應(yīng)用：⑴如圖4,在平行四邊形ABC?中，G是BC邊上的點(diǎn)且滿足2BG=GC,延長G4到E,連

接DE交R4的延長線于F,若4B=6,4G=5,AE=2.5,O4BCD的面積為60,則△AEF的面積是

⑵如圖5,LJABCD的面積為2,延長OABCD的各邊，使BE=AB,CF=2BC,DG=3CD,AH=

4A。,則四邊形ERG"的面積為

38.(2023?山東青島?二模)【模型】

同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊長度之比.

已知，如圖1,△ABC中，。為線段上任意一點(diǎn)，連接40,則有：言理=弟.

^^ACDCD

【模型應(yīng)用】

⑴如圖2,任意四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD邊的中點(diǎn)，連接CE、AF,若四邊形ABCD的

面積為S,則S四邊形的%=-

(2)如圖3,在任意四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD上離點(diǎn)A和點(diǎn)。最近的三等分點(diǎn)，連接

力尸、若四邊形ABCD的面積為則

CE,S,SMAECF=.

(3)如圖4,在任意四邊形ABCD中，點(diǎn)E、尸分別是邊AB、CD上離點(diǎn)B和點(diǎn)。最近的九等分點(diǎn)，連接

AF、CE,若四邊形ABCD的面積為S,則S四邊形小6=.

【拓展與應(yīng)用】

(4)如圖5,若任意的十邊形的面積為100,點(diǎn)K、L、M、N、。、P、Q、R分別是45、CD、DE、EF、

FG、HI、D、JA邊上離點(diǎn)A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分點(diǎn)，連接BL、DK、DR、MJ、NJ、

FQ、OI、GP,則圖中陰影部分的面積是

39.（23-24七年級下.安徽宿州.期末）（1）探索發(fā)現(xiàn):

如圖1,在4ABe中，點(diǎn)。在邊8。上，/XABD與A4DC的面積分別記為&與S2,試判斷獸與黑

的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

圖1

（2）閱讀分析:

小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖2,在Rt/XABC中，46=AC,ABAC=90°,射線4W■交于點(diǎn)。,點(diǎn)

E、斤在4M■上，且/I=Z2=90°,試判斷BF、CE、EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

小明利用一對全等三角形,經(jīng)過推理使問題得以解決.圖2中的B尸、三條線段之間的數(shù)量關(guān)

系為，并說明理由.

⑶類比探究：

如圖3,在四邊形ABCD中，AB=AD,AC與8。交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、F在射線/C上，且Nl=/2=

ABAD.

圖3

①全等的兩個(gè)三角形為，并說明理由.

②若OD=3OB,4AED的面積為3,直接寫出4CDE的面積:

MS

40.(23—24九年級上.廣西崇左.期末)【問題】如圖1,在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,

記△CQD的面積為Si，4AOB的面積為S2,求證：獸=發(fā).

o2OA?(Jb

【解決問題的方法】如圖2,在ACOD和中,分別作OC,04邊上的高DE,B打，利用三角函數(shù)表

示出。E,BF,再代入面積公式就可以解決問題.

(1)【問題解決】如圖2,求證：*=籌嘯；

o2(JA,(JJD

⑵【拓展應(yīng)用】如圖3,4Vf〃CD交RD于點(diǎn)M,點(diǎn)打?yàn)槿丝诘闹悬c(diǎn)，OH交AM于點(diǎn)G,且盥=言,

OH5

℃.L求且值

OA=6'本S2電

???

41.（2023?寧夏銀川?二模）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.它是利用“同一個(gè)圖形的面積相

等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相

等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題.在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰,解

題過程簡便快捷.

請用等面積法的思想解決下列問題：

（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4,則該直角三角形斜邊上的高的長為.

⑵如圖1,反比例函數(shù)0=—曰0>0）的圖像上有一點(diǎn)P,E4，立軸于點(diǎn)4點(diǎn)B在沙軸上，則AR4B

的面積為.

⑶如圖2,P是邊長為a的正4ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為AABC的中心，設(shè)點(diǎn)P到△ABC各邊距離分

別為仙，后，自，連接人尸，8尸，CP，由等面積法，易知9a（加+e+期）=S*=3s△。他，可得加+自+

心=乎似如圖3,若P是邊長為4的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到五邊形ABCDE各邊距

離分別為仙，生，3，均，生，參照上面的探索過程，求出+生+儂+力+生的值.（參考數(shù)據(jù)：tan36°七

tan54°?^-）

（4）如圖4,已知。。的半徑為1,點(diǎn)人為外一點(diǎn)，。4=2,AB切OO于點(diǎn)弦連接

AC,求圖中陰影部分的面積.（結(jié)果保留兀）

（5）我國數(shù)學(xué)家祖晅，提出了一個(gè)祖晅原理:“嘉勢既同，則積不容異”.意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在

所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體體積相等.如圖所示，某帳篷的造型是兩個(gè)全等

圓柱垂直相交的公共部分的一半（這個(gè)公共部分叫做牟合方蓋），其中曲線AOC和BOD均是以1為半

徑的半圓.用任意平行于帳篷底面ABC?的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形,且該正方形的

面積恰好等于與帳篷同底等高的正四棱柱中挖去一個(gè)倒放的同底等高的正四棱錐后同高度截面的面

積（圖8中陰影部分的面積），因此該帳篷的體積為.（正棱錐的體積底面?積x高?）?

三角雅中的重要模型之面積模型

三角形面積問題在中考數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中占據(jù)舉足輕重的地位，而等積變形作為中學(xué)幾何的一個(gè)核

心理念，其重要性不言而喻。它衍生出的五大模型——蝴蝶（或風(fēng)箏）模型、燕尾模型、鳥頭模型、沙漏模

型以及金字塔模型，不僅體現(xiàn)了等積變形的精髓,也是學(xué)生們必須精通的關(guān)鍵知識點(diǎn)。

本專題將深入剖析這些等積模型，通過系統(tǒng)的梳理和詳盡的試題分析，旨在幫助學(xué)生全面掌握這一

重要內(nèi)容。無論是蝴蝶模型中優(yōu)雅的對稱之美，燕尾模型中巧妙的面積分割，鳥頭模型中復(fù)雜的結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)

換，沙漏模型中面積的流轉(zhuǎn)變化,還是金字塔模型中立體與平面的巧妙結(jié)合，我們都將——揭開它們的

神秘面紗。

通過本專題的學(xué)習(xí)，學(xué)生們不僅能夠加深對等積變形思想的理解，還能提高解決復(fù)雜幾何問題的能

力，為中考數(shù)學(xué)幾何模塊打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

LZE1

例題講模型...............................................................................1

模型1.等積變模型..................................................................1

模型2.蝴蝶（風(fēng)箏）模型....................................................................6

模型3.燕尾（定理）模型...................................................................10

模型4.鳥頭定理（共角定理）模型..........................................................15

模型5.金字塔與沙漏模型.................................................................20

習(xí)題練模型..............................................................................22

例題講模型

模型1.等積變換基礎(chǔ)模型

模型解讀

模型1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

如圖1,當(dāng)AB〃CD,則=SABCD；反之,如果隈6=SABCD，則可知直線AB〃CD。

模型2）兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比。

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)時(shí),則SMBD：S3=BD：DC.

如圖3,當(dāng)點(diǎn)。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，BE，AD,CF，AD時(shí)，則S.:S^c=BE：CF。

模型證明