邵東某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)第三次月考數(shù)學(xué)試卷（詳解版）

邵東一中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷

時(shí)量：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

2-i

1、已知復(fù)數(shù)z=1—,則z的虛部為()

1-1

A.—B.—C.—iD.—i

2222

1、【答案】B

【解析】依題意，z=*=)W"A,所以z的虛部為1.故選：B.

1-1(1-1)(1+1)2222

4：

2、已知直線加x+3y-3=0,l2;(3m-2)x+my+l=0,則“刃=-；"是"4，/2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

2、【答案】A

【解析】當(dāng)加=T時(shí)，直線4的斜率為1，4的斜率為-9,

又-9)=-1,所以㈠上充分性成立；

y

直線4：加工+3>一3=0,Z2:(3m-2)x+my+1=0,

若/TL則有加(3加-2)+3機(jī)=0,解得心=0或僅=-；,必要性不成立.

所以“=T”是U1”的充分不必要條件.故選：A.

(選擇性必修第一冊(cè)課時(shí)P1403改編)

3^在等差數(shù)列｛%｝中，已知42+%+412+。15=36,則Si6=()

A.288B.144C.572D.72

3、【答案】B

f(3—cT\n-3

4、已知數(shù)列也｝滿足：??=\_2、且數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)。的取值

[a6,n>/

范圍是()

99

A.(4,3)B?R，3)C.(1,3)D.(2,3)

44

4、【答案】D

【詳解】根據(jù)題意，恁=八〃)=10一；)：:：，7,〃CN*,要使｛“是遞增數(shù)列，必有

3—a>0a<3

,據(jù)此有：，a〉l,綜上可得2〈a<3.故選：D

(3-a)x7-3<a8-6a>2或。<-9

(選擇性必修第二冊(cè)學(xué)法課時(shí)P8811)

5、一動(dòng)圓尸過(guò)定點(diǎn)〃(-3,0),且與已知圓N：(x-3)2+產(chǎn)=16外切，則動(dòng)圓圓心尸的軌

跡方程是()

2222

A.—-^=1(x>2)B.—+^=1(x>2)

45_45—

2222

C.---±=1(爛-2)D.土+匕=1(x<-2)

45_45_

5、【答案】C

【解析】解：???圓尸與圓C外切，如圖,

.-.\PN\=\PA4\+4,即|尸川一1PM=4,

■.■0<\PN\-\PM\<\MN\=6,

.??由雙曲線的定義，點(diǎn)尸的軌跡是以4。為焦點(diǎn)，2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的左支，其中a=2,c

22

=3,：.b2=c2-a2=9-4=5.故所求軌方程為：—=1(x<-2).故選：C.

45-

6、設(shè)函數(shù)/("=人由3+。)口>0,?！?,附〈。|與直線了=3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成以"為公

差的等差數(shù)列，且x=g是/(x)圖象的一條對(duì)稱軸，則下列區(qū)間中是函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)

O

間的是()

〃〃

2nInB.-1,04?55n

A.c.D.~6~1

6、【答案】D

2萬(wàn)

【解析】根據(jù)題意可得4=3,函數(shù)八%)的周期為了=—="，求得刃=2,再由

CD

2x：+。=左乃+不左￡Z解得0=左乃+：,由題意|同《二，可得：;

62666

JT7T7T3TT

所以/(x)=3sin(2xH——),令2kji+—<2x-\——<2k兀H------,

6262

-TT"7-TT冗2冗

解得：左乃+左?+q,故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為k兀+小兀+下,keZ,

6363

S7777

故區(qū)間-三，-不是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，故選：D.

o3

7、已知三棱錐尸-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PC=BC=2,AB=4,N4PC=120°,

平面尸/C，平面A8C,則球。的體積為()

A.4#>兀B.16加nC.2。也萬(wàn)D.8百萬(wàn)

33

7、【答案】C

【解析】解：因?yàn)镻/=PC=2,ZAPC=120°,可知NC=2?,

又4B=4,BC=2,AB2=BC2+AC2,故8C_LNC,

取/C的中點(diǎn)。，則PD=1,PDLAC,

又平面P/C_L平面N3C,且平面PNCC平面/8C=NC,所以尸O_L平面/8C,

設(shè)AP/C的外接圓的圓心為。i,

則。1在尸。的延長(zhǎng)線上，因?yàn)槭琋=PC=2,ZAPC=nO°,

所以PO|=/q=NP=2,所以。Q=l,

設(shè)。2為A/IBC的外接圓的圓心，則。2為的中點(diǎn)，。。2=1，

連結(jié)。Q,OO2,由球的性質(zhì)可知，。^，平面相。，

所以。OJ/OOjOO2±DO2,同理可得，。01//。。2，OOX±DOX,

所以四邊形。QDO?為正方形，所以球。的半徑為玄=OOj+/0：=12+22=5,

所以R=石，則球。的體積為限故選：c.

°T->

(期中考試第7題改編)

8、已知尸是拋物線C：「=2.(。＞0)的焦點(diǎn)，直線/與拋物線C相交于尸，。兩點(diǎn)，滿足

yjrd

/尸尸。=奇，記線段尸。的中點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為人則網(wǎng)的最大值為()

1C-

A.-B.y-C.V3D.3

8、【答案】B

【解析】^.\PF\=m,\QF\=n,

過(guò)點(diǎn)尸，。分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為尸'，。'，則尸「=機(jī),0。=",

因?yàn)辄c(diǎn)A為線段尸。的中點(diǎn)，

所以根據(jù)梯形中位線定理得點(diǎn)A到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d=少坐1="ZL，

22

22乃

因?yàn)?尸產(chǎn)。=與7-T,所以在△尸尸0中，由余弦定理得I尸0『=/+/—2加〃cos3-=/+/+加〃，

d2_(m+n)2_(m+n)2_1

所以4(m2+w2+mn)4^(m+?)2-mn^mn,

(m+n)2_

inn1

又因?yàn)?加+療之4加〃，所以即存當(dāng)且僅當(dāng)小=〃時(shí)等號(hào)成立，

d21_1?同

所以西-4x(11)=晨故國(guó),號(hào)?

所以向的最大值為等.故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，余弦定理，基本不等式，考查運(yùn)

算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，設(shè)|尸用=%|。9|=〃，進(jìn)而結(jié)合拋物線的

定于與余弦定理得d='產(chǎn)，\PQ\2=m2+n2+mn,再求最值.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9、已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為邑，若％=-5,。用=?！?3則下列說(shuō)法正確的是（）

A.㈤｝是遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列

C.數(shù)列｛，｝中的最小項(xiàng)為邑D.Sm,S2m,JmSeN*）成等差數(shù)列

9、【答案】AB

【解析】：因?yàn)?。，?%+3,所以數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，公差為3,因?yàn)椋?-5,

所以。“=-5+3（"-1）=3〃-8,S.=〃（U"8）二g”

對(duì)于A,因?yàn)?3>0,所以｛%｝是遞增數(shù)列，A正確；

對(duì)于B,因?yàn)檗{-*=號(hào)°-”坦=［>0,所以數(shù)列［與］是遞增數(shù)列，B正確；

對(duì)于C,因?yàn)?<0,°2<0，%=1>0,所以數(shù)列｛Sj中的最小項(xiàng)為邑，C不正確；

對(duì)于D,當(dāng)加=1時(shí)，&=-5國(guó)=-74=-6,顯然不是等差數(shù)列，D不正確.故選：AB

10、已知尸為雙曲線C:馬=1（穌0,6>0）的右焦點(diǎn)，過(guò)尸的直線/與圓。：/+/=/相切于點(diǎn)

M,且/與。及其漸近線在第二象限的交點(diǎn)分別為尸,。，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線/的斜率為

B.直線加是。的一條漸近線

C.若=A，則C的離心率為Q

D.^\MF\=MPF\,則C的漸近線方程為p=±1

10、【答案】ABD

【分析】根據(jù)給定條件，計(jì)算斜率判斷A；由。川"計(jì)算直線斜率判斷B；求出點(diǎn)。，加，尸的坐

標(biāo)計(jì)算判斷C,D.

【解析】對(duì)于A,根據(jù)題意，尸（c,。），設(shè)直線/：y=6-hn丘-y-h=0,后<0,

又因?yàn)橹本€/與圓相切于點(diǎn)

所以"n片（1+'=c2-a2,:.k=-Y,A正確；

對(duì)于B,根據(jù)題意可知。河，/,可得k°M=—，

a

所以直線W：y=2x是。的一條漸近線，B正確；

a

對(duì)于c,若|姐=:叫，根據(jù)題意尸（c,o）,聯(lián)立卜7,解得M/，當(dāng)，

3V+ycc

b

同理聯(lián)立：a，解得&總，一告），由于⑼//，故一告3?即

22222

c=3（b-a）,c=3a,化簡(jiǎn)得，=3,則C的離心率為百，C錯(cuò)誤;

aab

對(duì)于D,設(shè)P&Jo）,依題意知=尸司，則而=3同7,故（％-。,%）=3

3/_3abj~)3a13ab

x2cy=—,故尸-----2c,---

oc=---f0cc

所以鳥(niǎo)=9,則二工=：,.?.4=3,得2",則C的漸近線方程為蚱±1,D正確；

a4a4a4a22

故選：ABD

11、在棱長(zhǎng)為1的正方體/2CO-44G2中，已知E為線段烏。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸和點(diǎn)尸分別滿足

*=時(shí),用=〃取，其中4〃e[0,1],則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)7=3時(shí)，三棱錐尸-EFD的體積為定值

B.當(dāng)〃$時(shí)，四棱錐尸28。）的外接球的表面積是學(xué)

L24

C.PE+PP的最小值為至

6

D.存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（4〃），使得￡尸1平面尸。尸

11、【答案】ACD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，EF//BD,,只需要證明點(diǎn)尸到平面環(huán)。的距離恒定，就能說(shuō)

明三棱錐尸-瓦叫的體積為定值；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)〃=；時(shí)，點(diǎn)P為正方體的中心，只需求出四

棱錐尸-ABC。的外接球的半徑即可算出表面積；對(duì)于C選項(xiàng)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面"GA內(nèi)

求點(diǎn)P使得尸E+P尸最小即可求解；對(duì)于D選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法來(lái)證明

即可.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)人;時(shí)，點(diǎn)尸為線段AG的中點(diǎn)，又￡為線段5G的中點(diǎn)，故所為三

角形GD田的中位線，跖〃町，點(diǎn)尸在線段股運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P到平面跖。的距離恒定，故三棱

錐尸-反切的體積為定值；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)〃=；時(shí)，點(diǎn)尸為正方體的中心，設(shè)四棱錐尸-48。

的外接球的半徑為R,由〃一;：+［孝)=F，解得R=l，故四棱錐尸-/8CO的外接球的表面

積為4萬(wàn)斤=44正=不.對(duì)于C選項(xiàng)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面NBC向內(nèi)求點(diǎn)尸使得尸￡+小最小，

164

如圖，作點(diǎn)E關(guān)于線段D田的對(duì)稱點(diǎn)片，過(guò)點(diǎn)心作的垂線，垂足分別為尸和〃，

1/y

則依+尸尸...￡/，設(shè)/￡歸/=夕，則sine=sin(//8，-/G32)=￡，故&H=B&sin6='，故

36

A65V2

E,F=72------=------.

166

對(duì)于D選項(xiàng)，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為1軸，。。所在的直線為V軸，。，所在的直

線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

-4

室

r

。1Z；

J/，K

r

易求得2（0,0,1）,￡1,1,￡|,尸（0,41）,尸（〃,〃4-〃），故

EP=———\——//j,DP=（r，從,1—"）,DF=（0,2,1）,若EP_L平面PDF,

g-〃卜1-〃)=0

則

(//-1)2+0

3+V33-V3

A=-

解得（舍）或，故存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（％〃），使得￡P(guān)_L平面巴加.故選:

._V3V3

A=

入=忑工V3+3

ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12、已知數(shù)列｛%｝是正項(xiàng)等比數(shù)列，q=2且%,3%%成等差數(shù)列，則數(shù)列｛叫的公比為

12、【答案】2

【解析】由題設(shè)6a2=%+%，令｛%｝公比為4＞。，則%=2/7,

所以12q=2d+2^,即才+q-6=(g+3)(g-2)=0,則q=2.

（選擇性必修第二冊(cè)學(xué)法P25訓(xùn)練3（2）改編）

1+?！?/p>

13、數(shù)列數(shù)"｝滿足%+]嗎=2,〃*N，若T=a-a...a,幾EN,,則4o=

1一。〃n12n

13、【答案】-6

1+。〃

【詳解】解：因?yàn)?=2,

1-。"

1+。1l+a11+/11+%

=—3,a22=a

所以。2=39=l,

1一/1一七2l-a331一%

所以數(shù)列SC的周期為4,

又因?yàn)樾?q%。3。4=2?(一3>(-/)}=1,

??)

?7]0=(axa2a3a4)?((75?6^7?8)?(?9?10)=(々a243a4.(的243a4>3%)=1x1x2x(-3)=-6

22

14、過(guò)點(diǎn)尸（1,1）的直線/與橢圓亍+4=1交于點(diǎn)/和2,且N=X而.點(diǎn)0滿足而=-彳/，若

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|。。|的最小值為

14、【答案】￡

【解析】解：設(shè)）（國(guó)，%），3（X2，%），。（心〃），

_m9

由尸(1,1),AP=APB9AQ=—AQB貝！J1一石=/1(%2一1)，m—x1=-/i(x2)

即為X1+丸%2=1+2，再_4工2=加（1_4），相乘可得X；—（4%2）2=加（1_儲(chǔ)），（D

同理可得弁-(")2="(1-力),②

"(可得『斗"百+￥)=(-2哈+》即—2嚀+?

化簡(jiǎn)可得:+g=l,即3機(jī)+4〃=12,即。的軌跡方程，

可得|。。|的最小值為了&==乜.故答案為：--

V32+4255

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15、(13分)已知在數(shù)列｛%｝中的=1,且%+i=2a〃+l,記4=/%(%+1).

(1)證明：數(shù)列低｝是等差數(shù)列;

211

⑵記「兀，求數(shù)列入的前〃項(xiàng)和0

15、【答案】(1)略(學(xué)法P13訓(xùn)練2(1))

22n

(2)TQ-----=—(學(xué)法P43例3改編)

n+1n+\

【解析】解：(1)bn=log2(an+1)bn+l=log2(an+l+l)

又知+i=2an+1bn+i=log2(2a?+2)

.4-6"="(2-2)-g23=l

且4=/嗚(%+1)=1數(shù)列低｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.......6分

2(\\

⑵由⑴知4=1+(〃-1卜1=〃則1而間=2］不而

.J,11111__2_2。

T“=G+cH-----Fc?=21-----1---------1-----1-----------213分

"7I223nn+1n+\n+1

16、(15分)在△ZBC中，內(nèi)角N,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足2a-b=2ccosB.

(1)求角C；

(2)若△4BC的面積為34，點(diǎn)。為48中點(diǎn)，且CD=g,求。邊的長(zhǎng).

16、【答案】⑴C=f；(2)2".

【解析】解：(1)由2a-b=2ccos5得2siih4-sinB=2sinCcosB

A+B+C=7i則有siih4=sin(8+C)

???2sin(5+C)-siiiS=2sinCcos5

BP2siiiScosC+2cos5sinC-siiiS=2sinCcos5=>2siiiScosC=siii3,

??,BE(0,兀)則siaSWO,???cosC=p

/、7T

vCe(0,兀)：-C=37分

-2tt2

(2)由已知得cL=*4+&),所以CD=［（C力+CB）,

13='(爐+a2+2abx1),即：cfi+b2+ab=52,

因?yàn)椤?8C的面積為3居所以勃?卓=3烈，即融=12,a2+b2=40,

由余弦定理得。2=°2+62-2abcosC=a2+b2-ab=40-12=28,

???c-2a................................15分

17、(15分)如圖，在四棱錐尸-4BC。中，底面488為平行四邊形，側(cè)面P4D是邊長(zhǎng)為2

的正三角形，平面「4DL平面48C。，AB1PD.

(1)求證：平行四邊形/8C。為矩形；

(2)若E為側(cè)棱尸。的中點(diǎn)，且點(diǎn)B到平面ZCE的距離為生,求平面/CE與平面4BP所成

2

角的余弦值.

17.【解答】(1)取2。中點(diǎn)連接PM,如圖所示：

???APAD為正三角形，則PMLAD.

面尸40,面48c面尸40c面48C。=40,9<=面a4。，則尸河，面48CD.

???Z5u面ABCD：.PM1AB

又ABLPD,PM,PQu面R4。，PMcPD=P,所以481面P4D,

40<=面A4。，故

???平行四邊形/8C。為矩形6分

(2)如下圖所示：

以A為原點(diǎn)，48為x軸，為了軸建立坐標(biāo)系，設(shè)48=/>0,

/。3肉

則4(0,0,0),8億0,0),C(7,2,0),尸(0,1,6)

__.—?3-?-?

所以4C=&2,0),AE=0,5,寧，45=&o,o),AP=(o,i,V3),

(22)

nAC=txx+2乃=0

設(shè)面的法向量為％=(則<

4CE4%,zj,-Tr3也門(mén)

n-AE=-y,H-----z,=0

2121

令國(guó)=2,貝I]〃=設(shè)點(diǎn)B到平面ACE的距離為d,

AB'n\2t

貝Id=-pi-=/,「弋,解得/=G所以】=(2,-百,3)

|?|04+產(chǎn)+3產(chǎn)

m-AB=V3x2=0

設(shè)面4BP的法向量為機(jī)=(%,%/2),貝卜

m-AP=y2+>/3Z2=0

m-n

令Z2=l,貝I]碗=(0,—百,1),則cos(私〃3+33

同口―J0+3+1J4+3+9

???平面ACE與平面ABP所成角為銳角,

3

???平面與平面,所成角的余弦值為I15分

18、(17分)已知橢圓C：,+刻=l(a〉b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,|),離心率為e=1

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為公，A2,T為直線/：久=4上的動(dòng)點(diǎn)，且T不在x軸上,

直線T4與C的另一個(gè)交點(diǎn)為直線74與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N,尸為橢圓。的左焦點(diǎn)，求

證：△FMN的周長(zhǎng)為定值.

(￡=1

a92'a=2

18、【答案】（1）解:有題意可知—+-5_=1，解得b=書(shū),

C=1

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為:+《=1..................................................5分

43

⑵)證明：由題意可知公(—2,0),A2(2,0),T(4,t)(t^0),

設(shè)JV(x2,y2),如圖所示

直線T&的方程為y=+2),直線TA2的方程為y="%—2),

y=-(%+2)

聯(lián)立方程儼—消去y得(27+/)/+4/久+4亡2-108=0,

---I------

43

4t2-108日口54-2t2

?,?—2,%]萬(wàn)TH即久1=方釬

2

tzIQ、tz54-2t.Q、18tA“54—2/18t、

W1=%(巧+2)=+2)=MJ+t2,27+t2)

僅=久久—2)

聯(lián)立方程沖+比=1,消去y得(3+評(píng))/一4/；2%+4/;2-12=0,

I43

4t2—122t2-6

???2X=即％2

23+t23+t2

2t2-6~6t

則及二知2—2）=笑胃—2）=三*???N(■)

3+卅3+t2

18t+6t

27+t]3士理6t

**?^MN=

54-2t2_2t2-6"一9‘

274-t23+t2

???直線MN的方程為y+M=—含（%—第f）,

即）/=-裳/+白=-懸（%-1），t=±3，

故直線跖V過(guò)定點(diǎn)(1,0),

所以△FMN的周長(zhǎng)為定值8,

當(dāng)t=±3時(shí),M(l,|),可1,一|)或叭1,一|),N(l,|),

MN過(guò)焦點(diǎn)(1,0),此時(shí)△FMN的周長(zhǎng)為定值4a=8,

綜上所述，ZkFMN的周長(zhǎng)為定值8................................17分

19、(17分)若數(shù)列｛%｝滿足：對(duì)任意〃eN*,都有則稱口｝是“？數(shù)列”.

(1)若%=2〃-1,C=2i,判斷也｝，四｝是否是“產(chǎn)數(shù)列”;

(2)已知｛%｝是等差數(shù)列,%=2,其前〃項(xiàng)和記為，，若｛%｝是“P數(shù)列”,且S“<3/+2〃恒成立,

求公差d的取值范圍；

(3)已知㈤｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列，4=1,記4吟,的=手，若也｝是配數(shù)列“，也｝不

是“尸數(shù)列”，｛g｝是“P數(shù)列”，求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式.

19.【答案】(1)數(shù)列｛斯｝是“尸數(shù)列”；數(shù)列｛g｝不是“